专题05 解三角形在几何问题中的应用（7大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末必考题型归纳及过关测试（苏教版2019）

专题05 解三角形在几何问题中的应用 【题型归纳目录】 题型一：两角使用余弦定理 题型二：妙用两次正弦定理 题型三：中线问题 题型四：角平分线问题 题型五：高问题 题型六：外接圆与内切圆问题 题型七：四心问题 【知识点梳理】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：两角使用余弦定理 【例1】（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知三角形ABC，， (1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值. (2)若，，求AD的长 【解析】（1）由， 得， 即， 得， 在中，， 所以； （2）因为，知，， 在三角形ABD中， 在三角形ACD中， 因为，所以， 即， 解得. 【变式1-1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【解析】（1）因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 所以四边形的周长为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以四边形的面积为． 【变式1-2】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．    (1)求的值； (2)若测得，求待测径长． 【解析】（1）在中，由正弦定理可得：， 则，因为，因为为钝角， 所以，所以. （2）在，由余弦定理可得：， 解得：或（舍去）， 因为，所以， 在，， 由余弦定理可得：， 解得：， ，，，， ， 在，由余弦定理可得： ， 故. 题型二：妙用两次正弦定理 【例2】（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)若，求的取值范围． 【解析】（1）设边上的高为． 因为，即，所以， 又因为为的平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，所以， 所以，即，即. （2）因为，为的中点，所以， 又， 所以，即， 又， 故； （3）在中，， 在中，， 又，所以， 两式相加得， 因为，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又，则， 所以，则， 又，即，所以， 所以， 由， 因为，所以，， 设，则，即， 解得或， 所以或 所以或， 所以或， 所以． 【变式2-1】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【解析】（1），，， 在中，，解得：，易知C为锐角， ， ； （2）在中，，得：， 在中，，得：， ， ，， ， ，，， 故的取值范围为． 【变式2-2】（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 【解析】（1）连接BD． 因为，所以． 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② 由，，结合①②可得． （2）由（1）知，， ，又，所以，则． 连接BD， 在中，由余弦定理得 ； 在中，由余弦定理得 ， 所以，解得或． 当时，连接AC，在中，由余弦定理，得 ， 所以，而此时，故不满足题意，经检验满足题意， 此时梯形ABCD的高， 当时，梯形ABCD的面积； 所以梯形ABCD的面积为． 题型三：中线问题 【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【解析】（1）因为是中点，， 因为，则. （2）因为、、三点共线，故存在实数，使得， 即，整理得， 由（1）知，， 根据平面向量基本定理，则. （3）因为是边长为的等边三角形，故，， 在中，由余弦定理，， 在中，同法可得， 故， 由（2）知，得， 故， 由基本不等式，，， 当且仅当，即，时，取最小值， 故的取值范围是． 【变式3-1】（23-24高一下·云南德宏·期中）在中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 所以或， 又因为，则，故. （2）由（1）知，又，所以， 则，所以 又，所以， 在中， 由余弦定理得， 所以. 【变式3-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 所以. 解得. 因为，所以， 所以， 所以. 又， 所以的面积. （2）在中，，因为是中点， 所以，由余弦定理，得 . 所以. 题型四：角平分线问题 【例4】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若的平分线交于点D，求． 【解析】（1）由正弦定理可得， 即， ， 即，且， 则，，则. （2）由可得， 由正弦定理可得， 即，解得，则， 且为角的角平分线， ，即， 化简可得，解得. 【变式4-1】（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【解析】（1）若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； （3）由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【解析】（1） 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 题型五：高问题 【例5】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的值及边上的高． 【解析】（1）法一：, , , 因为，所以. 法二：, , , , 在中，所以, 因为，所以. （2）因为，则, 由于，则, 则, 所以 , ． 则,因为, , . 【变式5-1】（23-24高一下·山东临沂·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，边上的高为1，求的周长． 【解析】（1）由正弦定理，，即， 而， 结合两式可得，， 则，又，则， 故，即， 又，则， 上式化简为，则，故， （2）根据三角形面积公式，可得， 由余弦定理，，即， 于是，故， 于是的周长为 【变式5-2】（23-24高一下·北京·期末）在中，， (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①: b=8；条件②: ；条件③: AC边上的高BH=3. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）选①，，由余弦定理，得， 则，显然，即方程无解， 因此不存在，①不可选. 选②，，在中，， 由正弦定理，得， ， 的两角及一边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一， 所以的面积为. 选③，AC边上的高BH=3，在中，，即， 在中，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一， 所以的面积为. 题型六：外接圆与内切圆问题 【例6】（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，BC，AC长度分别为30m，50m，70m．    (1)求圆形水域面积； (2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，并准备在修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值． 【解析】（1）因为中，由余弦定理得， ，又因为，所以． 设圆形水域半径为R米，由正弦定理， 所以圆形水域面积为：平方米． （2）因为，所以， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以．① 设圆形观赏鱼饲养区的半径为r米， 则， 将①式代入上式得． 因为，解得 ． 当且仅当 时， 取得最大值为140m， 所以r的最大值为米． 答：圆形观赏鱼饲养区半径的最大值为米． 【变式6-1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，四边形为圆的内接四边形，. (1)若，求； (2)若，且为等边三角形，求圆的面积. 【解析】（1）∵，， ∴， 在中由余弦定理可得， ∴，解得（舍去）或， ∴. （2）设，为等边三角形，设 在中由余弦定理可得， 在中由余弦定理可得， 由∵，∴， 即， 则，即①， 又∵正中，∴， 在中， 即，∴，② 由①②可知，，， 如图，取中点，连接，由对称性可知圆心在中线上，连接， ∴，又∵， ∴半径， ∴圆的面积为：. 【变式6-2】（23-24高一下·广东佛山·期中）如图所示，在圆内接四边形中，，，． (1)求及的面积； (2)若，求的长． 【解析】（1）在中，， ，， ； （2）四边形为圆的内接四边形， ，， 解法一：在中，， 即． ，解得或．（舍去） ； 解法二：在中，， 即，解得， ，为锐角， ． ． 由得 ． 题型七：四心问题 【例7】如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． (1)的余弦值． (2)求四边形的面积. 【解析】(1)在中，由余弦定理可知：,即 故 , ,是等腰三角形，故 在中，由余弦定理可知： 即, 在中，由正弦定理可知： 因为为锐角，所以 (2)由（1）知： 是的重心，所以 ,故 所以四边形的面积为 【变式7-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆的面积为，． (1)求； (2)是角的平分线，若，的重心为，求的长． 【解析】(1)的外接圆的面积为，可得外接圆的半径为1，可得， 由，可得， 根据正弦定理可得，即， ∴．∵，∴． (2)∵，∴． 根据，易得，设，∴， 根据余弦定理可得， 解得，∴，． 设为的中点，连接，，， 可得， ∴，∴． 【变式7-2】的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答. ①为的内心；②为的外心；③为的重心. (1)求； (2)若，__________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】(1)因为， 由正弦定理得， ， ， 三角形中，，所以， ，则，所以，； (2) 选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点， 在中由余弦定理得， ， 设内切圆半径为，则，， 所以； 选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上， 由（1），所以， 在中由余弦定理得， ，， ． 选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点， 在中由余弦定理得， ， 由三角形重心的性质可得，， 故. 【强化训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 【解析】（1）因为，所以， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又，解得； （2）因为，所以， 即 化简得，解得或(舍去)， 由的面积，又， 故，解得. 2．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 【解析】（1）因为的周长为，可得， 由正弦定理，可得，即， 整理得， 又由余弦定理，可得． 因为，所以． （2）在中，因为，， 由余弦定理得，即， 解得或（舍去）， 又因为是的平分线，可得，， 所以，解得． 3．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长． 【解析】（1）由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以． （2）因为，，所以． 在中，由余弦定理可得：，所以． 因为为角的平分线，所以， 因为， 所以， 即，所以． 4．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 【解析】（1）因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. （2）在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 5．（22-23高一下·北京·期中）在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)求边上的高． 【解析】（1）在中，由余弦定理， 得， 因为，所以． （2）由，得， 所以的面积为， 设边上的高为，则， 故． 6．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 【解析】（1）在中，由余弦定理可得 ， 即， 所以（公里）. （2）在中，可得， 在中，由正弦定理可知， 即  可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， ， 即（公里），所以所需时间为小时. 7．（23-24高一下·山东·阶段练习）如图，圆的半径为3，其中为圆上的两点. (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且.证明：为定值； (3)若的最小值为1，求的值. 【解析】（1）因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； （2）因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以为定值. （3）设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解三角形在几何问题中的应用 【题型归纳目录】 题型一：两角使用余弦定理 题型二：妙用两次正弦定理 题型三：中线问题 题型四：角平分线问题 题型五：高问题 题型六：外接圆与内切圆问题 题型七：四心问题 【知识点梳理】 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化. 【典型例题】 题型一：两角使用余弦定理 【例1】（22-23高一下·江苏盐城·期中）已知三角形ABC，， (1)若且AD为的平分线，D为BC上点，求的值. (2)若，，求AD的长 【变式1-1】（24-25高三上·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形中，，，，． (1)求四边形的周长； (2)求四边形的面积． 【变式1-2】（2025·湖南·模拟预测）为测量地形不规则的一个区域的径长，采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得到，为钝角，，，．    (1)求的值； (2)若测得，求待测径长． 题型二：妙用两次正弦定理 【例2】（23-24高一下·重庆长寿·阶段练习）已知，角、、的对边分别为、、，、均在线段上，为中线，为的平分线． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)若，求的取值范围． 【变式2-1】（2025·安徽马鞍山·三模）如图，在中，，D为AC边上一点且． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 【变式2-2】（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在梯形ABCD中，，． (1)求证：； (2)若，，求梯形ABCD的面积． 题型三：中线问题 【例3】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线、交于、两点． (1)请用、表示和； (2)设，，求的值； (3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围． 【变式3-1】（23-24高一下·云南德宏·期中）在中，角的对边分别为，若，且． (1)求角B的值； (2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【变式3-2】（23-24高一下·河北唐山·期末）在中，是边上的中线. (1)求的面积； (2)求中线的长. 题型四：角平分线问题 【例4】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若的平分线交于点D，求． 【变式4-1】（24-25高一下·安徽滁州·期中）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 题型五：高问题 【例5】（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的值及边上的高． 【变式5-1】（23-24高一下·山东临沂·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，边上的高为1，求的周长． 【变式5-2】（23-24高一下·北京·期末）在中，， (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①: b=8；条件②: ；条件③: AC边上的高BH=3. 题型六：外接圆与内切圆问题 【例6】（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，某景区有一块圆形水域，水域边上有三处景点A，B，C，景点之间有观景桥相连，已知AB，BC，AC长度分别为30m，50m，70m．    (1)求圆形水域面积； (2)为了充分利用水域，现进行景区改造，准备在优弧上新建景点D，修桥DC，DA与景点A，C相连，并准备在修建一块圆形观赏鱼饲养区，使其分别与桥AC，DC，DA相切，求圆形观赏鱼饲养区半径的最大值． 【变式6-1】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，四边形为圆的内接四边形，. (1)若，求； (2)若，且为等边三角形，求圆的面积. 【变式6-2】（23-24高一下·广东佛山·期中）如图所示，在圆内接四边形中，，，． (1)求及的面积； (2)若，求的长． 题型七：四心问题 【例7】如图，在△ABC中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线相交于点P． (1)的余弦值． (2)求四边形的面积. 【变式7-1】在中，内角，，所对的边分别为，，，若的外接圆的面积为，． (1)求； (2)是角的平分线，若，的重心为，求的长． 【变式7-2】的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答. ①为的内心；②为的外心；③为的重心. (1)求； (2)若，__________，求的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【强化训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）设的内角所对的边分别是且向量满足. (1)求A； (2)若，求BC边上的高. 2．（24-25高一下·河北·期中）已知的内角的对边分别为，且的周长为． (1)求； (2)若，，是的平分线，且交于点，求． 3．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长． 4．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． 5．（22-23高一下·北京·期中）在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)求边上的高． 6．（23-24高一下·上海·期中）如图，三地在以为圆心的圆形区域边界上，公里，公里，，是圆形区域外一景点，，． (1)半径的长（精确到小数点后两位）； (2)若一汽车从处出发，以每小时50公里的速度沿公路行驶到处，需要多少小时？（精确到小数点后两位） 7．（23-24高一下·山东·阶段练习）如图，圆的半径为3，其中为圆上的两点. (1)若，当为何值时，与垂直？ (2)若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且.证明：为定值； (3)若的最小值为1，求的值. 14 学科网（北京）股份有限公司 $$