黄金卷06（陕西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C B C D C 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 11． 12．67.5 13．/ 14． 15． 三、解答题：（本大题共8个小题，共81分.） 14.解：原式，（3分） ．（5分） 15.解：解： 由①得；（2分） 由②得；（2分） ∴不等式组的解集为，（5分） 16．解： （2分） ，（3分） ∵，0，（4分） ∴把代入得：原式．（5分） 17．如图所示， （5分） 18．解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，（1分） ∴，（2分） ∵，， ∴， ∴，（4分） ∴．（5分） 19．解（1）：如图所示，的位似三角形即为所求：   （2分） （2）：如图所示，即为所求：   （4分） 由图可得，， ．（5分） 20．（1）解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是；（1分） （2）解：画树状图，如图， （3分） 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种，（4分） ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是．（5分） 21．解：作交于点P，过点P作， ∵， ∴，（1分） ∴在中，米， ∴米，（3分） 在中，米，（4分） ∴米， ∴在中，米（6分） ∴离地面的高度为米． 答：离地面的高度为米． 22．（1）解：设，（1分） 把代入，得：，（2分） 解得：， ∴．（3分） （2）解：．（4分） 当时，即，解得；（5分） 当时，即，解得．（6分） ∴8时到 9 时，自西向东的车设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵．（7分） 23.（1）解：本次接受调查的学生人数为：（人）， ∴， ， ∴， 故答案为：15；34；（3分） （2）解：由条形图可知，随机调查的样本数据的众数是8，中位数为； 故答案为：8，8；（5分） （3）解：（人）， 即估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的人数为276人．（7分） 24.（1）证明：如图，连接、，则， ， 是的直径， ， ，（1分） ∵点是线段的中点， ， ，（2分） ， ， ，（3分） 是的半径，且， ∴直线是的切线．（4分） （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴，（5分） ∵， ∴，（6分） ∵，，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴，（7分） ∴， ∴， ∴， ∴的长是．（8分） 25.（1）解：设该抛物线表达式为．（1分） 将代入，得， 解得， ∴．（2分） （2）解：把代入可得：，（3分） 解得，， ∴，， ∴（米），（2分） ∴两个正方形“脚手架”的距离为1米． （3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时， 设正方形的边长为， 把代入，得，（5分） 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米．（6分） ②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时， 设正方形“脚手架”的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米．（7分） ③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长． ∵，，， ∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“㑢手架”的边长最大约为1.24米．（8分） 26.问题提出：解：如图1中， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，（2分） ， ∴， 故答案为：4；（3分） 问题解决： 如图，过点作，垂足为， ∵ ∴． ．（4分） ． ． ． ．（5分） ， ． ， ．（6分） 当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小．（7分） 过点作，垂足为． 设，则． ．（8分） ．（9分） 当时，取最大值4． 当面积最小时，的长为，此时面积为（10分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如果收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，将一块三角板的直角顶点放在直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（    ）． A． B． C． D． （第5题图） （第7题图） 6．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向下平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，是的直径，弦与相交于点，连接．若平分，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．关于的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．要使式子有意义，的取值范围是 ． 10．如图1是我国唯一一座没有红绿灯的城市，有“八卦城”之称的新疆伊犁特克斯．图2是该城市中心街道的示意图，其主体是一个正八边形，则 °． 11．在我国古代数学名著《九章算术》上，记载有这样一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”大意是：甲从长安出发，需五天时间到达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安．现在乙从齐出发两天后，甲才从长安出发，问甲出发几天后两人相遇？答：甲出发 天后两人相遇． 12．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 13．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点、分别在、上，若，则折痕的长为 ． 三、解答题：（本大题13个小题，共81分） 14．（5分）计算： 15．（5分）解不等式（组）：． 16．（5分）先化简，然后从四个数中选取一个适当的数作为的值再代入求值． 17．（5分）如图，在中，，请用尺规作图的方法，在的内部求作一点P，使得是等腰三角形，且． 18．（5分）如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 19．（5分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，为格点三角形    (1)以点为位似中心，在第四象限内作的位似三角形，使位似比为． (2)画出绕点按逆时针方向旋转所得的，并求的长为 ． 20．（5分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． (1)若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； (2)小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 21．（6分）如图1是古代的脚踏石碓，它主要用于舂（chōng）米，这种工具分为碓（duì）窝和踏椎两部分．碓窝是一块方形青石中间凿出的小圆窝，用于放置糙米或杂粮，踏椎（如图2中的折线）则是用木头制成，人站在踏椎的一端（如图2中的点E）用力踏动，踏椎便绕着支点（如图2中的点D）转动，当踏椎的一端（如图2中的点E）触及地面时，踏椎转至最高处（如图2中折线），此时松开脚，踏椎会砸向碓窝，使碓窝内的谷物分离出米糠和白米，其平面示意图如图2所示，已知支点D离地面的高度米，踏椎两部分垂直．且，米，若踏椎转到最高处时，的与地面的夹角，求此时点离地面的高度．（，，）       22．（7分）西安早高峰期间某路段经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，对该路段从6时至9时的交通量y（辆/分钟）进行了统计和分析，得到如下表格． 时间x（时） 6 7 8 9 自西向东交通量（辆/分钟） 180 240 300 360 自东向西交通量（辆/分钟） 210 180 150 120 已知，与x之间的函数关系式为． (1)求与x之间的函数关系式． (2)单位时间内交通总量， 当车流量大的方向的交通量不低于时，需要使用 “潮汐式”通行方式以改善交通情况，即根据汽车流量情况改变车道的行车方向，大流量  方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行．请说明该路段从6时至9时，应如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在什么时间段借用哪个方向机动车道通行）． 23．（7分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间（单位：小时），学校随机调查了该校九年级部分学生每天的睡眠时间作为样本，根据样本数据的统计结果，绘制出了如下的统计图1和图2． 解答下列问题． (1)图1中的值为______，图2中的值为______． (2)随机调查的样本数据的众数和中位数分别为______和______． (3)若该校九年级共有学生600人，根据样本数据，估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的人数． 24．（8分）如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 25．（8分）在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ (3)若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 26．（10分）问题提出 如图1，正方形边长为4，对角线相交于点，点、点分别在上，，则四边形的面积为___________． 问题解决 如图2，小明自己制作了一款玩具，在部分，，过点有一根平行于的伸缩杆（即），在边上有一个滑动点，在伸缩杆的长度变化的过程中，滑动点也随之滑动，且保持，其中部分填充红色液体，部分填充绿色液体，当红色液体的面积最小（面积最小）时求伸缩杆的长及此时的面积． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（每题3分，共24分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．如果收入元记作元，那么支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查的知识点是相反意义的量，解题关键是熟练掌握“相反意义的量的表示”． 根据正负数的含义，可得：收入记住“”，则支出记作“”，据此求解即可． 【详解】解：收入元记作元， 支出元记作元． 故选：． 2．我国有56个民族，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其概念，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据概念，数形结合分析即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 3．如图，，将一块三角板的直角顶点放在直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线性质． 解题关键点：利用平行线性质求角相等． 先求出，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，   ∴， ∵， ∴， ∴ 故选A． 4．实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、不等式的性质 【分析】本题考查了数轴上点表示有理数，根据数轴上的点确定式子的符号，不等式的性质，理解并掌握数轴的特点是解题的关键．根据数轴上点的特点得到，结合不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 5．如图，是的角平分线，，垂足为，若，则的长为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∴， 即有：， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形面积的应用，解此题的关键是求出长和面积． 6．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向下平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．根据一次函数的平移规律，得到平移后的解析式为，再根据平移后的图象过原点，求出，再把点代入一次函数求解即可． 【详解】解：将一次函数为常数的图象向下平移2个单位长度后得到，且经过原点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 故选：C． 7．如图，是的直径，弦与相交于点，连接．若平分，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆周角定理、求弧长 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线定义，三角形外角性质，弧长公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键， 连接，由圆周角定理得，，故有，又平分，则，所以，然后用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：． 8．关于的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系． 根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中 ∵， ∴函数图象开口向上． ∵选项D中图象开口向下，故该选项不符合题意； ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧， 选项B的对称轴在y轴左侧，故该选项不符合题意； 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 选项A的函数图象与轴无交点，故该选项不符合题意； 选项C的函数图象与轴有两个交点，故该选项符合题意； 故选：C． 二、填空题：（每小题3分，共15分.） 9．要使式子有意义，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：式子有意义， ， 解得：． 故答案为：． 10．如图1是我国唯一一座没有红绿灯的城市，有“八卦城”之称的新疆伊犁特克斯．图2是该城市中心街道的示意图，其主体是一个正八边形，则 °． 【答案】67.5 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查正多边形的内角问题，利用正n多边形的一个内角等于求得正八边形的一个内角即可求解． 【详解】解：正八边形的一个内角为， ∴， 故答案为：67.5． 11．在我国古代数学名著《九章算术》上，记载有这样一道题：“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”大意是：甲从长安出发，需五天时间到达齐；乙从齐出发，需七天时间到达长安．现在乙从齐出发两天后，甲才从长安出发，问甲出发几天后两人相遇？答：甲出发 天后两人相遇． 【答案】/ 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．将总路程看作1，设甲出发x天后两人相遇，根据题意列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲出发x天后两人相遇 依题意得， 解得， 答：甲出发天后两人相遇． 故答案为：． 12．已知点都在反比例函数（a为常数）的图象上，且，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在一、三象限，再利用图象法可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在一、三象限， 如图所示，当时，， 即 故答案为：． 13．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点、分别在、上，若，则折痕的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求线段长、折叠问题 【分析】过点于点，过点作的延长线于点，根据含30度角的直角三角形可得，，由折叠的性质可知，，，，由四边形内角和推出，从而得到，，求出，再根据30度角的直角三角形，得到，，最后证明出是等腰直角三角形，即可求出折痕的长． 【详解】解：如图，过点于点，过点作的延长线于点， 四边形是菱形， ， ， ， ，， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，正确作辅助线构造直角三角形是解题关键． 三、解答题：（本大题13个小题，共81分） 14．（5分）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算、整数指数幂的运算的混合运算 【分析】本题考查的知识点是求一个数的绝对值、求一个数的立方根、整数指数幂、实数的混合运算，解题关键是熟练掌握相关知识点． 先根据求一个数的绝对值、求一个数的立方根、整数指数幂计算，再结合实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式， ． 15．（5分）解不等式（组）：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组、求不等式组的整数解，正确求得不等式组的解集是解答的关键．先求得每个不等式的解集，再求得其公共部分即可得不等式的解集，进而可求解． 【详解】解： 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为， 16．（5分）先化简，然后从四个数中选取一个适当的数作为的值再代入求值． 【答案】， 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，0， ∴把代入得：原式． 17．（5分）如图，在中，，请用尺规作图的方法，在的内部求作一点P，使得是等腰三角形，且． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质．根据题意先作的角平分线，再作线段的垂直平分线，交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所作． ． 18．（5分）如图，在平行四边形中，、分别垂直于对角线的延长线，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是证明出，即可求解． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（5分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，为格点三角形    (1)以点为位似中心，在第四象限内作的位似三角形，使位似比为． (2)画出绕点按逆时针方向旋转所得的，并求的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】在坐标系中画位似图形、画旋转图形、求弧长 【分析】本题考查了画位似图形、画旋转图形、弧长公式，根据题意正确作图是解题的关键． （1）分别延长、至、，使得，再连接得到，则的位似三角形即为所求； （2）将绕点按逆时针方向旋转得到，利用勾股定理求出的长，再利用弧长公式求出的长即可解答． 【详解】（1）：如图所示，的位似三角形即为所求：    （2）：如图所示，即为所求：    由图可得，， ． 20．（5分）百度推出了“文心一言”聊天机器人（简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（简称乙款），在（简称丙款）推出后更引发了广泛关注．现有甲、乙、丙三款聊天机器人． (1)若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是________； (2)小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择其中一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择其中一款进行体验测评．求两人选择的聊天机器人互不相同的概率． 【答案】(1)抽到丙款的概率是 (2)两人选择的聊天机器人互不相同的概率是 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先用树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择的聊天机器人互不相同的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵有甲、乙、丙三款聊天机器人， ∴随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是； （2）解：画树状图，如图， 共有6种等可能的结果数，其中两人选择的聊天机器人互不相同的有4种， ∴两人选择的聊天机器人互不相同的概率是． 21．（6分）如图1是古代的脚踏石碓，它主要用于舂（chōng）米，这种工具分为碓（duì）窝和踏椎两部分．碓窝是一块方形青石中间凿出的小圆窝，用于放置糙米或杂粮，踏椎（如图2中的折线）则是用木头制成，人站在踏椎的一端（如图2中的点E）用力踏动，踏椎便绕着支点（如图2中的点D）转动，当踏椎的一端（如图2中的点E）触及地面时，踏椎转至最高处（如图2中折线），此时松开脚，踏椎会砸向碓窝，使碓窝内的谷物分离出米糠和白米，其平面示意图如图2所示，已知支点D离地面的高度米，踏椎两部分垂直．且，米，若踏椎转到最高处时，的与地面的夹角，求此时点离地面的高度．（，，）       【答案】离地面的高度为米． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．本题作交于点P，过点P作，而后在中，求出，再中，求出，进而在中，，即离地面的高度． 【详解】解：作交于点P，过点P作， ∵， ∴， ∴在中，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴在中，米 ∴离地面的高度为米． 答：离地面的高度为米． 22．（7分）西安早高峰期间某路段经常拥堵，交警部门为了缓解交通压力，对该路段从6时至9时的交通量y（辆/分钟）进行了统计和分析，得到如下表格． 时间x（时） 6 7 8 9 自西向东交通量（辆/分钟） 180 240 300 360 自东向西交通量（辆/分钟） 210 180 150 120 已知，与x之间的函数关系式为． (1)求与x之间的函数关系式． (2)单位时间内交通总量， 当车流量大的方向的交通量不低于时，需要使用 “潮汐式”通行方式以改善交通情况，即根据汽车流量情况改变车道的行车方向，大流量  方向的汽车可在该路段借用相邻的对向机动车道通行．请说明该路段从6时至9时，应如何设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵（在什么时间段借用哪个方向机动车道通行）． 【答案】(1) (2)8时到 9 时，自西向东的车可借用自东向西的车道通行 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的范围，进行分析即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， 解得：， ∴． （2）解：． 当时，即，解得； 当时，即，解得． ∴8时到 9 时，自西向东的车设置“潮汐式”通行方式以缓解交通拥堵． 23．（7分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间（单位：小时），学校随机调查了该校九年级部分学生每天的睡眠时间作为样本，根据样本数据的统计结果，绘制出了如下的统计图1和图2． 解答下列问题． (1)图1中的值为______，图2中的值为______． (2)随机调查的样本数据的众数和中位数分别为______和______． (3)若该校九年级共有学生600人，根据样本数据，估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的人数． 【答案】(1)15；34 (2)； (3)276人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、求中位数、求众数 【分析】本题考查条形图，扇形图，众数，中位数和用样本估计总体． （1）根据6小时的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查的学生人数，然后即可计算出和的值； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用600乘以每天的睡眠时间不少于9小时的人数占的百分比即可． 【详解】（1）解：本次接受调查的学生人数为：（人）， ∴， ， ∴， 故答案为：15；34； （2）解：由条形图可知，随机调查的样本数据的众数是8，中位数为； 故答案为：8，8； （3）解：（人）， 即估计该校九年级学生每天的睡眠时间不少于9小时的人数为276人． 24．（8分）如图，在中，，以为直径的交于点，点是线段的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接、，则，由等边对等角得到，由直径可得，再结合斜边中点，得到，从而得出，求出，即可证明结论； （2）连接，利用角的正切值，得出，，从而得出，，证明是的中位线，得到，，再证明，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接、，则， ， 是的直径， ， ， ∵点是线段的中点， ， ， ， ， ， 是的半径，且， ∴直线是的切线．； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，圆的切线的判定，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线是解题关键． 25．（8分）在某一风景如画的景区内，横跨着一座优雅的拱桥，其横截面顶部轮廓宛若一条流畅的抛物线，展现了拱桥独特的建筑美学与力学之魅．我们以桥的一端作为起点，标记为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示．已知在距离原点恰好4米的位置，桥拱攀升至其最高点，距离地面2米． (1)求该抛物线的表达式． (2)若工人师傅在桥下放置两个同样大小的正方形“脚手架”（正方形和正方形），如图2所示，其中点、点恰好在抛物线上．已知边长为1.5米，则两个正方形“脚手架”的距离（的长）为多少？ (3)若工人师傅想在拱桥下摆放4个同样大小的正方形“脚手架”，则这个“脚手架”的边长最大为多少？（结果精确至0.01米，参考数据：，） 【答案】(1) (2)1米 (3)1.24米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）设该抛物线表达式为，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入可得，解方程得出，，由此即可得解； （3）分三种情况，分别画出四个正方形“脚手架”不同的摆放方式，分别求解并比较即可． 【详解】（1）解：设该抛物线表达式为． 将代入，得， 解得， ∴． （2）解：把代入可得：， 解得，， ∴，， ∴（米）， ∴两个正方形“脚手架”的距离为1米． （3）解：①当四个正方形“脚手架”如图1所示放置时， 设正方形的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ②当四个正方形“脚手架”如图2所示放置时， 设正方形“脚手架”的边长为， 把代入，得， 解得（负值舍去）， ∴正方形“脚手架”的边长为米． ③当四个正方形“脚手架”如图3所示放置时，由图形可得其边长明显小于图2中正方形“脚手架”的边长． ∵，，， ∴在拱桥下摆放个同样大小的正方形“脚手架”，正方形“㑢手架”的边长最大约为1.24米． 26．（10分）问题提出 如图1，正方形边长为4，对角线相交于点，点、点分别在上，，则四边形的面积为___________． 问题解决 如图2，小明自己制作了一款玩具，在部分，，过点有一根平行于的伸缩杆（即），在边上有一个滑动点，在伸缩杆的长度变化的过程中，滑动点也随之滑动，且保持，其中部分填充红色液体，部分填充绿色液体，当红色液体的面积最小（面积最小）时求伸缩杆的长及此时的面积． 【答案】问题提出：4；问题解决：的长为，面积为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、正方形性质理解 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； 问题提出：如图1中，证明即可解决问题； 问题解决：过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，根据，得，根据，得出则当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小．设，进而求得关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】问题提出：解：如图1中， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：4； 问题解决： 如图，过点作，垂足为， ∵ ∴． ． ． ． ． ． ， ． ， ． 当面积最大时，面积最小即红色液体面积最小． 过点作，垂足为． 设，则． ． ． 当时，取最大值4． 当面积最小时，的长为，此时面积为 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$