精品解析：北京市广渠门中学2024一2025学年下学期期中考试八年级数学试题

北京市广渠门中学2024－2025学年度第一学期期中试题 初二年级数学学科 时间：100分钟 本试卷共4页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，2 C. 6，8，10 D. 1， 3. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A. B. C. D. 6. 如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（ ） A. B. C. D. 7. 把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 8. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 9. 如图，一次函数图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 关于x，y的方程组的解是 B. 方程的解是 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 10. 正方形的边长为，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形是正方形． 正确的结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）． 13. 比较大小：________（填“”“”或“”）． 14. 将直线向上平移3个单位可得直线．将直线向______（填“左”或“右”）平移______个单位所得直线的解析式为． 15. 图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 16. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，则的长为________． 17. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______米． 18. 台风影响着人们的生产和生活．人们为研究台风，将研究条件进行一定的合理简化，把近地面风速画在一个以台风中心为原点，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中，并在图中标注了该台风的级、级和7级风圈半径，如级风圈半径是指近地面风速衰减至时，离台风中心的距离约为．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ） A. 越靠近台风中心位置，风速越大 B. 距台风中心处，风速达到最大值 C. 级风圈半径约 D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减 三、解答题 19. 计算： 20. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形是平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 21. 如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 22. 已知一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）若直线与x轴交于点C，点P为直线的点，且的面积为2，求点P的坐标． 23. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． （1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 已知一次函数（k为常数，）和． （1）当k＝－2时，若，求x的取值范围； （2）当x>－1时，对于x的每一个值，一次函数（k为常数，）的值大于一次函数的值，结合图像，直接写出k的取值范围． 26. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题． 探究的几何意义 如图①，设点M的坐标为，过M作轴于点P，作轴于点Q，则，则．因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 探究几何意义． 如图②，在直角坐标系中，设点的坐标为，，将线段先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段，此时点A的坐标为，点B的坐标为，因为，所以，因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 回答以下问题： （1）的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点F________（填写坐标）的距离之和． （2）的最小值为________（直接写出结果）． （3）已知， 求证：．并求使等号成立的条件． 27. 在正方形中，E是边上一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； （2），是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2024－2025学年度第一学期期中试题 初二年级数学学科 时间：100分钟 本试卷共4页，100分．考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、=，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. ，2 C. 6，8，10 D. 1， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、由于22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C、由于，能构成直角三角形，故本选项正确； D、由于，不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，然后根据邻补角求出结果即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误； B、不能合并，选项错误； C、，选项错误； D、，选项正确； 故选D． 5. 如图，数轴上点A所表示的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，正确计算的长度是解题的关键． 如图可得：，由勾股定理可得，则，进而求得即可解答． 【详解】解：如图：， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 6. 如果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据题意得，一次函数图象经过一、二、三象限，进而可求解，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：果一次函数的图象经过第三象限，且与y轴正半轴相交， ∴， 故选：A． 7. 把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是（ ） A. 32 B. 20 C. 16 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理全等三角形的判定与性质等知识，根据题意得出的长是解题关键，根据折叠的性质知：，可设为， 用表示出和的长，进而在中求出的值， 即可得到的长，进而可求出和梯形的面积，两者的面积差即为所求的的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，， ， ， 由勾股定理得： 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 故选：D． 8. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　） A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④ 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意． 故选B． 9. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 关于x，y的方程组的解是 B. 方程的解是 C. 方程的解是 D. 不等式的解集是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，逐一判断即可求解，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：A、两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是，则正确，故符合题意； B、一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是，则错误，故不符合题意； C、两直线的交点坐标为， 方程的解是，则错误，故不符合题意； D、两直线的交点坐标为， 不等式的解集是，则错误，故不符合题意； 故选A． 10. 正方形的边长为，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面四个结论中， ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是菱形； ③存在无数个四边形是矩形； ④至少存在一个四边形正方形． 正确的结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：①设正方形的对角线相交于点，若的中点恰好是点，则经过点任意一直线，分别与正方形的边，交于点，，通过正方形的性质对称性易得，则四边形是平行四边形，由于的任意性，则存在无数个四边形是平行四边形，故①正确； ②过的中点作垂线，分别与正方形的相邻两边交于，，根据正方形的对称性可得，，则四边形是菱形，由于的任意性，则存在无数个四边形是菱形； ③如图，正方形中，作线段的垂直平分线交于点，交于点， ∵，且当点M与A或者C重合时，四边形是正方形，也是矩形，存在个矩形 ∴不存在无数多个矩形，故③说法错误． ④由②知存在菱形，故只需满足时，则四边形时正方形，此时与点重合即可，故存在至少存在一个四边形是正方形； 故正确的结论序号是①②④，共3个． 故选：C． 二、填空题 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 12. 命题“如果，那么”的逆命题是________命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假，二次根式的性质，先写出逆命题，再判断真假即可，熟练掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， ∵， ∴， ∴， ∴逆命题是假命题， 故答案为：假． 13. 比较大小：________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，根据二次根式的大小比较方法进行判断即可，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14. 将直线向上平移3个单位可得直线．将直线向______（填“左”或“右”）平移______个单位所得直线的解析式为． 【答案】 ①. 右 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移．设将直线向右平移m个单位所得直线的解析式为，再根据题意得到，据此计算即可求解． 【详解】解：设将直线向右平移m个单位所得直线的解析式为， 整理得， ∵平移后的解析式为， ∴， 解得， 将直线向右平移3个单位所得直线的解析式为， 故答案为：右；3． 15. 图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图，为的中位线，点F在上，且，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质、线段的和与差等知识，根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵为的中位线， ∴， 在中，是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______米． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，将图形进行标注，利用勾股定理算出，再利用勾股定理算出，根据计算求解，即可解题． 【详解】解：根据上图，进行如下标注： 由题知，，，，，， ， 梯子长度不变， ， ， ， 故答案为：． 18. 台风影响着人们的生产和生活．人们为研究台风，将研究条件进行一定的合理简化，把近地面风速画在一个以台风中心为原点，以台风半径为横轴，风速为纵轴的坐标系中，并在图中标注了该台风的级、级和7级风圈半径，如级风圈半径是指近地面风速衰减至时，离台风中心的距离约为．那么以下关于这场台风的说法中，正确的是（ ） A. 越靠近台风中心位置，风速越大 B. 距台风中心处，风速达到最大值 C. 级风圈半径约为 D. 在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项A说法错误，不符合题意；距台风中心处，风速没有达到最大值，选项B说法错误，不符合题意；级风圈半径不是，选项C说法错误，不符合题意；在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项D说法正确，符合题意；综上，即可得． 【详解】解：A、根据所给直角坐标系，不能判断越靠近台风中心位置，风速越大，选项说法错误，不符合题意； B、距台风中心处，风速没有达到最大值，选项说法错误，不符合题意； C、级风圈半径不是，选项说法错误，不符合题意； D、在某个台风半径达到最大风速之后，随台风半径的增大，风速又逐渐衰减，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了从所给坐标系中获取相关的信息，解题的关键是理解题意，能够从所给坐标系中获取相关的信息． 三、解答题 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 首先计算二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简，然后合并即可． 【详解】 ． 20. 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程． 已知：四边形平行四边形． 求作：菱形（点在上，点在上）． 作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点； ②以为圆心，长为半径作弧，交于点； ③连接． 所以四边形为所求作的菱形． （1）根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明； 证明：，， 　　　　． 在中，， 即， 四边形为平行四边形　　（填推理的依据）， ， 四边形为菱形　　（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作图见解答过程； （2），，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形． 小问1详解】 四边形为所求作的菱形． 【小问2详解】 ，， ， 在中，． 即． 四边形为平行四边形（一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）． ， 四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：，，一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 21. 如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. 已知一次函数的图象经过点和． （1）求该一次函数的解析式； （2）若直线与x轴交于点C，点P为直线的点，且的面积为2，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，求出，设，则，根据，求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点和点． ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 23. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． （1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】（1）， （2）圆形团扇所用的包边长度更短 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； 【小问2详解】 解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴， ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 24. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，且，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）证明，，，可得，求解，可得，结合，再求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得：∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 25. 已知一次函数（k为常数，）和． （1）当k＝－2时，若，求x的取值范围； （2）当x>－1时，对于x的每一个值，一次函数（k为常数，）的值大于一次函数的值，结合图像，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可； （2）计算出对应的y2的函数值，然后根据x＞﹣1时，一次函数（k为常数，k≠0）的图像在直线的上方确定k的范围． 【小问1详解】 解：当k＝－2时，． ∴， ∴－2x＋2>x－3． 解得． 【小问2详解】 解：当时，， 把代入得， 解得， 由图像可知当时，y1＞y2； 故k的范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围，掌握一次函数与一元一次不等式的关系式解题的关键． 26. 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题． 探究的几何意义 如图①，设点M的坐标为，过M作轴于点P，作轴于点Q，则，则．因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 探究的几何意义． 如图②，在直角坐标系中，设点的坐标为，，将线段先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段，此时点A的坐标为，点B的坐标为，因为，所以，因此的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 回答以下问题： （1）的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点F________（填写坐标）的距离之和． （2）的最小值为________（直接写出结果）． （3）已知， 求证：．并求使等号成立的条件． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析，当时，等号成立． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，两点间距离公式的应用，三角形三边关系等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意和（1）可知，当点位于线段之间时，此时，取最小值，求解即可； （3）设，则，， ，，根据三角形的三边关系可得，，进而得到，并得出当时，等号成立． 【小问1详解】 解：由题意可知，的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知的几何意义可以理解为点与点的距离和点与点的距离之和， 当位于直线外时，此时点三点组成， ∴由三角形三边关系可知：， 当点位于线段之间时，此时， ∴的最小值为线段的长度， ∵ ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：设，如图，则，， ，， 根据三角形的三边关系可得，， ， ∴当且仅当点为正方形的对角线与的交点时取等号， 即时，． 27. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． 【小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，对于线段a，给出如下定义：直线：经过线段a的一个端点，直线：经过线段a的另一个端点．若直线与交于点P，且点P不在线段a上，则称点P为线段a的“双线关联点”． （1）如图，线段a的两个端点分别为和，则在点，，中，线段a的“双线关联点”是　　　　　； （2），是直线上的两个动点． ①点P是线段的“双线关联点”，且点P的纵坐标为4，求点P的横坐标； ②正方形的四个顶点的坐标分别为、、、，其中，当点A，B在直线上运动时，不断产生线段的“双线关联点”，若所有线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①点P的横坐标为或；② 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）分类讨论：若直线经过点，直线经过点，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点，同上可求点是线段a的“双线关联点”； （2）①：将点A、B代入得，，则，当直线经过点，直线经过点时，求得直线：，直线：，联立得：，解得：，故，解得：，因此；当直线经过点，直线经过点时，同上可求，综上所述，点P的横坐标为或； ②：设线段的“双线关联点”为M，N，则，由①得：，消去m可得：，则点M在直线上运动，同理可求点N在直线上运动，将问题转化为正方形与直线和直线恰有2个交点，当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，随着t增大，当点E落在直线上， 则，解得：，当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，因此满足2个交点，则，当时，此时有4个交点，不符合题意， 综上所述：． 【小问1详解】 解：若直线经过点，直线经过点， 则代入得：， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”； 若直线经过点，直线经过点， 则同理可求：直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴点是线段a的“双线关联点”， 故答案：，； 【小问2详解】 解：①将点A、B代入得，， ∴， 当直线经过点，直线经过点时， 则代入得：，， 解得：，， ∴直线：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴； 当直线经过点，直线经过点时， 同上可求：：，直线：， 联立得：， 解得：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，点P的横坐标为或； ②设线段的“双线关联点”为M，N，则， 由①得：， 消去m可得：， ∴点M在直线p：上运动， 同理可求点N在直线l：上运动， ∵线段的“双线关联点”中，恰有两个点在正方形上， ∴正方形与直线和直线恰有2个交点， 当且t很小时，此时正方形与两条直线无交点，不符合题意，如图： 随着t增大，当点E落在直线上，此时1个交点，不符合题意，如图： 则，解得：， 当t继续增大，此时，则直线与正方形有2个交点，符合题意，如图： 当t继续增大，直至点落在直线，则，解得，此时有3个交点，不符合题意，如图： ∴满足2个交点，则， 当时，此时有4个交点，不符合题意，如图： 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $