第1章 微专题1 等腰三角形中的分类讨论-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

数学·八年级下册（北师大版） 微专题1等腰三角形中的分类讨论 类型】已知等腰三角形中一个角求其余两角 时，应将已知角分为顶角与底角两种情况讨论， 例1等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个【举一反三】等腰三角形的一个内角为100°，求另 内角的度数 外两个内角的度数 类型2已知等腰三角形中两条边的长度时，应 将已知两边分别作为腰两种情况讨论 例2已知等腰三角形两边的长分别为6和8，求【举一反三】已知等腰三角形两边的长分别为3 此等腰三角形的周长， 和7，求此等腰三角形的周长 ●》10 第一章三角形的证明 类型3在解决等腰三角形存在性问题时，没有 【举一反三】如图所示的正方形网格中，网格线的 明确谁是腰时，分三种情况讨论 交点称为格点，已知A,B是两格点，如果C也是 例3如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点 y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点C的个数是 ( P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的PA.6 B.7 C.8 D.9 点一共有个 B 类型4已知等腰三角形分为锐角三角形，直角【举一反三】如果等腰三角形一腰上的高与另 三角形和钝角三角形讨论 腰的夹角为45°，求这个等腰三角形的底角度数 例4等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 20°，求顶角的度数. ●》11《e参考答案 般正文答案行 第3课时 等腰三角形(3) 知识储备 1.(2)两个角 角 第一章 三角形的证明 2.结论 相矛盾 成立 第1课时 等腰三角形(1) 核心讲解 例1A 知识储备 1.(1)对应边 对应角 (2)SAS ASA AAS 例2 证明:如答图,.DE/AC, .1-3. 2.相等 腰 底 顶角 底角 .AD平分BAC, 3.顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线 ·1-乙2..乙2-乙3. 核心讲解 .AD1BD, 例1C 变1 D 例2 23或19 变2 C '2+ B=90°,3+ BDE=90° 例3 解::AB-AC,AD1BC, . B- BDE, 答图 .AD平分乙BAC. '.△BDE是等腰三角形. ' BAD- BAC-60{ 变1C例3 这五个正数都小于1 变2B 变3 证明::BE-CE,1=2,3- 4 '.△ABE△ACE(AAS)...AB-AC. 课堂过关 又:3- 4.'APBC 1. A- C(或 BA-BC) 2. 28 cm 3. D 4.A 5. B 6. B 课堂过关 7.证明:过点C作CF/AP,交BP的延长线 1.B 2.A 3.C 4.C 于点F,如答图所示, '. DPA= DFC, DAP= DCF, 5.证明::AB-AC. :AD-DC...△DPA△DFC(AAS). AB-AC. . B= C,在△ABD和△ACE中,B=C, ..PA-FC, PA-BC..$CB-CF.. FBC=F. BD-CE, .CF/AP.. BPE= F. '△ABD△ACE(SAS).'.AD-AE. .. /FBC=/BPE...PE=BE 答图 (2)19* 6.4 第4课时 等腰三角形(4) 第2课时 等腰三角形(2) 知识储备 1.(3)60* 知识储备 2.一半 核心讲解 1.相等 相等 相等 2.三条边 60* 三对称轴 例1A 变1D 3.相等 例2 核心讲解 证明:.HB-HC... HBC= HCB. :CF 1 AB,BE1 AC. BFC- BEC-90{. 例1 D 例2 C 解::DB-DE.. E- DBE '. ABC+ BCH=90*,ACB+ CBH=90”$$ 例3 .△ABC是等边三角形. .乙ABC-ACB..AB-AC. :乙A-60*, '. /ACB- /ABC=60{* .△ABC是等边三角形,BD是高. '.△ABC是等边三角形. '. DBC-30*.. E= DBE-30” 例3 D 变2 B . BBDE-180*- DBE- E=120”。 课堂过关 变1 证明::△ABC为等边三角形, 1.C 2.C 3.A 4.C '.BAE- C-60”,AB-CA, 5.(1)证明:·.△ABC为等边三角形, AE-CD. '. BAC- C-60*,AB-AC$ 在△ABE和△CAD中, BAE-C=60* 又'AE-CD...ABECAD(SAS) 1AB-CA, ..BE-AD: .△ABF△CAD(SAS). (2)解::△ABE△CAD,.ABP-CAD, 课堂过关 '. BPQ= ABP十 $BAP= CAD+ $BAP=$ 1.D 乙BAC-60*, 2.(1)60” ·BQAD... PBQ=30{. (2)证明:由(1)知 BFD-60*$. BFC-120*. ·PQ=3..'BP-2PQ-6, 又:FG-FB, 又.PE-1..$BE-BP+PE-6+1-7, . BGF- GBF-180-60”-60’-乙BFG, *.AD-BE-7. 2 故答案为:7. '.△BFG是等边三角形,..BF-BG. 6.D . ABC- FBG-60*。' CBF= AB$G. 微专题1 等腰三角形中的分类讨论 又:BC-AB,BF-BG...△CBF△ABG(SAS). 例1 解:①当70{的内角为这个等腰三角形的顶角,则另外两 '. AGB= CFB=120”,AG=CF$ 个内角均为底角,它们的度数为180”-70”-5”; ' BGF-60”$. AGF=60{*, 2 . AGF- BFG-60{$ ②当70{的内角为这个等腰三角形的底角,则另两个内角 '.AG/BE. 一个为底角,一个为顶角,底角为70{},顶角为180{}-70 3.120*34.110{或70 -70{-40*. 数学八年级下册(北师大版) 综上,另外两个内角的度数分别是55^{},55{或70{,40{。 ·.将△BCD沿BD折叠,使点C恰好落在AB上的点E处, 举一反三 解:100{的内角只能为这个等腰三角形的顶角; 'BE-BC-3 cm.DF=DC. BFD= C-90$. 则另外两个内角均为底角. 'AF-AB-BE-2cm, 它们的度数为180”-100”-40”. *设AD-x,则CD-DE-4-x. 2 '在Rt△ADE中,AD-AF+DE. 例2 解:①当底边是6,腰长是8时,8十86,能构成三角形, 即-2+(4-x). 则其周长-6+8+8-22. .解得1-..AD_- ②当底边是8,腰长是6时,6十6 8,能构成三角形,则 其周长-8+6+6-20. 例3 解:(1)15 举一反三 解:①当腰是3,底边是7时; (2)在等边△ABC中, 3+3 7,不满足三角形的三边关系,因此舍去 '.AB-BC-CA. A-60*. ②当底边是3,腰长是7时, 如答图1.设点M,N运动x秒后,△AMN为等边三角形. 7+7>3,能构成三角形,则其周长=3十7十7-17 例3 6 举一反三 B .AN-AM. 例4 解:此题需要分情况讨论:等腰角形的顶角是钝角,等腰 由运动知,AN-15-2x,AM-x. .15-2x-x,解得x-5. 三角形的顶角是锐角. .点M,N运动5秒后,△AMN是 等边三角形; (3)存在,M,N运动的时间为20 秒,理由如下: 如答图2,设M,N运动y秒后,得 答图1 C 到以MN为底边的等腰三角形AMN. 答图1 答图2 '.AM-AN.:. ANM- AMN. 如答图1, ACB- D+ DAC-90*+20*-110*; .△ABC是等边三角形, 如答图2,乙ABD-20”,故顶角 A-90”- ABD-90 *AC=AB. C- B-60” -20-70*。 '.△ACN△ABM(AAS). 举一反三 解:①如答图1,当该等腰三角形为锐角三角形时; .CN-BM. 由题意可知 ABD-45”,BDC-90”, .CM-BN. ' A- BDC- ABD=45*, 由运动知,CM-y-15,BN- 15×3-2y. 答图2 . ABC- C-(180*- A)-67.5”; '.y-15-15×3-2y..y-20. 故点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为20秒. 举一反三 解:(1)线段BC的中点 6 (2)当点M,N在BC边上运动时,可以得到以MN为底边的等 腰三角形, *( 答图1 答图2 由(1)知6秒时M,N两点重合,恰好在C处. ②如答图2,当该等腰三角形为钝角三角形时, 如答图,假设△AMN是等腰三角形, 由题意可知 ABD-45{, D-90{。 设M,N运动:秒时,得到以MN为底的等 * A- D+ ABD-135*, 腰△AMN. .AN-AM,CM-t-6.BN-18-2t . ABC- C=(180*-A)=22.5”。 '.AMN- ANM, :.AMC-乙ANB, 综上可知,这个等腰三角形的底角度数为67.5或22.5 答图 微专题2 等腰三角形中的方程思想 “△ACB是等边三角形...C-B,AB-AC. 例1 解:'.AD-DE-EB, '△ACM△ABN(AAS)...CM-BN. *设乙BDE-乙ABD-文, .t-6-18-2t. ./AFD-A-2x. 解得1-8,符合题意 .BD-BC,AB-AC. 所以假设成立,当M,N运动8秒时,能得到以MN为底的等腰 . /BDC-/C-/ABC-3x. 三角形. 在△ABC中,3x+3x+2x-180*. (3)或15或12或9 解得x-22.5*. 第5课时 · A-2x-22.5*X2-45°. 直角三角形(1) 例2 解:.:AB-10,AC-8,BC-6, 知识储备 1.(1互余 'AC+BC=8+6-10-AB, (2)a+-{} 2.(1)直角 '.△ABC是直角三角形,且/C-90{。 (2)直角 3.互逆 逆 互逆 逆 “.DE垂直平分AB...AD-BD, 核心讲解 例1C 设CD-r,则AD-BD-8-x, 变1 A 例2 D 变2 D 例3 B 变3 A 在Rt△BCD中,(8-x)-6+. 例4A 课堂过关 1.A 2.A 3.5 4.如果v 6,那么ab 5.4 举一反三 解:.C=90*,AB=5cm,BC=3cm. 6.解:(1)由题意得:BE-2t, .AC-AB-BC-4cm.