第1章 三角形的证明（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第1章 三角形的证明（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝2∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝25，b＝7，c＝24 D．，， 2．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 3．（3分）如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线AC的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）在△ABC中，①若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形；②若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形；③若a：b：c＝1：．则△ABC是直角三角形；④若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形． 其中错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝8，EFBG，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 6．（3分）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为10.5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为36cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为22.5cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．20cm B．18cm C．12cm D．30cm 7．（3分）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　） A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115° 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　） A．32° B．64° C．77° D．87° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 　 　cm． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为　 　． 11．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　 　cm． 12．（3分）如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则FG的长度为 　 　． 13．（3分）如图，已知等边三角形△ABC，过点A作射线AD∥BC，在射线AD上取点P，连接PB，PC，则的最大值为 　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形． 15．（7分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 16．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且∠ABC＝90°，连接AC． （1）求AC的长度； （2）试判断三角形ACD的形状． 18．（9分）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 19．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　 　． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 20．（12分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形的证明（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）若△ABC的三边分别是a，b，c，则下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝2∠B＝2∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝25，b＝7，c＝24 D．，， 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵∠A＝2∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意； C、∵a＝25，b＝7，c＝24， ∴c2+b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，不符合题意； D、∵a，b，c， ∴c2+b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°，不符合题意； 故选：B． 2．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则此等腰三角形的周长为（　　） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论． 【详解】解：根据题意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， ①当a＝2是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形， 周长为：2+2+3＝7． ②当b＝3是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形， 周长为：3+3+2＝8． 所以等腰三角形的周长7或8． 故选：A． 3．（3分）如图在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为2，则B到直线AC的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC，由正方形面积减去三个直角三角形面积求出三角形ABC面积，利用面积法求出AC边上的高即可． 【详解】解：如图，BD为AB边上的高， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故选：B． 4．（3分）在△ABC中，①若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形；②若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形；③若a：b：c＝1：．则△ABC是直角三角形；④若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形． 其中错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①④，根据勾股定理的逆定理即可判断②③． 【详解】解：∵∠B＝∠C﹣∠A， ∴∠A+∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故①正确； ∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a2＝b2﹣c2， ∴a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形，故②正确； ∵a：b：c＝1：， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故③正确； ∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C＝180°75°＜90°， ∴△ABC不是直角三角形，故④错误； 即错误的个数是1， 故选：A． 5．（3分）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DF．若S正方形ABCD＝8，EFBG，则DF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【分析】由全等三角形的性质得到BG＝AF，进而证明，则DE垂直平分线AF，可得DF＝AD，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，AF＝BG， ∵， ∴， 又∵AF⊥DE， ∴DE垂直平分线AF， ∴AD＝DF， ∵S正方形ABCD＝8， ∴， 故选：D． 6．（3分）某小组开展了关于笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为10.5cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为36cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（点D是点B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为22.5cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　） A．20cm B．18cm C．12cm D．30cm 【分析】根据题意得∠ACB＝∠AED＝90°，AB＝AD，由勾股定理求出AB的长，再由勾股定理即可求出AE的长． 【详解】解：由题意得：∠ACB＝∠AED＝90°，AB＝AD， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB37.5（cm）， ∴AD＝AB＝37.5cm， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE30（cm）， 故选：D． 7．（3分）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（　　） A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115° 【分析】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为8． 【详解】解：由角平分线定义可知∠DBI＝∠CBI， 由平行线可知∠DIB＝∠IBC， ∴∠DIB＝∠DBI， ∴BD＝DI． 同理，CE＝EI． ∴△DBI和△EIC是等腰三角形； ∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8； ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∴∠IBC+∠ICB＝65°， ∴∠BIC＝115°， 故选项A，C，D正确， 故选：B． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD、CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　） A．32° B．64° C．77° D．87° 【分析】如图，取CF的中点T，连接DT，AT．想办法证明AC＝AF，推出∠CFA＝45°即可解决问题． 【详解】解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT． ∵∠BAC＝90°，FD⊥BC， ∴∠CAF＝∠CDF＝90°， ∴AT＝DTCF， ∴TD＝TC＝TA， ∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD， ∵∠ADB＝45°， ∴∠ADT+∠TDC＝135°， ∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°， ∴AT⊥CF， ∵CT＝TF， ∴AC＝AF， ∴∠AFC＝45°， ∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°， ∵∠BDF＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°， 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 　130　cm． 【分析】首先画出A到B的最短路径的展开图，然后利用勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示：AC＝10×3+3×30＝120cm，BC＝50cm，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：（cm）， 故答案为：130． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为　8　． 【分析】如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E．利用全等三角形的性质证明EC＝AB＝4，再利用直角三角形30度角的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E． ∵∠BAD＝∠E＝90°，∠ADB＝∠EDC，BD＝DC， ∴△ADB≌△EDC（AAS）， ∴AB＝EC＝4， ∵∠BAC＝120°， ∠EAC＝30°， ∴AC＝2EC＝8， 故答案为8． 11．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝6cm，AC⊥BC于点C，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝60°，则BD的长为 　　cm． 【分析】取AB的中点E，连接CE，证明△BCE是等边三角形，得到∠BEC＝60°，CE＝BE＝AE，进而利用三角形外角的性质得到∠EAC＝∠ECA＝30°，由勾股定理得到AC2＝AB2﹣BC2＝27；再证明△ADC是等边三角形，得到AD＝AC，∠CAD＝60°，则∠BAD＝90°，即可得到答案． 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接CE，而AC⊥BC， ∴AE＝BE＝CE＝3cm， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC＝60°， ∵∠BEC＝∠EAC+∠ECA＝60°， ∴∠EAC＝∠ECA＝30°， ∴（cm）， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝27， ∵∠ACD＝∠ADC＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC，∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝90°， ∴， 故答案为：． 12．（3分）如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则FG的长度为 　　． 【分析】利用“角平分线+垂直”构造等腰三角形，故延长AF交BC于H，延长AG交BC于Q，可证明△BAH与△AHQ均为等腰三角形，即AB＝BH＝6，AC＝CQ＝5，AF＝HF，AG＝GQ，由此可以得到FG是△AHQ的中位线，代换运算求出HQ的长度，即可解决． 【详解】解：延长AF交BC于H，延长AG交BC于Q，如图， ∵BD平分∠ABC， ∴∠HBF＝∠ABF， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝∠HFB＝90°， ∴∠BHA＝∠BAH， ∴AB＝BH＝6，AF＝FH， 同理，AC＝CQ＝5，AG＝QG， ∴CH＝BH﹣BC＝6﹣4＝2， ∴HQ＝CQ﹣CH＝5﹣2＝3， ∵AF＝FH，AG＝QG， ∴FG是△AHQ的中位线， ∴FGHQ， 故答案为：． 13．（3分）如图，已知等边三角形△ABC，过点A作射线AD∥BC，在射线AD上取点P，连接PB，PC，则的最大值为 　　． 【分析】如图，过点B作BS⊥AP交PA的延长线于点S，过点B作BR⊥PB，过点C作CR⊥BC交BR于点R，取BR的中点T，连接CT，PT．设AB＝BC＝AC＝2a，证明△PBS∽△RBC，推出，设BT＝TR＝CT＝2ak，则PB＝2ak，推出PT4ak，由PC≥PT﹣CT＝2ak，可得结论． 【详解】解：如图，过点B作BS⊥AP交PA的延长线于点S，过点B作BR⊥PB，过点C作CR⊥BC交BR于点R，取BR的中点T，连接CT，PT． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝60°， 设AB＝BC＝AC＝2a， ∵AD∥BC， ∴∠BAS＝∠ABC＝60°， ∴BS＝AB•sin60°a， ∵∠SBC＝∠PBR＝90°， ∴∠PBS＝∠CBR， ∵∠S＝∠BCR＝90°， ∴△PBS∽△RBC， ∴， ∵BT＝RT，∠BCR＝90°， ∴CT＝BT＝RT， 设BT＝TR＝CT＝2ak，则PB＝2ak， ∴PT4ak， ∵PC≥PT﹣CT＝2ak， ∴， ∴的最大值为． 解法二：如图，假设PC，作等腰三角形QCP，使得∠CQP＝120°，QC＝QP＝QC＝QP＝1，连接AQ， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠CQP＝2∠CAP， ∴点A在⊙Q上运动， ∴QA＝QC＝QP＝1， ∵∠PHC＝∠PAC＝60°，QH＝QC， ∴△QCH是等边三角形， ∵△ACB是等边三角形， ∴△BCH≌△ACQ（SAS）， ∴BH＝AQ＝CH＝CQ＝1， ∵PB≤BH+HQ+PQ＝3， ∴PB的最大值为3， ∴的最大值为． 故答案为： 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）如图，过等边△ABC的顶点A，B，C依次作AB，BC，CA的垂线MG，MN，NG，三条垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形． 【分析】本题中△ABC为等边三角形，∠ABC＝60°，求出∠M，∠N，∠G的值即可解决问题． 【详解】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°． ∵BC⊥MN，BA⊥MG， ∴∠CBM＝∠BAM＝90°． ∴∠ABM＝90°﹣∠ABC＝30°． ∴∠M＝90°﹣∠ABM＝60°． 同理：∠N＝∠G＝60°． ∴△MNG为等边三角形． 15．（7分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB＝AE＝CE，求出∠AEB和∠C＝∠EAC，即可得出答案； （2）根据已知能推出2DE+2EC＝8cm，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长14cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝8cm， 即2DE+2EC＝8cm， ∴DE+EC＝DC＝4cm． 16．（8分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 【分析】（1）根据勾股定理作出边长为的正方形即可得； （2）连接AC，根据勾股定理逆定理可得△ABC是以AC、BC为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图1所示： （2）如图2，连AC， 则，， ∵， 即BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝∠CAB＝45°． 17．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且∠ABC＝90°，连接AC． （1）求AC的长度； （2）试判断三角形ACD的形状． 【分析】（1）直接根据勾股定理求出AC的长即可； （2）在△ACD中，由勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状． 【详解】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝2， ∴AC2＝AB2+BC2＝1+4＝5， ∴AC； （2）∵△ACD中，AC，CD＝2，AD＝2， ∴AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形． 18．（9分）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED． （1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE； （2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明． 【分析】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB； （2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点E是AB的中点， ∴CE平分∠ACB，AE＝BE， ∴∠BCE＝30°， ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠BCE＝30°． ∵∠ABC＝∠D+∠BED， ∴∠BED＝30°， ∴∠D＝∠BED， ∴BD＝BE． ∴AE＝DB． （2）解：AE＝DB； 理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示： ∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， 即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°， ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD， ∴∠BED＝∠ECF． 在△DEB和△ECF中， ， ∴△DEB≌△ECF（AAS）， ∴DB＝EF， ∴AE＝BD． 19．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12． （1）直接写出AB的长度 　16　． （2）设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA．求AP的长； （3）设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，直接写出AM的长． 【分析】（1）依据勾股定理进行计算，即可得出AB的长度； （2）设AP＝PC＝x，依据勾股定理列方程求解即可得到AP的长； （3）依据△MBC为等腰三角形，分三种情况讨论即可得到AM的长． 【详解】解：（1）∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝12， ∴AB16， 故答案为：16； （2）∵∠PAC＝∠PCA， ∴AP＝PC， 设AP＝PC＝x， ∴PB＝16﹣x， ∵∠B＝90°， ∴BP2+BC2＝CP2， ∴（16﹣x）2+122＝x2， 解得：x， ∴AP； （3）AM的长为8或10或． 如图（1），当CB＝CM＝12时，AM＝AC﹣CM＝20﹣12＝8； 如图（2），当BM＝CM时，AM＝BM＝CMAC＝10； 如图（3），当BC＝BM时，过B作BH⊥AC于点H， 则BH， ∴CH， ∴CM＝2CH， ∴AM＝AC﹣CM＝20， 综上所述，AM的长为8或10或． 20．（12分）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）过点B作BF∥CD交CA的延长线于F，如果AB＝AF； ①求证：△BCD是等边三角形； ②如果G、H分别是线段AC、线段CD上的动点，当GH+AH为最小值时，请确定点H的位置，并思考此时GH与CH有怎样的数量关系． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠ADB，可得AB＝AD，再由∠ABC＝∠ADC＝90°证明∠CBD＝∠CDB，则CB＝CD，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设∠F＝α，根据AB＝AF可得∠ABF＝∠F＝α，由于BF∥CD，可得∠F＝∠DCE，根据∠BAC是△ABF的外角，则∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α，由于∠ABC＝90°，所以∠BCE+∠BAC＝90°，从而α＝30°，进而∠ACB＝60°，结论得证； ②延长AD至A′，使DA′＝AD，可得A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【详解】（1）证明：∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分上， ∴AC垂直平分BD； （2）①证明：设∠F＝α， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝α， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠AFB＝2α， 由（1）AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE， ∴∠F＝∠BCE＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°，即α+2α＝90°， 则α＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形； ②GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH， 理由： 延长AD至A′，使DA′＝AD， ∵CD⊥AD， ∴A与A′关于CD成轴对称，过A′作A′G⊥AC于G交CD于H，连接AH， ∴AH＝A′H， ∴AH+GH＝A′H+GH＝A′G，此时GH+AH为最小， 由①知：∠DCE＝30°，即∠GCH＝30°， ∵A′G⊥AC即GH⊥CG， ∴在Rt△GCH中，∠GCH＝30°， ∴CH＝2GH， ∴GH+AH为最小值时，GH与CH的数量关系是CH＝2GH． / 学科网（北京）股份有限公司 $$