第1章 第9课时 角平分线(1)-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（北师大版）

:F为BE的中点，∴BF=EF=之BE= AB=AC,.点A,F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC. AD=4,BD=8, 例3解：如答图，分别以A和B为圆心 .DF=BD-BF=8-t,DE=BE-BD=21-8, AD⊥BC,AE=AF,.DE=DF, 以大于？AB的长为半径画孤，两孤 即2-8=8-6，解得1=9 交于点E和F, 作直线EF,与河岸交于点C,则码 B 当=时，AE=AF 头应建在点C处， 课堂过关 故答案为：9， 1.B2.C3.D4.B5.C 答图 6,解：如答图，点E即为所求， (2)△ABE是直角三角形， 理由：当=5时，BE=21=10, M .DE=BE-BD=10-8=2, 在Rt△ADB中，AB=AD+BD=4+8=80. 在Rt△ADE中，AE=AD+DE=42+22=20, ,AB+AE=100,BE=102=100, B ∴.AB2+AE=BE, ∴：△ABE是直角三角形 答图 第6课时直角三角形(2) 第8课时线段的垂直平分线(2)】 核心讲解 知识储备 例1A变1D 1.PA PB PC 例2证明：：CB⊥AB,∴∠ABC=∠FBC=90°， 核心讲解 :∠BAC=45,∴∠BCA=45°=∠BAC, 例1D例2100°变1160° 例3B △ABC为等腰直角三角形，.AB=CB, 变4解：如答图，点M即为所求 在Rt△ABE和R△CBF中，AECF, AB=CB, ,∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). 例3B 课堂过关 1.C2.A 答图 3.解：(1)结论：AF=3BF 课堂过关 证明：如答图，过点D作DG⊥AB于点G,则∠DGB=90°， 1.B2.C3.D ∠ACB=90°，∠ABC=45°， 4.解：(1)中线CD如答图1所示： ∴.AC=CB,∴.AC+BC=AB (2)AB边上的高CH如答图2所示. BC-号AB, :DA=DB,∠ADB=90°， G ∴.∠ADG=∠BDG=45=∠DAG ∠DBG, ÷DG-AG-BG-2AB, 答困 在Rt△BEC中，∠BEC=9O°，EB=EC, D BE-号BC-专AB,DG-BE, 答图1 答图2 2 5.解：∠BAC=110°， ∠DFG=∠EFB, .∠B+∠C=180°-110=70°， 在△DFG和△EFB中， ∠DGF=∠EBF :MP,MQ分别垂直平分AB和AC, DG-BE. .BP=AP,CQ=AQ,,∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C, .△DFG≌△EFB(AAS),∴FG=BF,∴.AF=3BF: ∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=110°-70°=40°. (2)猜想：AF=3FB. 6.B 第7课时线段的垂直平分线(1) 第9课时角平分线(1) 核心讲解 核心讲解 例1A变136例2A 例1B变1C AB-AC, 例2解：：DE⊥AB,DF⊥AC,·∠DEB=∠DFC=90, 变2证明：(1)在△ABE和△ACD中， ∠A=∠A, ∠DEB=∠DFC, AE-AD, 在△BDE和△CDF中，BE=CF, .△ABE≌△ACD, ∠B=∠C, .∠ABE=∠ACD: △BDE≌△CDF(ASA),·DE=DF, (2)如答图，连接AF 而DE⊥AB,DF⊥AC, 'AB=AC,.∠ABC=∠ACB, ,点D在∠BAC的平分线上 由(1)可知∠ABE=∠ACD, 变2解：DE⊥AB,DF⊥AC,∴.∠DEB=∠DFC=90°， ∴.∠FBC=∠FCB,.FB=FC, 答图 3 数学八年级下册（北师大版） ∠DEB=∠DFC, .∠MPN=90, 在△BDE和△CDF中， BE=CF, ,∠EPF=90°，∴∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN, ∠B=∠C, ∠PME=∠PNF=90°， .△BDE≌△CDF(ASA),.DE=DF, .△PME≌△PNF(ASA),PE=PF, 面DE⊥AB,DF⊥AC, 综上所述，PE=PF: .点D在∠BAC的平分线上. (3)PE=PF. 课堂过关 第11课时 章末复习 1.C2.C3.10 高频考点精练·体验中考 4.(1)2cm 1.B2.C3.C4.D 证明：(2)如答图1，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥ 5.解：(1)如答图，点D即为所求。 BA的延长线于点F,则∠DEC=∠DFA=90°， BD平分∠ABC,DE=DF ∠BAD+∠DAF=180°，∴∠DAF=180°-a, ∠BCD=180°-a,∠DAF=∠DCE, .△DAF2△DCE(AAS), .AD-CD: (3)如答图2，在BC上取BH=BD, ,△ABC是等腰三角形，∠A=100 ÷∠ABC=∠C=180',10°=40. (2)6√2 2 答图1 :BD平分∠ABC, 6.(1)证明：由作图知：BD=CD AB=AC, ÷∠DBH=2∠ABC=合×40=20， 在△ABD和△ACD中，：BD=CD, :BH=BD,∴∠BHD=∠BDH= AD=AD. 180°-20=80°， 答图2 .△ABD≌△ACD. 2 (2)23 ∴∠A+∠BHD=100°+80°=180°， 易错二次闯关 由(2)可得，AD=DH, 1,C2.D3.6cm或7cm4.75或120°或15 ,∠C+∠CDH=∠BHD,',∠CDH=∠BHD-∠C=8O° 5.解：分两种情况： 40°=40°， ①当点P在线段OC上时，设ts后△POQ是等腰三角形， ∴∠CDH=∠C,DH=CH,∴AD=CH, 有OP=OC-CP=OQ,即12一2t=t,解得t=4s: .BC-BH+CH-BD+AD, ②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s 即BD+AD=BC 当△POQ是等腰三角形时，：∠POQ=60°， 第10课时角平分线(2) △POQ是等边三角形，.OP=OQ, 核心讲解 即2(1一6)=1，解得，t=123, 例1OP=OM=ON变1125例2C例3B 故t为4s或12s. 例4解：(1)如答图1，点E为所作： 6.解：①如答图1，当过点A的直线交BC于点D,将△ABC分 (2)如答图2，点D为所作. 成两个等腰三角形，使AD=BD=CD: 设∠B=x, AB=AC,∴∠C=∠B=x, :AD-BD-CD,∴∠BAD=∠B=x, ∠CAD=∠C=x,.∠BAC=2x, 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C-180° .x十2x+x=180°，解得x=45°， 答图 答图1 答图2 ∠BAC-90°： 课堂过关 ②如答图2，当过点A的直线交BC于 1.C2.15 点D,将△ABC分成两个等腰三角形， 3.解：(1)OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,.PE=PF: 使AD=BD,AC=CD, (2)PE=PF,理由如下：当PE⊥OA时， 设∠B=x,,AB=AC, :∠AOB=90°，OC平分∠AOB,.∠POE=∠POF=45°， ∴.∠C=∠B=x, 答图2 :∠PEO=∠EPF=∠EOF=90°， :AD=BD,∴∠BAD=∠B=x, 且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO-36O°， ∴.∠ADC=∠B+∠BAD=2x, .∠PFO=90,∴.∠PEO=∠PFO, .AC=CD,.∠DAC=∠ADC=2x, ,∴.∠BAC=x+2x=3x, OP=OP,.△PEO≌△PFOAAS),∴.PE=PF: 当PE与OA不垂直时，如答图，作PM⊥OA于点M,PN⊥ 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°， .x+3x十x=180°，解得x=36, OB于点N, .∠BAC=108°： ,'∠OMP=∠ONP=90°， ∠POM=∠PON=45,OP=OP, 综上，∠BAC可为90°或108. .△POM≌△PON(AAS), 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 ..PM=PN, 第12课时不等关系 :∠OMP=∠ONP=∠MON=90°，且 核心讲解 ∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN=360°， 例1C变1D例2C变2A例3A 答图数学·八年级下册（北师大版） 第9课时 角平分线(1) ● 知识储备 1.角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到2.角的平分线的判定定理：在角的内部到角两边 角两边的距离相等. 距离相等的点在这个角的平分线上 几何语言：DC平分∠ADB, 几何语言：'PE⊥DA,PF⊥DB,垂足为E,F, 又，PE⊥AD,PF⊥BD,垂 又，PE=PF, 足为E,F, ∴.DC平分∠ADB, ..PE=PF. 即点P在∠ADB的平分线上 D 核 讲 知识点1角平分线的性质 例T如图，OP平分∠AOB,则下列图形能应用变1如图，OP平分∠MON,PE⊥OM于点E, “角的平分线上的点到角的两边的距离相 PF⊥ON于点F,OA=OB,则图中全等三 等”的是 角形有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 知识点2角平分线的判定 例2如图，在△ABC中，∠B=∠C,DELAB,DF⊥AC,BE=CF,E,F为垂足，求证：点D在∠BAC的 平分线上. ●》22《● 第一章三角形的证明 课堂过关 e w第一关 过基础 1.如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥2.如图，BD平分∠ABC,DE⊥BC OA于点F,PE⊥OB于点E,若 于点E,DE=4,AB=7,则 PE=8,则PF的长为 ( ) △ABD的面积等于 A.4 B.6 C.8 D.10 A.28 B.21 C.14 D.7 第二关过能力 3.如图，在x轴，y轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A,B为圆心，以大于 号AB的长度为半径国弧，两弧交于点C若C的坐标为3a,2a+10).则a 第三关过思维 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=a,∠BCD=180°-a,BD平分∠ABC. (1)如图1，若a=90°，DA=2cm,则DC= (2)问题解决：如图2，求证：AD=CD: (3)问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BD十AD=BC, 图 ●》23《●