精品解析：江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】由导数的定义知. 故选：D. 2. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断. 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值. 【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则， 由. 故选：C 4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：. 5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由极值点的定义结合韦达定理代入计算，即可得到，，再由等比数列的性质代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 因为，是函数的极值点， 由韦达定理可得，， 所以，因为等比数列奇数项同号，则 由等比数列的性质可知，则. 故选：B 6. 已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，即可得到时，的正负，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由是奇函数可得，两边同时求导可得， 即，所以是偶函数， 又当时，，所以时，， 由是偶函数可得，两边同时求导可得， 即，所以是奇函数， 当时，，当时，， 对于A，因为与的大小关系不确定，所以的正负不确定，故A错误； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，由时，，可得，故C错误； 对于D，由时，，可得，故D错误； 故选：B 7. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解. 【详解】，则， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则是等差数列 B. 若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C. 若数列为等比数列，且，，则 D. 若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项. 【详解】若数列为等差数列，，则，是关于项数的一次函数，是等差数列，故A正确； 而，，，， 作差可得成立，故B正确； 若数列为等比数列，且，，设其公比为q， 则，作商可得或，所以 或，9故C错误； 当等比数列的公比时，，则，，，…，不可能为等比数列，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A，由，得，∴，故A正确； 对于B，， 当时，，当时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增， ∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确； 对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D. 【详解】A.由条件，可知，， 且，则，所以数列为等比数列，故A正确； B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列， 所以数列不是等差数列，故B错误； C.由A可知，，所以时，， ，也适合，故C正确； D.由C可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 【答案】. 【解析】 【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果. 【详解】由不等式有解，可得， 令， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 且，所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解. 【详解】由可知： 当为偶数时，，当为奇数时，， 所以， 即 ， 由此解得. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，赋值求得，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由（1）的信息，求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值. 【小问1详解】 函数，求导得， 则，解得，于是，， 所以所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由（1）知，函数，定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 17. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用累加法结合等差数列求和得出通项公式，再应用等比数列基本量运算得出通项公式； （2）应用错位相减计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 当时， 累加得 当时，满足上式. . 当时，，且， 两式相减得， ，即 数列是首项为1，公比为的等比数列，. 【小问2详解】 ② ①-②得 ， . 18. 已知函数 . （1）求函数的单调区间. （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值. 【答案】（1） 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再分类求出函数的单调区间. （2）等价变换给定不等式，利用同构方法构造函数，借助单调性可得，再分离参数构造函数并求出最大值即得. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 当时，不等式等价于 ， 令函数，则原不等式为，而函数在上是增函数， 依题意，，，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以的最小值为. 19. 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. （1）判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. （2）已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； （3）若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）数列为周期数列，周期为2 （2） （3）不存在，理由如下： 假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即， 所以，即， 所以，即， 所以数列是周期为的周期数列， 因为， 即，因为， 所以，， 所以数列的周期为， 所以，即，显然方程无解， 所以不存在非零常数，使得是周期数列. 【解析】 【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可； （2）根据题意，分为偶数和为奇数时两种情况讨论求解即可； （3）假设存在非零常数，使得是周期为的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进而得数列周期为，推出，由而该方程无解即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以数列是周期数列，其最小正周期为2； 【小问2详解】 因为无穷数列是周期为的周期数列，且，， 所以当为偶数时，； 当为奇数时，， 因为对一切正整数恒成立， 所以当为偶数时，，故只需即可； 当为奇数时，恒成立，故只需即可； 综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜春一中2024—2025学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. D. 2 2. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. 28 B. 13 C. 18 D. 20 4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 6. 已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则是等差数列 B. 若数列为等差数列，则，，，…为等差数列 C. 若数列为等比数列，且，，则 D. 若数列为等比数列，则，，，…为等比数列 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则t的最小值为2 11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等差数列 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前项和，若，则______________. 13. 若不等式有解，则实数的取值范围为___________. 14. 已知数列满足，，则______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 17. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 已知函数 . （1）求函数的单调区间. （2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值. 19. 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期. （1）判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由. （2）已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围； （3）若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $