精品解析：浙江省杭州市锦绣育才中学2024-2025学年下学期2月月考八年级数学试卷

2025年02月锦绣育才八年级下册月考数学试卷 一．选择题（共9小题） 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 4. 已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0 且m≠1 D. m为任意数 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（） A. B. C. D. 6. 在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变大 B. 平均数变小，方差变小 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7. 在申请加入中国共青团过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 10. 下列关于一元二次方程的命题中：①若则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根，真命题有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二．填空题（共5小题） 11. 当时，二次根式的值为_____． 12. 甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2_____S乙2．（填“＞”、“=”、“＜“中的一个） 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_________． 14. 某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为________分． 15. 如果实数a，b满足，，且，则的值________． 16. 如果实数a，b满足，，且，则的值________． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：（1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 关于的方程,其中分别是的三边长. (1)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)若为等边三角形，试求出这个方程的解. 20. 比较与的大小． （1）尝试（用“”，“”或“”填空）： ①当时，___________ ②当时，___________ ③当时，___________ （2）归纳：若x取任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由． 21. 为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽测的男生人数为________，图1中m的值为________； （2）本次抽测的这组数据的平均数为________次，众数为________次； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名八年级男生中有多少人体能达标． 22. 阅读与思考： 下面是小涵同学数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． （1）任务一：按“方法1”求面积． （2）任务二：写出“方法2”的解答过程． 23. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 24. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年02月锦绣育才八年级下册月考数学试卷 一．选择题（共9小题） 1. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断． 【详解】解：.，所以选项错误； .，所以选项错误； .，所以选项正确； .，所以选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表： 甲 2 6 7 7 8 乙 2 3 4 8 8 关于以上数据，说法正确的是（ ） A. 甲、乙的众数相同 B. 甲、乙的中位数相同 C. 甲的平均数小于乙的平均数 D. 甲的方差小于乙的方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得. 【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7， 排序后最中间的数是7，所以中位数是7， ， =4.4， 乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8， 排序后最中间的数是4，所以中位数是4， ， =6.4， 所以只有D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键. 4. 已知方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m≥0 C. m≥0 且m≠1 D. m为任意数 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：此题主要考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式m+1≠0，再解不等式即可． 解：由题意得：m+1≠0， 解得：m≠-1， 故选A． 考点：一元二次方程的定义 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤“（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方”进行求解即可. 【详解】由原方程移项，得 x2-2x=1， 方程的两边同时加上一次项系数-2的一半的平方1，得 x2-2x+1=2， ∴（x-1）2=2， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 6. 在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高为m的队员受伤，教练让身高为的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变大 B. 平均数变小，方差变小 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平均数和方差，根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案． 【详解】解：用一名身高的队员换下场上身高的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变， 所以他们的平均数变小， 由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小. 故选: B． 7. 在申请加入中国共青团的过程中，团课笔试是一个重要的环节．某校组织65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．小轩已经查出自己的成绩，他想判断自己笔试是否合格，只需要知道65人笔试成绩的（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．65名申请入团的同学进行团课笔试，其中有32人笔试合格．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有65个人，则第33名的成绩是中位数，且只有32人获奖，所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道65人复赛成绩的中位数． 故选：A 8. 如图，某小区规划在一个长、宽的长方形场地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为，那么通道的宽应该满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（40-2x）m，宽为（26-x）m．根据长方形面积公式即可列方程（40-2x）（26-x）=144×6． 【详解】解：设道路的宽为xm，由题意得： （40-2x）（26-x）=144×6． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解题的关键． 9. 如图，为矩形对角线上的一点，，则方程的正数解是（ ） A. 线段的长 B. 线段的长 C. 线段的长 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出一元二次方程的解为或8，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解． 【详解】 或 解得或 ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴． ∴方程的正数解是线段的长． 故选：C． 10. 下列关于一元二次方程的命题中：①若则；②若方程两根为1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根，真命题有（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判断、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解答本题的关键． 把代入判别式中得到，则可对①进行判断；利用根与系数的关系得到，则，可对②进行判断；利用方程有两个不相等的实根得到，则，可对③进行判断． 【详解】解：∵，则， ∴，所以①正确； ∵方程两根为 1 和 2 ， ∴则， ∴，所以②正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∴， ∴， ∴方程必有实根，所以③正确． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11. 当时，二次根式的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】直接将代入进行计算即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了代数式的值，二次根式的计算，题目比较简单． 12. 甲、乙两位同学在10次定点投篮训练中（每次训练投8个），各次训练成绩（投中个数）的折线统计图如图所示，他们成绩的方差分别为s甲2与S乙2，则s甲2_____S乙2．（填“＞”、“=”、“＜“中的一个） 【答案】＜ 【解析】 【分析】 利用折线统计图可判断乙同学成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲、乙的方差的大小． 【详解】解：由折线统计图得乙同学的成绩波动较大， ∴s甲2＜S乙2． 故答案为：＜． 【分析】本题考查了方差的意义，掌握知识点是解题关键． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，以及二次项系数不等于0，即可求出k的取值范围． 【详解】解：根据题意， ∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：且； 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程在Δ≥0时有两个实数根，本题属于基础题型． 14. 某测试中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命四个项目对新投入市场的一款智能手机进行测评，各项得分如下表： 测试项目 操作系统 硬件规格 屏幕尺寸 电池寿命 项目成绩/分 8 8 6 4 最后将操作系统、硬件规格、屏幕尺寸、电池寿命这四项成绩按3：3：2：2的比例计算综合成绩，则该手机的综合成绩为________分． 【答案】6.8 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法．利用加权平均数按照比例计算，即可求解． 详解】解：根据题意， 该手机的综合成绩为：； 故答案为：； 15. 如果实数a，b满足，，且，则的值________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过变型可得到实数 a， 为的两个不等实数根，再根据根与系数的关系即可作答． 【详解】∵实数 a，b 满足， 且， ∴实数 a， 为的两个不等实数根， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，通过变型可得到实数 a， 为的两个不等实数根，是解答本题的关键． 16. 如果实数a，b满足，，且，则的值________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过变型可得到实数 a， 为的两个不等实数根，再根据根与系数的关系即可作答． 【详解】∵实数 a，b 满足， 且， ∴实数 a， 为的两个不等实数根， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，通过变型可得到实数 a， 为的两个不等实数根，是解答本题的关键． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：（1） （2） 【答案】(1) （2） 【解析】 【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并求出即可； （2）首先化简二次根式，进而合并，利用二次根式除法运算法则求出即可． 【详解】解：（1）， =， = （2）， =， =， = 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 18 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， 或， ∴； 【小问2详解】 化简得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19. 关于的方程,其中分别是的三边长. (1)若方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)若为等边三角形，试求出这个方程的解. 【答案】（1）是直角三角形；理由见解析；（2），. 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式为0，计算出的关系，即可判定； （2）根据题意，将方程进行转化形式，即可得解. 【详解】（1）直角三角形 根据题意，得 即 所以是直角三角形 （2）根据题意，可得 解出 【点睛】此题主要考查一元二次方程和三角形的综合应用，熟练运用，即可解题. 20. 比较与的大小． （1）尝试（用“”，“”或“”填空）： ①当时，___________ ②当时，___________ ③当时，___________ （2）归纳：若x取任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由． 【答案】（1）①，②，③ （2），见解析 【解析】 【分析】（1）直接代值计算比大小即可； （2）两代数式作差，通过差是否大于零直接判断即可． 【小问1详解】 当时，，，故； 当时，，，故； 当时，，，故； 故答案为：①，②，③ 【小问2详解】 理由如下： 所以 【点睛】此题考查多项式比大小，运用完全平方公式进行运算，解题关键是将两个代数式作差即可判断大小，差大于零则前者大于后者，差小于零则后者大于前者；而判断代数式与零的大小即利用完全平方公式对代数式进行化简． 21. 为了解某校八年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制出统计图1和图2，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次抽测的男生人数为________，图1中m的值为________； （2）本次抽测的这组数据的平均数为________次，众数为________次； （3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，根据样本数据，估计该校350名八年级男生中有多少人体能达标． 【答案】（1）50；28； （2）5.16；5； （3）估计该校550名八年级男生中有252人体能达标． 【解析】 【分析】（1）根据4次的人数及其百分比可得总人数，用6次的人数除以总人数求得m即可； （2）根据平均数、众数的定义求解可得； （3）总人数乘以样本中5、6、7次人数之和占被调查人数的比例可得． 【小问1详解】 本次抽测的男生人数为10÷20%=50（人）， m%=×100%=28%，即m=28， 故答案为：50、28； 【小问2详解】 平均数为（次）， 众数为5次， 故答案为：5.16；5； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校350名八年级男生中有252人体能达标． 【点睛】本题考查了条形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 22. 阅读与思考： 下面是小涵同学的数学错题本笔记，请仔细阅读他的解题思路并完成相应的任务． 题目：如图，在中，，，，求的面积． 方法1：如果的三边长分别为，设为周长的一半，那么利用海伦公式，就可求出的面积． 方法2：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出的面积． （1）任务一：按“方法1”求的面积． （2）任务二：写出“方法2”的解答过程． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，根据勾股定理列出关于的方程． （1）按照“方法1”思路，先求出的值，然后再代入数据求出的面积即可； （2）按照“方法2”的思路，先求出的长，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于点， 设，则， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 23. 我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： （1）填空： ∵ ， ， ∴， ∴． （2）如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】（1）18， 10 （2）①直角三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【小问1详解】 解：∵， ， 故答案为：18，10； 【小问2详解】 ①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 24. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． （1）当为何值时，的长度等于？ （2）是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； 【小问2详解】 解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $