精品解析：江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学(文科)试题

江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学（文科）试题 2025.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可求得值. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，故. 故选：D. 2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：B. 【点睛】本题考查根据斜二测画法求直观图面积，考查基本求解能力，属于基础题型. 3. 已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件判断线线、线面、面面位置关系，可判断ABC选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，则或、异面，B错； 对于C选项，若，，，则、平行或相交（不一定垂直），C错； 对于D选项，若，，由面面垂直的判定定理可知，则，D对. 故选：D. 4. 在中，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则即可求解. 【详解】由题意，. 故选：A. 5. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是（ ） A. 三棱柱和四棱柱 B. 三棱柱和五棱柱 C. 三棱台和五棱台 D. 三棱柱和六棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】由棱柱的几何特征即可求解. 【详解】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱， 故选：B 6. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 7. 已知，，且，则（    ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量模的坐标表示列方程，求解即可. 【详解】由题意知，， ，又， 所以，解得. 故选：B. 8. 龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，根据正弦定理得，在直角中，由勾股定理得，即可得，再将代入方程，化简即可. 【详解】 在中，由正弦定理得：. 所以，又， 所以，又，即， 所以，化简得， 则，故塔顶距离地面高度必定可以表示为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（    ） A. 当时， B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 与向量垂直的单位向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据向量垂直先求出，然后由模长公式求解；B选项，根据投影向量公式求解；C选项，根据数量积公式求解，D选项，设出，结合题意列方程组求解. 【详解】A选项，当时，，解得， 此时，，A选项错误； B选项，根据投影向量公式，向量在向量上的投影向量为，B选项正确； C选项，当与的夹角为锐角时，且与不同向共线， 解得，与共线时，，此时，不满足与同向共线， 即当与的夹角为锐角时，，C选项正确； D选项，设与向量垂直的单位向量，由题意，， 解得或，D选项错误. 故选：BC 10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是（    ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是的垂心 D. 若，则是的重心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三角形的正弦定理即可判断A、B;由三角形的垂心、重心的定义和性质结合平面向量的线性运算、共线定理即可判断C、D. 【详解】对于A，因为， 所以由正弦定理得，即， 因为，所以, 所以符合条件的有一个，故A错误； 对于B，由正弦定理得 ，即， 因为， 所以，即， 所以，故，即为等腰三角形，故B正确； 对于C，因为, 所以，即,故， 同理，， 所以,, 所以点为的垂心，故C正确； 对于D，因为, 所以, 所以， 设边的重点为,即, 故三点共线，所以在中线上， 同理可得在的其余两边的中线上， 所以为三边中线的交点，故为的重心，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B. 取得最小值 C. 当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时， D. 对任意点，平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.作出平面截正方体所得的截面，即可说明；B.展开成平面，利用三点共线，即可求解；C.利用补体的方法求外接球半径，即可判断；D.证明平面，即可判断. 【详解】A.设是的中点，连结，设是的中点，连结，， 因为，且，所以四边形是平行四边形，所以， 且，，所以，且，所以四边形是平行四边形， 而正方体的棱长为2，且分别是的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故A正确； B.如图，将和展开成一个平面，当三点共线时，最短， ，， 所以，故B正确； C.如图，过点作平面，四面体和四棱柱是同一个外接球， 当时，，得，外接球的体积，故C错误； D.如图，，且，，平面， 则平面，平面，所以，同理， 且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形，根据题中信息求出圆台上、下底面半径，结合台体体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】如下图所示，在圆台中，设该圆台上、下底面的半径分别为、，高为， 取圆台的轴截面，可知四边形为等腰梯形， 过点、在平面内作，，垂足分别为、， 由题意可知，，则、都为等腰直角三角形， 故，，则，， 在平面内，因为，，， 则四边形为矩形，故， 由题意可知，梯形的周长为， 即，解得， 故， 因此，该圆台的体积为. 故答案为：. 13. 在中，角的平分线交于，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面积公式，再结合二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】设， 由，得， 得， . 故答案为： 14. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为_____________ 【答案】## 【解析】 【分析】首先由条件判断，由等式变形，转化为数量积运算求，再变形为，平方后即可求解. 【详解】由条件可知，，即，两边平方得， ， 所以， 又，两边平方得， 得，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、是夹角为的两个单位向量，，． （1）若、可以作为一组基底，求实数的取值范围； （2）若、垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑、共线，结合平面向量共线的基本定理求出参数的值，即可得出当、不共线时的取值范围； （2）由向量垂直可得出，利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 假设、可以作为一组基底，则、不共线， 若、共线，则存在，使得，即， 所以，解得， 所以，当、不共线时，. 所以，实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为、是夹角为的两个单位向量，则， 因为，则， 即，所以，解得. 16. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连结交于，连结，根据棱柱性质及三角形中位线，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先根据正方形的性质证得，进而利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面垂直的性质定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 连结交于，连结， 在正三棱柱中，且， 所以四边形是平行四边行，则为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 在正三棱锥柱中，且， ，，所以四边形是正方形，所以， 因为分别是中点，所以是的中位线， 所以，又因为，所以， 在正三棱柱中平面，平面，所以， 在正三角形中，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 17. 如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. （1）求的余弦值； （2）设，求的值及点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求，的坐标，结合向量夹角公式求结论； （2）由关系求，根据，，三点共线列方程求，再求的坐标. 【小问1详解】 如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系， 则，，，， ∴，， 由于就是，的夹角， ∴ ， ∴的余弦值为. 【小问2详解】 ∵， 则，则， 又，，三点共线， 则设，， 即， 则，解得， 故. 18. 在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的内角的对边分别为且满足______． （1）求角的大小； （2）若边上的中线长为，，求的面积. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）所选条件见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据所选条件，应用正弦边角关系、三角恒等变换化简条件，结合三角形的内角性质求角的大小； （2）设BC的中点为D，应用向量数量积的运算律及定义得求，最后应用三角形面积公式求面积. 【小问1详解】 ①在中，由，得， 由正弦定理得，则， 结合已知条件得， 因为，，或（舍），解得. ②由题意，即， 由正弦定理得， 又，所以，则，所以， ③在中，，则， 所以， 即，又，， 所以，所以 【小问2详解】 设BC的中点为D，根据向量的平行四边形法则可知， 所以，即， 因为，，，所以，解得（负值舍）， 所以. 19. 如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC. （1）求证：； （2）若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的判断定理，即可证明； （2）①根据（1）的结合，结合线面角的定义，即可求解； ②首先利用面面平行的性质定理，构造平面，设，通过几何关系表示，即可求解线段长度的最小值. 【小问1详解】 证明：作 因为平面平面PBC，平面平面平面PAC 所以平面PBC 因平面PBC 所以 因为平面平面ABC，所以 因为平面PAC 所以平面PAC， 又平面PAC，所以 【小问2详解】 ①由（1）得平面PAC 所以为在平面的射影，为与平面所成角 在中，， 在直角中， 所以与平面所成角的正切值为 ②过作的垂线，垂足为，过作，交于 因为平面平面，所以 又因为平面 所以 因为平面平面PAC，所以平面PAC 同理平面 因为平面FQN，所以平面平面 因平面，所以平面 设 所以 在直角中， 当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省无锡市第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学（文科）试题 2025.4 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，则 （    ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正三角形的直观图，所得图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、是三条不重合的直线，、、是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 4. 在中，（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，其中，这两个几何体分别是（ ） A. 三棱柱和四棱柱 B. 三棱柱和五棱柱 C. 三棱台和五棱台 D. 三棱柱和六棱柱 6. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知，，且，则（    ） A B. C. D. 或 8. 龙光塔位于锡山山顶.它是无锡的地标，登塔可以俯瞰锡城，感受城市日新月异；它是无锡文风昌盛的象征，多年来屡次出现在文人墨客的笔下，见证了无锡的人杰地灵.有同学想测量塔顶距离地面的高度.选取与山脚在同一水平面的两个测量基点与.现测得，，，在和处测得的仰角为和，则塔顶距离地面高度必定可以表示为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列说法中正确的是（    ） A. 当时， B. 当时，向量在向量上的投影向量为 C. 当与的夹角为锐角时， D. 与向量垂直的单位向量为 10. 在中，角所对边分别为，则下列说法中正确的是（    ） A. 若，，，则符合条件的有两个 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是的垂心 D. 若，则是重心 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B. 取得最小值 C. 当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时， D. 对任意点，平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆台轴截面的周长为，母线与底面成角，圆台的高为，该圆台的体积为_________． 13. 在中，角的平分线交于，则_____________． 14. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为_____________ 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、是夹角为的两个单位向量，，． （1）若、可以作为一组基底，求实数的取值范围； （2）若、垂直，求实数的值． 16. 如图，在正三棱柱中，为棱中点，为棱中点，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面. 17. 如图，正方形边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点. （1）求的余弦值； （2）设，求的值及点的坐标． 18. 在①；②；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 问题：已知的内角的对边分别为且满足______． （1）求角的大小； （2）若边上的中线长为，，求的面积. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 19. 如图，在三棱锥中，底面ABC，平面平面PBC. （1）求证：； （2）若是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动． ①求与平面所成角的正切值； ②若平面，求线段长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$