精品解析：四川省眉山市东坡区高中学校级2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题

高中学校高一年级期中联考 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（ ） A. B. C. D. 2. 已知角终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 为了得到图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则值为 A. B. C D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与共线，则 C. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 关于函数，则下列选项中正确的有（ ） A. 其表达式可写成 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 存在使恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数定义域为______. 13. 已知，则______． 14. 已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）化简 16. 已知 （1）求值； （2）求角的值. 17. 已知函数． （1）若函数的最小正周期，求函数的单调递增区间； （2）若函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数在上的值域． 18. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形.求矩形的面积的最大值. 19. 已知函数，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于y轴对称且． （1）求函数的解析式： （2）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中学校高一年级期中联考 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知平面四边形ABCD，则＋＋＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】在平面四边形ABCD中， ＋， 所以＋＋， 故选：A 2. 已知角终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再由诱导公式进行化简求值即可. 【详解】由三角函数的定义得，， 又由诱导公式得，. 故选：A. 3. 已知，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式求解. 【详解】， 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题. 4. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别从充分性与必要性两个方面论证判断. 【详解】因为，所以满足充分性；而，或，所以不满足必要性，所以是的充分不必要条件. 故选：B. 5. 已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由已知函数的图象经过点则而最小正周期，故选A. 考点：三角函数的图像和性质 6. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据将所求角用两角差的正切展开代入求值. 【详解】 . 故选：B 8. 若，则的值为 A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，所以，再利用余弦的倍角公式和两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】由题意，因为，可得，所以 又由余弦的倍角公式，可得 . 故选B. 【点睛】本题主要考查了余弦函数的倍角公式，以及两角差的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误是（ ） A. 两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 B. 若非零向量与共线，则 C. 若非零向量与是共线向量，则四点共线 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由相等向量定义可判断A错误，D正确，根据共线定理可得B错误，若与是共线向量，可能，此时四点不共线，即C错误. 【详解】对于A，由相等向量定义可得两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，即A错误； 对于B，若非零向量与共线，则可得存在实数满足，即B错误； 对于C，若非零向量与是共线向量，可能，不一定四点共线，即C错误； 对于D，若，可得的方向相同，且模长相等，即，即D正确. 故选：ABC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 是的最小值 C. 在区间上的值域为 D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的图象求出函数的解析式可判断A；将代入解析式可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D. 【详解】函数的周期，则，， 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为； 当时，， 由， 得，即， 所以函数解析式为， 因为， 所以， 对于A，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，是的最小值，故B正确； 对于C，当时，， 利用正弦函数的性质知，， 得，故C错误； 对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 11. 关于函数，则下列选项中正确的有（ ） A. 其表达式可写成 B. 直线是曲线的一条对称轴 C. 在区间上单调递增 D. 存使恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据降幂公式、辅助角公式化简，结合余弦型函数的对称性、单调性逐一判断即可判断ABC选项；假设其存在，再根据解方程即可判断； 【详解】， 因 故A错误； 当时，，故B正确； 当时，有， 因为函数在上单调递增且， 则在区间上单调递增，故C正确； 若，所以有， 所以有， 或， 即或 若，显然不恒成立； 若，虽满足恒成立， 但此时不存在这样的整数，使得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域结合整体思想即可得解. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简已知等式，再结合诱导公式、余弦二倍角公式进行求解. 【详解】， ． 故答案为：. 14. 已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则最大值是___________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据正弦型函数的奇偶性得到，，，，进而有，再由区间无最小值得到，即得的范围，分类讨论并验证，即可得解. 【详解】由为奇函数，则，， 由为偶函数，则，， 所以，即，， 且，即，，又，则， 在上，，即在上没有最小值， 所以且，故， 当，则； 当时，则， 结合，， 当时， ，则为偶函数，不符， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； 当时， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； ，则为偶函数，不符； 当时， ，则为偶函数，不符； 即，故最大值为6. 故答案为：6. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若，求的值； （2）化简 【答案】（1）2；（2）1 【解析】 【分析】（1）利用正切和角公式得到，故； （2）利用同角三角函数关系，辅助角公式，正弦二倍角公式和诱导公式，化简得到答案. 【详解】（1），故， 即，所以， ， 所以； （2） . 16. 已知 （1）求的值； （2）求角的值. 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式及平方关系和商数关系求正切值； （2）由（1）及已知有、，应用二倍角正余弦公式求，，平方关系求，最后应用差角余弦公式求目标角的余弦值，即可得. 【小问1详解】 由，，则，故； 【小问2详解】 由（1）及题设，易知，又， 所以， 由（1）有，， 由，则， 所以，故. 17. 已知函数． （1）若函数的最小正周期，求函数的单调递增区间； （2）若函数图象的相邻两对称轴之间的距离为，求函数在上的值域． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数的单调递增区间； （2）由题意可得函数的最小正周期，求出的值，再利用正弦函数的性质求出函数在上的值域. 【小问1详解】 ∵ ， 又函数的最小正周期，所以，解得， 所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 因为函数图象的相邻两对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期，即，解得， 则， 又，则，所以， 即函数在上的值域为． 18. 如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形.求矩形的面积的最大值. 【答案】 【解析】 【分析】令，，将矩形的面积表示成关于的函数，结合辅助角公式以及三角函数单调性计算可得结果. 【详解】连接， 在中，， 易知，，，， 所以，， 因此 因为，， 当，即时， 取得最大值. 19. 已知函数，其图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，将函数向左平移个单位得到的图像关于y轴对称且． （1）求函数的解析式： （2）若，方程存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据给定函数的性质，求出，再由平移后的图象特征求出并判断作答. （2）由给定方程可得或，根据根的情况结合图形求解作答. 【小问1详解】 因函数图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，则的周期，解得， 有，依题意的图像关于y轴对称， 则有，即，而，即有或， 当时，，不符合要求，当时，， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 由（1）知，，当时，，， 由得：，即或， 由，即，而，解得或，即在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图， 方程在上有两个不等实根，当且仅当函数在上的图象和直线有两个公共点， 观察图象知：或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$