第六章第07讲 平行四边形单元提升卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第07讲 平行四边形单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 3．如图，在中，，，平分交于点，则的长是（ ）   A．1 B．2 C．2.5 D．3 4．如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（    ） A．28 B．24 C．18 D．14 6．综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程． 李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 7．如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．已知，在中，，平分交所在直线于点E，，则的长为（    ） A．6或7或8 B．7或8 C．6或7 D．6或8 10．如图，中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动；点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度是；②的长度为；③的值为8；④当时，的值为或9． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 12．如图，中，AE平分，，则等于 ． 13．如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为 ． 14．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 15．如图，已知点，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，且，则四边形的周长为 ． 16．如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．如图，在中，的平分线交于点E，若，， (1)求的度数． (2)求的长度． 18．如图，是的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F，垂足为点O．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)求证：． 19．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形， (2)若，，，求四边形的面积． 20．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． (1)若，，求的长______． (2)点为的中点，连接，交于点，求证： 22．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)若的面积为4，则四边形的面积为 ． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论． 23．在探究活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．某数学兴趣小组利用该方法探究下面问题：如图，在中，，点，分别是射线，的动点，且，连接，点，分别是，的中点，连接．则的长是否是一个定值呢？ 【特殊化感知】 （1）如图，若点，分别是，的中点，则 ； 【一般化探究】 （2）如图，若点，分别在边，上，则= ； （3）在点，运动的过程中，设（是常数，），则的长是否保持不变？若不变，求出的长；若改变，求出的取值范围． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 25．如图1，，点，点在轴正半轴上，点，在第一象限，且，，的对角线． (1)点的坐标为 ； (2)动点从点出发沿的路线运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作轴的垂线交折线于点，以为直角边且向右作等腰直角三角形，设运动时间为． ①如图2，当等腰直角三角形与重叠部分为四边形时，与相交于点．则四边形的形状为 ； ②线段的长度为 ；（用含的代数式表示） ③若设重叠部分的面积为，在运动过程中，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行四边形单元提升卷 （范围：全章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，四边形是平行四边形，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角相等，对边平行是解题的关键． 根据平行四边形对角相等求出，再由平行四边形对边平行得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，D、E分别是的中点，则的长度为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 由题意可得是的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，，平分交于点，则的长是（ ）   A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可知，，，那么，结合平分，可知，那么，最后通过算得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 4．如图，四边形的两条对角线、交于点O，下列不能判定是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、因为，，所以四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意； 故选：D． 5．如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（    ） A．28 B．24 C．18 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得对角线互相平分且对边相等，即，，再结合周长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴的周长， 故选：C． 6．综合实践课上，李海画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．图图③是他的作图过程． 李海的作法中，可直接判定四边形是平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考直了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 7．如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积被对角线角等分． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， 四边形，四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， 故选：B． 8．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知， ， 故选：C． 9．已知，在中，，平分交所在直线于点E，，则的长为（    ） A．6或7或8 B．7或8 C．6或7 D．6或8 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，画出符合的两种图形，根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，求出，推出，即可求出答案． 【详解】解：分为两种情况： ①E点在线段上， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当E在延长线时， ∵，， ∴； 即或8， 故选：D． 10．如图，中，，两动点，同时从点出发，点在边上以的速度匀速运动，到达点时停止运动；点沿的路径匀速运动，到达点时停止运动．的面积与点的运动时间的关系图象如图所示．已知，则下列说法正确的是（   ） ①点的运动速度是；②的长度为；③的值为8；④当时，的值为或9． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】`本题主要考查函数图象问题，由点M的速度和路程可知，时，点M和点C重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图可得当时，点N和点A重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点B到点C，用时， 当时，过点N作于点E， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是；故①正确； 由图可知，点N从B到A用时， ∴，故②正确； ∴，故③错误； 当点M未到点C时，过点N作于点E， 故 所以 ∴， 解得，负值舍去； 当点N在上时，过点N作交延长线于点F， 此时， ∴， ∴， 解得， ∴当时，t的值为或9．故④正确； 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11．若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：．根据多边形内角和定理：可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设多边形边数有条，由题意得： 解得：， 故答案为：8． 12．如图，中，AE平分，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行四边形的性质结合角平分线的定义即可推出结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ， ， 故答案为：． 13．如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出，的中点为D，E，测得，则A，B之间的距离为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是，的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，的中点为D，E， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 即A,B之间的距离为 故答案为：40 14．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，请添加一个条件 使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．添加，根据平行四边形的性质可得，，进而得，再根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】解：添加，可以使四边形是平行四边形，理由如下： 连接，与相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 15．如图，已知点，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴的正半轴上，且，则四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由坐标可得，，从而得出，由平移的性质易证四边形是平行四边形，即可求出四边形的周长． 【详解】解：， ，， ， ， ， 由平移的性质可知，，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为， 故答案为：． 16．如图，在平行四边形中，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动，当点到达端点时，点随之停止运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，整数的值为 ． 【答案】3或6或9 【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及平行四边形的判定与性质、两个直角三角形全等的判定与性质、一元一次方程的应用，根据题意，分三种情况：①当时；②当时；③当时，画出图形，数形结合，列方程求解即可得到答案．解题的关键是分类讨论思想的应用． 【详解】解：由已知可得，从需，从（或从）需， 设点的运动时间为， ①当时， 过作于，过作于，如图所示： ， ， 由点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿往复运动， 则， 在平行四边形中，， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ∴， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（不是整数，舍去）； 当四边形是平行四边形时，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为3时，； ②当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∵， ∴， ∴， 解得； 由①知，若四边形中，，，时，则， 这种情况在时不存在； ∴为6时，； ③当时，若四边形是平行四边形，如图所示： 此时， ∴， 解得， ∴为9时，； 综上所述，为3或6或9时，， 故答案为：3或6或9． 三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 17．如图，在中，的平分线交于点E，若，， (1)求的度数． (2)求的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求角度，理解平行四边形的性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质可得，，即可求解； （2）根据等角对等边求得，然后结合平行四边形的性质推理计算． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，， ，， 又∵， ， 平分， ， ． （2）解：由（1）可得， ∴， 又∵在中，， ∴． 18．如图，是的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F，垂足为点O．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本体考查了作图——作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：，垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， 19．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，点E为的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形， (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再由平行四边形的性质得到，进而得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）求出，，根据四边形的面积即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴四边形的面积 20．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 21．如图，在中，和的角平分线与交于点，且点恰好在边上． (1)若，，求的长______． (2)点为的中点，连接，交于点，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，能够添加合适的辅助线是解题的关键． （1）首先证明，，再利用勾股定理求解； （2）取BE的中点T，连接，通过证明四边形是平行四边形，得出，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，，，， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图所示，取的中点T，连接，连接 ，， ，， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ． 22．如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)若的面积为4，则四边形的面积为 ． (2)求证：四边形是平行四边形． (3)判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质，中位线判定定理及性质定理等． （1）由三角形面积公式即可得出，后由平行四边形面积公式即可得出本题答案； （2）延长交于点，证明，后得到为的中位线，继而得到本题答案； （3）由平行四边形性质得，后得，再由全等三角形性质可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：过点作， ， ∵点D是边的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的面积：， 故答案为：8； （2）解：延长交于点， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：判断：，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．在探究活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．某数学兴趣小组利用该方法探究下面问题：如图，在中，，点，分别是射线，的动点，且，连接，点，分别是，的中点，连接．则的长是否是一个定值呢？ 【特殊化感知】 （1）如图，若点，分别是，的中点，则 ； 【一般化探究】 （2）如图，若点，分别在边，上，则= ； （3）在点，运动的过程中，设（是常数，），则的长是否保持不变？若不变，求出的长；若改变，求出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）的长始终保持不变，为 【分析】（1）分别证四边形是平行四边形、四边形是平行四边形，即可得到； （2）利用梯形中位线定理证明方法即可得解； （3）分两种情况讨论，点和点在边和上，以及射线和上，参考（）中思路求解即可． 【详解】解：（1）在四边形中，，， ∵和分别为和中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理可得四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：； （2）延长交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴点和点重合， ∴的中位线， ∴； （3）的长始终保持不变，为； ①点，分别在边，上时，同（）情况，此时； ②当点在延长线上，点在延长线上时，延长交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴点和点重合， ∴的中位线， ∴； 综上，的长始终保持不变，为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 24．已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，当运动时间为 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长 (4)如图4，在（1）的条件下，连并延长与的延长线交于点F，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4.8或8或9.6 (3)的长为8 (4) 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （4）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形； （3）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为8； （4）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 25．如图1，，点，点在轴正半轴上，点，在第一象限，且，，的对角线． (1)点的坐标为 ； (2)动点从点出发沿的路线运动，在上的速度为每秒个单位长度，在上的速度为每秒个单位长度，过点作轴的垂线交折线于点，以为直角边且向右作等腰直角三角形，设运动时间为． ①如图2，当等腰直角三角形与重叠部分为四边形时，与相交于点．则四边形的形状为 ； ②线段的长度为 ；（用含的代数式表示） ③若设重叠部分的面积为，在运动过程中，求与的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①平行四边形；②；③ 【分析】（1）延长交轴于点，根据平行四边形证明和△是等腰直角三角形，得，，，即可解答； （2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得结论； ②分点在和两种情况，当点在上时，如图1，先求得的长，再由线段的差可得的长；当点在上时，先确定点在上运动，因此从到时间是，再与速度为每秒个单位长度相乘即可解答； ③分三种情况：时，如图2，重叠部分是，根据三角形的中线平分三角形的面积即可解答；当时，如图3，重叠部分是四边形，根据面积差计算即可；当时，如图4，重叠部分是，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：（1）如图1，延长交轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①四边形的形状为平行四边形，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形， 故答案为：平行四边形； ②存在两种情况： 当点在上时，； 点到达点用时， 当点在上时，， 综上，线段的长度为或； 故答案为：或； ③分三种情况： 当时，如图2，重叠部分是， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3，重叠部分是四边形， 同上可得， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图4，重叠部分是， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 综上，与的函数关系式为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解题是关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$