精品解析： 重庆市渝北区松树桥中学校2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

松树桥中学校八年级（下）期中数学试 （全卷共三道大题，分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞7 B. x≤7 C. x≥7 D. x<7 3. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A 3，4，5 B. 5，6，7 C. 7，24，25 D. 9，12，15 4. 如图，在数轴上，点表示实数3，垂直数轴于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ） A B. C. D. 5. 已知函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 估计的值在（ ） A 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 8. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 10. 甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 甲的速度为8米/秒 D 当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 将直线沿轴向上平移7个单位得到的直线的解析式为_________． 12. 化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个和4个，第2个结构式中有2个和6个，第3个结构式中有3个和8个，…，按照这一规律，设第（是正整数）个结构式中的个数是，则关于的函数的解析式是_________（是正整数）． 13. 如图，矩形中，，为边上一点，沿将折叠，点正好落在边上的点．则折痕的长为_________． 14. 已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是_______ 15. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 三、解答题（本题共8小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） （4）． 18. 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，对角线，交于点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，平分交于点． 求证：． 证明：四边形是平行四边形 ，①__________ 又平分，平分 ，②__________ 在和中 （④__________） ． 小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段⑤__________． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使．连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若，，，求OF的长． 20. 阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … （1）填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） （2）观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； （3）计算：（提示：）． 21. 建设美丽宜居重庆，提升市民江边漫步休闲体验，重庆市政对长江某段长达2400米的江堤进行美化，施工队在美化800米后，改进施工方式，每天的工作效率比原来提高，26天完成全部美化任务． （1）施工队原来每天美化江堤多少米？ （2）若市政原来每天支付给施工队的工资为a元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58400元，，求a的最大值． 22. 已知，直线与轴、轴分别交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： … 0 2 4 6 8 … … 5 2 5 … 直接写出的值，__________，__________，__________． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象； （3）写出该函数的一条性质：_________________________________________________________________； （4）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为__________． 24. 如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； （3）如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松树桥中学校八年级（下）期中数学试 （全卷共三道大题，分值：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有开的尽方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； D、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞7 B. x≤7 C. x≥7 D. x<7 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，据此即可求解． 【详解】根据题意得：x−7≥0， 解得：x≥7. 故选C. 【点睛】考查二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0. 3. 下列四组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 7，24，25 D. 9，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数的定义：在一组（三个正整数）数中，两个数的平方和等于第三个数的平方，根据勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：解：A、由可知，3，4，5是勾股数，不符合题意； B、由可知，5，6，7不是勾股数，符合题意； C、由可知，7，24，25不是勾股数，符合题意； D、由可知，9，12，15是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在数轴上，点表示实数3，垂直数轴于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，然后再由题意可得，从而可得点C表示的数．本题考查作图、实数与数轴、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵数轴上点A对应的数为3， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C， ∴， ∴点C表示的数为． 故选：C． 5. 已知函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解绝对值方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据正比例函数的定义可得到，，解之代入求值即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， ， 故选：D． 6. 直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：直线，，， 直线的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 7. 估计的值在（ ） A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，的对角线、相交于点，的角平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，，可得，根据平分，可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得，即可求出的长． 【详解】解：在平行四边形中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 9. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10. 甲乙两人骑自行车分别从两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离（米）和骑行的时间（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. 甲的速度为8米/秒 D. 当甲出发55秒或65秒时，甲、乙相距50米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断C；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断A；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断B；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断D． 【详解】解：由图可得，甲的速度为： (米/秒) ，故C错误，符合题意； ∴乙的速度为：(米/秒)， 故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； 设当甲、乙相距米时， 甲出发了秒， 两人相遇前：，解得 ； 两人相遇后： ，解得 ， 故D正确，不符合题意； 故选： C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 将直线沿轴向上平移7个单位得到的直线的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律是：①左右平移时，自变量x左加右减；②上下平移时，b的值上加下减解答即可． 【详解】解：直线沿轴向上平移7个单位得到的直线的解析式为， 故答案为：． 12. 化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个和4个，第2个结构式中有2个和6个，第3个结构式中有3个和8个，…，按照这一规律，设第（是正整数）个结构式中的个数是，则关于的函数的解析式是_________（是正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察图形可得规律第n个结构式中有n个C和个H，据此求解即可． 【详解】解：第个结构式中有个和个， 第个结构式中有个和个， 第个结构式中有个C和个H， ……， 以此类推，第n个结构式中有n个C和个H， ∴， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，为边上一点，沿将折叠，点正好落在边上的点．则折痕的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，由矩形的性质和折叠的性质可得 ，由勾股定理可求的长，即可得由勾股定理可求的长，可得的值，再由勾股定理即可求解. 【详解】解：∵四边形是矩形， ， 由折叠得： ， 在中， ， ，在中， ， ， 故答案为： ． 14. 已知四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为AD中点，AB=6cm，P为AC上任一点．求PE+PD的最小值是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得AC是BD的垂直平分线，可得AC上的点到D、B点的距离相等，连接BE交AC与P，可得答案． 【详解】解：∵菱形的性质， ∴AC是BD的垂直平分线，AC上的点到B、D的距离相等． 连接BE交AC于P点， PD=PB， PE+PD=PE+PB=BE， 在Rt△ABE中，由勾股定理得 故答案为3 【点睛】本题考查了轴对称，对称轴上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 15. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式解集为， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴ 解得：， 即且， 解得：且 ∴a的取值范围是，且 ∴a可以取：1，3， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式方程解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定的最大值及的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“方佳数”的定义，得出， 再由能被整除可知 是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到的最小值． 【详解】解： 是“方佳数”， 即 ， ∴当 时，有最大值， ∴这个数最小是； 设这个四位数则 ， ∵四位数是“方佳数”， ， ， 能被整除， 是整数， 是整数且 ∴满足条件的的值为， ， ∵要求的最小值，则， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为： ；． 三、解答题（本题共8小题，第17题16分，其余每小题10分，共86分） 17. 计算： （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式混合计算，实数的混合运算，二次根式的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先运算二次根式的乘法，然后加减解题即可； （3）先根据单项式乘以多项式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项解答； （4）先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，再把分子、分母分解因式约分解题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 18. 学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分，其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论，请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，对角线，交于点，作的角平分线，交于点．（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，平分交于点． 求证：． 证明：四边形是平行四边形 ，①__________ 又平分，平分 ，②__________ 在和中 （④__________） ． 小庆再进一步研究发现，过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形一条对角线的两端点作两条平行线，这两条平行线截另一对角线所得的线段⑤__________． 【答案】（1）图见解析 （2）①；②；③；④；⑤被对角线的交点平分 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）以点为圆心画弧交和，再分别以两个交点为圆心画弧交于一点，连接点和该点，交于点即为所求． （2）①根据平行四边形对角线相互平分可知；②根据角平分线的定义可知；根据对顶角相等和全等三角形的判定可知③和④；⑤画出图形，根据前述思路通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论． 【小问1详解】 解：如下图即为所求， 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， 又平分，平分 ， 在和中 ． ⑤如图所示，在中，对角线，交于点，点、在上，且， 四边形是平行四边形， ， 又 在和中 ． 故答案为：①；②；③；④；⑤被对角线的交点平分． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC至F，使．连接DF． （1）求证：四边形ADFE为矩形； （2）连接OF，若，，，求OF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证△ABE≌△DCF（SAS），得AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，再证AE∥DF，得四边形ADFE是平行四边形，即可得出结论； （2）由矩形的性质得到EF=AD=3，进而求得BE=CF=1，BF=4，再由直角三角形的性质得AB=2BE=2，然后由勾股定理可求得BD的长度，最后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC且AB=DC， ∴∠ABE=∠DCF， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°， ∴AE∥DF， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∵∠DFC=90°， ∴平行四边形ADFE是矩形； 【小问2详解】 由（1）知：四边形ADFE是矩形， ∴EF=AD=3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=3，CD=AB，OB=OD， ∴BE=CF=BC-EC=1， ∴BF=BC+CF=4， 在Rt△ABE中，∠ABE=60°， ∴∠BAE=90°-∠ABE=30°， ∴AB=2BE=2， ∴DF=AE= ， ∴BD= ∵∠DFB=90°，OB=OD， ∴OF= BD= ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 20. 阅读下列材料，并回答问题．； ； ； ； … （1）填空：__________；比较大小：__________；（填“”或“”） （2）观察上述算式，仿照上述方法计算（是正整数）； （3）计算：（提示：）． 【答案】（1）； （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，读懂阅读材料找到算式规律是解题的关键． （1）根据材料计算方法即可得到第一个填空答案；根据材料计算方法可知，，结合即可得到答案； （2）仿照材料方法计算即可； （3）仿照材料方法计算可求得，原式，进一步计算即可． 【小问1详解】 解：， 根据材料可知，，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 21. 建设美丽宜居重庆，提升市民江边漫步休闲体验，重庆市政对长江某段长达2400米的江堤进行美化，施工队在美化800米后，改进施工方式，每天的工作效率比原来提高，26天完成全部美化任务． （1）施工队原来每天美化江堤多少米？ （2）若市政原来每天支付给施工队的工资为a元，提高工作效率后每天支付给施工队的工资增加了，完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58400元，，求a的最大值． 【答案】（1）施工队原来每天美化江堤80米； （2）a的最大值为2000． 【解析】 【分析】（1）设施工队原来每天美化江堤x米，则改进施工方式后每天美化江堤米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）根据完成整个工程市政共支付给施工队的工资不超过58400元，可列出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 设施工队原来每天美化江堤x米，则改进施工方式后每天美化江堤米， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解． 答：施工队原来每天美化江堤80米； 小问2详解】 根据题意得：， 解得：， ∴a的最大值为2000． 答：a的最大值为2000． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 已知，直线与轴、轴分别交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）求出点D的坐标，利用计算解题； （3）根据，列方程求出的值，即可得到点P的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴； 小问3详解】 解：∵， ∴， 解得或， 当时，，点P的坐标为； 当时，，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 23. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： （1）列表： … 0 2 4 6 8 … … 5 2 5 … 直接写出的值，__________，__________，__________． （2）在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象； （3）写出该函数的一条性质：_________________________________________________________________； （4）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为__________． 【答案】（1），2，4 （2）见解析 （3）该函数的一条性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （4）或 【解析】 【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． （1）由图象可得把时，代入函数解析式求出，则可得函数解析式，再把和分别代入求出； （2）描点补全图象即可； （3）观察图象可得性质； （3）数形结合，可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴当；当， ∴， 故答案为：，2，4； 【小问2详解】 解：函数图象如下： 【小问3详解】 解：该函数的一条性质：当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问4详解】 解：由图象可得，不等式的解集为或． 24. 如图1，正方形中，分别为上的点，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，为的中点，交于点，连接． 求证：； （3）如图3，若正方形的边长为8，是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，进而得到， 由此得证； （2）过点作交于点， 可证出，得， 解直角三角形即可得证； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作交于点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长， ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，勾股定理，充分利用线段和角证明三角形全等、转化线段和角的关系式解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$