专题05 二元一次方程组（考点串讲，4考点+3专项+3易错）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

六年级数学下学期·期末复习大串讲 专题05 二元一次方程组 （4考点+3专项+3易错） 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 三大专项突破十七种题型 三大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期末真题对应考点练 两 1 加减 三 知识结构 3 知识梳理 1.二元一次方程:通过化简后,只有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,系数都不是0的整式方程,叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组:由两个一次方程组成,共有两个未知数的方程组,叫做二元一次方程组. 知识点一：二元一次方程组的概念 4.二元一次方程组的解: 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 5.方程组的解法 根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法. 基本思想或思路——消元 常用方法————代入法和加减法 (1)求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用含x的代数式表示; (2)把这个含x的代数式代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程； (3)解一元一次方程，求出x的值; (4)再把求出的x的值代入变形后的方程，求出y的值. 1.用代入法解二元一次方程组 知识点二：二元一次方程组的解法 (1)利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等； (2)把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程； (3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ； (4)把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解 . 2.用加减法解二元一次方程组 审： 设： 列： 解： 答： 审清题目中的等量关系． 设未知数． 根据等量关系，列出方程组． 解方程组，求出未知数． 检验所求出未知数是否符合题意，写出答案． 列二元一次方程解决实际问题的一般步骤 知识点三：二元一次方程组的应用 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 知识点四：三元一次方程组及其解法 考点1 三个概念 二元一次方程(组) 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是(　C　) A. B. C. D. C 针对训练 二元一次方程(组)的解 2. 下列4组数中，不是二元一次方程2 x ＋ y ＝4的解的是 (　D　) A. B. C. D. D 三元一次方程组 3. 下列各方程组中，三元一次方程组有(　B　) B ② ③ ④ ① A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 考点2两个解法 二元一次方程组的解法 4. 解下列方程组： (1) 解：(1)①＋②，得3 x ＝9，解得 x ＝3. 将 x ＝3代入②，得3＋ y ＝6，解得 y ＝3. 所以原方程组的解为 (2)[2023乐山] 解：(2) ①×2，得2 x －2 y ＝2，③ ②＋③，得5 x ＝10，解得 x ＝2. 把 x ＝2代入①中，得2－ y ＝1，解得 y ＝1. 所以原方程组的解为 三元一次方程组的解法 5. 解方程组： 解：设 x ＝3 k ，则 y ＝4 k ， z ＝5 k . 因为 x ＋ y ＋ z ＝36，所以3 k ＋4 k ＋5 k ＝36. 解得 k ＝3. 所以原方程组的解为 考点3二个应用 二元一次方程的实际应用 6. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为150 cm的导线，将其全部截成10 cm和20 cm两种长度的导线用于实验操作(每种长度的导线至少一根)，则截取方案共有(　C　) A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 C 二元一次方程组的实际应用 7. [2023吉林]2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售 A ， B 两种查干湖野生鱼，如果购买1箱 A 种鱼和2箱 B 种鱼需花费1 300元；如果购买2箱 A 种鱼和3箱 B 种鱼需花费2 300元.分别求每箱 A 种鱼和每箱 B 种鱼的价格. 解：设每箱 A 种鱼的价格为 x 元，每箱 B 种鱼的价格为 y 元，由题意得解得 因此，每箱 A 种鱼的价格为700元，每箱 B 种鱼的价格为300元. 考点4一个技巧——换元法 8. 解方程组： 解：令 ＝ m ， ＝ n ， 将原方程组化为 ①×4＋②，得13 m ＝13，解得 m ＝1. 把 m ＝1代入①，得 n ＝1， 即 ＝1， ＝1.解得 x ＝1， y ＝ . 所以原方程组的解为 关于二元一次方程(组)的解的六种常见题型 专项突破一 19 题型1已知二元一次方程(组)的解，求字母或式子的值 1. [2024永城实验中学期末]已知是关于 x ， y 的二 元一次方程 ax ＋3 y ＝1的一组解，则 a 的值为(　D　) A. －6 B. －5 C. 4 D. 5 D 2. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组 的解为则 a －2 b 的值是(　B　) A. －2 B. 2 C. 3 D. －3 B 题型2已知二元一次方程组与二元一次方程共解，求字母的值 3. 若关于 x ， y 的二元一次方程组的解也是 二元一次方程2 x ＋3 y ＝6的解，则 k 的值为(　B　) A. － B. C. D. － B 4. 【新视角·新定义题】对于有理数 x ， y ，定义新运算：x*y＝ ax ＋ by ， x ⓧ y ＝ ax － by ，其中 a ， b 是常数.已知1*1＝1， 3ⓧ2＝8.(1)求 a ， b 的值； 解：(1)由题意，得解得 (2)若关于 x ， y 的方程组的解也满足方程 x ＋ y ＝5，求 m 的值. 解：(2)依题意，得解得 因为 x ＋ y ＝5，所以 m ＋1＋3 m －2＝5，解得 m ＝ . 题型3已知二元一次方程组的解满足某个条件，求式子的值 5. [2024济南天桥区月考]已知关于 x ， y 的二元一次方程组 的解中 x ， y 均为整数，且 m 为正整数， 则 m2－1的值为(　B　) A. 3或48 B. 3 C. 4或49 D. 48 B 点拨：①＋②，得3 x ＋ mx ＝10， 合并同类项，得(3＋ m ) x ＝10，解得 x ＝ . 因为 m 为正整数，所以3＋ m ＞3. 又因为 x 是整数，所以3＋ m ＝10或3＋ m ＝5.所以 m ＝7 或 m ＝2. 当 m ＝7时， x ＝1， y ＝ (不符合题意，舍去)， 当 m ＝2时， x ＝2， y ＝3，符合题意.所以 m2－1＝3. 题型4已知两个二元一次方程组共解，求字母的值 6. 【新考法·同解求值法】已知关于 x ， y 的两个方程组 和具有相同的解， 则 a ， b 的值是(　C　) C A. B. C. D. 7. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组和 有相同的解，求2 a ＋ b 的值. 解：由题意得方程组解得 将代入得 解得 所以2 a ＋ b ＝2＋1＝3. 题型5已知二元一次方程组的错解，求字母的值 8. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的 a ，得解为乙看错了方程组中的 b ，得解为 (1)甲把 a 错看成了什么？乙把 b 错看成了什么？ 解：(1)将代入方程组，得 解得将代入方程组，得解得 所以甲把 a 错看成了1，乙把 b 错看成了1. (2)求出原方程组的解. 解：(2)根据(1)得正确的 a ＝2， b ＝3， 则方程组为解得 题型6巧用系数相同的二元一次方程组解的特征求方程组的解 9. 若方程组①的解为则方程组②的解为 ⁠. 　 10. 三名同学对下面这个问题提出了自己的看法： 若关于 x ， y 的方程组的解是 求方程组的解. 甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除 以5，将方程组化为 然后通过换元替代的方法来解决？”你认为这个方程组 有解吗？如果有，求出它的解. 解：我认为方程组有解. 因为方程组的解是 所以对于方程组 有解得 所以方程组的解为 解二元一次方程组常用的数学思想 专项突破二 33 数学思想1整体思想 1. 阅读材料：解方程组时， 可由①得 x － y ＝5③，然后再将③代入②，得3×5＋2 y ＝9， 解得 y ＝－3.将 y ＝－3代入①可求得 x ＝2，从而得到方程组的解为这种解方程组的方法被称为“整体代入法”. 利用上述方法解方程组： 解： 由①，得3 x ＋ y ＝－1，把3 x ＋ y ＝－1代入②， 得 ＋2 y ＝7，解得 y ＝4. 把 y ＝4代入①，求得 x ＝－ . 所以原方程组的解为 数学思想2换元思想 2. [2024重庆八中模拟]已知方程组求 x ， y 的值. 解：设2 x ＝ m ，3 y ＝ n . 原方程组可化为 解得 即则 x ＝4， y ＝3. 数学思想3分类组合思想 3. [2024河南师大附中模拟]已知关于 x ， y 的方程组与的解相同，试求4 a2＋ b2的值. 解：由题意得方程组解得 把代入方程组得 解得 所以4 a2＋ b2＝4×(－2)2＋32＝25. 数学思想4消元思想 4. 阅读下面解方程组的方法，然后解答问题. 解方程组时，直接消元是很繁琐 的，采用下面的解法则会简单许多. 解：②－①，得3 x ＋3 y ＝3，所以 x ＋ y ＝1.③ ③×14，得14 x ＋14 y ＝14.④ ①－④，得 y ＝2，将 y ＝2代入③，得 x ＋2＝1，解得 x ＝－1. 所以原方程组的解是 用上述方法解方程组 解： ②－①，得3 x ＋3 y ＝3，所以 x ＋ y ＝1.③ ③×2 021，得2 021 x ＋2 021 y ＝2 021.④ ①－④，得 y ＝2. 把 y ＝2代入③，得 x ＋2＝1，解得 x ＝－1. 所以原方程组的解是 列方程(组)解应用题的七种常见类型 专项突破三 40 类型1行程问题 1. [2024重庆期末]甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇.相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车. (1)求小车和摩托车的速度. 解：(1)小车的速度为135千米/时，摩托车的速度为45千米/时. 解：(2)设相遇后，摩托车继续行驶 m 小时两车相距30千米，根据题意得45 m ＝30或45 m －135( m －1)＝30或135( m －1)－45 m ＝30或45 m ＋45× ＝240－30，解得 m ＝ 或 m ＝ 或 m ＝ 或 m ＝ .因此，相遇后，摩托车继续行驶 小时或 小时或 小时或 小时两车相距30千米. (2)求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？ 类型2古代问题 2. 【新考向·数学文化】《九章算术》中有这样一题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、鸡价各几何？大意为：现有若干人合伙出钱买一只鸡，如果每人出9文钱，就会多11文钱；如果每人出6文钱，又会缺16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答上述问题. 解：设有 x 人合伙买鸡，鸡的价格为 y 文钱， 依题意，得解得 因此，买鸡的人数为9人、鸡的价格为70文钱. 类型3利润问题 3. [2024重庆九龙坡区期中]一水果店第一次购进400 kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完.该店马上又购进了800 kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元.两次进货共花费4 400元. (1)第一次购进的西瓜进价为每千克 元. 4　 点拨：设第一次购进的西瓜进价为每千克 x 元，第二次购进的西瓜进价为每千克 y 元， 由题意得解得 因此，第一次购进的西瓜进价为每千克4元. 3. [2024重庆九龙坡区期中]一水果店第一次购进400 kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完.该店马上又购进了800 kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元.两次进货共花费4 400元. (2)在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同.由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗.第一次购进的西瓜有4％的损耗，第二次购进的西瓜有6％的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2 984元，则每千克西瓜的售价为多少元？ 解：设每千克西瓜的售价为 m 元， 由题意得 m [400(1－4％)＋800(1－6％)]－4 400＝2 984，解得 m ＝6.5.因此，每千克西瓜的售价为6.5元. 类型4工程问题 4. 【情境题·生活应用】小芳家准备装修一套新住房，若甲、乙两家装修公司合作，需要6周完成，共需要装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需要装修费4.8万元，小芳的父母商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约开支的角度考虑应该选择哪家公司来做？ 解：设甲公司的工作效率为 x ，乙公司的工作效率为 y . 依题意列方程组，得解得 所以甲公司单独做需10周，乙公司单独做需15周. 设甲公司一周的装修费是 m 万元，乙公司一周的装修费是 n 万元. 依题意列方程组，得解得 所以甲公司单独做的装修费为 ×10＝6(万元)， 乙公司单独做的装修费为 ×15＝4(万元). 因此，从节约开支的角度考虑应该选乙公司. 类型5积分问题 5. 【新视角·开放性试题】某次知识竞赛有20道必答题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分.甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1道，其余均答对. (1)甲队必答题答对的有多少道题？答错或不答的有多少道题？ 解：(1)设甲队必答题答对的有 x 道题，答错或不答的有 y 道题. 根据题意，得解得 因此，甲队必答题答对的有18道题，答错或不答的有2道题. (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1道题，又抢到了第2道题，但还没作答，甲队拉拉队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举一例说明小黄的话有何不对. 解：(2)举例如下(答案不唯一)： 甲队现在得分为170分，乙队现在得分为19×10－5＋10＝195(分). 若第2道题乙队抢答错，则乙队得分为195－20＝175(分)； 若第3道题甲队抢答对，则甲队最后得分为170＋10＝180(分)， 175＜180，故甲队获胜.所以小黄的话不一定对. 类型6几何问题 6. [2024杭州上城区期末]如图，在长方形 ABCD 中，放入8个完全相同的小长方形. (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ 解：(1)设小长方形的长为 x 厘米，宽为 y 厘米， 依题意得解得 所以每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米. (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 解：(2)因为每个小长方形的长和宽分 别是10厘米，2厘米， 所以图中阴影部分的面积为 18×(12＋2)－8×2×10＝92(平方厘米). 6. [2024杭州上城区期末]如图，在长方形 ABCD 中，放入8个完全相同的小长方形. 类型7方案问题 7. 某运输公司有A，B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨. (1)1辆A货车和1辆B货车一次分别可以运货多少吨？ 解：(1)设1辆A货车和1辆B货车一次分别可以运货 x 吨 和 y 吨.根据题意，得解得 因此，1辆A货车和1辆B货车一次分别可以运货20吨和15吨. (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A，B两种货车将全部货物一次性运完(A，B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少. 解：(2)设安排A货车 m 辆，B货车 n 辆. 依题意得20 m ＋15 n ＝190，则 m ＝ . 因为 m ， n 均为正整数，所以或或 故共有3种运输方案. 方案1：安排A货车8辆、B货车2辆； 方案2：安排A货车5辆、B货车6辆； 方案3：安排A货车2辆、B货车10辆. 方案1所需费用：500×8＋400×2＝4 800(元)； 方案2所需费用：500×5＋400×6＝4 900(元)； 方案3所需费用：500×2＋400×10＝5 000(元). 因为4 800＜4 900＜5 000， 所以方案1：安排A货车8辆、B货车2辆费用最少. 易错点1.加减消元时，因弄错符号而出错 【例1】解方程组 错解： ①-②，得-y-2y=2-3.解得y=. 把y=代入①，得x-=2.解得x=. ∴原方程组的解为 易混易错 错解分析：在计算①-②时，误将-y-（-2y）=2-（-3）当成-y-2y=2-3而出错，这是没有注意符号变化，未理解加减法法则所致！避免错误的方法是：将结果代入原方程组进行检验. 正解： ①-②，得-y-（-2y）=2-（-3）. 解得y=5. 将y=5代入①，得x-5=2.解得x=7. ∴原方程组的解为 【针对训练】解方程组 解： ①+②，得4x=8.解得x=2. 把x=2代入①，得2+2y=9.解得y=. ∴原方程组的解为 易错点2.因错用等式的性质而出错 【例2】解方程组 错解： ②×4，得8x-4y=5.③ ①+③，得11x=7.解得x=. 把x=代入②，得2×-y=5.解得y=-. ∴原方程组的解为 错解分析：在②×4时，易出现只将含未知数的项乘以4，其余各项忘记乘4的错误.根据等式的性质，方程两边都乘同一个数时，也就是每一项都乘这个数，不能漏乘某一项. 正解： ②×4，得8x-4y=20.③ ①+③，得11x=22. 解得x=2. 把x=2代入②，得2×2-y=5. 解得y=-1. ∴原方程组的解为 【针对训练】解方程组 解： ①×3+②×2，得13x=26.解得x=2. 把x=2代入①，得6-2y=4.解得y=1. ∴原方程组的解为 易错点3.因单位不统一而出错 【例3】小明家离学校2 km，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.他从家跑步去学校共用了16 min，已知小明在上坡路上的平均速度是4.8 km/h，在下坡路上的平均速度是12 km/h.小明上坡、下坡各用了多少分钟？ 错解：设小明上坡用了x min，下坡用了y min. 由题意，得 解得 答：小明上坡用了 min，下坡用了 min. 错解分析：所列方程组中时间单位没有统一，平均速度4.8 km/h与12 km/h中时间的单位是h（小时），而所设未知数中时间x与y的单位是min（分钟）.因此，列方程组解应用题时，一定要认真审题，牢记单位要统一，就能避免上述错误. 正解：设小明上坡用了x min，下坡用了y min. 由题意，得 解得 答：小明上坡用了10 min，下坡用了6 min. 【针对训练】随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式颇受欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按每千米a元来计算，耗时费按每分钟b元计算（总费用不足9元按9元计价），甲、乙两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数和平均车速及支付车费如下表. 乘客 里程数/km 平均车速/（km·h-1） 车费/元 甲 8 60 12 乙 10 50 16 （1）求a，b的值； 解：（1）甲乘客的行驶里程为8 km，时间为60×=8（min）； 乙乘客的行驶里程为10 km，时间为60×=12（min）. 由题意，得 解得 （2）星期日，王老师也用该打车方式行驶了11 km，若平均车速为55 km/h，求王老师这次打车的总费用. （2）王老师该次打车行驶里程为11 km，时间为60×=12（min）. 则11a+12b=11×1+12×=17（元）. 答：王老师这次打车的总费用为17元. 1. 方程组的解的情况是(　C　) A. 无解 B. 有一个解 C. 有无穷多个解 D. 不确定 C 押题预测 2. 【新考向·数学文化】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金 两. 　 3.解下列方程组： (1) 解：(1)②－①，得 y ＝1， 把 y ＝1代入①，得 x ＋2＝4，解得 x ＝2， 所以原方程组的解为 (2) 解：(2) ①＋②＋③，得2 x ＋2 y ＋2 z ＝90， 即 x ＋ y ＋ z ＝45.④ ④－①，得 z ＝18.④－②，得 x ＝12. ④－③，得 y ＝15. 所以原方程组的解为 方法二：①＋②－③，得2 y ＝30，即 y ＝15. ①＋③－②，得2 x ＝24，即 x ＝12. ②＋③－①，得2 z ＝36，即 z ＝18. 所以原方程组的解为 (2) 方法三：由①，得 x ＝27－ y .④ 把④代入③，得 z ＋27－ y ＝30，即 z － y ＝3.⑤ 由②与⑤组成方程组，得 解这个方程组，得把 y ＝15代入④，得 x ＝12. 所以原方程组的解为 4. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解满足 x ＋ y ＝0，求实数 m 的值. 解：解关于 x ， y 的二元一次方程组 得 因为 x ＋ y ＝0，所以2 m －11＋7－ m ＝0， 解得 m ＝4. 5. 已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元.为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠.一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房.如果租住的每间客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6 300元.求租住了三人间、双人间客房各多少间. 解：因为凡团体入住一律五折优惠，所以三人间为每人每天200×0.5＝100(元)， 双人间为每人每天300×0.5＝150(元). 设租住了三人间 a 间，双人间 b 间. 根据题意得 解得 所以租住了三人间8间，双人间13间. $$