专题09 最值模型之将军饮马四大模型（基础模型、一定两动、两定一动、两定两动）-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙江专用）

专题09 最值模型之将军饮马四大模型 （基础模型、一定两动、两定一动、两定两动） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里面的一句诗，而由此却引申出一些列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题。 如图所示，将军在图A点，现在他要带马去河边饮水，之后再返回军营，问：将军应该怎样走才能使得路程最短？ 模型1.将军饮马中基础模型求线段和最短 1 模型2.将军饮马模型中一定两动之点线 15 模型3.将军饮马模型中两定一动之点点 29 模型4.将军饮马模型中两定两动之点点 46 模型1：将军饮马中基础模型求线段和最短 问题1：如图1-1所示，点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 问题2：如图1-2所示，点A、B在直线l两侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 1.当点A、B在直线l同侧时，如图1-3所示，过点A作关于l的对称点A1，连接A1B与直线l交于点P，连接AP、PB，此时AP+PB最短。 证明：易得△AOP≌△A1OP，即AP+PB=A1P+PB，当A1、P、B三点共线时最短，A1P+PB=AB。 2.当点A、B在直线l异侧时，直接连接AB与l相较于点P，此时A、P、B三点共线PA+PB最短。 例1．如图，已知菱形的边，对角线，点P、E、F分别是、、上的动点，则的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6.5 例2．如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 1．如图，正方形的面积为4，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ） A．3 B．6 C． D．2 2．如图，在△ABC中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，等腰△ABC中，，，l是△ABC的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 6．如图，在Rt中，，点到轴的距离，点到轴的距离为6，平分，若轴上存在一动点使得的值最小，则点的坐标为 ． 7．如图，已知正方形的边长为4，M在边上，，N是上一动点．当点N在上移动到某处时，能使得的值达到最小，则这个最小值是 ．    8．如图，在等腰直角三角形中，，，△ABC的面积等于35，点P在上，点Q在上，，上有一动点M，若要使最小，则该最小值是 ． 9．已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 模型2.将军饮马模型中一定两动之点线 如图2-1所示，在OA、OB上分别取点M、点N，使得PM+MN最小。 如图2-2所示，过点P作关于OA的对称点P1与OA交于点C，在过P1作OB的垂线，垂足为N，与OA交于点M，此时PM+NM=P1N最短。 证明：易证得△PMC≌△P1MC，∴PM=P1M，∴PM+MN=P1M+MN=P1N，根据点到直线连线中，垂线段最短可知，当P1N⊥OB时，PM+NM最短。 例1．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 例2．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 1．如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 2．如图，在△ABC中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在等腰△ABC中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 4．如图1，在菱形中，，点E是边上的一动点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H（a，b）是图象上的最低点，则点H的坐标为(   ) A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 5．如图，在中，，，动点P在△ABC内，且使得的面积为3，点Q为动点，则的最小值为 ． 6．如图，在中，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ． 7．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 8．如图，△ABC中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是 ． 9．如图，在矩形中，点是上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接．若，则的最小值是 ． 模型3.将军饮马模型中两定一动之点点 如图3-1所示，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。 如图3-2所示，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2与OA、OB分别交于M、N两点，此时PM+PN+MN=P1M+MN+P2N=P1P2最小（四点共线是最短） 证明：根据对称性易得P1M=PM，PN=P2N，∴PM+PN+MN=P1M+MN+P2N=P1P2，此时△PMN的周长最短。 例1．如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例2．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（   ）      A． B． C． D． 1．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 2．如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 3．已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D．10 4．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 5．如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（   ） A． B．3 C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（    ） A． B． C． D． 9．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 10．如图，△ABC为等腰直角三角形，，点为△ABC内一点，且，点分别是边、上的动点，在运动过程中，的周长最小是 ． 11．如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．    模型4.将军饮马模型中两定两动之点点 如图4-1所示，在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小 如图4-2所示，分别过点P、Q作关于OA、OB的对称点P1、Q1，连接P1Q1与OA、OB分别交于点M、N，此时四边形的周长等于PQ+PM+PN+MN最小。 证明：由对称性可得PM=P1M，QN=Q1N，所以四边形的周长PQ+PM+PN+MN=P1M+MN+NQ1+PQ=P1Q1， （当P1、M、N、Q1四点共线时，四边形的周长最短） 如图4-3所示，A为l1上一定点，B为l2上一个定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使得AM+MN+NB的值最小。 如图4-4所示，分别过点A、点B作l1、l2的对称点A1、B1，连接A1B1分别与l1、l2交于M、N两点，此时AM+NM+NB最小。 证明：根据对称的性质可得NB=NB1，AM=A1M，∴AM+NM+NB=A1M+NM+N1B=A1B1（A1、B1、M、N四点共线最短） 例1．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（   ）    A． B． C．17 D．18 1．如图，矩形中，，，点P在对角线上，过点P作，交边，于点M，N，过点M作交于点E，连接，，．下列结论： ①； ②四边形的面积不变； ③当时，； ④的最小值是20．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 3．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处． （1）求点、的坐标； （2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式； （3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由 4．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 5．已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形； （2）求PD+PQ+QE的最小值． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 最值模型之将军饮马四大模型 （基础模型、一定两动、两定一动、两定两动） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里面的一句诗，而由此却引申出一些列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题。 如图所示，将军在图A点，现在他要带马去河边饮水，之后再返回军营，问：将军应该怎样走才能使得路程最短？ 模型1.将军饮马中基础模型求线段和最短 1 模型2.将军饮马模型中一定两动之点线 15 模型3.将军饮马模型中两定一动之点点 29 模型4.将军饮马模型中两定两动之点点 46 模型1：将军饮马中基础模型求线段和最短 问题1：如图1-1所示，点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 问题2：如图1-2所示，点A、B在直线l两侧时，在直线l上找一点P，使得PA+PB最短。 1.当点A、B在直线l同侧时，如图1-3所示，过点A作关于l的对称点A1，连接A1B与直线l交于点P，连接AP、PB，此时AP+PB最短。 证明：易得△AOP≌△A1OP，即AP+PB=A1P+PB，当A1、P、B三点共线时最短，A1P+PB=AB。 2.当点A、B在直线l异侧时，直接连接AB与l相较于点P，此时A、P、B三点共线PA+PB最短。 例1．如图，已知菱形的边，对角线，点P、E、F分别是、、上的动点，则的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．5 D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，菱形的性质，作点E关于的对称点E′，过点作垂线，交于点P，交于点F，这时最小，，连接，交于点O，利用勾股定理求得，，利用，代入数据解答即可． 【详解】解：作点E关于的对称点E′，过点作垂线，交于点P，交于点F，这时最小，，连接，交于点O， 由菱形的性质和勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴最小值为4.8， 故选：B． 例2．如图，正方形中，，点P在上，点E 是中点 ，则的最小是（   ） A．16 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P点位置是解题的关键. 由于点B与D关于对称，所以连接，设与交于点，连接，此时最小，直角中，利用勾股定理即可得出结果. 【详解】解：如图，连接，设与交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与D关于对称， ∴， ∴是最小. 即P在与的交点上时，最小，即为的长度. ∴直角中，，， ∴. 故选：B. 1．如图，正方形的面积为4，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ） A．3 B．6 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可证得，从而得到，进而得到最小，即可求解． 【详解】解：连接，与交于点F． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的和最小值为的长， ∵正方形的面积为4， ∴． 又∵是等边三角形， ∴． ∴所求最小值为2． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，，，，D是中点，垂直平分，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为（    ）    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的面积可得，再根据垂直平分线的性质、轴对称的性质可得，进而说明的最小值为即可解答． 【详解】解：如图所示：连接．    ∵，D是中点， ∴于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为6． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是轴上任意一点，若要使的值最小，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查坐标与图形的性质、轴对称-最短路线的问题等知识，作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，因为，，所以，，可证明，得，则，当点P与点E重合时，则，此时的值最小，所以要使的值最小，则点P的坐标为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作点A关于原点O的对称点C，连接交x轴于点E，连接，作轴于点F，则， ∵，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵x轴垂直平分，且点E在x轴上， ∴， ∴当点P与点E重合时，则，此时的值最小， ∴要使的值最小，则点P的坐标为， 故选：C． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把点代入一次函数， 得， 解得， ， 点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得：， ， 作点作关于y轴的对称点，交y轴于点，连接，交y轴于点， 此时的值最小， ， ， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴取得最小值时，． 故选：D． 5．如图，等腰△ABC中，，，l是△ABC的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 6．如图，在Rt中，，点到轴的距离，点到轴的距离为6，平分，若轴上存在一动点使得的值最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过A作轴于E， ∵平分，轴，， ∴， ∵点到轴的距离为6， ∴，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵点到轴的距离， ∴， ∴， 作点C关于x轴对称的点，则，连接交x轴于点P，连接， 此时的值最小， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 7．如图，已知正方形的边长为4，M在边上，，N是上一动点．当点N在上移动到某处时，能使得的值达到最小，则这个最小值是 ．    【答案】5 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称， 连接，交于，连接， 则的长即为的最小值， ∵， 在中，， 故的最小值是5． 故答案为：5．    8．如图，在等腰直角三角形中，，，△ABC的面积等于35，点P在上，点Q在上，，上有一动点M，若要使最小，则该最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称——最短路径，平行四边形的判定和性质，作点P关于的对称点N，当M，N，Q三点共线时，取最小值，最小值为，通过证明四边形是平行四边形，推出，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 作点P关于的对称点N，则， ， 当M，N，Q三点共线时，取最小值，最小值为， 如下图所示，与交点即为M， 由题意知垂直平分， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 即的最小值为． 故答案为：． 9．已知：将沿对角线折叠，折到位置． (1)证明； (2)如果，B、D两点间距离为，请在对角线上找一点O，使得的值最小，并求最小值； (3)探索：线段与满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明． 【答案】(1)见解析(2)(3)当线与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析 【详解】（1）解：证明：如图1中， 四边形是平行四边形， ， ， 翻折得到， ， ， ， ， ， ； （2）连接交于点O，连接， 点F与D关于对称， ， 当点O为与交点时，的值最小，最小值为线段的长，即最小值为； （3）当线段与互相平分时，点D、C、F在同一条直线上． 理由：与互相平分，， ， ， ， ， 即， 翻折得到， ， 点D、C、F在同一条直线上． 模型2.将军饮马模型中一定两动之点线 如图2-1所示，在OA、OB上分别取点M、点N，使得PM+MN最小。 如图2-2所示，过点P作关于OA的对称点P1与OA交于点C，在过P1作OB的垂线，垂足为N，与OA交于点M，此时PM+NM=P1N最短。 证明：易证得△PMC≌△P1MC，∴PM=P1M，∴PM+MN=P1M+MN=P1N，根据点到直线连线中，垂线段最短可知，当P1N⊥OB时，PM+NM最短。 例1．如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 例2．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，角平分线的性质定理，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握知识点，利用轴对称性质求解最值问题是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，作交于点，根据角平分线性质定理得到，再由等面积法求出，作点关于的对称点，则在点在上，则，过点作交于点H，那么，故当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值，再由等面积法即可求解． 【详解】解：∵ ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H， ∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 1．如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】延长到点F，使得，则直线是线段的垂直平分线，连接，于是得到，，于是就变成了，根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，过点F作于点G，求即可． 此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 【详解】解：延长到点F，使得， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接， ∴，， ∴就变成了， 根据点到直线的距离以垂线段最短原理，得到的最小值就是的高， 过点F作于点G， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连接，利用可证得，于是可得，，根据垂线段最短可知，当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示：   平分， ， 在和中， ， ， ，， ， 垂线段最短， 当点、、在同一直线上，且时，的值最小，即的值最小， 当点、、在同一直线上，且时，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，垂线段最短，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形，利用垂线段最短解决最短路线问题是解题的关键． 3．如图，在等腰△ABC中，在、上分别截取、，使．再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．已知，，．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【答案】D 【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，根据垂线段最短，当点、分别在、位置时，最小，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ，，，， ， ，， 作点关于的对称点交于点，连接， ， ， 当点、分别在、位置时，最小， 则的最小值为的长． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作作角平分线，利用轴对称求最短距离问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．如图1，在菱形中，，点E是边上的一动点，点P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，当点P从B向点D运动时，y与x的函数关系图2所示，其中H（a，b）是图象上的最低点，则点H的坐标为(   ) A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】A 【分析】从图2知，是的最小值，从图1作辅助线知；接下来求出，则求出，，最后得， 【详解】解：连接，作，垂足为，交于， 由菱形是关于对角线所在直线的对称可知：，， ，， ，， 由三角形三边关系和垂线段最短知， ， 即有最小值， 菱形中，，， 在中，， 解得， ， 在中，， 又， ， 是图象上的最低点 ， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查动点及最小值问题，解题的关键是在于菱形的轴对称性质得出，然后利用三角形三边关系及垂线段最短，判断出最小值为． 5．如图，在中，，，动点P在△ABC内，且使得的面积为3，点Q为动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，作于D，先由三角形面积公式得出，作，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，点B到直线l的距离为5，作B关于直线l的对称点E，则，作于，交l于，连接，当点E、P、Q在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作于D， ， ∵的面积为3， ∴， ∴， 作直线，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，点B到直线l的距离为5，作B关于直线l的对称点E， ∴，， ∴， 作于，交l于，连接， 当点E、P、Q在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为， ∵在中，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．如图，在中，，D为的中点，P为上一动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】12 【详解】如图：作A关于的对称点，连接、、，由、可得、，根据轴对称的性质可得，是的垂直平分线，进而可得，于是证得是等边三角形，则，由三线合一可得，进而利用三角形的面积公式可得，由垂直平分线的性质可得，于是可得，根据垂线段最短可知即可解答． 【分析】解：作A关于的对称点，连接、、， ，， ， ∴， 是A关于的对称点， 根据轴对称的性质可知，，是的垂直平分线， ， ∵， 是等边三角形， ， 为的中点， ， ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， 垂线段最短， ，即：， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称（最短路线问题）、直角三角形的两个锐角互余、含度角的直角三角形、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握用做对称的方法解决最短路线问题是解题的关键． 7．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 8．如图，△ABC中，，，，点，点分别是边，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了垂线段最短，轴对称求线段和最值问题，勾股定理及其逆定理．作点关于的对称点，连接，，，当时，最短，根据垂线段最短以及两点之间线段最短，可知的最小值是线段的长，利用等积法即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，，当时，最短， ∵△ABC中，，，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，且， ∵点关于的对称点， ∴，， ∴， 当三点共线时，且时，取得最小值， 如图，延长交的延长线于点， ∵，，且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 9．如图，在矩形中，点是上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接．若，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．作点关于的对称点，连接，过点作于点，交于点，证明当三点共线，且时，的值最小，此时点在点处，点在点位置．先求出，再证明，得到，求出，即可得到的最小值为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，则，三点共线，过点作于点，交于点，则，即当三点共线，且时，的值最小，此时点在点处，点在点位置． ∵，， ， ∵， ， ， ， ，即， 解得， 即的最小值为． 故答案为： 模型3.将军饮马模型中两定一动之点点 如图3-1所示，在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。 如图3-2所示，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2与OA、OB分别交于M、N两点，此时PM+PN+MN=P1M+MN+P2N=P1P2最小（四点共线是最短） 证明：根据对称性易得P1M=PM，PN=P2N，∴PM+PN+MN=P1M+MN+P2N=P1P2，此时△PMN的周长最短。 例1．如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查轴对称－最短路线问题．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点M、N在上时，的周长最小，据此解答即可． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．    ∵点P关于的对称点为C， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故选：D． 例2．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点，，使的周长最小，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出，的位置是解题关键．要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．   ， ， ，，且，， 故选：C． 1．在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 2．如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可得是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ∵周长的最小值等于8，即 ，， ， 是等边三角形， ， 由对称的性质得：， ， 故选：A． 3．已知正方形边长为，，为正方形对角线上的动点，，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接，证明出四边形是平行四边形，得到，，然后推出当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度，然后求出，利用勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，过点F作，过点D作交于点G，连接 ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵四边形是正方形，，为正方形对角线上的动点 ∴ ∴ ∴的周长 ∴当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值，即的长度 ∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正方形边长为， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴周长的最小值为8． 故选：B． 【点睛】此题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和判定，轴对称最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是得到当点B，F，G三点共线时，周长取得最小值． 4．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可，然后，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点；过点作关于轴对称的点，连接， 则只需与轴的交点即为所求的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可． 【详解】如图，∵抛物线 的对称轴为点是抛物线上的一点， ∴，解得 ∴该抛物线的解析式为 ， 的周长，且是定值，所以只需最小， 如图，过点作关于轴对称的点，连接与轴的交点即为所求的点，则， 设直线的解析式为：则 ，解得， 故该直线的解析式为 ， 当时，，即， 同理，如图，过点作关于轴对称的点，连接 ，则只需与轴的交点即为所求的点， 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则的周长； 所以点在时，三角形的周长最小， 综上所述，符合条件的点P的坐标是， 故选：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P． 5．如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称求最值的方法成为解题的关键． 由等腰直角三角形的性质可得、，如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点，则；进而得到当共线时，的周长最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点， ∴， ∴，， 由的周长为，则当共线时，的周长最小， ∵，， ∴． 故选A． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点B的坐标为（），先根据图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质，求得，求得点C在直线上，分别作点A关于y轴和直线的对称点和，根据轴对称的性质，进一步推得当点C，D都在线段上时，的周长最小，再求出直线的解析式，即可求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H， ， ， 线段绕点O顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， 当点B在第二象限时，设点B的坐标为（）， 则，， ，， ， 令， 消去m，得， 点C在直线上， 令，则， 所以直线与y轴的交点为， 令，则， 解得， 所以直线与x轴的交点为， ， ， ， 分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，， 则，，，，， ， ，， ， ， 的周长， 当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， 所以点C的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何最值问题，图形旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，求出动点的运动路径是解题的关键． 7．如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作点分别关于的对称点，连接分别交于点， 得到，，，，，继而得到，此时的周长最小，过点作于点，得到，得出，根据勾股定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点分别关于的对称点，连接分别交于点， ，，，，， ， ， 此时的周长最小， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 周长的最小值是， 故选：A． 8．如图，已知，是内部的一点，且，，分别是，上的动点，则的周长最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称最短路径问题，涉及垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，，根据题意求得的度数，进而证明是等边三角形，从而求解； 【详解】解：作点关于、的对称点，分别作点关于的对称点，关于的对称点；连接， ，， 根据轴对称的性质可知: ，， 此时的周长； 即当、为上述所作的交点时, 的周长取得最小值，最小值为的长度； 因为点与关于对称，点与关于对称，所以是的垂直平分线，是的垂直平分线； 根据轴对称的性质可知：，， 已知，则； 由轴对称的性质可知：， 在中，，， 所以是等边三角形； 根据等边三角形的性质，三边相等，所以，即周长的最小值为； 故选：A 9．在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称——最短路线问题．作出轴对称图形，熟练掌握轴对称性质，等边三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于M、N，得到，其周长的最小值等于长，由轴对称性质证明， ，得到是等边三角形，即得． 【详解】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N， 则，， ∴的周长的最小值为， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为6.5． 故答案为：6.5． 10．如图，△ABC为等腰直角三角形，，点为△ABC内一点，且，点分别是边、上的动点，在运动过程中，的周长最小是 ． 【答案】 【分析】分别作关于对称线段，关于对称线段，连接、，由对称的性质得：，，，当、、、四点共线时，的值最小，此时的值最小，的周长最小为，即可求解． 【详解】解：如图，分别作关于对称线段，关于对称线段，连接、， 由对称得：， ， ， 当、、、四点共线时， 的值最小， 此时的值最小， 的周长最小为， 如图， 由对称得：， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了对称的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间线段最短，掌握性质，能用对称的性质作图，找出四点共线时取得最小值是解题的关键． 11．如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，，此时四边形的周长最小．   ， ， ， ， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长． 故答案为． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 模型4.将军饮马模型中两定两动之点点 如图4-1所示，在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小 如图4-2所示，分别过点P、Q作关于OA、OB的对称点P1、Q1，连接P1Q1与OA、OB分别交于点M、N，此时四边形的周长等于PQ+PM+PN+MN最小。 证明：由对称性可得PM=P1M，QN=Q1N，所以四边形的周长PQ+PM+PN+MN=P1M+MN+NQ1+PQ=P1Q1， （当P1、M、N、Q1四点共线时，四边形的周长最短） 如图4-3所示，A为l1上一定点，B为l2上一个定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使得AM+MN+NB的值最小。 如图4-4所示，分别过点A、点B作l1、l2的对称点A1、B1，连接A1B1分别与l1、l2交于M、N两点，此时AM+NM+NB最小。 证明：根据对称的性质可得NB=NB1，AM=A1M，∴AM+NM+NB=A1M+NM+N1B=A1B1（A1、B1、M、N四点共线最短） 例1．如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°， ∴∠NON′=60°，， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′=90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′=． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 例2．如图，在矩形中，，，若点是边上的一个动点．过点作且分别交对角线，直线于点O、F，则在点移动的过程中，的最小值为（   ）    A． B． C．17 D．18 【答案】B 【分析】过C作，取，连接，根据勾股定理得到，易得，即可得到，根据两点间线段最短得到当、、三点共线时最短即可得到答案； 【详解】解：如图过C作，取， 过点E作于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴当、、三点共线时最短， ∴， ∴， 故选B；    【点睛】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题关键是学会用转化的思想思考问题． 1．如图，矩形中，，，点P在对角线上，过点P作，交边，于点M，N，过点M作交于点E，连接，，．下列结论： ①； ②四边形的面积不变； ③当时，； ④的最小值是20．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①根据线段垂直平分线的性质判断即可；②先根据相似三角形的判定与性质求出对角线的长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；④先根据轴对称确定最小值，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∵点P不一定是的中点，故①错误； 如图，延长交于点H，则是矩形， 在矩形中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴ ，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， 当最小时，的值最小， 作B、D关于、的对称点、， 由对称的性质得，，， ∴， ∴如图，作，连接， 由，， ∴， ∴， 当点、M、三点共线时，的值最小， 此时同理可得：， ∴，而， ∴，而， ∴四边形是菱形； 设， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 2．如图所示抛物线过点，点，且 （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； （3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标. 【答案】（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3） 【分析】（1）OB=OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解； （2）CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解． 【详解】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a， 故-3a=3，解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①； 对称轴为：直线 （2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小， 取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D， 取点A′（-1，1），则A′D=AE， 故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+； （3）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE， 则BE：AE，=3：5或5：3， 则AE=或， 即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3， 解得：k=-6或-2， 故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…② 联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点． 3．如图①，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处． （1）求点、的坐标； （2）如图②，若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作于点，设的长为，的面积为，请求出关于的关系式； （3）如图③，在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？若存在，请求出四边形周长的最小值及此时点、的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）点的坐标是，点坐标为；（2）；（3）存在， 在轴、轴上分别存在点、，使得四边形的周长最小，最小值为． 【分析】（1）求出CF和AE的长度即可写出点的坐标； （2）用x表示出PD长度，结合三角函数进一步表示DH，PH的长度，运用三角形面积公式即可求解； （3）作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小，求出E′和F′的坐标直接求线段长度即可． 【详解】解：（1）∵点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，2）， ∴OA=3，OC=2， 根据矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3， 由折叠知DA=DF=OC=2， ∴OD=OA-DA=1， ∴点F坐标为（1，2）， ∵点E是AB的中点， ∴EA=1， ∴点E的坐标是（3，1）； （2）如图2 ∵将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处， ∴BF=AB=2， ∴OD=CF=3-2=1， 若设OP的长为x， 则，PD=x-1， 在Rt△ABD中，AB=2，AD=2， ∴∠ADB=45°， 在Rt△PDH中，PH=DH=DP×=（x-1）， ∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=（1＜x＜3）； （3）如图3 作点F关于y轴的对称点F′，点E关于x轴的对称点E′，连接E′F′交y轴于点N，交x轴于点M，此时四边形MNFE的周长最小， 可求，点F（1，2）关于y轴的对称点F′（-1，2），点E（3，1）关于x轴的对称点E′（3，-1）， 用两点法可求直线E′F′的解析式为：y=-， 当x=0时，y=，当y=0时，x=， ∴N（0，），M（，0）， 此时，四边形MNFE的周长=E′F′+EF=； ∴在x轴、y轴上分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小，最小为5+． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及利用轴对称求最短路线和勾股定理等知识，掌握根据对称转化为两点之间的距离的问题是解题的关键． 4．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 解法：作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为线段的长．    (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形； (2)应用：①如图2，已知，其内部有一点P，，在的两边分别有C、D两点（不同于点O），使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值； ②如图3，，点M、N分别在边、上，且，点P，Q分别在、上，则的最小值是________． 【答案】(1)见解析(2)①12；②2 【分析】（1）根据模型作出图形； （2）①分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果；②作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，此时的值最小，最小值为，进而推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，    （2）①如图2，    作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点，交于， 则的周长最小， 连接、， 点和点关于对称， ，， 同理可得，，， ， ， 为等边三角形， ， 的周长； ②如图3，      作法：（Ⅰ）作点关于的对称点，点关于的对称点， （Ⅱ）连接交于，交于， （Ⅲ）连接、， ， ， 此时的值最小，最小值为， ，，，， ，， ， 为等边三角形， ，即 的值最小为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 5．已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为，点的坐标为(2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出直线的解析式为．由为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，设点，则，得到的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）求出．把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合．得到当点在同一条直线上时，取得最小值，进一步进行解答即可． 【详解】（1）解：①若，则抛物线， 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线为． 顶点的坐标为 ②当时，， 解得， ． 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为． ∵为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点， 设点，则． ． 当时，取得最大值1． 点的坐标为，点的坐标为 （2）， ． 点的坐标为． ． ， ． ， ． 过点作． ， 在， ． 把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合． ，点的坐标为． 在， ． 点的坐标为． 当点在同一条直线上时，取得最小值， ． 可得，解得． 点的坐标为，点的坐标为． 设抛物线解析式为． 把代入， 解得． 的值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、勾股定理、一次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，适当添加辅助线是解题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点． （1）求证：△ADC为等边三角形； （2）求PD+PQ+QE的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得，再根据等边三角形的判定即可得证； （2）连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可得，同样的方法可得，从而可得，最后根据两点之间线段最短即可得出答案． 【详解】证明：（1）在中，， ， 点是斜边的中点， ， 是等边三角形； （2）如图，连接， 和都是等边三角形， ，， ， 垂直平分， ， 同理可得：垂直平分， ， ， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 故的最小值为4． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$