数学（湖北武汉专用）-2025年中考终极押题猜想

2025年中考数学终极押题猜想（武汉专用） 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系及应用（选填） 1 押题猜想二 反比例函数的性质及应用（选填） 4 押题猜想三 解直角三角形及其应用（选填） 7 押题猜想四 几何与图象结合问题（选填） 13 押题猜想五 圆中的综合问题（选填） 19 押题猜想六 二次函数小综合（选填） 26 押题猜想七 几何求值类问题小题压轴（选填） 35 押题猜想八 几何最值类问题小题压轴（选填） 45 押题猜想九 规律探索问题（选填） 55 押题猜想十 新定义问题（选填） 62 押题猜想十一 数与式、方程与不等式（解答题） 67 押题猜想十二 几何中的基本证明（解答题） 70 押题猜想十三 概率统计（解答题） 76 押题猜想十四 圆中的证明问题（解答题） 85 押题猜想十五 无刻度作图（解答题） 95 押题猜想十六 实际应用问题（解答题） 107 押题猜想十七 几何大题综合（解答题压轴） 115 押题猜想十八 二次函数大题综合（解答题压轴） 135 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系及应用（选填） 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个不等的实数根，则代数式 的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ． 故答案为：C． 押题解读：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得，将分式变形，然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“、是一元二次方程的两个根，则有”是解题的关键． 1．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故选：A． 2．若a，b是方程的两个根，则的值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 4．若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识． 根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 两根之和不小于， ， 解得， 综上， ， ， ， 故选：D． 5．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 押题猜想二 反比例函数的性质及应用（选填） 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【详解】∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大， ∴ ，而第四象限的值大于， ∴． 故答案为： ． 押题解读：本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答此题的关键． 分别把各点代入反比例函数的解析式，求出，，的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， 则，，； 则； 故答案为：D 2．若点和点都在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ． 【答案】（k取小于的数均正确） 【分析】本题主要考查了根据反比例函数的增减性求参数，根据题意可得在同一象限内，y随x增大而增大，则，由此可得答案． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在同一象限内，y随x增大而增大， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以是， 故答案为：（k取小于的数均可）． 3．如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 4．若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，判断出反比例函数所在的象限，再判断函数值大小即可． 【详解】解：∵， ∴的图象过一，三象限， ∵点和点在反比例函数（为常数）的图象上，且， ∴； 故答案为：． 5．函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此对每个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大， A、时，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故A错误，不符合题意； B、可举反例，若，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故B错误，不符合题意； C、可举反例，若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故C错误，不符合题意； D、若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 押题猜想三 解直角三角形及其应用（选填） 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．过点分别作，，垂足分别为、，在中得出的长，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：过点分别作，，垂足分别为、， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，． 在中，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则线段的长度约为， 故选：B 押题解读：本题为解直角三角形的应用问题，是常见考查题型，多在填空题中出现，侧重中等难度。主要考查解直角三角形的边角关系、矩形性质及等腰三角形判定。解题关键在于通过作辅助线构造直角三角形与矩形，利用三角函数求线段长度，再通过角度计算推导，进而求解长度。对于此类几何问题，要熟练掌握直角三角形边角关系、矩形性质及等腰三角形判定方法，通过作辅助线转化条件，灵活运用已知数据进行计算。 1．如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角，沿方向走到E处，测得塔顶点B的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点C、E、A在同一直线上，则塔的高度为 m（参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键． 设，则，在中，，由求出，根据在中，，即可列方程求解． 【详解】解：如图，依题意得：四边形、四边形都是矩形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴ ∵在中，，， ， 解得． 塔的高度约为米． 故答案为. 2．某数学兴趣小组用无人机测量乌鲁木齐市红山塔的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得红山塔顶端A的俯角为，再将无人机面向红山塔沿水平方向飞行到达Q点，测得红山塔顶端A的俯角为，求红山塔的高度约为多少？（结果保留一位小数）（参考数据： ，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，延长交于点C，根据题意可得：，，然后设，则，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点C，如图， 由题意得：，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 3．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 ．（结果精确到1cm，参考数据：） 【答案】/86厘米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出适当的辅助线，构造出直角三角形是解题的关键；作于H，作地面于P，利用三角函数求出即可． 【详解】解：如图，作于H，作地面于P， 由题知，， ∴， ∴坐垫C离地面高度约为， 故答案为：． 4．市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为 米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设与的延长线相交于点，可得米，设米，分别解和得米，米，再根据米列出方程求出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线相交于点，则， 由题意可得米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，；若衣架收拢时，，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了 ．（保留一位小数，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．根据题意，在图①中，利用解直角三角形，求出的值，在图②中利用等边三角形的性质，得到的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图①，过点作， ， 在中，， ， ， 如图②，，， 为等边三角形， ， ， 收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了． 故答案为：． 押题猜想四 几何与图象结合问题（选填） 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 押题解读：本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快． 【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大， 所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意． 故选：C． 2．如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点作于，根据函数图象可知：，，，所以，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： 由图象可知，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 故选：D． 3．如图（1），底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度与注水时间t（s）之间的关系如图（2），若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 故选：A． 4．如图1，在正方形中，动点P从点A出发，沿的方向匀速运动，当点P到达点C时停止运动．过点P作，交于点Q．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则正方形的边长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了动点类的函数图象分析，涉及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等，正确读懂函数图象是解题的关键． 设正方形的边长为,则，当点在边上运动时，，可得，继而代入数据，求出关于的函数解析式，再由二次函数的性质以及图象分析求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为,则， 当点在边上运动时，，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，由图象可得，此时， ∴， 解得：， 故选：B． 5．在物理学实验中，老师和同学们设计了一个梯形轨道来模拟物体的运动路径．已知轨道段与段平行（），且段与水平方向成夹角（）．轨道各部分的长度为，．实验中，两个小球和分别从点和点出发，沿边和边自由滑动（不与重合，不与重合）．同学们通过传感器记录和的中点，的位置，并发现点到点的距离与小球的位移（）存在动态关系．请根据上述条件，建立与的函数模型，并选择下列图象中能正确反映该函数关系的示意图．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键是正确分情况讨论． 如图所示，过点A作于点，过点D作于点M，首先求出，然后分两种情况讨论：当点在点左侧和当点在点右侧，然后分别利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点，过点D作于点M， ∵ ∴ ∵， ∴ 同理可得， ∴ ①当点在点左侧（）， ∵， ∴， ， 点分别为的中点， 是的中位线， ， ； ②当点在点右侧（）， ，， 同理可得：， ； 综上所述，． ∴当时，y取得最小值；当时， ∴能正确反映该函数关系的示意图是C． 故选：C． 押题猜想五 圆中的综合问题（选填） 如图，是的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】作于点M，由题意可得出，从而可得出为等边三角形，从而得到，再由已知得出，的长，进而得出，的长，再求出的长，再由勾股定理求出的长． 【详解】解：作于点M， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 押题解读：本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 1．如图，点A，B，C，D都在上，为的直径，且，若，，则的半径为（    ） A．10 B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，即，求出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 2．如图，在中，，，以为直径作，交于点，点是上一点，连接并延长，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，圆周角定理及推论，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 连接，，根据三角形外角的性质结合圆周角定理的推论求出，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】如图，连接． 为的直径， ． 由对顶角相等，可得． ． ， ． ． ， ． ， ． 的长为． 故选B． 3．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接，，作的外接圆交于点．已知的半径为，，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】连接、、，过H作于H，先根据等腰三角形的性质和圆周角定理得到， ，则，在中，利用正弦定义可得，求得，进而可求得；利用弧和圆周角的关系和平行四边形的性质可得到，再根据圆内接四边形的性质得到，证明，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：连接、、，过H作于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，则， 在中，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、弧和圆周角的关系等知识，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． 4．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查扇形面积的计算，正方形的性质，垂径定理，圆周角定理，作于H，利用垂径定理可得，利用圆周角定理得到，然后通过证得，得出，设，，根据勾股定理得出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作于H，则， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ，即， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：连接，由圆周角定理可得，则从A到C其旋转角为；取的中点F，连接，由垂径定理可得，，再解直角三角形可得，取的中点G，连接，进而确定点E的轨迹，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∴点从沿运动到的过程中，从A到C其旋转角为， 取的中点F，连接， ∵是弦的中点， ∴，， 在中，， ∴， 取的中点G，连接， ∵， ∴， ∴点E的轨迹为以G为圆心，为半径画圆弧，由于点D旋转，则点E也旋转， ∴点经过的路径长为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、旋转的性质、垂径定理、解直角三角形、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 押题猜想六 二次函数小综合（选填） 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点）， ∴． ∴． ∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 押题解读：本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 1．已知抛物线（a，b，c均为常数，且）经过点，下列结论：①；②；③当时y随x的增大而增大；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据抛物线经过点、结合题意判断①②；根据抛物线的对称性判断③；根据一元二次方程根的判别式判断④． 【详解】解：②∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即，故②正确； ①∵，， ∴， ∴，故①正确； ③∵ ∴对称轴， ∴当时，随的增大而增大，故③正确； ④∵， ∴， 对于方程，， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上所述，其中正确结论的个数是4． 故答案为：4． 2．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 结论不正确． 抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点， ， 结论正确． 抛物线与轴的一个交点A在点和之间， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 当时，， 结论正确． 的最大值是， 方程没有实数根，则， 结论正确． 抛物线的对称轴， ， ， ， ， 结论正确． 综上，可得正确结论的序号是：． 故答案为：． 3．如图，抛物线与x轴交于点，，其中，下列结论中正确的是 ．（只填写序号） ①；②；③；④关于x的不等式的解集为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式．由图象可得，，，据此可判断①；当时，，据此可判断②；由抛物线过点，，，得对称轴为直线，进而可判断③；设，，则两函数的图象都过点，，画出函数图象，根据图象可判断④，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的右侧，与轴正半轴相交， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵抛物线与y轴的正半轴相交，与x轴交于点，，其中， ∴对称轴为直线， ∴对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线过点， ∴， ∴，，， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； 设，，则两函数的图象都过点，，如图， 由图象知，当时，， 即不等式的解集为，故④正确； 综上，结论正确的是①③④， 故答案为：①③④． 4．抛物线（）的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；．其中结论正确的是 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，故错误；根据抛物线开口向下，顶点为，对称轴为，可知点到对称轴的距离越大，对应的值越小，因为，所以，故错误；根据二次函数的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以可得，故正确；因为方程没有实数根，所以抛物线与直线无交点，因为抛物线顶点为，所以可知，故正确；由可知，又因为，所以可得，故正确． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ， 即， 故错误； 抛物线顶点为，对称轴为， ，， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 又，抛物线开口向下， ， 故错误； 对称轴， 可得：， 当时，， 抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为， 与轴的另一个交点在点和之间， 当时，，即， 故正确； 方程没有实数根， 抛物线与直线无交点， 抛物线顶点为，， 抛物线开口向下， ， 故正确； 由可知，又， ，即， 故正确． 故答案为：． 5．如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号，二次函数图象与各项系数符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可知， ∵该二次函数对称轴为， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知，当时，，即． ∵， ∴，故②正确； 当时，y取得最小值， ∴，即，故③正确； 当时，， ∴顶点坐标为， 根据题意得， 即将位于x轴下方的图像向上翻折， ∴翻折后的顶点坐标为， ∵若关于x的方程恰有三个解， ∴即函数与恰有三个解， 即恰好经过向上翻折后的图像的顶点， ∴， ∵， 代入得到，则， 故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故答案为：①②③． 押题猜想七 几何求值类问题小题压轴（选填） 如图，由三个全等的三角形（，，）与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点，若，则：    （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，全等三角性质，推出，，等边对等角求出的度数，作交的延长线于点，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，角的和差关系求出，进而推出，列出比例式进行求解即可． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 作交的延长线于点，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 押题解读：本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形，是解题的关键． 1．如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用折叠的性质证出，得到的长，判定出通过相似的比值关系求出的长，判定出，通过相似的比值关系求出的长，过点作于点，根据三角函数的比值关系和勾股定理求出和的长，即可解答． 【详解】解：∵沿着折叠得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，勾股定理等知识点，合理利用相似的性质进行边的转化是解题的关键． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点，分别为，上的点，且，于点，连接，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识点． 连接、、、，由四边形是菱形，可得，，，进而求出，可证明四边形是菱形，推出，当、、共线时，即时，最小，最小值就是，求出，由勾股定理求出，证明∽，求出，即可求解． 【详解】解：连接、、、，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 当、、不共线时，， 当、、共线时，即时，最小， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴，， ∴∽， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 3．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长与交于点H，根据矩形的性质可得，从而可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，进而可得，再根据垂直定义可得，最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答； (2)根据矩形的性质可得，再利用角平分线的性质可得，，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理求出，再设，则，从而在中，利用勾股定理进行计算可求出的长，最后求比即可． 【详解】解：（1）如图：延长与交于点H，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ， ， 在中，， ∴， 设，, 在中，, ∴,解得：， ∴， , 故答案为：． 4．如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点，重合），在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）当时，点到直线的距离为 ； （2）连接，当时，正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】（1）作交于点，交于点，先由勾股定理求出，利用等面积法即可求出； （2）由（1）求出的三角函数关系，从而得出的三边关系，再利用特殊角，设，则，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）作交于点，交于点， ，， ，， ， ，， 又， ； （2）正方形中，，当时，正方形的对角线与重合，如下图： ，是等腰直角三角形， ， 设，则， 由（1）可得， 即此图中有， ， 中，， ， , ， 解得， 即，正方形的边长为． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是三线合一定理、勾股定理、等面积法、一元一次方程的实际应用、解直角三角形，解题关键是利用方程思想解题． 5．如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形中位线的性质，首先根据点，分别为，的中点，可以求出、、，是的中位线，当点，，恰好在一条直线上时，，利用勾股定理可以求出，再分点与点的位置关系分情况求出的长度． 【详解】解：如下图所示，当点，，恰好在一条直线上时， ，，点，分别为，的中点， ， 是的中位线， ，， ， 在中，，，， ， 如下图所示， 当点，，恰好在一条直线上时，， 在中，， ； 如下图所示， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 故答案为：为或． 押题猜想八 几何最值类问题小题压轴（选填） 如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】作于点，设，利用勾股定理得到，代入数据解出的值，解得到，，得出，由，得到四点共圆，记圆心为，且为的直径，利用外接圆的性质得到，分析可得当时，有最小值，利用等面积法求出的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作于点，则， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ，， ， 四点共圆，记圆心为，且为的直径， 如图，作于点，连接、， ，， ，， 又， ， ， ， ， ， 当时，有最小值，此时有最小值， ， ． 的最小值为． 故答案为：． 押题解读：本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键． 1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为上一点，且，将绕点旋转，得到，连接，过点作于点，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数比，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，切线的性质，勾股定理，线段的最值问题等知识点，解题的关键是根据题意构造出相关切线，并灵活运用各性质求解． 根据题意构造出圆，切线在圆的右侧时，线段取最小值，切线在圆的左侧时，线段取最大值，根据勾股定理，相似三角形的性质和三角函数比等知识最后可求得结果． 【详解】解：①如图所示, 以点为圆心，长为半径作圆， ∵将绕点旋转，得到， ∴点在以点为圆心，长为半径的上，当直线与右侧相切时，切点为点,此时取值最小，交于点， ， 在中，由勾股定理得， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 故的最小值为． ②如图所示，当直线与左侧相切时，切点为点,此时取值最大，交的延长线于点， 在中，，， ， ， ， ， ， 故的最大值为． 故答案为：， 2．如图，已知在正方形中，，，，，点为中点，连接，点为中点．连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先运用勾股定理算出，运用斜边上的中线等于斜边的一半得，故以点D为圆心，以为半径画圆，即为点的运动路径，根据正方形的性质，证明是的中位线，，此时以点O为圆心，以为半径画圆，即为点P的运动路径，当共线时，且在射线的延长线上，即当P运动到处，此时最大，即可作答． 【详解】解：连接，它们相交于点，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， 依题意，以点D为圆心，以为半径画圆，即为点的运动路径， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，点为中点． ∴是的中位线， ∴； 依题意，以点O为圆心，以为半径画圆，即为点P的运动路径， 当共线时，且在射线的延长线上，即当P运动到处，此时最大， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，中位线的判定与性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结，根据圆的切线的性质及勾股定理，可求得，即当取最小值时，线段的长度取最小值，进一步可知当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值；再利用函数的性质及相似三角形的判定与性质，求出的长即可． 【详解】解：过点M作于点H，轴于点N，交于点C，连结， 直线PQ与相切于点， ， ， 当取最小值时，线段的长度取最小值， ， 当点P在点H处时，取最小值，此时，线段的长度取最小值； 令，则， ， ， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ，， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 即当点P在点H处时，线段长度取最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何的综合性问题，圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，找出线段长度取最小值时点P的位置是解题的关键． 4．如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接． （1）当时，则 ； （2）在运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）旋转得到，勾股定理结合锐角三角形函数得到，进而推出，勾股定理求出的长即可； （2）过点作线段，使且，证明，得到，进而得到点在垂直于的直线上，作交于点，则即为的最小值，进行求解即可． 【详解】解：（1）线段绕着点顺时针旋转得到， ， 在矩形中，， ∴， ∴， ， ， ，即， 在中，； 故答案为：． （2）过点作线段，使且， ， ∵， ， ∴点在垂直于的直线上， 如图，作交于点，则即为的最小值， 作交于点．则：四边形是矩形， ，， ∴， 在中．， ， ； 故的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，确定点的轨迹，是解题的关键． 5．如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则 ，的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，根据勾股定理得出，进而根据，即可得出的长；延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接，证明，得到，同理证明：，为等边三角形，继而可得是的垂直平分线，则，由，即可确定最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵菱形边长为，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 延长交于点，取中点，连接并延长与延长线交于点，连接，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵F是的中点，菱形边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理证明：， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，难度较大，解题的关键在于转化思想的运用． 押题猜想九 规律探索问题（选填） 已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， ……， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 押题解读：本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 1．用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖（阴影部分）按如图的方式铺人行道：如果每块正方形水泥砖边长为，按照这种铺法（人行道恰好宽，且人行道上全部用这两种水泥砖无缝钢满），那么当用了块彩色水泥砖时，人行道铺了 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由图可知每长的人行道需要块彩色水泥砖，进而即可求解，掌握图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可知，每长的人行道需要块彩色水泥砖， ∵， ∴当用了块彩色水泥砖时，人行道铺了， 故答案为：． 2．如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查反比例函数图象上点的坐标特征及寻找数据的规律． 根据和求出点，，，，的坐标，再结合反比例函数的性质求出点，，，，的坐标即可求解． 【详解】解：∵点，， ，，，，． ∵点，，，，在反比例函数的图象上， ，，，，， ，，， 当时，． 故选：A． 3．如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，图形类的规律探索，应用相似三角形的面积比等于相似比的平方把难求的三角形转化为求易求三角形的面积是解题的关键． 首先根据题意求得的面积，又由，即可得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得，然后代数求解即可． 【详解】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边，，，，的中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ∴当时， 故答案为：． 4．如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【详解】解：， 图1中正方形的面积和为： ， 图2中所有正方形的面积和为： ， 图3中所有正方形面积和为： ， …… …… 图11中所有正方形的面积为． 故选：C 5．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，从中找出规律求解是解答的关键． 先根据前几个值所对应值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，，五种取法， 则； 当时，~有种：，， ~有2种：，， ~有2种，， ~有1种共七种取法，则； 当时，~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，，， ~有种：，， ~有种：，共九种取法，则； 当时，~有种，~有种，…，~有种，~有种，~有种，…，~有种， 共（种）取法． 故答案为：，． 6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点坐标规律探索，仔细观察图象，找到点的坐标的变化规律是解答的关键． 根据题意得到每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，每移动次，动点向右移动个单位，此时动点回到轴，纵坐标为， ， ， 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点．熟练掌握反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点是解题的关键． 在第一象限角平分线上的点，其横，纵坐标相等．先求出各交点的坐标，再根据坐标求出矩形的边长，进而得出矩形面积的规律． 【详解】解：第一象限的角平分线的解析式为：， 联立，将代入，得到，即，解得，则， ； 联立，将代入，得到，即，解得，则， ； 联立，将代入，得到，即，解得，则， ． 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 对于矩形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为， ； 通过前面的计算，我们发现规律： 的坐标为：，的坐标为：， 则． 故选A． 押题猜想十 新定义问题（选填） 已知函数和是关于x的函数，点在函数的图象上，点在函数的图象上，规定：当时，有，那么称函数和具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】将点代入函数，点代入函数，根据当时，有，可得一元二次方程，利用判断方程是否有解，即可求解． 【详解】解：将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程无解，故A选项不符合题意 将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程无解，故B选项不符合题意 将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程有解，故C选项不符合题意 将点代入可得： 将点代入可得： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴方程无解，故D选项不符合题意 故选C． 押题解读：本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的． 1．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 【答案】或19/19或 【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可． 【详解】解：当时， ， ∴， 当时， ， 解得（舍去）或． 综上所述，x的值为或19． 故答案为：或19． 2．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质，结合函数图象逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：①，和都满足，故①正确； ②从函数图象可得图象具有对称性，对称轴为直线，故②正确； ③根据函数图象可得，当或时，函数值y随x值的增大而增大，故③正确； ④当或时，函数的最小值是0，故④正确； ⑤由图象可得，当时，不是函数的最大值，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 3．新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值计算，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意，得，根据抛物线的增减性，分类解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 故抛物线开口向下，且在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小， 当时，在对称轴直线的左侧，y随x的增大而增大， 故时,n取最大值，且， 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，得； 当时，对称轴直线在其范围内， 故n的最大值为6； 故时,n取最小值，且， 故，根据新定义，， 故； 综上所述， 故选：D． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出，则称点Q为点P的“可控变点”，例如：点(2，3)的“可控变点”为点(2，3)，点(−1，2)的“可控变点”为点(−1，−2)，若点P在函数的图像上，则其“可控变点”Q的纵坐标y′关于x的函数图像大致正确的是(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别写出和时，Q的纵坐标的函数表达式，再根据函数表达式得到函数图像的性质，判断出正确图像． 【详解】解：根据“可控变点”的定义得： 当时，Q的纵坐标是， ∴图像与x轴的交点是，开口向上，对称轴是直线， 当时，Q的纵坐标是， ∴图像与x轴的交点是，开口向下，对称轴是直线． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握根据函数解析式画出函数图像的方法． 5．新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为，根据，得到对称轴为直线，当时，得到，根据，得到求得或，根据，得到抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当时，结合，得，解得或；当时，结合，得，解得或；解答即可． 【详解】解：根据题意，得“图象数”为的二次函数的解析式为， ∵， ∴对称轴为直线， 当时，得到， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大， 当时， ∵，得， 解得或； 当时， ∵，得， 解得或； 综上所述，或， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定义，增减性是解题的关键． 押题猜想十一 数与式、方程与不等式（解答题） 解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】，所有整数解为，，，， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而写出所有整数解即可，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组所有整数解为，，，，． 押题解读：本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，此考点在初中数学中属于基础且重要内容，多在解答题中考查，难度适中。主要考查对一元一次不等式组解法的掌握，先分别求解每个不等式，再确定不等式组的解集，最后在解集范围内找出整数解。解题关键在于正确运用不等式性质求解每个不等式，准确确定解集的公共部分。熟练掌握一元一次不等式的解法及不等式组解集的确定方法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）是解决此类问题的核心，这对后续函数等知识的学习也有重要铺垫作用。 1． （1） 计算： （2） 解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了实数的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂进行计算即可； （2）去分母化为整式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2） 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的解 2．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，先逐项化简，再算乘法，后算加减． 【详解】解： ． 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查求不等式的解集，将解集表示在数轴上，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 把不等式的解集在数轴上表示如下： 4．（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． （2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为1得：； 数轴上表示如图： （2）， 去分母，得：， 解得： 检验：当时，， ∴是原方程的根． 5．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 先进行括号内加法计算，再将除法化为乘法，化到最简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 押题猜想十二 几何中的基本证明（解答题） 如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 押题解读：本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定，此考点常见于解答题，难度中等。(1) 问借助平行四边形对边相等，对角相等的性质，结合垂直条件得到直角相等，利用全等三角形判定定理证明关键在于对平行四边形性质及全等判定的熟练运用。(2)问添加与角度相关条件使四边形为平行四边形，需依据平行四边形判定定理（如两组对边分别平行），通过角度关系（如推导, 结合判定。熟练掌握平行四边形的性质与判定定理、全等三角形的判定方法是解题关键，这些知识对后续几何解题具有重要作用。 1．如图，、是平行四边形的对角线上的两点，，求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行四边形性质可得，，则，然后通过判定方法即可求证； （）由，则，从而有，再通过平行线的判定方法即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 2．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）平行线分线段成比例，得到，进而得到，推出，相似三角形的性质，推出，进而得到，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 3．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，则当______时，四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，作图方法，推出，，进而得到，即可得证； （2）根据邻边相等的平行四边形为菱形，得到，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即：， ∴四边形为平行四边形； （2）在中，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 此时； 故答案为：． 4．如图，点在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 5．如图，在中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当________时，四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，菱形的判定，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由题意可知为的中位线，得，结合，即可证明四边形为平行四边形； （2）由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，再结合四边形为平行四边形可知四边形为菱形． 【详解】（1）证明：∵，分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）当时，四边形为菱形； 理由如下：∵，是的中点， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 故答案为：． 押题猜想十三 概率统计（解答题） 为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成 如图尚不完整的统计图． (1)本次活动共调查了 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ； (2)请补全条形统计图； (3)若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数． 【答案】(1)80，； (2)见解析 (3)2100人． 【详解】（1）解：由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占， 本次活动共调查人数为人， 扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是， 故答案为：80，； （2）非常满意的人数为（人） 补全统计图如下： （3）根据题意可得：人， 答：估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数为2100人． 押题解读：本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，求扇形统计图圆心角，有样本估计总体，根据条形统计图与扇形统计图的综合求出参与调查的总人数是解答本题的关键． （1）由由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占，求出参与调查的总人数，进而求出扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数即可； （2）求出非常满意的人数补全统计图即可； （3）用总人数乘以“基本满意”的占比即可． 1．甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数． 【答案】(1) (2)对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人． 【分析】本题主要考查了中位数，众数，扇形统计图和用样本估计总体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值； （2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多， ∴甲款评分的众数为85分，即， ∵份， ∴乙款评分在A组和B组的数量之和为8份， 把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分， ∴乙款的中位数为，即； 乙款评分中D组份数为份，则， ∴； （2）解：∵ （人），（人）， ∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人． 2．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 (1)补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； (2)表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ (4)从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 【答案】(1)见解析， (2)8；< (3)甲 (4) 【分析】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）计算甲快递公司在配送速度得9分的人数可补全频数直方图；用乘7分的占比，即可求解； （2）根据平均数与方差的定义即可求解； （3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （4）列表展示所有6种等可能的结果数，找出选中的两人均是男的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：甲快递公司在配送速度得9分的人数为（人）， 补全频数分布直方图如图所示． 扇形统计图中圆心角的度数为； （2）解：乙公司7分的占比为， 所以平均数为， ， ， ， 故答案为：8，； （3）解：该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 应选择甲公司； 故答案为：甲； （4）解：列表如下： 男1 男2 女 男1 男1男2 男1女 男2 男2男1 男2女 女 女男1 女男2 ∵一共有6种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有2种等可能的结果， ∴Р（选中的两人都是男生）． 3．当前AI市场十分火爆，众多优秀模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89； 乙款评分数据中组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87， 甲款机器人满意度评分乙款机器人满意度评分根据以上信息，解答下列问题： 甲款机器人满意度评分条形统计图 乙款机器人满意度评分扇形统计图 甲、乙两款AI机器人满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 (1)上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； (2)根据以上数据分析，你认为哪款，聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有280人对甲款AI聊天机器人进行评分、300人对乙款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？ 【答案】(1)，87，15，图见解析 (2)见解析 (3)130人 【分析】（1）根据中位数的定义可 求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出A的人数补全条形统计图； （2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可； （3）根据用样本估计总体的思想求解即可． 【详解】（1）∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88， ∴分． ∵乙款A和|D组人数均为：，B组人数为：9，C组人数为：， ∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了5次， ∴． ∵， ∴． 甲款A组人数：， 如图， 故答案为：，87，15； （2）因为甲款评分的中位数高于乙款评分的中位数，所以甲款聊天机器人更受用户喜爱；或因为甲款评分的众数高于乙款评分的众数，所以甲款聊天机器人更受用户喜爱； （3）人． 【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键． 4．为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； (2)请补全条形统计图； (3)抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； (4)该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 【答案】(1)40；18 (2)见解析 (3) (4)估计九年级所需指导教师6名． 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计全体等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）根据B组的人数及其占比，可求得样本容量；根据A组的占比乘可求得A组对应扇形的圆心角； （2）先求得D组的人数，即可补全条形统计图； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）根据样本估计总体求解即可． 【详解】（1）解：（名）， ， 故答案为：40；18； （2）解：D组的人数为， 补全条形统计图如图， ； （3）解：抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是第20和21个数， ∴中位数是， 故答案为：； （4）解：（名）， 答：估计九年级所需指导教师6名． 5．为了了解同学们对传统节日——清明节的认识．某中学开展了“清明知识我了解”的知识竞赛．现从该校七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制．学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其分成四组，．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99； 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：91，93，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 90 八年级 91 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对清明节知识掌握得更好？并说明理由； (3)若该校七年级有800名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不低于95分的学生一共有多少人． 【答案】(1)40，93.5，97 (2)八年级学生对清明节知识掌握得更好．见解析 (3)560人 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）先利用扇形统计图求出八年级D组的人数，进而求出a的值；再利用中位数和众数的定义，求出b、c的值； （2）根据中位数和众数进行分析即可； （3）用七、八年级的学生人数分别乘以比赛成绩不低于95分的学生人数的占比，即相加即可得出答案． 【详解】（1）解：八年级D组的人数为：(人)， ∴， ∴， ∵八年级抽取的学生的比赛成绩中，排在第五、六名的成绩为93、94， ∴， ∵七年级抽取的学生的比赛成绩中，97出现的次数最多， :∴， 故答案为：40，93.5，97； （2）八年级学生对清明节知识掌握得更好． 理由：从竞赛成绩的平均数看，两个年级的平均数相同，但八年级学生竞赛成绩的中位数和众数均大于 七年级，所以八年级学生对清明节知识掌握得更好． （3）（人）． 答：估计参加此次竞赛成绩不低于95分的学生一共有560人． 押题猜想十四 圆中的证明问题（解答题） 如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长13． 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，，进而可得，则问题可求证； （2）连接，由题意可先证，则有，设，则，然后可根据勾股定理建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 中，． 又， ． ， ． ． ， ， ， ． 即：． 为的切线； （2）解：如图，连接， ， ． 又， ． ， ． ． ，为的直径． ． ． 设， 则． ． ， 即：， ． ． 在中， ． 押题解读：本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 1．如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． (1)若，求的直径． (2)延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题为圆的综合题．考查切线的性质，勾股定理、矩形的判定和性质，不规则图形面积求法以及解三角形．作出常用的辅助线是解答本题的关键． （1）连接，过点作，垂足为，则，构造矩形和 ，根据勾股定理可得，由此列方程即可求出的半径； （2）同（1）作辅助线，利用解三角形求出的半径，再根据，，围成图形的面积求解即可． 【详解】（1）解：设的半径为，连接，过点作，垂足为，则，， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的直径． （2）连接，过点作，垂足为， 同理（1）可得：四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，围成图形的面积 2．如图，已知是的外接圆，是直径，的切线与弦的延长线交于点为上一点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直径所对的圆周角是直角得到，则，由切线的性质推出，则，再由同弧所对的圆周角相等和等边对等角得到，，即可得证； （2）根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ． 是的切线， ， ， ． ， ， ． ， ， ． （2）解：如图，过点作于点． ， ． 在Rt中，． ． 同理可得， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 3．如图，是半圆的直径，弦，点在弦上，连接，． (1)若，，，求的长； (2)在上取一点，使得，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质． （1）过点作于点．利用垂径定理结合勾股定理求得，再利用三角函数的定义列式计算即可求解； （2）连接．利用平行线的性质结合等边对等角求得，再利用证明，即可证明． 【详解】（1）解：过点作于点． ∵，，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：连接． ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴． 4．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定，勾股定理，解直角三角形的计算，掌握切线的判定，锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意得到，，平分，，得，，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得到，由平行线截线段成比例得到，解得，则，根据，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，求证：①，② 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先由弧与圆心角的关系得到，再由平角的意义求出的度数，然后由圆周角定理即可求解； （2）①设，则，由圆周角定理得到，根据互余关系得到，，则，即可证明，再由等角对等边即可证明； ②在上取点，使得，连接，则垂直平分，那么，则，由外角性质可得，则，故，那么，而，再等量代换即可求证． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②在上取点，使得，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 押题猜想十五 无刻度作图（解答题） 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先将绕点A顺时针旋转，得到线段，再在上画点E，使得； (2)在图2中，先画平分交于点F，再画线段，使得，且． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）取格点D，连接，交过点B且垂直的直线于E，则； （2）延长至H，使，连接，取的中点N，连接，交于F，则平分，取格点M，P，连接，，，则四边形是平行四边形，取格点R，Q，连接，交于G，连接，则为所求线段． 【详解】（1）解：如图，为所求线段，为所求角； ∵，， ∴ ∴ ∴点A，E，B，C四点在同一个圆上 ∴； （2）解：如图，为所求线段，为所求线段． ∵ ∴是等腰三角形 由网格可得， ∴平分，即平分， 由网格得，四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，． 押题解读：本题考查了作图旋转的变换，圆内接四边形，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：    (1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M； (2)在图1中线段上画点E，使； (3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）构造等腰直角三角形，交于点D，点D即为所求，在点B的正下方取点M，使得，点M即为所 求； （2）如图1中，连接交一点J，连接，延长交于点E，连接即可； （3）利用网格的特点作的中线，连接交一点O，连接，延长交一点G，连接即可． 【详解】（1）解：如图1，点D，点M为所求； （2）解：如图1，为所求；    （3）解：如图2，点G，线段为所求．    2．如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示． (1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得； (2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—旋转变换，解直角三角形，轴对称的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转的性质作出线段，取格点、，连接交于点，连接，点即为所求（由得，可得）； （2）取格点，连接交于点，线段即为所求．取格点，，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点（，关于对称，可得）． 【详解】（1）如图，线段，点即为所求； （2）如图，线段，点即为所求 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分； (2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取边与网格线的交点，连接，即，取格点，连接、，易证，进而证明，则，即与的交点即为点； （2）取格点、，连接交于点，则点是中点，连接交于点，由网格可知，进而得到，由因为，则点是高线的交点，连接并延长交于点，线段即为的高；由的面积公式，可得，取格点、、、，连接交于，连接交于点，连接即可．（由相似三角形可知，，，则，可得，且，进而得出） 【详解】（1）解：如图1，即为所求作； （2）解：如图2，即为所求作； 【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，网格与勾股定理，特殊四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． (1)线段的长等于______； (2)半圆O以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图： ①画的角平分线； ②在线段上画点P，使． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，无刻度直尺作图，中位线 （1）利用勾股定理求解； （2）取中点，连接与圆相交即为，此时由中位线可得，再结合即可得到，即的角平分线； （3）取与网格线的交点，连接延长交于点，连接交于点，连接，延长交的延长线于，连接延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）． 故答案为：； （2）①如图，即为所求： ； ②如图，点即为所求： 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图题、图形的旋转作图及三角函数计算、三角形中位线定理应用， （1）在上取点H，使，连接并延长，交于点G，则点G即为所求； （2）在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P，则，可得为的中位线，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，线段即为所求． 在上取点H，使，连接并延长，交于点G， 则：， 即， 则点G即为所求． （2）如图2，即为所求． 在的延长线上取点Q，使，过点Q作的垂线，交于点P， 则， 则为的中位线， 垂直平分， ， 则点P即为所求． 6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，D是上一点，先画出线段关于的对称线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画点B绕点A逆时针旋转的对应点Q，再在上画点M，使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图，在的延长线上取格点，使，连接，由垂直平分线的性质可得：线段关于的对称线段为线段，连接，交于，连接并延长交于，作直线，交于，则直线，直线即为所求； （2）如图，取格点，使，且，可得，可得即为绕逆时针旋转的对应点，再取格点，连接交于，满足，满足，，连接，交于，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，在的延长线上取格点，使，连接， 由垂直平分线的性质可得：线段关于的对称线段为线段， 连接，交于，连接并延长交于，作直线，交于， 则直线，直线即为所求； 理由：∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，取格点，使， 且， ∴， ∴， ∴即为绕逆时针旋转的对应点， 再取格点，连接交于，满足，满足，， ∴， ∴，而， ∴，， 连接，交于， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂的作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握基础图形的性质并应用于作图是解本题的关键． 7．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：      (1)如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转得到线段AD； (2)如图（1），在边上找一点，连接，使； (3)如图（2），画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，相似三角形的性质与判定； （1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接（利用相似三角形的性质证明：：：，可得）； （3）取格点，作射线（），取格点，，连接交于点，取格点，，作直线，交射线于点，点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；    （2）如图1中，点即为所求； （3）如图2中，点，点即为所求．    ∵, ∴， 在中，， ∵（平行四边形）， ∴， ∴， ∴． 8．如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示结果用实线表示． (1)在图1中，先画出的高，再取中点E； (2)在图2中，点F为与网格线的交点，先将绕点B顺时针方向旋转得到线段，点H与点F为对应点，再在上取一点P使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作图—旋转变化，涉及平行四边形的性质与判定，平移的性质，最短路径等知识点，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）借助垂直构造高、平移以及平行四边形的性质构造中点即可求解； （2）利用平移作平行四边形，借助平行四边形的性质作出H关于对称点，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接交于点D，即为的高；利用平移作平行四边形，连接，交于点E，则，即点E即为所求． （2）如图所示，取格点G，连接，与网格线交于点H，取格点S，连接，则，沿平移至过点H，作直线，则，连接，取格点T，作平行四边形，与网格线交于点M，作平行四边形，沿直线平移至过点M交于点，连接，则与H关于对称，连接交于点P，连接，则即为所求． 押题猜想十六 实际应用问题（解答题） 某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)，37米 (2)6米 (3)该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由见详解 【分析】（1）抛物线的对称轴是轴，因而解析式一定是的形式，根据条件可以求得抛物线上，的坐标分别是和，利用待定系数法即可求解； （2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解； （3）在抛物线解析式中，令，得到的函数值与米，进行比较即可判断． 【详解】（1）解：设所在的抛物线的解析式， 由题意得，，代入抛物线解析式得， ， 解得 ， 所在的抛物线的解析式为， ，且， （米）， （米）； （2）解：，， ， （米）， 所以，AB的宽是6米； （3）解：该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由如下： 在中，当时， ， ∴该大型货车可以从桥下区域安全通过． 押题解读：本题主要考查了二次函数的实际应用。具体为求抛物线的解析式，运用坡度的定义，通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质． 1．冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标： (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 【答案】(1) (2)， (3)不能完整做完这个转体运动，见解析 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出表达式． （1）由题意可知，，利用待定系数法求出所在直线的表达式为，然后将代入即可求出答案； （2）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； （3）根据题意得到，求出，然后代入求解比较判断即可． 【详解】（1）由题意可知，， 设所在直线的表达式为 则：，解得 ∴所在直线的表达式为 ∵点到地面的距离为5米    ∴ 解之得： ∴； （2）将，代入抛物线得： ， 解之得： ∴抛物线的解析式为； ∴； （3）由题意可知： 整理得 解得（不符合题意），， 当时， ∵    ∴不能完整做完这个转体运动． 2．今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个． (1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率； (2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？ 【答案】(1)2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为； (2)当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二次函数解析式是解题的关键： （1）设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）设商品降价元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）．    答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为． （2）当商品降价元时，则销量为件，每件利润为元． 设总利润为元，依题意， 得． 当时，有最大值． 答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大． 3．某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 (1)求y关于x的函数表达式； (2)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润是450元 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的性质及其应用，熟练掌握二次函数的相关性质，是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，由待定系数法求得和的值，即可得解； （2）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出关于的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出，求出其对称轴，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 由题意得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）解：由题意得： ， ， ∴当时，有最大值450元； ∴当销售单价为35元时，每天获利最大，最大利润是450元； （3）解：由题意得： ， 二次函数的对称轴为， ∵，当销售单价不超过38元时，利润随着的增大而增大， ， ， a的最小值为6． 4．嘉嘉外出游玩发现有两根相邻的电线杆，一根在平地上，一根在坡面上，它们之间的电线呈抛物线，她建立为1个单位长度的平面直角坐标系（如图所示），为两根电线杆，电线杆与地面垂直，到地面的距离，，，电线在点正上方时最低． (1)求电线所在抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)要在斜坡AC上种两排树，树与地面OB垂直，其中两棵树在电线的正下方，，与的水平距离为； ①当到的水平距离为时，与两棵树中哪棵树的树顶离电线更近，请通过计算说明； ②与两棵树经过生长高度都增加了后D，F都落在电线上，直接写出到的水平距离． 【答案】(1)电线所在的抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2)①的树顶与电线的距离更近，理由见解析；②到的水平距离为 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，，利用分别求得，，得到和，据此求解即可； ②由题意设，则，分别代入二次函数解析式，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，抛物线顶点横坐标为10， 设电线所在的抛物线的解析式为， ，解得， 电线所在的抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）解：①设，， ， ， 解得，则，， ，解得，则，， 时，， 时， 的树顶与电线的距离为：， 的树顶与电线的距离为：， ∵， 的树顶与电线的距离更近； ②到的水平距离为， 由题意设，则， ， ， ∴， 整理得， 解得． 5．现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 (1)求和的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 【答案】(1)， (2)这两个位置之间的水平距离为 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入解析式计算即可； （2）将变为，得到火箭第一级运行的最高点为，由比火箭运行的最高点低，得出，进而得到对应的的值，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：火箭第二级的引发点坐标为 ， 将代入得 解得； 将代入得， 解得； （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 直线 解解析式为， ， 火箭第一级运行的最高点为， ， 将代入得， 解得：或， 火箭第二级的引发点坐标为 ， 不符合题意，舍去， ； 将代入得， 解得； ， 这两个位置之间的水平距离为． 押题猜想十七 几何大题综合（解答题压轴） 【问题背景】 （1）如图，在等腰直角中，，点在上，点在上，且，交于点，求证：；    【问题拓展】 （2）如图，在中，点在上，点在上，，交于点，求的值；    【问题应用】 （3）如图，在等腰直角中，，点在上，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交直线于点，求证：    【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析. 【分析】（1）过点作过点作交于点，证明得，，进而得进而证明四边形是平行四边形，即可得； （2）过点作过点作交于点，连接，先证明，得，进而证明得，又证四边形是平行四边形，得，进而即可证明结论成立； （3）如图，在上取一点，使得证得，再证，得，从而证明四边形平行四边形，即可得证。 【详解】解：（1）过点作过点作交于点，    ∴ ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）过点作过点作交于点，连接，    ∴ ∵在等腰直角中，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴； （3）如图，在上取一点，使得 ∴，即， ∵在等腰直角中，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴ 押题解读：本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 1．已知：点C在线段上，分别以为边在线段的同侧作正方形和，连接． (1)如图1，判断与的关系，并证明你的结论； (2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，若是等边三角形，求的值与的度数； (3)如图3，将正方形BCFG绕点C顺时针旋转，当点F在BD，且时，求． 【答案】(1)，．证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）延长交于点F．由正方形的性质易证，即得出，．再根据，，即得出，即，即证明； （2）延长交于点，证明得到，证明，，设，则，，即可求出，由，即可求出的度数； （3）过点作于点，设相交于点O，证明，得到，证明，设，则，得到，即可求出答案． 【详解】（1），． 证明：如图，延长交于点F． ∵四边形和，都是正方形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴，， 设，则，， ∴， ∵， ∴ （3）过点作于点，设相交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． (1)与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； (4)若，当点M为中点时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，证明，得出，，令交于，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）过点作与的延长线交于点，则，由正方形的性质可得，，证明，得出，，从而可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，即可得解； （3）过点作交于，由题意可得为等腰直角三角形，则，由等腰直角三角形的性质可得，结合题意得出，从而可得，，最后再由勾股定理计算即可得解； （4）由等腰直角三角形的性质可得，分两种情况：当时，连接、，作交于，作交于，作交于；当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质可得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 令交于， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作与的延长线交于点， 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作交于， 由题意可得：为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故； （4）解：由题意可得：为等腰直角三角形， 当时，， ∴， 如图，当时，连接、，作交于，作交于，作交于， 由（1）可得：， ∵点M为中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，连接、，作交于，作交的延长线于，作交于， 同理可得：，， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定由性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 3．已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)如图3，保持图2中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由菱形的性质可得，再根据等边对等角可得；然后根据等角的余角相等即可证明结论； （2）设，根据菱形的性质可得，，则；在中运用勾股定理可得，即；设，则，再证明可得，进而得到，然后代入计算即可； （3）由（2）可得、，结合菱形的性质以及运用勾股定理可得；如图：过M作于G，过P作于H，设，根据正切的定义可得、；再证明可得，证明可得；由可得，即，然后解方程组求得m的值即可． 【详解】（1）解：∵菱形的对角线，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设， ∵菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得：，， ∵菱形，， ∴， 在中，， ∴，解得：， ∴， 如图：过M作于G，过P作于H，设， ∵，， ∴ ∴，即， ∴， 同理：； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴，即， ∴ 即，， 解可得：， 将代入 整理得：，解得：或（不合题意舍弃）， ∴，即点到的距离． 4．综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）仍然成立，理由见解析； （3）或 【分析】延长交于点，根据矩形的性质和垂直的定义可证四边形是矩形，根据矩形的性质可知，根据直角三角形的性质可得； 由图可知，，从而可得：，由旋转可知，图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，从而可证仍然成立； 当时，四边形是正方形，当点在线段上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得；当点在线段延长线上时，可证，根据相似三角形的性质可得，根据、的长度可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 又， ， 故答案为：； 解：仍然成立， 理由如下， 由图可知，，， ， ， 由图可知，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ；. 解：当时，四边形是正方形， 如图，当点在线段上时，连接、， 四边形和四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 如图，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据矩形的性质判断三角形相似，再利用相似三角形的性质找到边之间的关系． 5．在中，，，点为直线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，点在线段上，若，，分别过点作的垂线、点作的垂线交于点，连接，求的长； (2)如图2，点在延长线上，为边上一点，连接，作交延长线于点，作于点．若平分，，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线下方一点，连接，，点在线段上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，直接写出线段的长度的最小值． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 (3)线段的长度的最小值为． 【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可； （2）作于点，连接，设，求得，证明，得到，再证明，证得，推出，证得四边形内接于圆，求得，即可得到； （3）连接，取的中点，连接，，利用两边对应成比例且夹角相等，证明，推出，得到点在以为直径的圆上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，得到，推出，点在以为圆心，为半径的圆上，当共线时，线段的长度取最小值，最小值为，证明点四点共圆，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下， 作于点，连接， ∵平分， ∴设， ∵，， ∴， ∴，， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，取的中点，连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上，此时，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则是等腰直角三角形， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，，， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当共线时，线段的长度取最小值，最小值为， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴点四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 押题猜想十八 二次函数大题综合（解答题压轴） 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分①当点与点重合和点与点重合时，利用平行四边形的判定和性质，求解即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：设， ①当点与点重合时，交轴于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵，， 设， ∴， 整理得，即， ∴， ∴； ②当点与点重合时，交轴于点， ∵，， 设， 同理，四边形是平行四边形，对角线互相平分， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：∵，设，则， ∴， 如图，作于点，交直线于点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 押题解读：本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大． 1．已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)8 【分析】（1）根据，得到，利用待定系数法依次解答即可； (2) 设点，根据对称性质，得到，确定点，根据题意，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且为 ，利用勾股定理，计算， 设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标． (3) 过点E作轴于点G，根据，得， 于是，故 ，利用，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，解答即可． 【详解】（1）解：根据， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （2）解：设点， ∵， ∴的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∵A，B是对称点， ∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 当时，， 故， ∴的周长最小时，，的周长为． （3）解：过点E作轴于点G， 根据， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为， 故， 故的最小值为8． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的性质，勾股定理，三角函数的应用，垂线段最短，熟练掌握三角函数的应用，抛物线的性质计算是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，． (1)求，的值； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为，连接、，交轴于点，设的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长至点，使，直线交抛物线第三象限于点，连接交轴于点，直线的解析式为（为常数），求点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）由题意得，，再利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可知，过点作于，，则，由此可得，，再根据即可求解； （3）过点作轴于，过点作轴于，设交轴于点，可证，再证，然后证，得，，，则，再求得，设，过点作轴于点，过点作轴交于点，则，列方程解得，由轴，，即，列方程可解得，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 代入抛物线解析式得， 解得； （2）由（1）可知， 过点作于，，则， ， ， ， ； （3）过点作轴于，过点作轴于，设交轴于点， ，则， 又∵，， ∴， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ∴，则， ∴ ， ，则 ， 当时，， ， 设， 过点作轴于点，过点作轴交于点， 则，即， 解得， 轴， ， ， ，即， 解得， ，解得， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键． 3．已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点． (1)直接写出四个点的坐标； (2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？ (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，取得最小值0；点的坐标为时，取得最大值 (3) 【分析】(1)用配方法求顶点坐标，用交点法求交点坐标即可； (2)根据题意，当时，的值最小，且为0；根据，得当P，A，C三点共线时，取得最大值，最大值为的长，解答即可． (3)不妨设，过点M作交x轴于点G，设直线的解析式为，确定直线的解析式为，用m表示直线的解析式，利用平行线分线段成比例定理，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； ∵当时，， ∴， ∵当时，， 解得， ∴； 故答案为：． （2）解：根据题意，得当时，的值最小，且为0， 设， 故， 解得， 故点时，的值最小，且为0； ∵P在对称轴上，且点A，点B是对称点， ∴， ∴， ∵， ∴当P，A，C三点共线时，取得最大值，最大值为的长， ∴， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点时，的值最大，且为． （3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点M作交x轴于点G， 设直线的解析式为， 故， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，且为． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理，勾股定理，三角形三边关系定理的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 4．如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）将点、点代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴于点，交直线于点，证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得；利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，结合二次函数的性质，即可获得答案； （3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，；证明，由相似三角形的性质可得，代入数值并整理可得，，由图像可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可证明结论． 【详解】（1）解：将点、点代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点， 对于抛物线，当时，可有， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 设直线解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵抛物线， ∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为， ∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限， ∴可设点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 设直线的解析式为， 联立直线的解析式和抛物线的解析式， 可得，整理可得， 则有，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 整理可得， 由图像可知， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，可有， ∴直线经过一定点． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、一元二次方程的根与系数的关系等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为9，此时， (3)或． 【分析】（1）将，，三点坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）过点作轴，先求出直线的函数关系式为，设，则， 可得出，再求解即可； （3）分为当点在的下方时及当点在的上方时，这两种情况，构造全等三角形，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 将，，三点坐标代入抛物线解析式： ，解得：, 抛物线的表达式为：； （2）解：如图，过点作轴， 设直线的函数关系式为，将，两点坐标代入得： ，解得， 直线的函数关系式为， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，为9，此时； （3）解：将抛物线绕点旋转，得到新抛物线， 关于对称点都在抛物线上， 设新抛物线的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， 新抛物线的函数关系式为， 当点在的下方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 当点在的上方时， 如图，过点作，过点作轴，过点作的延长线于点 ， 设点， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在直线：上， ， 解得：（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 6．如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分别代入抛物线解答即可； （2）根据解析式得，对称轴为直线，结合点A，点B是对称点，可以确定点B的坐标，设直线的解析式为，与对称轴的交点为M，解得，得到直线的解析式为，故点，． 结合解答即可． （3）不妨设，过点P作交的延长线于点N， 故，解得，得到， 确定，，根据， 得到，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：把分别代入抛物线， ∴， 解得， ∴． （2）解：， ∴， ∴，对称轴为直线． ∵点A，点B是对称点， ∴， ∴，    ∴， 设直线的解析式为，与对称轴的交点为M， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点， ∴． ∴ ． （3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点P作交的延长线于点N，    故， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 7．如图，中，，，．以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线过点，与轴正半轴的交点记为点． (1)用含的代数式表示． (2)若点坐标为，M是抛物线上段一动点，过点垂直于轴的直线交折线段于点． ①求抛物线的解析式； ②若M为抛物线的顶点，求长； ③若记②中的长为，当改变位置，使得，请直接写出满足条件的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）根据，，，得到，设，则，确定，代入解析式解答即可． （2）①根据点在上，列出方程组解答即可； ②根据，得到，求得直线的解析式，确定点N的坐标，再计算的长即可； ③当点M在段上运动时，由抛物线开口向下，故对称轴左侧，y随x的减小而减小，故，由，y随x的减小而增大，故，故，此时；设抛物线与y轴的交点为D，则，此时，连接，四边形是平行四边形，当点M在段上运动时，设与的交点为T，显然四边形是平行四边形，，，此时，不符合题意；当点M在段上运动时，由抛物线开口向下，故对称轴右侧，y随x的增大而减小，故，此时点N在x轴上，，此时，，符合题意即，综上所述，符合题意的x的取值范围是或． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 设，则， 解得， ∴， 把代入解析式 得， 解得． （2）解：①把点分别代入， ∴， 解得， ∴． ②解：∵， ∴， 设直线的解析式为，与对称轴的交点为N， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点， 故； ③解：由， 得， 解得， 故； 设抛物线的顶点为，对称轴与射线的交点为Q， 根据②中的计算，得， 当点M在段上运动时，由抛物线开口向下，故对称轴左侧，y随x的减小而减小， 故， 由，y随x的减小而增大， 故， 故， 此时； 设抛物线与y轴的交点为D，则， 此时， 连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， 当点M在段上运动时， 设与的交点为T， 显然四边形是平行四边形， ∴， ∴，此时，不符合题意； 当点M在段上运动时， 由抛物线开口向下，故对称轴右侧，y随x的增大而减小， 故，此时点N在x轴上， ∴，此时，，符合题意； ∴， 综上所述，符合题意的x的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点坐标，抛物线的增减性，平行四边形的判定和性质，分类思想，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法是解题的关键． 8．在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值； (3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等知识点，难度很大，计算复杂． （1）由待定系数法即可求解； （2）联立，得到，由根与系数得关系得到，则，由，代入可得，再解方程即可； （3）可设直线：，联立得：，则，化简得到，那么可得，，则，由与的面积之比等于，得到，故，同理可求直线，则，而，则，化简得到，同理可得，化简得到，解得：，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点， ∴将点代入抛物线得：， 解得：； ∴抛物线表达式为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴， 联立， ∴， ∴， ∵点在点左侧， ∴， ∵， ∴， ， ， 整理得，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得，， 设直线， 代入得，， ∴， ∴直线， 即， 联立得：， ∵直线与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线，即， 当， ∴， 当，则， 解得：， ∴， ∴， ∵与的面积之比等于， ∴， ∴， ∵， 同理可求直线， ∵， ∴， ∴同理可求直线， 当，则， 解得：， ∴， 对于直线，同理可求， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 9．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，且，A点坐标为 (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图（2），若点是抛物线第一象限上的动点，且点横坐标为，连接，和，的面积为，求与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，交y轴于点D，过P作垂直于x轴于点，是第四象限内一点，连接，，，，且，过D点作轴，满足，点K在线段上，连接，，且，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）过作于点，于点，连接，先求出的长，再根据求解即可得； （3）延长和交于，连接，过用于，延长交于点，连接，先根据圆周角定理可得，则，再证出，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，据此建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵时，， ∴点的坐标， ∴， ∴， ∵点也在抛物线上， ∴，解得， ∴． （2）解：如图，过作于点，于点，连接， 由题意得：， ∴，． ∵，，， ∴， ∴ ， 所以与之间的函数关系式为． （3）解：如图，延长和交于，连接，过用于，延长交于点，连接， ∵，，， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， 由圆周角定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∵轴，轴， ∴轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 2 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考数学终极押题猜想（武汉专用） 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系及应用（选填） 1 押题猜想二 反比例函数的性质及应用（选填） 2 押题猜想三 解直角三角形及其应用（选填） 3 押题猜想四 几何与图象结合问题（选填） 5 押题猜想五 圆中的综合问题（选填） 7 押题猜想六 二次函数小综合（选填） 9 押题猜想七 几何求值类问题小题压轴（选填） 11 押题猜想八 几何最值类问题小题压轴（选填） 13 押题猜想九 规律探索问题（选填） 15 押题猜想十 新定义问题（选填） 17 押题猜想十一 数与式、方程与不等式（解答题） 19 押题猜想十二 几何中的基本证明（解答题） 20 押题猜想十三 概率统计（解答题） 21 押题猜想十四 圆中的证明问题（解答题） 26 押题猜想十五 无刻度作图（解答题） 28 押题猜想十六 实际应用问题（解答题） 31 押题猜想十七 几何大题综合（解答题压轴） 33 押题猜想十八 二次函数大题综合（解答题压轴） 36 押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系及应用（选填） 已知a，b是关于x的一元二次方程的两个不等的实数根，则代数式 的值是（   ） A．2 B． C．1 D． 押题解读：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得，将分式变形，然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“、是一元二次方程的两个根，则有”是解题的关键． 1．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 2．若a，b是方程的两个根，则的值是（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 5．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 押题猜想二 反比例函数的性质及应用（选填） 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 押题解读：本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 1．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．若点和点都在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ． 3．如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为 ． 5．函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 押题猜想三 解直角三角形及其应用（选填） 如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点，（点，，，在一条直线上），经测得： ，，求铁架台和点的水平距离的长度（结果精确到）．（参考数据： ，，） A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8 押题解读：本题为解直角三角形的应用问题，是常见考查题型，多在填空题中出现，侧重中等难度。主要考查解直角三角形的边角关系、矩形性质及等腰三角形判定。解题关键在于通过作辅助线构造直角三角形与矩形，利用三角函数求线段长度，再通过角度计算推导，进而求解长度。对于此类几何问题，要熟练掌握直角三角形边角关系、矩形性质及等腰三角形判定方法，通过作辅助线转化条件，灵活运用已知数据进行计算。 1．如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角，沿方向走到E处，测得塔顶点B的仰角，且量得长为，测角仪的高度为，点C、E、A在同一直线上，则塔的高度为 m（参考数据：，，）． 2．某数学兴趣小组用无人机测量乌鲁木齐市红山塔的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得红山塔顶端A的俯角为，再将无人机面向红山塔沿水平方向飞行到达Q点，测得红山塔顶端A的俯角为，求红山塔的高度约为多少？（结果保留一位小数）（参考数据： ，，） 3．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫C可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 ．（结果精确到1cm，参考数据：） 4．市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为 米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，；若衣架收拢时，，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了 ．（保留一位小数，） 押题猜想四 几何与图象结合问题（选填） 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（   ）    A．  B．  C．  D．   押题解读：本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C． D． 2．如图，在平行四边形中，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点时停止，设点的运动路程为，线段的长度为，与的函数图象如图所示．若的最大值为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图（1），底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”．现向容器内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度与注水时间t（s）之间的关系如图（2），若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则“几何体”上方圆柱体的高是（    ） A． B． C． D． 4．如图1，在正方形中，动点P从点A出发，沿的方向匀速运动，当点P到达点C时停止运动．过点P作，交于点Q．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则正方形的边长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．在物理学实验中，老师和同学们设计了一个梯形轨道来模拟物体的运动路径．已知轨道段与段平行（），且段与水平方向成夹角（）．轨道各部分的长度为，．实验中，两个小球和分别从点和点出发，沿边和边自由滑动（不与重合，不与重合）．同学们通过传感器记录和的中点，的位置，并发现点到点的距离与小球的位移（）存在动态关系．请根据上述条件，建立与的函数模型，并选择下列图象中能正确反映该函数关系的示意图．（   ） A． B． C． D． 押题猜想五 圆中的综合问题（选填） 如图，是的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 押题解读：本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键． 1．如图，点A，B，C，D都在上，为的直径，且，若，，则的半径为（    ） A．10 B．2 C． D．5 2．如图，在中，，，以为直径作，交于点，点是上一点，连接并延长，交于点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，是边上一点，连接，，作的外接圆交于点．已知的半径为，，则 ；若，，则 ． 4．如图，在正方形中，先以点为圆心，长为半径画弧，再以为直径作半圆，交前弧于点，连接，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是的外接圆，为上一动点，过作直线的垂线，垂足为．在从沿运动到的过程中，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 押题猜想六 二次函数小综合（选填） 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有 （填序号） 押题解读：本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 1．已知抛物线（a，b，c均为常数，且）经过点，下列结论：①；②；③当时y随x的增大而增大；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是 个． 2．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ． 3．如图，抛物线与x轴交于点，，其中，下列结论中正确的是 ．（只填写序号） ①；②；③；④关于x的不等式的解集为． 4．抛物线（）的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：；若，是图象上的两点，则；；若方程没有实数根，则；．其中结论正确的是 5．如图，二次函数图像的对称轴是直线，下列结论：①；②；③（m为常数）；④若关于x的方程恰有三个解，则，其中正确的是 （填序号）． 押题猜想七 几何求值类问题小题压轴（选填） 如图，由三个全等的三角形（，，）与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点，若，则：    （1）的度数是 ； （2）的长是 ． 押题解读：本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直角三角形和相似三角形，是解题的关键． 1．如图，中，，点是上一点，，连接，沿着翻折得到，交于点，延长交于点，若，，则 ． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点，分别为，上的点，且，于点，连接，若，则的长为 ．    3．如图，在矩形中，，E是边上的一动点，连接，过点D作交于点G，垂足为点F，连接． （1）当点G恰为中点时，则 ． （2）当平分时，若，则 ． 4．如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点，重合），在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． （1）当时，点到直线的距离为 ； （2）连接，当时，正方形的边长为 ． 5．如图1，中，，，，点，分别为，的中点，连接．如图，将逆时针绕点在平面内旋转，连接，当点，，恰好在一条直线上时，的长为 ． 押题猜想八 几何最值类问题小题压轴（选填） 如图，已知中三边长分别为，，，动点在边上运动，过点作，，垂足分别为、，则的最小值为 ． 押题解读：本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键． 1．如图，在等腰直角三角形中，，，点为上一点，且，将绕点旋转，得到，连接，过点作于点，则的最小值为 ，最大值为 ． 2．如图，已知在正方形中，，，，，点为中点，连接，点为中点．连接，则的最大值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴、轴分别相交于点A、B，的圆心的坐标为，半径为1，点是直线上的一个动点，直线与相切于点，则线段长度的最小值为 ． 4．如图，矩形中，，点在上，，点在线段边上运动（不与、重合），线段绕着点顺时针旋转得到，连接． （1）当时，则 ； （2）在运动的过程中，的最小值为 ． 5．如图，菱形边长为，，是的中点，，分别是边，上的两个动点，且，连接、，则 ，的最小值是 ． 押题猜想九 规律探索问题（选填） 已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 押题解读：本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 1．用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖（阴影部分）按如图的方式铺人行道：如果每块正方形水泥砖边长为，按照这种铺法（人行道恰好宽，且人行道上全部用这两种水泥砖无缝钢满），那么当用了块彩色水泥砖时，人行道铺了 ． 2．如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则 ． 4．如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 5．在综合实践活动中，数学兴趣小组对这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于的取法种数k进行了探究．发现：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；当时，可得；……．若时，则k的值为 ；若，则k的值为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，，⋯的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 押题猜想十 新定义问题（选填） 已知函数和是关于x的函数，点在函数的图象上，点在函数的图象上，规定：当时，有，那么称函数和具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 押题解读：本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，从而达到解决问题的目的． 1．定义新运算：，例如：，．若，则x的值为 ． 2．我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小明同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为，和；②图象具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值y随x值的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点若满足时， 时， ，则称点是点的限变点．例如∶点 的限变点是，点的限变点是，若点 在二次函数 的图像上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出，则称点Q为点P的“可控变点”，例如：点(2，3)的“可控变点”为点(2，3)，点(−1，2)的“可控变点”为点(−1，−2)，若点P在函数的图像上，则其“可控变点”Q的纵坐标y′关于x的函数图像大致正确的是(       ) A． B． C． D． 5．新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”．如：的“图象数”为．若点，在“图象数”为的二次函数的图象上，且，，则当时，的取值范围为（   ） A． B． C．或 D． 押题猜想十一 数与式、方程与不等式（解答题） 解不等式组，并写出所有整数解． 押题解读：本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，此考点在初中数学中属于基础且重要内容，多在解答题中考查，难度适中。主要考查对一元一次不等式组解法的掌握，先分别求解每个不等式，再确定不等式组的解集，最后在解集范围内找出整数解。解题关键在于正确运用不等式性质求解每个不等式，准确确定解集的公共部分。熟练掌握一元一次不等式的解法及不等式组解集的确定方法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）是解决此类问题的核心，这对后续函数等知识的学习也有重要铺垫作用。 1． （1） 计算： （2） 解方程： 2．计算：． 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 4．（1）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； （2）解方程： 5．先化简，再求值：，其中． 押题猜想十二 几何中的基本证明（解答题） 如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 押题解读：本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定，此考点常见于解答题，难度中等。(1) 问借助平行四边形对边相等，对角相等的性质，结合垂直条件得到直角相等，利用全等三角形判定定理证明关键在于对平行四边形性质及全等判定的熟练运用。(2)问添加与角度相关条件使四边形为平行四边形，需依据平行四边形判定定理（如两组对边分别平行），通过角度关系（如推导, 结合判定。熟练掌握平行四边形的性质与判定定理、全等三角形的判定方法是解题关键，这些知识对后续几何解题具有重要作用。 1．如图，、是平行四边形的对角线上的两点，，求证：    (1)； (2)． 2．如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 3．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，则当______时，四边形为菱形． 4．如图，点在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图，在中，，分别是，的中点，，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当________时，四边形为菱形． 押题猜想十三 概率统计（解答题） 为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成 如图尚不完整的统计图． (1)本次活动共调查了 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ； (2)请补全条形统计图； (3)若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数． 押题解读：本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，求扇形统计图圆心角，有样本估计总体，根据条形统计图与扇形统计图的综合求出参与调查的总人数是解答本题的关键． （1）由由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占，求出参与调查的总人数，进而求出扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数即可； （2）求出非常满意的人数补全统计图即可； （3）用总人数乘以“基本满意”的占比即可． 1．甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组：，B组：，C组：，D组：），下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组：）的用户人数． 2．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数（单位：分） 中位数（单位：分） 平均数（单位：分） 方差 甲 7.8 7.5 7 乙 m 8 7 (1)补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________； (2)表格中的______，______（填“>”“=”或“<”）； (3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？ (4)从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率． 3．当前AI市场十分火爆，众多优秀模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：非常满意A．；满意B．；良好C．；不满意D．），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89； 乙款评分数据中组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87， 甲款机器人满意度评分乙款机器人满意度评分根据以上信息，解答下列问题： 甲款机器人满意度评分条形统计图 乙款机器人满意度评分扇形统计图 甲、乙两款AI机器人满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 (1)上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； (2)根据以上数据分析，你认为哪款，聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有280人对甲款AI聊天机器人进行评分、300人对乙款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？ 4．为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用表示，单位：h），并对这些数据进行统计整理．数据分成4组：A组：；B组：；C组：；D组：． 下面给出了部分信息： a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，8.5，8.8 b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下： 请根据以上信息完成下列问题： (1)该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______； (2)请补全条形统计图； (3)抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h； (4)该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数． 5．为了了解同学们对传统节日——清明节的认识．某中学开展了“清明知识我了解”的知识竞赛．现从该校七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制．学生得分均为整数且用表示）进行整理、描述和分析，并将其分成四组，．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99； 八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据：91，93，94． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91 90 八年级 91 100 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：___________， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对清明节知识掌握得更好？并说明理由； (3)若该校七年级有800名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不低于95分的学生一共有多少人． 押题猜想十四 圆中的证明问题（解答题） 如图，⊙是的外接圆，，点E为⊙外一点，连接并延长，交⊙于点D，交于点M，连接，若，． (1)如图1，求证：是⊙的切线； (2)如图2，若M为的中点，，求的长． 押题解读：本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键． 1．如图，为的直径，是的切线，C为切点，，，垂足为D． (1)若，求的直径． (2)延长，相交于点F．若，求，，围成图形的面积． 2．如图，已知是的外接圆，是直径，的切线与弦的延长线交于点为上一点，连接交于点． (1)求证：； (2)过点作于点，若，求的长． 3．如图，是半圆的直径，弦，点在弦上，连接，． (1)若，，，求的长； (2)在上取一点，使得，求证：． 4．如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 5．已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，求证：①，② 押题猜想十五 无刻度作图（解答题） 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先将绕点A顺时针旋转，得到线段，再在上画点E，使得； (2)在图2中，先画平分交于点F，再画线段，使得，且． 押题解读：本题考查了作图旋转的变换，圆内接四边形，平行线分线段成比例，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 1．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：    (1)在图1中线段上画点D，使，并画出点A关于的对称点M； (2)在图1中线段上画点E，使； (3)如图2，点F为线段上任意一点，在线段上画点G，使． 2．如图：在的网格中，、、为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示． (1)图1，在将线段绕顺时针旋转得线段，再在上找一点，使得； (2)在图2，先作边高，再在上找一点，使得． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的4个顶点都在格点上，E是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画交于点G，交边于点F，再在上画点H，使得平分； (2)在图2中，先画的高，再分别在边和上画点M、N，使得，且． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． (1)线段的长等于______； (2)半圆O以为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图： ①画的角平分线； ②在线段上画点P，使． 5．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先将线段绕点A顺时针旋转到，再在上画点G，使； (2)如图2，先在上画一点H，使，再在上画点P，使． 6．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，D是上一点，先画出线段关于的对称线段，再在上画点E，使； (2)在图2中，先画点B绕点A逆时针旋转的对应点Q，再在上画点M，使． 7．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：      (1)如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转得到线段AD； (2)如图（1），在边上找一点，连接，使； (3)如图（2），画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 8．如图，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示结果用实线表示． (1)在图1中，先画出的高，再取中点E； (2)在图2中，点F为与网格线的交点，先将绕点B顺时针方向旋转得到线段，点H与点F为对应点，再在上取一点P使最小． 押题猜想十六 实际应用问题（解答题） 某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 押题解读：本题主要考查了二次函数的实际应用。具体为求抛物线的解析式，运用坡度的定义，通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质． 1．冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，以地面（所在直线）为轴，过起跳点作轴的垂线为轴，构建平面直角坐标系，米．有一运动员通过助滑坡后从起跳点处腾空跃起，沿运动轨迹运动，最后着陆在滑道上的点处，然后继续向点滑行，米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹段可近似看作抛物线的一部分．已知点为运动员在空中的最高点，点为着陆点，且其到地面（所在直线）的距离为5米． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式，并直接写出点坐标： (3)现该运动员从最高点处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少需40米的垂直距离．为保证在点处安全着陆，该运动员必须在位于点（为着陆坡上一点）正上方18米高度的点处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作． 2．今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个． (1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率； (2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最大？ 3．某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 22 23 24 每天销售数量y/件 56 54 52 (1)求y关于x的函数表达式； (2)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ (3)文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接写出a的最小值． 4．嘉嘉外出游玩发现有两根相邻的电线杆，一根在平地上，一根在坡面上，它们之间的电线呈抛物线，她建立为1个单位长度的平面直角坐标系（如图所示），为两根电线杆，电线杆与地面垂直，到地面的距离，，，电线在点正上方时最低． (1)求电线所在抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)要在斜坡AC上种两排树，树与地面OB垂直，其中两棵树在电线的正下方，，与的水平距离为； ①当到的水平距离为时，与两棵树中哪棵树的树顶离电线更近，请通过计算说明； ②与两棵树经过生长高度都增加了后D，F都落在电线上，直接写出到的水平距离． 5．现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火箭第二级的引发点坐标为 (1)求和的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的水平距离． 押题猜想十七 几何大题综合（解答题压轴） 【问题背景】 （1）如图，在等腰直角中，，点在上，点在上，且，交于点，求证：；    【问题拓展】 （2）如图，在中，点在上，点在上，，交于点，求的值；    【问题应用】 （3）如图，在等腰直角中，，点在上，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交直线于点，求证：    押题解读：本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 1．已知：点C在线段上，分别以为边在线段的同侧作正方形和，连接． (1)如图1，判断与的关系，并证明你的结论； (2)如图2，将正方形绕点C顺时针旋转，若是等边三角形，求的值与的度数； (3)如图3，将正方形BCFG绕点C顺时针旋转，当点F在BD，且时，求． 2．如图1，在正方形中，，点P，Q分别在边，上，．将绕点A逆时针旋转，连接，，所在直线交直线于点M，连接． (1)与的数量关系是______，位置关系是______； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若点Q与M重合于左侧，且，求t的值； (4)若，当点M为中点时，直接写出的值． 3．已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)如图3，保持图2中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 4．综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为　　． 【拓展探究】 如图，将图中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 5．在中，，，点为直线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，点在线段上，若，，分别过点作的垂线、点作的垂线交于点，连接，求的长； (2)如图2，点在延长线上，为边上一点，连接，作交延长线于点，作于点．若平分，，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，在（1）的条件下，点为直线下方一点，连接，，点在线段上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，直接写出线段的长度的最小值． 押题猜想十八 二次函数大题综合（解答题压轴） 二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 押题解读：本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大． 1．已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 2．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，． (1)求，的值； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一点，设点的横坐标为，连接、，交轴于点，设的面积为，求与的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，连接并延长至点，使，直线交抛物线第三象限于点，连接交轴于点，直线的解析式为（为常数），求点的坐标． 3．已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，点为顶点． (1)直接写出四个点的坐标； (2)如图1，点为抛物线对称轴（直线）上的动点，求当点在什么位置时，取得最值？最值是多少？ (3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点交于点，求的最大值． 4．如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，求的最大值及点的坐标； (3)将抛物线绕点旋转，得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得，直接写出点的坐标． 6．如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求点的坐标． 7．如图，中，，，．以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系．抛物线过点，与轴正半轴的交点记为点． (1)用含的代数式表示． (2)若点坐标为，M是抛物线上段一动点，过点垂直于轴的直线交折线段于点． ①求抛物线的解析式； ②若M为抛物线的顶点，求长； ③若记②中的长为，当改变位置，使得，请直接写出满足条件的横坐标的取值范围． 8．在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值； (3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 9．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，且，A点坐标为 (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图（2），若点是抛物线第一象限上的动点，且点横坐标为，连接，和，的面积为，求与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，交y轴于点D，过P作垂直于x轴于点，是第四象限内一点，连接，，，，且，过D点作轴，满足，点K在线段上，连接，，且，求点坐标． 2 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$