精品解析：贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高一下学期教学质量监测（三）数学试卷

贵阳一中2024级高一年级教学质量监测卷（三） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出复数后可求其虚部. 【详解】由题设可得，故的虚部为1， 故选：A. 3. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆台的高后可求圆台的体积. 【详解】因为圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为， 故圆台的高为， 故圆台的体积为， 故选：B. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数的性质和对数函数的单调性可比较三者的大小. 详解】，而， ，故， 故选：C 5. 如图所示，在中，点是斜边的中点，点是线段靠近点的四等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算先求得，再根据为中点化简可得正确选项. 【详解】因为点是线段靠近点的四等分点，故， 故，故， 所以， 故选：D. 6. 已知函数（）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍．纵坐标不变 B. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的周期，利用周期公式可得，从而得到函数的解析式，利用图象平移和伸缩的规律求解即可. 【详解】由题意可得，，所以. 所以，故可将的图象上所有的点先向左平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，故A错误，B正确； 或者先将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到， 再向左平移个单位长度，纵坐标不变得到的图象，故C、D错误. 故选：B. 7. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意，设， 则, 因为三点共线， 所以，即， 所以， 所以， 又三点共线， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 8. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理结合辅助角公式和正弦函数的性质可求的取值范围. 【详解】因为，故， 由正弦定理可得，而为三角形内角，故， 故，而为三角形内角，故为锐角， 故，故，故即， 故（为外接圆半径），故， 因为，，所以，则. 故 ， 其中，且， 由锐角三角形可得，故， 故， 因为，且，故，则，， 所以时，，取得最大值. 当时，， 当时，， 故， 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，是两个非零向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量垂直可夹角，从而可判断A的正误，对于B的等式，两边平方后可判断其正误，对于C，根据数量积的运算律可得，故可判断其正误，对于D，根据投影向量公式计算后可判断其正误. 【详解】对于A，因为且，是两个非零向量，故，的夹角为直角，故它们垂直， 故A正确； 对于B，因为 ，故， 故，故，故B正确； 对于C，若，则，即，此时不一定成立， 如下图： 对于D，在方向上的投影向量为，但是单位向量， 故投影向量为，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 是的充要条件 D. 若，，，则有两解 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦定理及余弦定理逐个判断即可. 【详解】对于A，由余弦定理得，则为锐角， 无法判断角是否为锐角， 所以无法判断是否为锐角三角形，故A错误； 对于B，因为， 所以由正弦定理得， 即， 所以或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，充分性：已知，由正弦定理得， 必要性：已知，由正弦定理得， 即是的充要条件，故C正确； 对于D，因为， 所以由正弦定理得，即， 又因为， 所以,且, 所以或，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数、定义域为，函数是偶函数，函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. 关于中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得、，变换后可得，故可得的周期性，再结合赋值法逐项计算后可得正确项的选项. 【详解】因为是偶函数，故， 因为函数是奇函数，故， 因为，故， 故，故关于中心对称，故C正确， 令，故即，故A正确； 由可得， 故即， 故，所以， 故为周期函数且周期为4， 在令，则， 再令，则，故，且 故，故D正确； 对于B，在中令，则， 而，故，故B错误， 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两者的表面积后可得它们的比值. 【详解】设正方体的棱长为，则其表面积为， 而内切球的半径为，故其表面积为， 故正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为， 故答案为： 13. 如图，为测量河对岸两点，间的距离，沿河岸选取相距100（单位：）的，两点，测得，，，，则，两点距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，进而由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得 ，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案： 14. 若平面向量，，满足，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，将表示成关于角的三角函数，利用三角函数的性质求范围即可. 【详解】设，则，，如图所示： 当共线时，， 当不共线时，设， 则不妨设，， 则， 因为， 则当时，，当时，， 故综上所述. 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，2acosA＝bcosC＋ccosB． （1）求A； （2）若a＝，b＝1，求c. 【答案】（1）60°；（2）c=2． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简得sin2A=sin（B+C），即得sin2A=sinA，即得A的值.(2)利用余弦定理求c. 【详解】（1）三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB 由正弦定理可知2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB， 可得sin2A=sin（B+C）， ∴sin2A=sinA所以2sinAcosA=sinA,所以cosA= . （2）由余弦定理得： 可得， 解得c=2．. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 16. 已知向量，满足，， （1）求与的夹角； （2）若，求的值； （3）若为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的夹角公式计算即可； （2）由，则根据计算即可； （3）由为锐角，可得且不共线，从而可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为， 所以. 【小问2详解】 由题意，， 因为， 所以， 解得. 【小问3详解】 因为为锐角， 所以且不共线， 即，且， 解得且. 故的取值范围为. 17. 函数（，，）的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间； （3）已知，，求． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象得到，最小正周期，故，代入求出，得到函数解析式； （2）整体法得到，整体法得到函数单调区间； （3）由求出，根据图象特征和特殊点函数值得到，故，利用凑角法和余弦差角公式求出答案 【小问1详解】 由图象可得，设的最小正周期为， 则，解得， ，故，解得， 所以， 将代入解析式，， 故，解得， 又，故当时，满足要求， 所以； 【小问2详解】 时，， 故当或时， 即或时，单调递增， 当，即时，单调递减， 故在上的单调递增区间为,， 单调递减区间为； 【小问3详解】 ，即， 因为，所以，又， 所以，其中， 故，故， 所以 . 18. 已知，函数为奇函数，为常数． （1）求值； （2）用定义法证明：函数在上单调递增； （3）若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值； （2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证； （3）求出的最大值后利用参变分离可求实数的取值范围．. 【小问1详解】 ∵， ∴. ∴，即， 故,解得，检验（舍），∴. 【小问2详解】 由（1）可知， 证明：任取，即有， 即，即， 即有，即， ∴在上为增函数； 【小问3详解】 由（2）可知在上为增函数，故， 由题设有在上恒成立， 故在上恒成立， 设，因为在上均为增函数， 故在上均为增函数，故， 故. 19. 在教材必修二第六章我们学习了平面向量的加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，结果为实数．其实向量还有其他运算，比如外积，混合积．两个向量与的外积记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；从外积定义可以看出，当，不共线时，长度表示以，为邻边的平行四边形的面积． 设三个向量，，，称为这三个向量的混合积，也可记为． 在空间直角坐标系中，若，，则，，． 阅读上述材料，解答下列问题： （1）已知，，，求，； （2）若向量，，证明：当，，三点不共线时，； （3）证明：当，，不共面时，在数值上等于以，，为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据外积的定义求出，再求混合积即可； （2）由外积的几何意义知，再化简即可； （3）由数量积定义可得，其中表示点到平面的距离，又，由此可证. 【小问1详解】 由题意知：， 则 【小问2详解】 记，则由外积的几何意义知： 又 所以． 【小问3详解】 如图所示，， 而， 又因为的方向与均垂直，即与平面垂直， 所以表示点到平面的距离， 即为三棱锥的高， 所以， 从而，所以当不共面时， 在数值上等于以为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2024级高一年级教学质量监测卷（三） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在中，点是斜边的中点，点是线段靠近点的四等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍．纵坐标不变 B. 先向左平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 先将所得点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 7. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、、，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设，是两个非零向量，是单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 在方向上的投影向量为 10. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 是的充要条件 D. 若，，，则有两解 11. 已知函数、定义域为，函数是偶函数，函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. 关于中心对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 正方体的表面积与其内切球的表面积的比值为______． 13. 如图，为测量河对岸两点，间的距离，沿河岸选取相距100（单位：）的，两点，测得，，，，则，两点距离为______． 14. 若平面向量，，满足，，则的取值范围为______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA＝bcosC＋ccosB． （1）求A； （2）若a＝，b＝1，求c. 16. 已知向量，满足，， （1）求与的夹角； （2）若，求的值； （3）若为锐角，求的取值范围． 17. 函数（，，）的部分图象如图所示： （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间； （3）已知，，求． 18. 已知，函数为奇函数，为常数． （1）求的值； （2）用定义法证明：函数在上单调递增； （3）若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 在教材必修二第六章我们学习了平面向量加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，结果为实数．其实向量还有其他运算，比如外积，混合积．两个向量与的外积记为，其结果是一个向量，它的长度规定为，它的方向规定为与，均垂直；从外积定义可以看出，当，不共线时，长度表示以，为邻边的平行四边形的面积． 设三个向量，，，称为这三个向量的混合积，也可记为． 在空间直角坐标系中，若，，则，，． 阅读上述材料，解答下列问题： （1）已知，，，求，； （2）若向量，，证明：当，，三点不共线时，； （3）证明：当，，不共面时，在数值上等于以，，为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $