精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年高二下学期期中质量调查数学试卷

高二数学 第Ⅰ卷 (选择题 共27分) 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目) 1. 下列选项正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 3. 化简多项式结果是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 120 D. 200 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆分出胜负，且每局比赛胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为，下列说法不正确的是（） A. 三局就结束比赛的概率为 B. 的常数项为3 C. 函数在上单调递减 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共73分) 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2. 本卷共11 题，共73分. 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 10. 展开式的二项式系数和为__________________，_______________. (用数字作答) 11. 从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若，则__________，__________． 12. 某校高三班第一小组有男生人，女生人，现从中抽取人参加学校开展的劳动技能竞赛，则恰有一名女生参赛的概率为________；在至少有一名女生参赛的条件下，都是女生参赛的概率为___________. 13. 若是函数的极值点，则的值为___________. 14. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法.(用数字作答) 15. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_____ 三、解答题(本大题共5 小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线斜率为求的值； （2）若有个实数解，求的取值范围. 17. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5. （1）求n的值； （2）系数最大的项． 18. 为深入学习贯彻党二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列和期望； （2）求小明至少答对一道题的概率. 19. 已知函数，. （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增， 求取值范围; （3）当时，若，对使得，求的取值范围. 20. 已知函数. （1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）当时，讨论方程根的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 第Ⅰ卷 (选择题 共27分) 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目) 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则可判断A选项；利用基本初等函数的导数公式可判断BC选项；利用复合函数的求导法则可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对， 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D错. 故选：A. 2. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望等于（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由概率的性质求得，进而根据题意求期望即可. 【详解】由已知得， 则， 所以. 故选：C. 3. 化简多项式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故为的展开式，化简. 故选：D. 4. 已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 的正负分情况讨论，再结合函数图象判断 的正负，进而求解不等式. 【详解】1. 当 时，此时不等式 等价于 . 从函数图象可知，当，函数单调递增时.观察图象， 在 上单调递增，即此时当 时，满足题意. 2. 当 时，此时不等式 等价于 . 由函数单调性与导数的关系，当，函数单调递减时.观察图象， 在 上单调递减，即此时当 时，，满足题意. 综上，不等式 的解集是 ， 故选：B. 5. 某校高二年级组织春游，已知该校1~8班每班30人，9~20班每班40人，且1~8班前往“庐山”景区，9~20班前往“武功山”景区.若游客对“庐山”景区的满意度为，对“武功山”景区的满意度为，现从该校随机抽取一名高二学生，则对所游景区感到满意的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式计算作答. 【详解】设“任抽一名高二学生对所游景区感到满意”，“抽到1~8班的学生”，“抽到9~20班的学生”， ， ， 所以. 故选：D 6. 在某颁奖仪式上，队员人（其中人为队长）)，教练组人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组要求相邻并站在边上，不同的站法种数共有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解. 【详解】选择左、右两边其中一边将教练组人捆绑看作一个整体安排，共有种排法， 将剩余的名队员全排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的排法种数为. 故选：B. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 120 D. 200 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到； 据此可得：的系数为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题. 8. 若，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，构造函数，利用导数研究其单调性，再结合作差法比较即可. 【详解】因为， 令，定义域为，则， 当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以， 又，所以， 所以，即. 故选：D. 9. 某次乒乓球比赛采用五局三胜制，当参赛甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为p(0≤p≤1)，实际比赛局数的期望值记为，下列说法不正确的是（） A. 三局就结束比赛的概率为 B. 的常数项为3 C. 函数在上单调递减 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设实际比赛局数为，先计算出X可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项. 【详解】对于A，设实际比赛局数为，则的可能取值为． 所以，， ， 因此三局就结束比赛的概率为，则A正确； 对于B，故 ， 由知常数项为3，故B正确； 对于D，，故D正确； 对于C，， 因为，所以， 令，则；令，则， 则函数在上单调递增，则C不正确． 故选：C． 第Ⅱ卷(非选择题 共73分) 注意事项： 1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效. 2. 本卷共11 题，共73分. 二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 10. 展开式的二项式系数和为__________________，_______________. (用数字作答) 【答案】 ①. 32 ②. 2 【解析】 【分析】利用二项式系数的定义可求二项式系数和，利用赋值法可求的值. 【详解】由题意可知，所以的展开式的二项系数和为. 令，可得， 所以， 令，可得， 所以. 故答案：①；②. 11. 从装有大小完全相同的m个白球，n个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取3次，记摸取的白球个数为X，若，则__________，__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】第一空：表示出摸到白球的概率，由二项分布的期望公式求出即可；第二空：由直接求解即可. 【详解】由题意知：摸到白球的概率为，则，则，解得； 摸到白球的概率为，则. 故答案为：2；. 12. 某校高三班第一小组有男生人，女生人，现从中抽取人参加学校开展的劳动技能竞赛，则恰有一名女生参赛的概率为________；在至少有一名女生参赛的条件下，都是女生参赛的概率为___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得事件“恰有一名女生参赛”的概率；记事件抽取的人中，至少有一名女生，记事件抽取的人都是女生，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由古典概型的概率公式可知，从中抽取人参加学校开展的劳动技能竞赛，则恰有一名女生参赛的概率为； 记事件抽取的人中，至少有一名女生，记事件抽取的人都是女生， 则，所以，，， 由条件概率公式可得. 故答案为：；. 13. 若是函数的极值点，则的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的导数，分析可知，据此可求出，然后针对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点，综合即可得答案. 【详解】解：根据题意，， 得， 由题意可知， 解得或， 当时，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，显然是函数的极值点； 当时，，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 14. 如图，现要用6种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有________种不同的着色方法.(用数字作答) 【答案】480 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解． 【详解】先给地区I染色有6种选择，再给地区II染色有5种选择，然后给地区III染色有4种选择，最后给地区IV染色也有4种选择， 综上所述，满足题意的染色方法共有种． 故答案为：480． 15. 已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】解法一：设，利用导数可得，令，则可得，然后证明不等式恒成立即可；解法二：将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用函数的单调性可求出实数的取值范围. 【详解】解法一：设，当，， 当，，所以在上递减，在上递增， 所以，故. ①一方面，在条件中，令，即得. 假设，则，从而，矛盾. 所以一定有. ②另一方面，若， 首先有， 以及. 将两个不等式相加，就得到， 从而. 由于，故， 所以对任意，有. 而对任意的，显然也有， 所以，从而时条件一定满足. 综合①②两个方面，可知的取值范围是. 解法二：不等式在区间上恒成立，等价于 区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则，， 所以在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是利用指对同构将问题转化为在区间上恒成立，然后构造函数，利用导数求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 三、解答题(本大题共5 小题，共49分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知函数 （1）若曲线在点处的切线斜率为求的值； （2）若有个实数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得，解之即可； （2）利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出当方程有个实数解时实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以， 由导数的几何意义可得，整理可得，解得. 【小问2详解】 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的增区间为和，减区间为， 函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由图可知，当或时，直线与函数的图象有两个公共点， 此时，方程有个实数解. 故实数的取值范围是. 17. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5. （1）求n的值； （2）系数最大的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）第二项与第三项的二项式系数之比为； （2）求二项式系数的最大项，即这一项大于前一项，也大于后一项，列式即可. 【小问1详解】 因为第二项与第三项的二项式系数之比是， 则，即，解得(舍)或， 所以n的值为6. 【小问2详解】 的展开式的通项为， 令，解得， 又，， 展开式中系数最大的项为第项，且． 18. 为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情.某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答.已知小明只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列和期望； （2）求小明至少答对一道题的概率. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据离散型分布列的解题步骤，结合数学期望的定义，可得答案； （2）根据题意，求出小明答对0道题的概率，可得答案. 【小问1详解】 由题意可知， 则，， ，， 所以的分布列如下： . 小问2详解】 设小明至少答对一道题为事件 则. 故小明至少答对一道题的概率为. 19. 已知函数，. （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增， 求的取值范围; （3）当时，若，对使得，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，结合导数即可求解； （3）由题意得出，利用导数求解即可. 【小问1详解】 因为，定义域为R，， 由可得，由可得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值，无极大值. 【小问2详解】 ，其中， 则， 因为在单调递增，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，， 设，，， 所以在上单调递增，所以，所以， 故的取值范围为. 【小问3详解】 当时，若，对使得，则， 由（1）可知，函数在上单调递增， 故当时，， 当时，，其中，则， 此时，函数在上为减函数， 故当时，， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 20. 已知函数. （1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围； （2）当时，讨论方程根的个数. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围； （2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零点个数，由此可得出结论. 【详解】（1），定义域为， 由题意知对任意的恒成立， 即，，故. 因此，实数的取值范围是； （2），即，设， 则， 当时，，函数在上单调递增， ，，故函数有唯一零点； 当时，， 令，得或；令，得. 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 极大值为， 设，则恒成立， 故函数单调递增，故， 故函数在上无零点. ，， 故函数在上有唯一零点. 综上所述，当时，方程有且仅有一个根. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$