2.2《探索直线平行的条件》知识点管理及考点复习　　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 考点巩固 2.2《探索直线平行的条件》巩固练习 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1．下列说法中正确的是（　　） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 D．平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交 2．下列所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，填写一个条件使AB∥CD，正确的是（　　） A．∠FCD＝∠FAD B．∠BAC+∠ACD＝180° C．∠CAD＝∠DAB D．∠BAC+∠ADC＝180° 4．如图所示，∠1是直角，量出下列角的度数后仍无法判断直线a与直线b平行的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 5．如图，下列条件中能判定AB∥CD的是（　　） A．∠A＝∠C B．∠BDA＝∠CBD C．∠ABD＝∠CDB D．∠ABC+∠BAD＝180° 6．如图，在下列所给的条件中，能判定直线AB∥DE的是（　　） A．∠1+∠3＝90° B．∠2＝∠4 C．∠3+∠4＝180° D．∠1＝∠2 7．已知∠1＝∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知∠F+∠FGD＝80°（∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；能证明AB∥CD的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 9．如图，∠B与∠1是 　 　 角，∠1与∠2是 　 　 角． 10．工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是　 　 ． 11．如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　 　 时，a∥b． 12．如图，直线a，b被直线c所截，请添加一个条件，使得a∥b，该条件可以是 　 　 ． 13．如图，过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图所示．其依据是 　 　 ． 14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、DF、CD，下列条件：①∠ADE＝∠B；②∠ACD＝∠CDF；③∠BCD＝∠CDE；④∠DEC+∠ACB＝180°；⑤∠DEC＝∠CFD．其中能判定DE∥BC的条件有 　 　 （填序号即可）． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°． 请说明：DE∥BC． 解：因为CD⊥AB（已知）， 所以∠ADC＝90°（垂直的定义）， 即∠1+　 　 ＝90°， 因为∠1+∠2＝90°（已知）， 所以∠2＝ 　 　 （同角的 　 　 相等）， 所以DE∥BC（ 　 　 ）． 16．如图，已知∠EDC＝∠DEB＝90°，∠1+∠2＝180°，EF与BC平行吗？为什么？ 17．如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF． （1）若∠ACE＝50°，求∠DCF的度数； （2）连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明：AB∥CE． 18．已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠AEF＝∠HLN，判断图中有哪些直线平行，并说明理由． 19．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 20．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B A C B B A 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 9．同位，同旁内． 10．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 11．40°． 12．∠1＝∠3（答案不唯一）． 13．同位角相等，两直线平行． 14．①③④． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．解：因为CD⊥AB（已知）， 所以∠ADC＝90°（垂直的定义）， 即∠1+∠CDE＝90°， 因为∠1+∠2＝90°（已知）， 所以∠2＝∠CDE（同角的余角相等）， 所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行 ）． 故答案为：∠CDE，∠CDE，余角，内错角相等，两直线平行． 16．解：EF∥BC，理由如下： ∵∠EDC＝∠DEB＝90°， ∴∠EDC+∠DEB＝180°， ∴CD∥BE， ∴∠1+∠EBC＝180°， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠EBC＝∠2， ∴EF∥BC． 17．解：（1）∵∠ACE＝50°，∠ACE+∠ECF＝180°， ∴∠ECF＝130°， ∵CD平分∠ECF， ∴∠DCF＝65°； （2）∵∠ACB＝∠DCF，∠B＝∠ACB， ∵CD平分∠ECF， ∴∠DCE＝∠DCF， ∴∠B＝∠ECD， ∴AB∥CE． 18．解：AB∥CD，EF∥HL．理由如下： ∵∠1＝∠AMN， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠AMN＝180°， ∴AB∥CD； 延长EF交CD与G，如图， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠EGN， ∵∠AEF＝∠HLN， ∴∠EGN＝∠HLN， ∴EF∥HL． 19．解：（1）平行； 理由如下： ∵AC∥BD，MN∥AC， ∴MN∥BD； （2）∵AC∥BD，MN∥BD， ∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC． （3）答：不成立． 它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 理由是：如图2，过点P作PQ∥AC， ∵AC∥BD， ∴PQ∥AC∥BD， ∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC． 20．解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下： ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°； （2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α， 由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°， ∴4α+α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠BCD＝4α＝144°； （3）分两种情况： ①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE． ∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝30°， ∴∠A＝∠ACE＝30°， ∴AB∥CE． ②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE． ∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠B＝60°， ∴AB∥CE． 综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 第2节 探索直线平行的条件 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （原卷版） （1） 知识点管理 1、 思维导图 探索直线平行的条件系 二、基本概念及公式 知识点梳理 1. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角（形如 “F” 型）。 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角（形如 “Z” 型）。 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角（形如 “U” 型）。 2. 直线平行的判定条件 判定 1：同位角相等，两直线平行 符号语言：若∠1=∠5，则//. 判定 2：内错角相等，两直线平行 符号语言：若∠3=∠5，则//。 判定 3：同旁内角互补，两直线平行 符号语言：若∠3+∠6=180°，则//. 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行 （2） 考点管理 核心考点及题型归纳 考点 1：三线八角的识别 考查方式：给出复杂图形，判断两角是否为同位角、内错角或同旁内角。 例1．（1）如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（　　） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2和∠4 【解答】解：A．∠1和∠2是对顶角，故不符合题意； B．∠2和∠3是内错角，故符合题意； C．∠1和∠3是同位角，故不符合题意； D．∠2和∠4是同位角，故不符合题意． 故选：B． （2）如图，BC，DE被AB所截，则∠B的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【解答】解：∠B的同旁内角是∠2． 故选：B． （3）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　） A．∠4与∠5是同旁内角 B．∠2与∠4是对顶角 C．∠2与∠5是同位角 D．∠5与∠6是内错角 【解答】解：A、∠4与∠5是同旁内角，不符合题意； B、∠2与∠4是对顶角，不符合题意； C、∠2与∠5不是同位角，符合题意； D、∠5与∠6是内错角，不符合题意； 故选：C． 例2．（1）如图，直线BF、DE被直线AC所截，则图中∠FAE的内错角是　 　 ． 【解答】解：根据内错角的概念，∠FAE的内错角是∠AED， 故答案为：∠AED． （2）如图，给出下列结论：①∠1与∠2是同旁内角；②∠1与∠3是同位角；③∠1与∠4是内错角；④∠1与∠5是同位角；⑤∠2与∠3是对顶角．其中说法正确的是　 　 ．（填序号） 【解答】解：逐项分析判断如下： ①∠1与∠2是同旁内角，该说法符合题意； ②∠1与∠3是同位角，该说法符合题意； ③∠1与∠4不是内错角，该说法不符合题意； ④∠1与∠5不是同位角，该说法不符合题意； ⑤∠2与∠3是邻补角，该说法不符合题意；． ①②符合题意， 故答案为：①②． 考点 2：利用判定条件证明两直线平行 考查方式：已知角度关系，证明两直线平行。 例3．如图所示，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC（ 　 　 ）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC（ 　 　 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（ 　 　 ）， ∴∠1＝∠　2　 （ 　 　 ）． ∵∠1＝∠3（ 　 　 ）， ∴∠2＝∠　3　 （ 　 　 ）， ∴　AB　 ∥　CD　 （ 　 　 ）． 【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）． ∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，角平分线的定义，已知，2，等量代换，已知，3，等量代换，AB，CD，内错角相等，两直线平行． 例4．如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．试说明：a∥c． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°， ∴a∥b， ∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠3＝∠4， ∴b∥c， ∴a∥c． 例5．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）试说明：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB． 【解答】解：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴，， ∴， ∴OC⊥OD； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOD＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠1+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BOD， ∴ED∥AB． 例6．如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC． （1）填空：∠OEC+∠OFC＝　 　 ； （2）试说明：EG∥FH． 【解答】解：（1）在四边形OECF中 由∠C＝90°，a⊥b， 得∠OEC+∠OFC＝180°， 故答案为：180°； （2）在四边形OECF中 由∠C＝90°，a⊥b， 得∠OEC+∠OFC＝180°， 因为∠MEC＝180°﹣∠OEC， ∠NFC＝180°﹣∠OFC， 所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC） ＝360°﹣（∠OEC+∠OFC） ＝360°﹣180°＝180°， 因EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC， 所以∠CEG∠MEC，∠CFH∠NFC， 所以∠CEG+∠CFH（∠MEC+∠NFC）180°＝90°， 过C点作CD∥EG， 所以∠CEG＝∠DCE， 因为∠DCE+∠DCF＝90°， ∠CEG+∠CFH＝90°， 所以∠DCF＝∠CFH， 所以CD∥FH， 又因为CD∥EG， 所EG∥FH． 考点 3：角度计算与平行判定综合 考查方式：结合三角形内角和、对顶角、补角等知识，通过角度计算推导平行关系。 例7．【新定义应用】 【新定义】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）． 【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　 　 ； （2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 　 　 ． 【解答】解：如图1，∵OM⊥ON， ∴∠CON＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∠DCB+∠ABC＝180°， AB∥CD； 【尝试探究】 （1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2， ∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD ＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠2+∠3）﹣180° ＝2（180°﹣a）﹣180° ＝180°﹣2α， 故答案为：180°﹣2α； （2）如图4，B＝2a， 理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣2∠2， ∠BCD＝180°﹣2∠3， ∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD ＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠3﹣∠2）＝∠β， ∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a， ∴β＝2a． 故答案为：β＝2a． （三）备考策略 1. 概念辨析：精准识别三类角 关键：抓住角的位置关系（同位角 “同旁同侧”、内错角 “两侧中间”、同旁内角 “同旁中间”），可通过标注图形辅助判断。 易错点：避免因图形复杂而混淆角的类型，建议先确定截线和被截线。 2. 判定条件：理清逻辑关系 口诀：同位角相等→平行（“F 型相等则平行”）； 内错角相等→平行（“Z 型相等则平行”）； 同旁内角互补→平行（“U 型互补则平行”）。 注意：判定条件是 “由角的关系推线的平行”，与后续 “平行线的性质”（由线的平行推角的关系）区分开。 3. 典型题型：规范几何推理步骤 标注已知条件（角度相等或互补）； 选择对应的判定定理（同位角 / 内错角 / 同旁内角）； 写出结论（两直线平行）。 4. 易错点突破 忽略前提条件：“在同一平面内” 是平行的必要条件，避免在空间几何中误用。 混淆判定与性质：判定是 “角→线”，性质是 “线→角”，通过题目中的 “已知” 与 “求证” 区分（已知角→用判定；已知平行→用性质）。 5. 总结 本节重点是通过三类角的关系判定直线平行，备考时需熟练掌握角的识别、判定定理的应用及几何推理逻辑。建议多练习复杂图形中的角度转化，结合实际问题理解平行判定的意义，同时规范尺规作图步骤，避免因概念模糊或步骤缺失导致失分。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 第2节 探索直线平行的条件 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （1） 知识点管理 1、 思维导图 探索直线平行的条件系 二、基本概念及公式 知识点梳理 1. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线同一侧的角（形如 “F” 型）。 内错角：两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截两直线之间的角（形如 “Z” 型）。 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之间的角（形如 “U” 型）。 2. 直线平行的判定条件 判定 1：同位角相等，两直线平行 符号语言：若∠1=∠5，则//. 判定 2：内错角相等，两直线平行 符号语言：若∠3=∠5，则//。 判定 3：同旁内角互补，两直线平行 符号语言：若∠3+∠6=180°，则//. 平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线平行 （2） 考点管理 核心考点及题型归纳 考点 1：三线八角的识别 考查方式：给出复杂图形，判断两角是否为同位角、内错角或同旁内角。 例1．（1）如图，在所标注的角中，可以看成是一对内错角的是（　　） A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠1和∠3 D．∠2和∠4 【解答】解：A．∠1和∠2是对顶角，故不符合题意； B．∠2和∠3是内错角，故符合题意； C．∠1和∠3是同位角，故不符合题意； D．∠2和∠4是同位角，故不符合题意． 故选：B． （2）如图，BC，DE被AB所截，则∠B的同旁内角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【解答】解：∠B的同旁内角是∠2． 故选：B． （3）如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　） A．∠4与∠5是同旁内角 B．∠2与∠4是对顶角 C．∠2与∠5是同位角 D．∠5与∠6是内错角 【解答】解：A、∠4与∠5是同旁内角，不符合题意； B、∠2与∠4是对顶角，不符合题意； C、∠2与∠5不是同位角，符合题意； D、∠5与∠6是内错角，不符合题意； 故选：C． 例2．（1）如图，直线BF、DE被直线AC所截，则图中∠FAE的内错角是　 　 ． 【解答】解：根据内错角的概念，∠FAE的内错角是∠AED， 故答案为：∠AED． （2）如图，给出下列结论：①∠1与∠2是同旁内角；②∠1与∠3是同位角；③∠1与∠4是内错角；④∠1与∠5是同位角；⑤∠2与∠3是对顶角．其中说法正确的是　 　 ．（填序号） 【解答】解：逐项分析判断如下： ①∠1与∠2是同旁内角，该说法符合题意； ②∠1与∠3是同位角，该说法符合题意； ③∠1与∠4不是内错角，该说法不符合题意； ④∠1与∠5不是同位角，该说法不符合题意； ⑤∠2与∠3是邻补角，该说法不符合题意；． ①②符合题意， 故答案为：①②． 考点 2：利用判定条件证明两直线平行 考查方式：已知角度关系，证明两直线平行。 例3．如图所示，已知∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC．请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC（ 　 　 ）， ∴∠1∠ABC，∠2∠ADC（ 　 　 ）． ∵∠ABC＝∠ADC（ 　 　 ）， ∴∠1＝∠　2　 （ 　 　 ）． ∵∠1＝∠3（ 　 　 ）， ∴∠2＝∠　3　 （ 　 　 ）， ∴　AB　 ∥　CD　 （ 　 　 ）． 【解答】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC，∠ADC（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）． ∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：已知，角平分线的定义，已知，2，等量代换，已知，3，等量代换，AB，CD，内错角相等，两直线平行． 例4．如图，直线a，b，c被直线l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．试说明：a∥c． 【解答】解：∵∠1+∠2＝180°， ∴a∥b， ∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°， ∴∠3＝∠4， ∴b∥c， ∴a∥c． 例5．如图，点O在直线AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F是DE上一点，连接OF． （1）试说明：OC⊥OD； （2）若∠D与∠1互余，试说明：ED∥AB． 【解答】解：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF， ∴，， ∴， ∴OC⊥OD； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOD＝90°， ∵∠D与∠1互余， ∴∠1+∠D＝90°， ∴∠D＝∠BOD， ∴ED∥AB． 例6．如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a、b分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、FH分别平分∠MEC和∠NFC． （1）填空：∠OEC+∠OFC＝　 　 ； （2）试说明：EG∥FH． 【解答】解：（1）在四边形OECF中 由∠C＝90°，a⊥b， 得∠OEC+∠OFC＝180°， 故答案为：180°； （2）在四边形OECF中 由∠C＝90°，a⊥b， 得∠OEC+∠OFC＝180°， 因为∠MEC＝180°﹣∠OEC， ∠NFC＝180°﹣∠OFC， 所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC） ＝360°﹣（∠OEC+∠OFC） ＝360°﹣180°＝180°， 因EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC， 所以∠CEG∠MEC，∠CFH∠NFC， 所以∠CEG+∠CFH（∠MEC+∠NFC）180°＝90°， 过C点作CD∥EG， 所以∠CEG＝∠DCE， 因为∠DCE+∠DCF＝90°， ∠CEG+∠CFH＝90°， 所以∠DCF＝∠CFH， 所以CD∥FH， 又因为CD∥EG， 所EG∥FH． 考点 3：角度计算与平行判定综合 考查方式：结合三角形内角和、对顶角、补角等知识，通过角度计算推导平行关系。 例7．【新定义应用】 【新定义】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）．由此可以归纳出如下的规律： 在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律（reflection law）． 【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4．在这样的条件下，求证：AB∥CD． 【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD． （1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝　 　 ； （2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 　 　 ． 【解答】解：如图1，∵OM⊥ON， ∴∠CON＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∠DCB+∠ABC＝180°， AB∥CD； 【尝试探究】 （1）如图2，在△OBC中，∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2， ∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD ＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠2+∠3）﹣180° ＝2（180°﹣a）﹣180° ＝180°﹣2α， 故答案为：180°﹣2α； （2）如图4，B＝2a， 理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣2∠2， ∠BCD＝180°﹣2∠3， ∴∠D＝∠MBC﹣∠BCD ＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3） ＝2（∠3﹣∠2）＝∠β， ∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a， ∴β＝2a． 故答案为：β＝2a． （三）备考策略 1. 概念辨析：精准识别三类角 关键：抓住角的位置关系（同位角 “同旁同侧”、内错角 “两侧中间”、同旁内角 “同旁中间”），可通过标注图形辅助判断。 易错点：避免因图形复杂而混淆角的类型，建议先确定截线和被截线。 2. 判定条件：理清逻辑关系 口诀：同位角相等→平行（“F 型相等则平行”）； 内错角相等→平行（“Z 型相等则平行”）； 同旁内角互补→平行（“U 型互补则平行”）。 注意：判定条件是 “由角的关系推线的平行”，与后续 “平行线的性质”（由线的平行推角的关系）区分开。 3. 典型题型：规范几何推理步骤 标注已知条件（角度相等或互补）； 选择对应的判定定理（同位角 / 内错角 / 同旁内角）； 写出结论（两直线平行）。 4. 易错点突破 忽略前提条件：“在同一平面内” 是平行的必要条件，避免在空间几何中误用。 混淆判定与性质：判定是 “角→线”，性质是 “线→角”，通过题目中的 “已知” 与 “求证” 区分（已知角→用判定；已知平行→用性质）。 5. 总结 本节重点是通过三类角的关系判定直线平行，备考时需熟练掌握角的识别、判定定理的应用及几何推理逻辑。建议多练习复杂图形中的角度转化，结合实际问题理解平行判定的意义，同时规范尺规作图步骤，避免因概念模糊或步骤缺失导致失分。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$