2.2 探索直线平行的条件(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 探索直线平行的条件（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题1如图，在四边形ABCD中，如果∠A+∠B=180°，∠B=∠D, 那么AB∥CD。请你写出推理过程。 【分析】由已知∠A+∠B=180°，∠B=∠D,根据等量代换，可得∠A+ 例题1图 ∠D=180°。由同旁内角互补，两条直线平行的判定条件即可推出。 【解答】因为∠A+∠B=180°，∠B=∠D,所以∠A+∠D=180°。所以AB∥CD。 【点拨】考查平行线的判定方法，准确找出两条线被第三条线所截的同旁内角，并根据 已知条件得出同旁内角互补是解题的关键。 例题2如图，CE与CD相交于点C,AB平分∠EAD,∠C=∠D, ∠EAD=∠C+∠D,试说明：AB∥CD。 【分析】利用已知条件，说明∠1=∠C或∠2=∠D,进而根据判定条件可 推出AB∥CD。 例题2图 【解答】方法一：因为∠EAD=∠C+∠D,∠C=∠D,所以∠EAD=2∠C。 又因为AB平分∠EAD,所以∠EAD=2∠1。所以∠1=∠C。所以AB∥CD。 方法二：因为∠EAD=∠C+∠D,∠C=∠D,所以∠EAD=2∠D。又因为AB平分∠EAD, 所以∠EAD=2∠2。所以∠2=∠D。所以AB∥CD。 【点拨】判断两条直线平行关键看这两条直线被第三条直线所截得的角中是否存在同位 角相等、内错角相等或同旁内角互补。 基础巩固（达标闯关 1.如图，已知四条直线AB,BC,AC,DE,完成下面填空。 (1)∠1与∠2是直线 和直线 被直线 D 截而成的 角； (2)∠1与∠3是直线 和直线 被直线 所 B2 截而成的 角； 第1题图 (3)∠4与∠5是直线 和直线 被直线 所截而成的 角 (4)∠2与∠5是直线 和直线 被直线 所截而成的 角。 2.如图，请写出一个能判定AB∥CE的条件： 3.如图，与∠1构成内错角的角的个数是 第2题图 第3题图 相交线与平行线 第二章 4.如图，已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点M,N,若MG⊥AB,∠1=30°，当 ∠CNE= 时，AB∥CD。 第4题图 第5题图 第6题图 5.用两块相同的三角板按如图所示的方式作平行线，其中的道理是() A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.同旁内角互补，两直线平行 D.平行于同一直线的两直线平行 6.如图，下列结论不成立的是( A.如果∠1=∠3，那么AB∥CD B.如果∠2=∠4，那么AC∥BD C.如果∠1+∠2+∠C=180°，那么AB∥CD D.如果∠4=∠5，那么AC∥BD 7.如图，在条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8= 180°中，能判定a∥b的条件有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第7题图 8.如图，已知∠1+∠2=180°，请你说明AB∥CD的理由。 A M/E B 1 D 29 第8题图 9.如图，已知∠1和∠2互余，∠3和∠2也互余，那么α∥b吗？请说明理由。 3 第9题图 0 口数学 七年级下册（北师大版） 能力提升睡综合拓展 10.如图，AE,CE分别平分∠BAC和∠ACD,∠1和∠2互余。试判定AB∥CD。 D 第10题图 11.如图，∠1=∠4，∠2=∠3，∠1+∠2=180°，请问图中有哪些直线互相平行。为什么？ 47 第11题图 12.如图，已知AB,CD分别与MN交于点F,G,且EF⊥MN,∠BFE=48°，若添加一 个条件使得AB∥CD,请写出一个符合要求的条件：，并说明理由。 (请至少用两种方法，即不同的判定方法解答) 第12题图 13.如图，直线CD,EF交于点O,OA,OB分别平分∠COE和∠DOE,且∠1+∠2=90°。 (1)请说明：AB∥CD。 (2)若∠2：∠3=2：5，求∠3的度数。 0/3 第13题图 电 相交线与平行线 第二章 14.如图1，已知点P在直线1外，利用如下方法作出过点P与直线l平行的直线：如图 2,在直线I上任取两点A,B,连接AP,BP,以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分 别交线段AB,AP于点C,D;以点P为圆心，以AC的长为半径作弧，交AP于点E;以点 E为圆心，以CD的长为半径作弧，交前弧于点F;作直线PF,则PF∥1。 P\F 图1 图2 第14题图 (1)这种作法用到了你学过的什么基本作图？ (2)请你用两种方法说明这种作法的道理。（请你用两种方法说明其中的道理） 中考链接⊙真题演练 15.(2022.青海)数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如图所示（两 大拇指代表被截直线，食指代表截线)。从左至右依次表示() A.同旁内角、同位角、内错角 B.同位角、内错角、对顶角 C.对顶角、同位角、同旁内角 D.同位角、内错角、同旁内角 第15题图 第16题图 16.(2025·浙江)如图所示，直线a,b被直线c所截。若a∥b,∠1=91°，则() A.∠2=91° B.∠3=91° C.∠4=91° D.∠5=919 43数学 七年级下册（北师大版） AB∥CE。理由：因为CD平分∠ECF,所以∠ECD= ∠FCD。因为∠ACB=∠FCD,所以∠ECD=∠ACB 因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠ECD。所以AB∥CE 7.解：因为∠1+∠2=180°，∠4+∠2=180°，所以 ∠1=∠4。又因为∠1=∠3，所以∠3=∠4。所以CD∥ EF。8.A9.B 2探索直线平行的条件（第2课时）】 1.(1)DE BC AB同位(2)AB AC DE 同位(3)DE BC AC内错(4)ABAC BC同旁内2.答案不唯一，如∠A=∠DCE ∠ECB=∠B,∠A+∠ECA=180P。3.24.120°5.B 6.D7.D8.解：答案不唯一，如因为∠1+∠2= 180°，∠2+∠CNE=180°，所以∠1=∠CNE。所以 AB∥CD。9.解：因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 所以∠1=∠3。所以a∥b。10.解：因为AE,CE分 别平分∠BAC和∠ACD,所以∠BAC=2∠1，∠ACD= 2∠2。又因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。所 以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=180°。所以AB∥CD。 11.解：4∥2∥，4∥15。理由：因为∠1=∠4，所 以11∥L2。因为∠2=∠3，∠1+∠2=180°，所以∠3+ ∠1=180°，所以21。又因为1∥12，所以1∥1，即 1∥12∥13。因为∠2=∠3，所以l4∥15.12.解：答案 不唯一，如∠CGM=42°。理由：因为EF⊥MN,所以 ∠EFN=90°。所以∠BFN=∠EFN-∠BFE=42°。所以 ∠CGM=∠BFN。所以AB∥CD。如∠DGM=138°。理由： 因为EF⊥MN,所以∠EFN=9O°。所以∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42°。所以∠BFN+∠DGM=42°+138°=180°。所 以AB∥CD。13.解：(1)因为OA,OB分别平 分∠C0E和LD0E,所以LA0C=7∠C0E,∠2= ∠DOE。因为∠C0E+LD0E=180°，所以∠A0C+ 2 ∠2=号（∠C0E+∠D0E)=90。因为∠1+∠2=90，所以 ∠A0C=∠1。所以AB∥CD。(2)因为∠2：∠3=2：5， ∠2=号∠D0E,所以∠D0E:∠3=4：5。因为∠D0E+ ∠3=180，所以号∠3+∠3=号∠3=180。所以∠3= 100°。*14.解：(1)作∠EPF等于已知的∠CAD (2)方法1：由作图可知，∠EPF=∠CAD,所以PF∥ 1。(内错角相等，两直线平行)方法2：由作图的 条件可知，在△ABP中，∠BAP+∠ABP+∠APB=18O°。 又由作图可知，∠EPF=∠BAP,所以∠EPF+∠ABP+ ∠APB=180°。因为∠EPF+∠APB=∠BPF,所以 ∠BPF+∠ABP=180°。所以PF∥1。（同旁内角互补， 两直线平行)15.D16.B 3平行线的性质（第1课时）】 1.50°2.60°3.(1)∠4两直线平行，内错 角相等(2)DC两直线平行，同位角相等4.D 5.D6.C7.D8.B9.解：因为AD∥BC,所以 ∠A=∠ABF。又因为∠A=∠C,所以∠ABF=∠C。所 以AB∥CD。10.解：因为AD∥BC,所以∠B= ∠EAD。因为∠B=∠D,所以∠EAD=∠D。所以BE∥ DF。所以∠E=∠F。11.解：因为∠1=32°，DE平分 ∠BDC,所以∠BDC=2∠1=64°。AB∥CD,所以 ∠ABD+∠BDC=180°，∠ABF=∠2。所以∠ABD=180°- ∠BDC=116°。因为BF平分∠ABD,所以∠ABF= 3∠ABD-58。所以∠2-58.12解：∠ABD+ ∠DEF-∠BDE=18O°。理由：因为CD∥EF,所以 1 ∠DEF=∠CDE。因为∠CDE=∠CDB+∠BDE,所以 ∠CDB=∠CDE-∠BDE。所以∠CDB=∠DEF-∠BDE 因为AB∥CD,所以∠ABD+∠CDB=180°。所以 ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180°。 *13.解：(1)相等 (或∠1=∠2)理由：因为AB∥EF,所以∠CGF= ∠2。因为BC∥DE,所以∠CGF=∠1。所以∠1=L2。 (2)相等（或∠1=∠2）理由：因为AB∥DE, 所以∠1=∠CGE。因为BC∥EF,所以∠2=∠CGE。 所以∠1=∠2。 (3)∠1+∠2=180°，如图所示。选 图1的理由：因为AB∥DE,所以∠1+∠BGE=180° 因为BC∥DF,所以∠2=∠BGE。所以∠1+∠2=180° 选图2的理由：因为AB∥DF,所以∠DGC=∠1。因为 ED∥BC,所以∠2+∠DGC=180°。所以∠1+∠2=180°。 (4)这两个角相等或互补14.70°15.C D G 图1 图2 第13题答图 3平行线的性质（第2课时） 1.95°2.50°3.70°，110°4.B5.C6.解： 成立。因为∠1=∠2，所以l∥12。所以∠3=∠5。又因 为∠4+∠5=180°，所以∠3+∠4=180°。7.解：因为 AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD。又因为∠1=∠2，所以 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠MBC=∠NCB。所以 BM∥CN。8.解：(1)如图，过点E作EF∥AB, 所以∠B=∠BEF。因为∠BED=∠BEF+∠FED, ∠BED=∠B+∠D,所以∠FED= ∠D。所以EF∥CD。所以AB∥A B CD。（2)如图，过点E作 E-------F EF∥AB,所以∠B=∠BEF。又因 为AB∥CD,所以EF∥CD。所以C SD ∠FED=∠D。因为∠BED=∠BEF+ 第8题答图 ∠FED,所以∠BED=∠B+∠D。 9.解：因为AD/∥BC,所以∠A+∠ABC=180°。又因 为DA⊥AB,所以∠ABC=∠A=90°。因为∠ABD=30°， 所以∠CBD=6O°。因为AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD= 60。因为LADB=LBDC=)LADC,所以LADC= 120°。10.解：BF平行于同一条直线的两条直线平 行∠CBF两直线平行，同旁内角互补90垂直 的定义∠ABF27011.解：(1)理由：如图1， 过点P作PE∥AC,则∠PAC=∠1。又因为AC∥BD, 所以PE∥BD。所以∠PBD=∠2。所以∠1+∠2= ∠PAC+∠PBD。又因为∠APB=∠1+∠2，所以∠APB= ∠PAC+∠PBD。(2)不成立。(3)如图2，当 动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+ ∠APB;如图3，当动点P在射线BA上时，∠PBD= ∠PAC+∠APB,∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=O° ∠PBD=∠PAC(任写一个即可)；如图4，当动点P在 射线BA的左侧时，∠PAC=∠PBD+∠APB。选择如图 2,理由：过点P作EP∥AC,所以∠EPA=∠PAC。因 为AC∥BD,所以EP∥BD。所以∠PBD=∠EPB。因为 ∠EPB=∠EPA+∠APB,所以∠PBD=∠PAC+∠APB。 选择如图3，理由：因为动点P在射线BA上，所以 ∠APB=O°。又因为∠PAC=∠PBD,所以∠PBD=