2.1《两条直线的位置关系》知识点管理及考点复习　　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第二章 相交线与平行线 第1节 两条直线的位置关系 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （解析版） （1） 知识点管理 一、思维导图 两条直线的位置关系 二、基本概念及公式 知识点梳理 1. 同一平面内两条直线的位置关系 相交：两条直线有且只有一个公共点。 平行：在同一平面内，不相交的两条直线（后续章节详细学习）。 2. 相交线的相关概念及性质 对顶角： 定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。 补角与余角： 补角：若两个角的和为 180°，则称这两个角互为补角（如∠A+∠B=180°，∠A 是∠B 的补角）。 余角：若两个角的和为 90°，则称这两个角互为余角（如∠C+∠D=90°，∠C 是∠D 的余角）。 性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 3. 垂直的定义及性质 垂直的定义：两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直(用符号⊥表示)，交点为垂足。 性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短原理）。 4 .点到直线的距离 过直线外一点作到这条直线的垂线，这个点到垂足之间的线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离。 （二）考点管理 核心考点及题型归纳 考点 1：对顶角的识别与计算 考查方式：给出相交直线图形，识别对顶角并求角度。 例1． （1）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、B、C中的∠1与∠2都不是对顶角，故不符合题意； D中∠1与∠2是对顶角，故D符合题意， 故选：D． （2）如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝90°．若∠AOC＝48°，则∠DOE的大小为（　　） A．52° B．48° C．42° D．32° 【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O， ∠AOC＝48°， ∴∠AOC＝∠BOD＝48°， ∵∠BOE＝∠DOE+∠BOD， ∠BOE＝90°， ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°﹣48°＝42°． 故选：C． 例2．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝60°，∠BOE＝40°，则∠DOE的度数为　20°　 ． 【解答】解：∵∠AOC＝60°， ∴∠AOC＝∠BOD＝60°， ∵∠BOE＝40°， ∴∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝20°， 故答案为：20°． 例3．（1）如图，直线a，b相交，∠1+∠3＝80°，求∠2的度数． 【解答】解：根据题意可知，∠1＝∠3， 又∵∠1+∠3＝80°， ∴∠1＝∠3＝40°， ∴∠2＝180°﹣40°＝140°． 故答案为：140°． （2）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，若∠BOD＝33°，求∠AOE的度数． 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠BOD＝33°， ∴∠AOC＝∠BOD＝33°， ∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∴∠AOE＝∠COE﹣∠AOC＝57°． 考点 2：补角与余角的概念及性质应用 考查方式：已知一个角，求其补角或余角。 例4． （1） ∠1＝40°，∠2是∠1的余角，则∠2的度数为（　　） A．40° B．60° C．50° D．140° 【解答】解：∵∠1＝40°， ∠2是∠1的余角， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°， ∴∠2的度数为50°． 故选：C． （2）如图，直线AB，CD相交于点O，∠POC＝∠AOC．若∠BOD＝25°，则∠BOP的大小为（　　） A．25° B．120° C．130° D．155° 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC＝∠BOD＝25°， ∵∠POC＝∠AOC， ∴∠POC＝25°， ∵∠AOC+∠POC+∠BOP＝180°， ∴∠BOP＝180°﹣∠AOC﹣∠POC＝180°﹣25°﹣25°＝130°， 故选：C． 例5．若一个角的余角为20°，则这个角的补角度数为 　110°　 ． 【解答】解：设一个角的度数为x， 由题意，得90°﹣x＝20°， 解得：x＝70°， ∴这个角的补角为：180°﹣70°＝110°． 故答案为：110°． 例6． （1）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数． 【解答】解：设这个角的度数为x°， 由题意得：4（90﹣x）+（180﹣x）＝180， 解得x＝72， 答：这个角的度数为72°． （2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分． （1）图中∠AOC的对顶角为　∠BOD　 ，∠BOE的补角为　∠AOE　 ； （2）若∠AOC＝75°，且∠BOE：∠EOD＝1：4，求∠AOE的度数． 【解答】解：（1）∠AOC的对顶角为∠BOD，∠BOE的邻补角为∠AOE； 故答案为：∠BOD；∠AOE； （2）∵∠DOB＝∠AOC＝75°，∠DOB＝∠BOE+∠EOD，∠BOE：∠EOD＝1：4， ∴∠EOD＝4∠BOE， ∴∠BOE+4∠BOE＝75°， ∴∠BOE＝15°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝165°． 考点 3：垂直的判定与性质应用 考查方式： 应用题：利用垂线段最短解决实际问题（如测量跳远成绩时，测量脚跟到起跳线的垂线段长度）。 角度计算：结合垂直定义，求角的度数。 例7． （1）A为直线BC外一点，AD⊥BC于D，AD＝6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【解答】解：∵AD⊥BC于D，AD＝6， ∴AP≥AD， 即AP≥6， ∴只有选项D符合题意． 故选：D． （2）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：D． （3）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠1＝52°30′，则∠2的度数为（　　） A．38°30′ B．37.5° C．38.5° D．27°30′ 【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O， ∴∠EOD＝∠EOC＝90°， ∵∠1＝52°30′， ∴∠2＝180°﹣∠EOC﹣∠1＝180°﹣90°﹣52°30′＝37.5°， 故选：B． （4）在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（　　） A．线段PC的长度 B．线段QD的长度 C．线段PA的长度 D．线段QB的长度 【解答】解：由图可知，他本次的跳远成绩是线段PA的长度， 故选：C． 例8． （1）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有　　 个． 【解答】解：根据垂线段最短，线段的性质逐项分析判断如下： ①测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意； ②木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意； ③弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意； ④两钉子固定木条，是两点确定一直线，故该选项不符合题意； 故能用“垂线段最短”来解释的现象有1个， 故答案为：1． （2）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COE＝20°，则∠AOD的度数为　 　 ． 【解答】解：∵EO⊥AB， ∴∠B0E＝90°， 又∵∠COE＝20°， ∴∠COB＝∠COE+∠BOE＝20°+90°＝110°， ∴∠AOD＝∠COB＝110°， 故答案为：110°． 例9． （1）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝55°，求∠AOD的度数． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∵∠BOC＝∠COE+∠BOE， ∠COE＝55°， ∴∠BOC＝55°+90°＝145°， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠AOD＝145°， ∴∠AOD的度数为145°． （2）如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD＝40°，∠COF＝98°，求AOE的度数． 【解答】解：∵∠COF＝98°， ∴∠COF＝∠DOE＝98°， ∵∠DOE＝∠BOD+∠BOE，∠BOD＝40°， ∴∠BOE＝98°﹣40°＝58°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOB＝∠BOE+∠AOE， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90°﹣58°＝32°． 考点 4：综合角度计算（对顶角、补角、垂直结合） 例10．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，试说明：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数． 【解答】解：（1）由条件可知∠AOM＝90°， ∴∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°， ∴ON⊥CD； （2）由条件可知∠BOM＝90°， ∵∠BOC＝4∠1， ∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1， 解得∠1＝30°， ∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°． 例11．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出图中所有与∠AOD互补的角； （2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数． 【解答】解：（1）∵直线AB，CD相交于点O， ∴∠AOC和∠BOD与∠AOD互补， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝∠DOF＝90°， ∴∠DOE＝∠AOC， ∴∠DOE也是∠AOD的补角， ∴与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE； （2）∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF∠AOE＝60°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOC＝180°﹣30°＝150°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝30°． 例12．（1）如图1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD． ①直接写出图中∠AOF的余角； ②如果∠EOF∠AOD，求∠EOF的度数． （2）如图2，已知O为线段AB中点，ACAB，BDAB，线段OC长为1，求线段AB，CD的长． 【解答】解：（1）①∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴∠AOF+∠COA＝90°，∠AOF+∠FOE＝90°． ∴∠COA与∠FOE是∠AOF的余角． ∵由对顶角相等可知：∠AOC＝∠BOD， ∴∠BOD+∠AOF＝90°． ∴∠BOD与∠APF互为余角． ∴∠AOF的余角为∠AOC，∠FOE，∠BOD； ②∵∠AOC＝∠EOF，∠AOC+∠AOD＝180°，∠EOF∠AOD， ∴6∠AOC＝180°． ∴∠EOF＝∠AOC＝30°． （2）∵O为线段AB中点， ∴AOAB， ∵ACAB， ∴OCAB， ∵线段OC长为1， ∴AB＝6， ∵ACAB，BDAB， ∴CD＝AC+BD﹣ABAB6． 例13．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　20　 °； （2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由； （4）将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数． 【解答】解：（1）若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上， 则∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20； （2）∵OC平分∠BOE，∠BOC＝70°， ∴∠EOB＝2∠BOC＝140°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°， ∵∠BOC＝70°， ∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°； （3）∠COE﹣∠BOD＝20°，理由如下： ∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°， ∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD） ＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD ＝∠COE﹣∠BOD ＝90°﹣70° ＝20°， 即∠COE﹣∠BOD＝20°； （4）如图4.1， ∴∠COD＝80°﹣70°＝10°， ∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝90°+10°＝100°； 如图4.2， ∵∠BOD＝80°，∠BOC＝70°， ∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝80°+70°＝150°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝150°﹣90°＝60°， 综上，∠COE的度数为100°或60°． （三）备考策略 1. 概念理解是基础 明确对顶角、补角、余角、垂直的定义，避免混淆（如：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角）。 熟记性质：对顶角相等，同角（等角）的补角 / 余角相等，垂直的唯一性和垂线段最短。 2. 图形识别与几何语言规范 能从复杂图形中分离出基本图形（如相交线、垂线），标注已知角和待求角的关系。 用几何语言规范表达推理过程（如：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°）。 3. 典型题型强化训练 角度计算：多练习结合对顶角、补角、垂直的综合题目，掌握 “由线定角，由角定线” 的思路。 实际应用：理解垂线段最短在生活中的应用（如最短路径问题、测量问题）。 4. 易错点突破 1. 注意 “垂直” 是相交的特殊情况，需满足夹角为 90°，而非任意相交； 2. 补角和余角是数量关系，与位置无关； 3. 对顶角是位置关系，且必须有公共顶点和反向延长线。 5. 本节总结 本节重点在于理解相交线的基本概念和性质，尤其是对顶角、补角、余角和垂直的应用。备考时需结合图形分析，熟练运用性质进行角度计算和推理，同时注意实际问题与数学原理的结合，提升几何直观和逻辑推理能力。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 考点巩固 2.1《两条直线的位置关系》巩固练习 （满分100分，时间60分钟） 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 1．下列四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠1+∠2＝70°，则∠AOD等于（　　） A．35° B．85° C．105° D．145° 3．如图是小林同学一次立定跳远的示意图，小林从点A起跳，落在点B处，经测量，AB＝2.23米，那么小林实际的跳远成绩可能是（　　） A．2.10米 B．2.23米 C．2.5米 D．4.46米 4．如图所示，若∠1＝∠4，∠2＝∠3，则∠1和∠2的数量关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝90° C．∠1+∠2＝180° D．无法判断 5．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠1＝52°30′，则∠2的度数为（　　） A．38°30′ B．37.5° C．38.5° D．27°30′ 6．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）．若∠1＝30°，光线传播方向改变了9°，则∠2的度数是（　　） A．18° B．20° C．21° D．25° 7．如图1，小夏用积木搭了一个跷跷板，将其抽象为如图2的图形，若∠BAC＝90°，则∠1与∠2一定满足的关系为（　　） A．互余 B．互补 C．互为对顶角 D．相等 8．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中 ①90°﹣∠α； ②∠β﹣90° ③（∠α+∠β） ④（∠β﹣∠α） 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．哪吒在陈塘关玩耍时，突然发现东海海面上出现了一群海妖，正朝着陈塘关袭来．假设陈塘关的城墙是一条直线l，哪吒此时在点P处，他要尽快赶到城墙l上的某一点去查看海妖下一步的动向．如图所示，则哪吒最先到达城墙的路线是线段 　 　 ，理由是 　 　 ． 10．若一个角的余角为20°，则这个角的补角度数为 　 　 ． 11．如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，若∠AOC＝80°，且∠BOE：∠EOD＝2：3，则∠AOE的度数是　 　 ． 12．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COE＝20°，则∠AOD的度数为　 　 ． 13．将一幅三角板中的两个直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起．可知∠1＝∠3，理由是 　 　 ． 14．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，∠1＝94.3°，∠2＝31°24′，则∠BOE的余角为 　 　 °． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．一个角的余角比它的补角的多12°，求这个角的度数． 16．如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD＝40°，∠COF＝98°，求AOE的度数． 17．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，则∠2的余角有　 　 ． （2）若∠1∠BOC，求∠AOD和∠BOD的度数． 18．如图所示，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB． （1）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由； （2）若∠1∠BOC，求∠MOD的度数． 19．一副三角尺按如图方式叠放，∠DFE＝90°，∠BAC＝60°，点A，F重合．为探索∠CAE与∠BAD的关系，某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE＝30°，求得∠BAD＝60°，于是三位同学得出不同猜想，甲：∠BAD＝2∠CAE；乙：∠CAE+∠BAD＝90°；丙：∠BAD﹣∠CAE＝30°． （1）为验证猜想，他们再次假设∠CAE＝25°，并求出∠BAD的度数．请写出求解过程； （2）①根据题（1）的结果，猜想一定错误的两位同学是 　 　 ； ②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由． 20．如图2，已知直角三角板CAB和直角三角板EAD，∠CAB＝45°，∠EAD＝30°．将两块三角板摆放在一起，且点A重合，过点A作射线AH、AF，且∠DAH∠DAB，∠CAF∠CAE． （1）按图1所示位置摆放，则∠HAF＝　 　 ； （2）按图2所示位置摆放，求∠HAF的值； （3）按图3所示位置摆放，且∠EAH＝3∠BAF，求的值． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，总分24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B B C A C 二、填空题（本大题共6小题，总分24分） 9．PC，垂线段最短． 10．110°． 11．148°． 12．110°． 13．同角的余角相等． 14．35.7． 三、解答题（本大题共6小题，总分52分） 15．解：设这个角的度数为x°， 由题意得：（90﹣x）（180﹣x）＝12， 解得x＝27， 答：这个角的度数为27°． 16．解：∵∠COF＝98°， ∴∠COF＝∠DOE＝98°， ∵∠DOE＝∠BOD+∠BOE，∠BOD＝40°， ∴∠BOE＝98°﹣40°＝58°， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOB＝∠BOE+∠AOE， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90°﹣58°＝32°． 17．解：（1）∵OM⊥AB，∠1＝∠2， ∴∠1+∠AOC＝∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°， 可得∠AOC＝∠BOD， ∴∠2的余角有：∠AOC，∠BOD； 故答案为：∠AOC，∠BOD； （2）∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠BOM＝90°， ∵∠1∠BOC， ∴∠BOC＝∠AOD＝120°，∠1＝∠2＝30°； 又∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝60°，则∠BOD＝∠AOC＝60°． 18．解：（1）ON⊥CD． 理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝90°， ∴∠1+∠AOC＝90°， 又∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠AOC＝90°， 即∠CON＝90°， ∴ON⊥CD． （2）∵OM⊥AB，∠BOC， ∴∠1＝30°，∠BOC＝120°， 又∵∠1+∠MOD＝180°， ∴∠MOD＝180°﹣∠1＝150°． 19．解：（1）假设∠CAE＝25°时， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣25°＝35°， ∵∠DFE＝90°， ∴∠BAD＝∠DFE﹣∠BAE＝90°﹣35°＝55°； （2）①∵∠CAE＝25°，∠BAD＝55°， ∴∠BAD≠2∠CAE，∠CAE+∠BAD＝25°+55°＝80°， ∴甲，乙两位同学的猜想一定错误， 故答案为：甲、乙； ②丙同学的猜想正确，理由如下： 设∠CAE＝α， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝60°﹣α， ∵∠DFE＝90°， ∴∠BAD＝∠DFE﹣∠BAE＝90°﹣（60°﹣α）＝30°+α， ∴∠BAD﹣∠CAE＝30°+α﹣α＝30°， ∴丙同学的猜想正确． 20．解：（1）∵∠DAH∠DAB∠EAD30°＝20°， ∴∠CAF∠CAE∠CAB45°＝15°， ∴∠HAF＝∠CAB+∠EAD﹣（∠DAH+∠CAF）＝45°+30°﹣（20°+15°）＝40°， 故答案为：40°； （2）∵∠CAF∠CAE，∠CAE＝∠CAB+∠BAE，∠CAB＝45°， ∴∠CAF（45°+∠BAE）＝15°∠BAE， ∵， ∵∠DAB＝∠EAD+∠BAE， ∴∠EAD＝30°， ∴， ∴∠HAF＝∠CAD﹣∠DAH﹣∠CAF， ＝30°+∠BAE+45°﹣20°15°∠BAE， ＝40°； （3）设∠BAF＝α， ∴∠EAH＝3α， ∴∠BAH＝40°﹣α， ∵， ∴， ∴∠DAH＝2∠HAB， ∴30°+3α＝2（40°﹣α）， ∴α＝10°， ∴∠CAF＝∠CAB﹣∠BAF＝35° ∴∠CAD＝180°﹣35°﹣10°＝135°， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 相交线与平行线 第1节 两条直线的位置关系 目录：知识点管理 考点管理 备考策略 （原卷版） （1） 知识点管理 一、思维导图 两条直线的位置关系 二、基本概念及公式 知识点梳理 1. 同一平面内两条直线的位置关系 相交：两条直线有且只有一个公共点。 平行：在同一平面内，不相交的两条直线（后续章节详细学习）。 2. 相交线的相关概念及性质 对顶角： 定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线的两个角。 性质：对顶角相等。 补角与余角： 补角：若两个角的和为 180°，则称这两个角互为补角（如∠A+∠B=180°，∠A 是∠B 的补角）。 余角：若两个角的和为 90°，则称这两个角互为余角（如∠C+∠D=90°，∠C 是∠D 的余角）。 性质：同角（或等角）的补角相等，同角（或等角）的余角相等。 3. 垂直的定义及性质 垂直的定义：两条直线相交成直角时，称这两条直线互相垂直(用符号⊥表示)，交点为垂足。 性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短原理）。 4 .点到直线的距离 过直线外一点作到这条直线的垂线，这个点到垂足之间的线段的长度，叫作这个点 到这条直线 l的距离。 （二）考点管理 核心考点及题型归纳 考点 1：对顶角的识别与计算 考查方式：给出相交直线图形，识别对顶角并求角度。 例1． （1）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． （2）如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOE＝90°．若∠AOC＝48°，则∠DOE的大小为（　　） A．52° B．48° C．42° D．32° 例2．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝60°，∠BOE＝40°，则∠DOE的度数为　20°　 ． 例3．（1）如图，直线a，b相交，∠1+∠3＝80°，求∠2的度数． （2）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，若∠BOD＝33°，求∠AOE的度数． 考点 2：补角与余角的概念及性质应用 考查方式：已知一个角，求其补角或余角。 例4． （1） ∠1＝40°，∠2是∠1的余角，则∠2的度数为（　　） A．40° B．60° C．50° D．140° （2）如图，直线AB，CD相交于点O，∠POC＝∠AOC．若∠BOD＝25°，则∠BOP的大小为（　　） A．25° B．120° C．130° D．155° 例5．若一个角的余角为20°，则这个角的补角度数为 　110°　 ． 例6． （1）已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数． （2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分． （1）图中∠AOC的对顶角为　∠BOD　 ，∠BOE的补角为　∠AOE　 ； （2）若∠AOC＝75°，且∠BOE：∠EOD＝1：4，求∠AOE的度数． 考点 3：垂直的判定与性质应用 考查方式： 应用题：利用垂线段最短解决实际问题（如测量跳远成绩时，测量脚跟到起跳线的垂线段长度）。 角度计算：结合垂直定义，求角的度数。 例7． （1）A为直线BC外一点，AD⊥BC于D，AD＝6．点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 （2）如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（　　） A． B． C． D． （3）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠1＝52°30′，则∠2的度数为（　　） A．38°30′ B．37.5° C．38.5° D．27°30′ （4）在体育课上，某同学跳远后留下的脚印如图所示，则他本次的跳远成绩是（　　） A．线段PC的长度 B．线段QD的长度 C．线段PA的长度 D．线段QB的长度 例8． （1）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象有　　 个． （2）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠COE＝20°，则∠AOD的度数为　 　 ． 例9． （1）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠COE＝55°，求∠AOD的度数． （2）如图，直线CD、EF相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD＝40°，∠COF＝98°，求AOE的度数． 考点 4：综合角度计算（对顶角、补角、垂直结合） 例10．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O． （1）若∠1＝∠2，试说明：ON⊥CD； （2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC的度数． 例11．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O． （1）写出图中所有与∠AOD互补的角； （2）若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数． 例12．（1）如图1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD． ①直接写出图中∠AOF的余角； ②如果∠EOF∠AOD，求∠EOF的度数． （2）如图2，已知O为线段AB中点，ACAB，BDAB，线段OC长为1，求线段AB，CD的长． 例13．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°） （1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝　20　 °； （2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数； （3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由； （4）将直角三角板DOE绕点O转动一周，如果OD在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数． ∵∠BOD＝80°，∠BOC＝70°， ∴∠COD＝∠BOD+∠BOC＝80°+70°＝150°， （三）备考策略 1. 概念理解是基础 明确对顶角、补角、余角、垂直的定义，避免混淆（如：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角）。 熟记性质：对顶角相等，同角（等角）的补角 / 余角相等，垂直的唯一性和垂线段最短。 2. 图形识别与几何语言规范 能从复杂图形中分离出基本图形（如相交线、垂线），标注已知角和待求角的关系。 用几何语言规范表达推理过程（如：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°）。 3. 典型题型强化训练 角度计算：多练习结合对顶角、补角、垂直的综合题目，掌握 “由线定角，由角定线” 的思路。 实际应用：理解垂线段最短在生活中的应用（如最短路径问题、测量问题）。 4. 易错点突破 1. 注意 “垂直” 是相交的特殊情况，需满足夹角为 90°，而非任意相交； 2. 补角和余角是数量关系，与位置无关； 3. 对顶角是位置关系，且必须有公共顶点和反向延长线。 5. 本节总结 本节重点在于理解相交线的基本概念和性质，尤其是对顶角、补角、余角和垂直的应用。备考时需结合图形分析，熟练运用性质进行角度计算和推理，同时注意实际问题与数学原理的结合，提升几何直观和逻辑推理能力。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$