第17章 微专题4 利用勾股定理解决最短路径冋题-【宝典训练】2024-2025学年八年级下册数学高效课堂（人教版）

2.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， 方案一中， ∴.CD=AB=6,∠A=∠D=90°， AC=√3+9=3/10， 由折叠的性质得∠D=∠D=90°，∴.∠A=∠D, 方案二中， 在△ACG和△DEG中， AC=√7+5=√/74，∴74<3√10， ∠AGC=∠D'GE, ∠A=∠D, .△ACG≌△D'EG(AAS): 蚂蚊爬过的最短路径的长为√74， AC=DE, 第16课时《勾股定理》单元复习 (2)解：：将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB 核心讲练 边的中点C上∴BC-2AB=3,CF=CF, 1.5或72.(1)√29(2)173.4 4.8.55.C6.D7.C 在Rt△BCF中，CF=BF+CB, 8.(1)1321365 .CF=(9-CF)2+32,.CF=5,.BF=M. (2)证明：，'AB=13,BC心=52，AC=65, 3.解：设CE=x,四边形ABCD是矩形，，∠B=90°， ∴.AB+BC=65=AC, ∴.AC=AB+BC=32+4=25, △ABC为直角三角形 .AC=5,.BC=5-3=2, 由折叠可知：∠ABE=∠B=90°， (3)25 5 AB'=AB=3,EB'=EB=4-. 9.(1)解：，∠C=90°，AC=6,BC=8, 在Rt△CEB中，EC=EB+BC, .AB=AC+BC=10, =《-+2-是CE- 5 2 ,将△ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C处， 过关检测 .△ADC≌△ADC. .CD=CD,∠ACD=∠ACD=90°， 45cm5.66.号 即∠DCB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，AC=AC=6, 7.解：(1)5 .BC=AB-AC=10-6=4, ∴.△DCB为直角三角形，且∠DCB=90°， (2)根据三角形中线的定义得到AE-BE-号AB-3, .CD2+CB=DB,即CD+4'=(8-CD)2,∴.CD=3: 根据勾股定理得到CE=√AE+AC=√3+=5， (2)①证明：由折叠可知△PAB≌△PEB, 由折叠的性质得∠EDF=∠A=90°， .PA=PE,∠A=∠E=90°， AF=DF=AC-CF=4-CF,DE=AE=3,CD=2, ∠D=∠E=90 在△DPG和△EFG中，DG=EG, 根据勾股定理得到AF-号，于是得到AEAF=3:号-2： ∠DGP=∠EGF, (3)根据等边三角形的性质得到AB=BC=AC, .△DPG≌△EFG(ASA), ∠A=∠B=∠ACB=60°， .PG=FG, 根据CE是AB边上的中线，求得AE=BE=号AC, .PG+GE=FG+GD,即PE=DF ②解：，△PAB≌△PEB,△DPG≌△EFG,AB=8,AD=6, ∠ABC=∠BC=90,LBCE=∠ACE=2∠ACB=30, PE=DF=PA,CF-8-DF-=8-AP, ∴.EF=DP=AD-AP, 由折叠的性质得∠EDF=∠A=60°，AE=DE,AF=DF, 即BF=8-EF=8-(6-AP)=2十AP 设AE=x,则AC=2x, :∠C=90°，.BC+CF=BF, 根据勾股定理得到CE=√AC一AE=3x, 即6*+(8-AP)=(2+AP), 求得AF=(3一1)x, .AP- 于是得到AEAF=x:(3-1)z=B+1 2 本章数学核心素养 微专题4利用勾股定理解决最短路径问题 1.解：15m而号 核心讲练 (2)画出△DEF如答图所示， 1.52.20003.134.255.746.5 过关检测 △DEF的面积=3X4-是×3X2- 2 7.√108.139.130cm10.2511.25cm12.√74cm 13解：有两个方案：如答图所示， 2×4-合×2×1=40 答图 (3)三边长依次为5，√5，√万的三角形的面积 片-[+@-T-要 V 2 2.(1)左上(2)4 解：(2)需补充的推理过程如下： ∴.ac>bc, b>c. .ab>ac. 万至 答图 【简单应用】50【问题回归13数学·八年级·下册(R) 微专题4利用勾股定理解决最短路径问题 新课学司 1.借助将军饮马模型求最短线段和，线段和是某直角三角形的斜边， 2把立体图形展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”求解。 圆柱 长方体 图例 心讲练 类型1：平面图形中的最短路径问题 D 1.例如图，在正方形ABCD中， 2.如图，A处为牧草地，B处是 AB边上有一点E,AE=3,EB= 牧童的家，A,B两处距河岸 1,在AC上有一点P,使EP+ 的距离分别为AC=350m,垂 BP为最短，则EP十BP的最短距离是 BD=1250m,且AB两地的距离为1500m, 天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶 回家.则牧童至少要走 米 类型2：圆柱中的最短路径问题 3.例如图所示，从点A开始环绕圆 4.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不 柱有一架梯子，正好到达A点的正 计)的高为15cm,在容器内壁离容器底部3cm的 上方B点，已知圆柱的底面周长是 点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外 12米，高AB为5米，则梯子最短是 壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相对的点A处， 若该圆柱底面周长为40cm,则蚂蚁吃到蜂蜜需 爬行的最短路径长为 cm. 类型3：长方体中的最短路径问题 5.如图，长方体中AB=10,BC= 6.如图①，一个 4,BF=3,P为HG的中点，在 立方体的棱长 P处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁从 为1，有一只蚂 点A出发，沿长方体表面到点P处吃蜂蜜，那么 蚁从点A出 ① 它爬行的最短路程是 发，沿着立方体的表面爬行到点G.把立方体展开 (如图②③)，根据“两点之间线段最短”，可知蚂蚁 沿线段AG爬行路径最短，最短路径长为 ●>40《● 第十七章勾股定理 过关检测 基础训练 7.如图，在正方形ABCD中，AB 8.如图，四边形ABCD是长方形 2√2，E是AB的中点，P是对角线 土地，AB=10m,AD=5m,中 AC上一动点，则EP十BP的最小 间竖有一堵高1m的砖墙 值是 (MN=1m).一只蚂蚁从点A爬到点C,它必 须翻过中间那堵墙，则它至少要爬 m. 9.如图，台阶阶梯每一层高 单位：cm 10.如图，一个无盖的长方体盒子 50 20cm,宽40cm,长50cm 的长、宽、高分别为3.5cm, 24 cm 一只蚂蚁从A点爬到B点， 3.5cm,24cm,一只蚂蚁想从 5.5cm 最短路程是 盒底的点A沿盒的表面爬到 3.5cm 盒顶的点B,则它爬行的最短路程是 cm 能力训练 11.如图，长方体的长为15cm,宽 B5 cm 12.如图，一个无盖的长方体盒子的棱 为10cm,高为20cm,点B到 20 cm 长分别为BC=3cm、AB=4cm、 点C的距离是5cm,在点B AA:=5cm,盒子的内部顶点C .15cm 10.cm -A 处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁如果 处有一只昆虫甲，在盒子的内部 沿着长方体的表面从点A爬行到点B去吃蜂 顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不 蜜，蚂蚁需要爬行的最短路程是 计).假设昆虫甲在顶点C:处静止不动，A处 的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C1处的 最短路程 拓展训练 13.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿 着木柜表面爬到柜角C:处，若AB=3,BC=4,CC=5;请你在下面网格（每个小正方形的边长 均为1)中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径，并求蚂蚁爬过的最短路径的长， ●>41《●