专题07 复数7种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第四册）

专题07 复数7种常考压轴题归类 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 知识点05复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 知识点06 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 知识点07 几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 压轴题型一：复数的有关概念 满分技法 1.准确理解复数的基本概念,如实部、虚部、共轭复数等。对于复数 , 为实部, 为虚部,其共轭复数 。 2.当两个复数相等时,实部与实部相等,虚部与虚部相等,即若 ,则 且 。 3.注意复数的相关性质在解题中的应用,例如 ,对于一些涉及到复数运算后求概念相关的值的题目,先进行运算化简,再根据概念求解。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·山西太原·阶段练习）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 4．（2024·四川德阳·模拟预测）设虚数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·全国·模拟预测）已知复数，则的的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·四川德阳·三模）已知复数，若，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 压轴题型二：复数的分类 满分技法 1.明确复数的分类标准,实数 ,纯虚数 且 ,虚数 。 2.当已知复数的类型求参数值时,根据相应的分类条件列出方程或不等式组求解。例如,若复数 为纯虚数,则 。 3.在解决与复数分类相关的问题时,要考虑分母不为零等限制条件,避免出现增根。 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·重庆·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D．   12．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（    ）个. A． B． C． D． 法一：法二：14．（23-24高一下·云南曲靖·期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 压轴题型三：复数的几何意义 满分技法 1.掌握复数的几何表示,复数 与复平面内的点(a,b)以及向量 ( 为坐标原点)对应。 2.利用复数的几何意义将复数问题转化为几何问题,例如求复数的模 ,它表示复平面内点(a,b)到原点的距离。 3.对于一些涉及复数的加法、减法运算的几何意义的题目,要理解其与向量运算的关系,如 对应的向量是 对应的向量是 。 16．（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2025·河北张家口·二模）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2025·四川·模拟预测）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 z19．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 20．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型四：复数的四则运算 满分技法 1. 掌握复数的加、减、乘、除运算法则。加法： ；减法： ； 乘法： ； 除法： 2.在进行复数运算时,注意将结果化为标准形式 。 3.对于一些复杂的复数运算,可以利用 的幂次的性质,如 , , , ,以及一些常见的运算技巧来简化计算。 22．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·浙江·三模）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）设复数z满足，令，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）设复数，则的个位数字是（    ） A． B． C． D． 27．（2025高三·全国·专题练习）若，其中为虚数单位，则等于（    ） A． B． C．1 D． 28．（2025·陕西商洛·三模）（   ） A． B．10 C． D．13 压轴题型五：复数范围内方程的根 满分技法 1.对于实系数一元二次方程 ,当判别式 时,方程的根为 。 2.利用复数相等的条件来求解方程,若方程中含有复数系数,根据方程的根代入方程后实部与虚部分别为零列出方程组求解。 3.对于一些涉及复数方程根的性质的题目,如根与系数的关系(韦达定理), , 在复数范围内仍然成立,合理运用这些性质解题。 29．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 31．（24-25高一下·湖南·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 32．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知复数是关于的二次方程的一个解，则（     ） A． B．1 C． D．2 33．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 34．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（   ） A． B． C． D． 35．（2025高三·全国·专题练习）在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 压轴题型六：与复数模相关的轨迹(图形)问题 满分技法 1.已知复数 , ,根据复数模的几何意义, 表示复平面内 数 与 对应的点之间的距离。 2.当给出关于复数模的等式时,将复数设为 代入等式,然后根据等式的形式确定其对应的几何图形。例如 表示以 对应的点为圆心, 为半径的圆。 3.对于一些与复数模的不等式相关的问题,同样通过代入复数的实部和虚部,转化为平面区域问题进行求解,确定其表示的图形。 36．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 38．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 39．（24-25高一下·广西·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 40．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 41．（24-25高一下·山东济南·期中）已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 压轴题型七：欧拉公式 满分技法 1.牢记欧拉公式 ,当 时, (被誉为数学中最优美的公式之一)。 2.利用欧拉公式进行复数的指数形式与三角形式的转换,在进行复数运算时,若遇到指数形式的复数,可以根据欧拉公式将其转化为三角形式,然后利用三角函数的性质进行计算。 3.在解决一些涉及到复数的辐角、模以及三角函数关系的问题时,合理运用欧拉公式及其相关性质,将问题转化为熟悉的三角函数问题进行求解。 43．（2025·陕西·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．（23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 45．（21-22高一下·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 46．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ） A．的实部为 B．在复平面内对应的点在第一象限 C． D．的共轭复数为 47．（22-23高一下·安徽·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 48．（22-23高一·全国·课后作业）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）． A．； B．； C．； D．在复平面内对应的点位于第二象限． . 一、单选题 1．（2025·湖南郴州·三模）已知复数满足，则（ ） A． B． C．3 D．1 2．（2024·全国·模拟预测）若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）若复数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D．9 4．（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 7．（2025·北京门头沟·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 9．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2025·重庆·三模）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．可能为 B． C．的实部与虚部之积不大于3 D．在复平面内对应的点可能是 11．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A．复数的虚部为 B． C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 12．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 13．（山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷）已知，复数满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 三、填空题 14．（24-25高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 15．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 16．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 17．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 18．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 19．（2025高三·全国·专题练习）关于复数有以下四个说法： ①             ② ③            ④ 其中正确的序号为 . 20．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知复数z满足，则 ． 四、解答题 21．（24-25高一下·北京·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足． (1)求实数的值； (2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值． 22．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. (1)求a的值； (2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 23．（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 24．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 25．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知复数，其中，i为虚数单位． (1)若复数z为纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； (3)当时，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 复数7种常考压轴题归类 知识点01 数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 知识点02 复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 知识点03 复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 知识点04 复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 知识点05复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 知识点06 复数加减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ②复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. ③复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 知识点07 几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 压轴题型一：复数的有关概念 √满分技法 1.准确理解复数的基本概念,如实部、虚部、共轭复数等。对于复数 , 为实部, 为虚部,其共轭复数 。 2.当两个复数相等时,实部与实部相等,虚部与虚部相等,即若 ,则 且 。 3.注意复数的相关性质在解题中的应用,例如 ,对于一些涉及到复数运算后求概念相关的值的题目,先进行运算化简,再根据概念求解。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：设，由已知结合复数运算可得，根据复数相等可得，解方程可求，，由此可得结论； 方法二：由条件结合模的性质可得，设，由此可得，解方程求，由此可得结论. 【详解】方法一：设（且不同时为）， 由得，即， 所以，得或（不满足题意）， 故的虚部为， 故选：A. 方法二：因为，且，所以，即. 设（且不同时为0），则， 解得，则的虚部为， 故选：A. 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】，则，故的虚部为. 故选：D. 3．（24-25高三下·山西太原·阶段练习）设复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．0或 D．0或 【答案】A 【分析】由集合相等得出为虚数，然后确定，只能是，再设且，代入求解． 【详解】由题意为虚数，所以，从而由题意集合中唯一的正实数相等，即，所以， 若，则或，不合题意，舍去， 因此，由共轭复数的性质有， 设且，由得， 所以，由于，故解得，， 故选：A． 4．（2024·四川德阳·模拟预测）设虚数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数运算法则可得，再结合二项式定理化简，再根据共轭复数概念求，由此可求的虚部. 【详解】， 所以， 所以 所以， 所以的虚部为， 故选：B. 5．（2025·全国·模拟预测）已知复数，则的的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用复数运算性质，结合二倍角公式计算，根据复数虚部概念得解. 【详解】由，所以虚部为. 故选：B. 6．（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知复数满足，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则求出复数，再确定其虚部. 【详解】因为，，. 所以. 所以复数的虚部为：. 故选：A 7．（2025·四川德阳·三模）已知复数，若，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可得，目标式化为，应用基本不等式求得，即可得. 【详解】由题设，则，所以， 而，当且仅当时取等号，则， 所以. 故选：A 8．（24-25高一下·河南·期中）若复数满足，i为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数相等建立方程求出即可得解. 【详解】设， 则， 即，解得， 所以，， 故选：A 压轴题型二：复数的分类 √满分技法 1.明确复数的分类标准,实数 ,纯虚数 且 ,虚数 。 2.当已知复数的类型求参数值时,根据相应的分类条件列出方程或不等式组求解。例如,若复数 为纯虚数,则 。 3.在解决与复数分类相关的问题时,要考虑分母不为零等限制条件,避免出现增根。 9．（2025·湖南娄底·模拟预测）设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由复数为实数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 10．（2025·重庆·模拟预测）若复数z使得为纯虚数，则（   ）. A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可. 【详解】设， 则， 所以，， 即，所以. 故选：B 11．（24-25高三下·上海·阶段练习）复数z是纯虚数的一个充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可根据纯虚数的定义以及各选项所给条件逐一分析判断. 【详解】若 ，设 ，则， 由可得 ，即 ，所以 ， 此时为实数，不是纯虚数，所以选项A错误； 若，设 ， 则   ，解得 ， 此时，当 时，不是纯虚数，所以选项 B 错误； 若，设 ， 则， ， 由 可得 ， 两边同时平方得 ， 展开可得 ，化简得 ，即 ， 当时， 不是纯虚数，所以选项C错误； 若 ，设 ， 则，，， 表示复平面上点 到点和点的距离之和为 2 ， 而点和点之间的距离为 ， 所以点在线段 上， 即且 ，满足且，所以是纯虚数， 反之，若是纯虚数，设 ， 则 ， 当时， ， 所以是复数是纯虚数的一个充分条件，选项 D 正确. 故选：D. 12．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【详解】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知复数满足：，为纯虚数，则这样的复数共有（    ）个. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设该复数，借助复数的运算法则计算出后结合纯虚数定义即可得；法二：借助复数的三角形式及其几何意义计算即可得. 【详解】法一：设，则的实部为且虚部不为， ， 则，， 因为，故，即， 则有，解得或或， 当时，，则，舍去； 当时，，即，则，舍去； 当时，，则， 故，即，共有两个. 综上所述，这样的复数共有两个. 法二：设的辐角为，， 表示将复数在复平面内逆时针旋转， 由几何图形的对称性：与在复平面内应关于轴对称， 则解得：或或或， 易知：时，，舍去， 故，故有两个不同的复数满足题意. 故选：B. 14．（23-24高一下·云南曲靖·期末）若复数为纯虚数，则的虚部为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义，求出，结合复数四则运算以及复数虚部定义求解即可 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得，则， 所以，则其虚部为4， 故选：B 15．（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】考查复数相关概念问题，根据实数和虚数概念求解即可. 【详解】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 压轴题型三：复数的几何意义 √满分技法 1.掌握复数的几何表示,复数 与复平面内的点(a,b)以及向量 ( 为坐标原点)对应。 2.利用复数的几何意义将复数问题转化为几何问题,例如求复数的模 ,它表示复平面内点(a,b)到原点的距离。 3.对于一些涉及复数的加法、减法运算的几何意义的题目,要理解其与向量运算的关系,如 对应的向量是 对应的向量是 。 16．（2025·湖北黄冈·二模）复数的共轭复数在复平面内对应的点位（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限. 【详解】，则共轭复数为，对应的点，在第二象限. 故选：B. 17．（2025·河北张家口·二模）已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先设出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将与代入已知等式，根据复数相等的条件求出的实部与虚部，最后确定在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知． 将，代入可得： 根据平方差公式，可得，则上式可化为： 因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组． 由，解得． 将代入，可得，解得， 由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限． 故选：A． 18．（2025·四川·模拟预测）复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解. 【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 19．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 20．（2024·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由运算得解. 【详解】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 21．（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算即可. 【详解】， ，，， 故选：C． 压轴题型四：复数的四则运算 √满分技法 1. 掌握复数的加、减、乘、除运算法则。加法： ；减法： ； 乘法： ； 除法： 2.在进行复数运算时,注意将结果化为标准形式 。 3.对于一些复杂的复数运算,可以利用 的幂次的性质,如 , , , ,以及一些常见的运算技巧来简化计算。 22．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算求出，再求出模作答. 【详解】由，得， 所以． 故选：A． 23．（2025·浙江·三模）若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，然后结合复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果. 【详解】设， 则， 所以，，故， 故选：B． 24．（24-25高一下·吉林四平·阶段练习）设复数z满足，令，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，再结合复数的运算，即可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， ，所以，表示圆上的点与两点连线的距离，如图的最大值为， 所以，则． 故选：D 25．（24-25高三下·河南焦作·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D． 26．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）设复数，则的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得，再利用的个位数以为周期，即可求解. 【详解】因为，则，又， 因为， ， 则的个位数以为周期，所以的个位数字是， 故选：C. 27．（2025高三·全国·专题练习）若，其中为虚数单位，则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先由复数的除法运算，求出，进而可求出其共轭复数，再由复数的除法运算计算. 【详解】由，得， 则， 所以． 故选：A． 28．（2025·陕西商洛·三模）（   ） A． B．10 C． D．13 【答案】A 【分析】先根据虚数的运算法则化简，再根据复数的模的计算公式求出化简后复数的模. 【详解】,所以. 故选：A. 压轴题型五：复数范围内方程的根 √满分技法 1.对于实系数一元二次方程 ,当判别式 时,方程的根为 。 2.利用复数相等的条件来求解方程,若方程中含有复数系数,根据方程的根代入方程后实部与虚部分别为零列出方程组求解。 3.对于一些涉及复数方程根的性质的题目,如根与系数的关系(韦达定理), , 在复数范围内仍然成立,合理运用这些性质解题。 29．（24-25高一下·福建福州·期中）设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 30．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 31．（24-25高一下·湖南·期中）已知是实系数一元二次方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入已知方程中，利用复数的四则运算化简，根据复数相等的条件列式求解，即可求解. 【详解】将代入方程可得， 即，故，解得，故. 故选：B 32．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）已知复数是关于的二次方程的一个解，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数是方程，代入得，列出方程组，即可求解. 【详解】因为复数是方程， 代入得，可得， 可得，可得， 因为，所以. 故选：C. 33．（2025·山东聊城·模拟预测）已知复数和复数为方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．也为该方程的根 D．与也为方程的根 【答案】D 【分析】先利用实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数求出，再利用韦达定理求出，可判断AB选项；再利用复数的乘法运算判断C；利用判断D选项. 【详解】由题可得，复数， 又实系数一元二次方程的两复数根必互为共轭复数，则， 则，， 则由韦达定理可知，， 所以，故A,B错误； 又，则且，故C错误； 由于，则与为方程的两根， 因为，则与也为方程的根，故D正确. 故选：D． 34．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知集合，（其中为虚数单位，为复数集），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别化简集合与集合，再求出，最后求出. 【详解】，，． 故选：C． 35．（2025高三·全国·专题练习）在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，那么原方程即为， 得故或或 所以，故方程的解的个数为6. 故选：C 压轴题型六：与复数模相关的轨迹(图形)问题 √满分技法 1.已知复数 , ,根据复数模的几何意义, 表示复平面内 数 与 对应的点之间的距离。 2.当给出关于复数模的等式时,将复数设为 代入等式,然后根据等式的形式确定其对应的几何图形。例如 表示以 对应的点为圆心, 为半径的圆。 3.对于一些与复数模的不等式相关的问题,同样通过代入复数的实部和虚部,转化为平面区域问题进行求解,确定其表示的图形。 36．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 37．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 38．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果. 【详解】设，若满足，即， 所以，即， 则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外， 又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为， 故选： C． 39．（24-25高一下·广西·阶段练习）已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求出最大值. 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 40．（2025·江西新余·模拟预测）我们称复数与对应，若复数在复平面内的图象分别如图①、②所示，则与对应的复数在复平面内的大致图象分别对应选项中①、②的是：（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设曲线上的点，表示出，令，根据的大小关系可排除B、D；根据时的斜率可排除C. 【详解】，故：， 曲线上的点到原点的距离，直线的斜率为， 记， 则时，有，， 即取定一条过原点的射线交两曲线交于两个点，其中离原点远的为②，排除B、D； 而末端值时，直线的斜率为，故排除C. 故选：A． 41．（24-25高一下·山东济南·期中）已知复数z的实部大于等于1，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意设出复数的标准式，由复数除法可得复数的标准式，结合题意可得点的轨迹方程，根据复数的模长公式，结合两点之间的距离公式，利用圆外一点到圆上点距离的最值，可得答案. 【详解】设，则， 由题意可得，整理可得， 因此，点在以为圆心，半径为的圆上及圆内， 则， 上式可表示点到的距离， 易知最小值为点到圆心的距离减去半径， 即为. 故选：C. 42．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入化简得，可得复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，则可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率，结合图形可求得答案. 【详解】因为，所以，整理得， 故复数在复平面内的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆． 又可以看成单位圆上的点与两点连线的斜率， 如图，直线与单位圆分别切于点，， 因为和都为锐角， 所以， 所以，即的最大值为． 故选：B 压轴题型七：欧拉公式 √满分技法 1.牢记欧拉公式 ,当 时, (被誉为数学中最优美的公式之一)。 2.利用欧拉公式进行复数的指数形式与三角形式的转换,在进行复数运算时,若遇到指数形式的复数,可以根据欧拉公式将其转化为三角形式,然后利用三角函数的性质进行计算。 3.在解决一些涉及到复数的辐角、模以及三角函数关系的问题时,合理运用欧拉公式及其相关性质,将问题转化为熟悉的三角函数问题进行求解。 43．（2025·陕西·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，再由复数的除法运算，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限， 故选：C 44．（23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【详解】对于A：，则复数为纯虚数，故A错误； 对于B：，因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C：，， ，， 因此的面积为， 因为， 所以面积的最大值为，故C错误； 对于D： ， 所以 ，故D正确. 故选：D 45．（21-22高一下·广东广州·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．复数在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 【答案】B 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， ，当时取等号，B正确； 对于C，，复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D错误. 故选：B 46．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（    ） A．的实部为 B．在复平面内对应的点在第一象限 C． D．的共轭复数为 【答案】C 【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，则实部为，A错误； 对于B，对应的点为， ，，对应的点位于第二象限，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则其共轭复数为，D错误. 故选：C. 47．（22-23高一下·安徽·阶段练习）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第二象限 D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式，代入对应的值，即可判断A和C；由得，两式联立，解出即可判断B；由二倍角公式即可判断D． 【详解】对于A：由欧拉公式得，所以，故A错误； 对于B：由得， 两式联立得，两式相减消去得，， 所以，故B错误； 对于C：由欧拉公式得，，在复平面对应点的坐标为， 因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第四象限，故C错误； 对于D：，故D正确， 故选：D． 48．（22-23高一·全国·课后作业）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）． A．； B．； C．； D．在复平面内对应的点位于第二象限． 【答案】B 【分析】对于A，根据欧拉公式的定义，代入即可判断； 对于B，根据复数的模的计算公式即可判断； 对于C，将代入，联立两个式子解方程组即可判断； 对于D，表示的复数在复平面内对应的点为，从而得以判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确： 对于C，因为，， 所以，故C错误； 对于D，依题意可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为， 故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以，则该点位于第四象限，故D错误. 故选：B. 一、单选题 1．（2025·湖南郴州·三模）已知复数满足，则（ ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】先化简，求出复数，得到共轭复数，最后根据模长公式计算即可. 【详解】满足，则，则.则. 故选：D. 2．（2024·全国·模拟预测）若（，，），且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，解得，.因为，所以， 解得或. 故选：A. 3．（2025·河北·模拟预测）若复数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】由复数代数形式的乘法运算即可求解. 【详解】设.则， 因为，所以解得或 不妨设， 则. 故选：A. 4．（2025·河南·一模）设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意得，进而计算可得，利用基本不等式可求最大值. 【详解】设，因此，， 当且仅当时取“”，所以的最大值为. 故选：B． 5．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，为虚数单位，则对于，的最小值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据得，进而得到，结合模的计算公式求出，进而得到答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以当时，有最小值，最小值为， 故选：D. 7．（2025·北京门头沟·一模）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数与复平面内点的对应关系求出复数，再根据复数的除法运算法则计算. 【详解】已知复数对应的点的坐标是，所以. 将代入，可得. 即：. 故选：B. 8．（2025·重庆·模拟预测）对于复数，如果复数同时满足以下两个条件：①，且，使得，②，则称为的反演.已知复数的实部等于1，为的反演，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，利用判别式法可求的最小值. 【详解】设，则， 所以，故，故， 故， 设，则，其中， 若，则； 若，则即， 故， 故，故， 故， 故选：C. 9．（24-25高一下·山西·阶段练习）已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解. 【详解】因为，所以点． 因为点A与点B关于直线对称， 所以， 所以． 故选：A 二、多选题 10．（2025·重庆·三模）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．可能为 B． C．的实部与虚部之积不大于3 D．在复平面内对应的点可能是 【答案】BCD 【分析】设，可得.对于AD：根据复数的概念和几何意义分析判断即可；对于B：根据共轭复数结合复数乘法运算即可；对于C：利用基本不等式分析判断即可. 【详解】设，则， 可得，即. 对于选项A：若，即，不满足，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的实部与虚部之积不大于3，故C正确； 对于选项D：若在复平面内对应的点是， 即，满足，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（    ） A．复数的虚部为 B． C．复数与分别对应向量与，则向量对应的复数为 D．若复数z满足条件，则复数z对应点的集合是以原点为圆心，分别以和为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界 【答案】BCD 【分析】对于A，由复数的代数式可判断；对于B，利用复数的乘方运算求解可判断；对于C，结合向量的运算法则，即可求解可判断；对于D，结合复数的几何意义，即可求解判断． 【详解】对于A：对于复数的虚部为，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为，故C正确; 对于D：对于D，设复数，若复数满足条件， 则有，故复数对应点的集合是以原点为圆心， 分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界，故D正确. 故选：BCD. 12．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数和对应的向量分别是，向量对应的复数记为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由向量的运算求得复数，再由复数的运算判断各选项． 【详解】∵，∴， 所以，，，， 因此BC正确，AD错误， 故选：BC． 13．（山东省青岛市2024-2025学年高一下学期期中学业水平检测数学试卷）已知，复数满足，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据复数模长、乘法运算，结合共轭复数定义判断ABC，结合复数的几何意义，根据点与圆的位置关系求解最值判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，则， 所以，B正确； 对于C，因为， 所以， ，所以，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点为， 则表示复数在复平面内对应的点在以为圆心1为半径的圆上， 而表示复数在复平面内对应的点到原点的距离， 所以的最大值为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（24-25高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：．    15．（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设复数，由已知可得，进而根据可求最小值. 【详解】设复数，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故答案为：. 16．（24-25高一下·河南洛阳·期中）已知复数，.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 故答案为： 17．（2025·上海长宁·二模）复数，，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 18．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 19．（2025高三·全国·专题练习）关于复数有以下四个说法： ①             ② ③            ④ 其中正确的序号为 . 【答案】②④ 【分析】举特殊值代入可判断A、C，设，代入化简可判断B，设代入化简可判断D. 【详解】对于①，取，，则，， 故，①错误． 对于②，设，，则，，，，则，所以，故②正确． 对于③，不妨取，，则，，， 所以，故不恒成立，③错误． 对于④，设，则，所以， 所以，④正确． 故答案为：②④． 20．（24-25高一下·福建莆田·期中）已知复数z满足，则 ． 【答案】 【分析】先根据复数的除法运算求解，再根据共轭复数定义及模长公式求出模长. 【详解】复数z满足， 则，所以 则． 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高一下·北京·期中）已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足． (1)求实数的值； (2)若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可. 【详解】（1）由，，得，即， 因为在复平面上对应的点在第四象限，则， 所以, （2）由（1）知，， 由复数是关于x的方程的根， 得, 整理得， 因为，所以, 解得. 22．（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位. (1)求a的值； (2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由复数除法以及纯虚数的概念即可列式求解； （2）由复数的几何意义得出，结合向量减法及模长公式即可得解 【详解】（1）复数，，， 则. 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）得，. 由题意得，点O，A，B的坐标分别为，，， 所以，，因为， 所以，解得或. 23．（24-25高一下·浙江·期中）在复平面内复数，其所对应的点分别为为坐标原点，是虚数单位. (1)求； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要先计算和，再求它们差的模； （2）设出实根，代入方程，根据复数相等的条件求解. 【详解】（1） （2）设是二次方程的一个实根，将 代入方程得： 由复数相等的意义得：，解得： 所以当时，原方程有一实根 24．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数 (1)若是虚数，求m的取值范围． (2)若复平面内复数对应的点位于第四象限，求m的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据虚数可得虚部非零，从而可求范围； （2）根据点在第四象限可得实部为正，虚部为负，从而可得范围； （3）根据复数相等结合消参可得，由平方关系和正弦函数的性质可求参数的范围. 【详解】（1）由题意，要使是虚数，则，解得：. （2）由题意，要使点位于第四象限，则需满足，解得：. （3）由得， 由复数相等的定义知，必有， 因为，所以 故的取值范围为 25．（24-25高一下·新疆伊犁·期中）已知复数，其中，i为虚数单位． (1)若复数z为纯虚数，求实数m的值； (2)若复数z对应的点在第三象限，求实数m的取值范围； (3)当时，求． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列式计算即得； （2）利用复数在复平面对应点的性质，列式计算即得； （3）代入参数求得复数的模长. 【详解】（1）由复数是纯虚数，且， 得，解得，所以实数m的值为3. （2）由复数对应的点在第三象限，且， 得，解得，即， 所以实数m的取值范围为. （3）当时，， ． 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$