轮轮清·齐鲁名校大联考——2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 数学试卷

绝密★启用前 齐鲁名校大联考 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 数 学 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 到 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 如 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.如图是2024年1月至2025年1月全国居民消费价格涨跌幅关于同比与环比的折线图， 在同比数据中需剔除一个数使其方差更小，则被剔除的数为 (%) 3.0 2.0 -一同比 一。一环比 10 1.0 0.3 01030.30.2 0.7 0.0 6.7 00.50.4 0.5 6.1-01-02 0.0030.6 0.0 -1.00.8 -1.0 -2.0 -3. 2024年2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月2025年 1月 1月 A.-1.0 B.-0.8 C.0.7 D.1.0 和 1十i2025 2.复数1- 在复平面内对应的点的坐标为 A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 3.已知过点P(2,4)可作圆(x一1)2+y2=a的两条切线，则a的取值范围是 曾 A.(-o∞，17) B.(0,√17] C.(/17,+∞) D.(0,17) 4.某学校组织社团活动，有书法、绘画、音乐、舞蹈4个社团，要求每位同学至少选择一个社 团参加，且不能同时选择书法和绘画社团，则每位同学的选择方案共有 A.8种 B.9种 C.10种 D.11种 5.某建筑设计师设计了一个焦点在y轴上的双曲线型拱门，该双曲线的渐近线方程为y 士子，将该扶门在平面x0y(0为坐标原点)内旋转00为锐角)，则旋转后该挑门对应双 曲线的离心率为 5 B. 4tan 0 C.3 D 4 数学试题 第1页（共4页） 6.在首项为2，公差为8的等差数列{am}的任意相邻两项之间均插人3个数，使它们和原数 列的项一起构成一个新的等差数列{b,〉，由{b.}中的部分项构成等比数列{cm〉，当{cm}的 首项与公比均最小时，则{c。}的前6项和为 A.42 B.62 C.126 D.254 亿记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知b=3,c=4,cosA=,点D在边 BC上，且AD平分∠BAC,则AD的长为 A.3② C.46 D.487 4 B③ 5 7 49 8.已知函数f(x)=e一ax2一x-1,g(x)=ae一x2,且f(x)的导函数f'(x)在区间 [0,1]上单调递增，g(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是 A(,别 B(0 c,) D.(-∞，c] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知集合A={(x,y)ly=x},B={(x,y)|y=x3},若(a,b)∈(A∩B),则a+b的值可 能为 A.4 B.2 C.0 D.-2 10.已知函数f(x)=2cos2x-1,则 A.f(x)的最小正周期为π Bf)在区间[-，-小上单调递端 C(x)的图象关于直线x=-对称 D.方程f(x)=一2在区间[一2π，π]上的所有根的和为一3π 11.在棱长为a的正方体ABCD-A'BCD'中，点A在平面a内，且点B,D,A'均在a的同 侧，则下列说法正确的是 A.当a=1时，三棱锥A-BDA'外接球的体积为” B.二面角A'BD-A的正切值为2 C.若点P满足BP=入BB+ABC,A∈[0,1]，则DP∥平面AB'D D.若B,D,A'三点到a的距离分别为1,2,3，则a=√14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则AE·E= 13.已知定义在R上的函数f(x)满足下列条件：①f(号)=2：②f(2+z)-f(2-x)=0: ③图象关于点4,0)对称，则f(9) 14.在计算机中，对于有符号整数，定义原码：最高位为符号位，正数的符号位为0，负数的符 号位为1，其余各位用该数绝对值的二进制表示.比如，对于8位二进制表示，十进制数7 的原码是00000111，一7的原码是10000111.定义反码：正数的反码与原码相同；负数的 反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反.例如，7的反码是00000111，一7 的反码是11111000.根据以上定义，已知一个以8位二进制存储的有符号整数，十进制数 为一29，则它的反码是 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an}满足a1=3,am+1=3am一2. (1)证明：{am一1}为等比数列，并求{an}的通项公式； （2)数列6.}满足6.一。”求6.的前n项和T 16.(15分) 知椭圆C:3+y1,向量a=(Q,1),0为坐标 (1)设点P在C上，若向量O币与a的夹角为牙，求点P的坐标； (2)直线l过点(1,0)与C交于A,B两点，若OA+OB与a平行，求L的方程. 17.(15分) 为响应国家全民健身号召，某社区举办了一场趣味运动会，其中一项比赛为投篮接力赛， 比赛规则如下：每支参赛队伍由3名队员组成，依次进行投篮.第1名队员有3次投篮机会， 若3次都未投中，则该队比赛结束，得分为0分：若投中1次，则第2名队员继续投篮.第2名 队员有2次投篮机会，若2次都未投中，则该队比赛结束，得分为5分；若投中1次，则第3名 队员继续投篮.第3名队员只有1次投篮机会，若未投中，该队得10分，投中该队得15分.已 知某队中第1名队员每次投篮投中的概率均为2，第2名队员每次投篮授中的概率均为号 第3名队员投中的概率为，各次投篮相互独立记比赛结束时该队总得分为X。 (1)求P(X=15)； (2)求X的分布列及数学期望. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在三棱锥P-ABC中，AP⊥AB,PC⊥CB,PC=CB=AP,M为棱AC的中点，点 N满足PB=3PN」 (1)证明：平面APC⊥平面MPB: (2)若△ABC是边长为a的等边三角形，求三棱锥P-ABC的体积； (3)若MN⊥MB,求二面角A-PB-C的正弦值. 19.(17分) 已知函数f(x)=e-alnx,其中a>0. (1)求曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程； (2)若f(x)的极小值为e,求a的值； (3)在(2)的条件下，证明：g(x)=f(x)一ex有两个零点. 数学试题第4页（共4页） 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· 叁春登案及解折 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测·数学 一、选择题 1.B【解析】由同比折线图可知数据一0.8偏离 sn∠BAC=b·ADsine∠CAD+c, 1 整体数据较远，所以应剔除该数 2.A【解析】因为+_1中。1+i ADsin∠BAD,即号X3X4x4y9-号X3X 72 1-i-1-i(1-iD(1+D ADX+专X4XADX, ,解得 i,所以其在复平面内对应的点的坐标为(0,1). 3.D【解析】由题意知点P(2,4)在圆(x一1)2+ AD=487 49 y2=a外，且a>0,所以(2-1)2十4>a,即a< 8.B【解析】f'(x)=e-2ax-1,令h(x) 17,所以0<a<17. e-2ax-1,则h'(x)=e-2a.因为f'(x)在 4.D【解析】由题意知每位同学选择1个社团有 区间[0,1]上单调递增，所以h'(x)≥0在区间 C=4种选法，选择2个社团有C十CC2=5种 [0,1]上恒成立.当x∈[0,1]时，由h'(x)= 选法，选择3个社团有C=2种选法，所以共有 e-2a≥0，得2a≤e2恒成立，所以2a≤1，即 4+5+2=11种选择方案. 5.C【解析】由题意知旋转0前，该拱门对应双 a≤2因为gx)=ae-,所以g'x)- 曲线的新近线方程为y-士，得号-号因 ae一2x.由g(x)有两个极值点，得ae一 2x=0有两个不同的实数解，即直线y=a与 为=a+8,所以e=后-号而旋转不改变 曲线g(x)-二有两个交点而，(x)= 双曲线离心率的大小，故旋转后该拱门对应的 21一，所以当x<1时，9'(x)>0,9(x)单 e 双角线的离心率仍为号 调递增：当x>1时，p'(x)<0,p(x)单调递 6.C【解析】设数列b.}的公差为d,由题意可 被，故p)=g1)=名.而当x小十∞时， 知b1=a1,b5=a2,则b5一b1=a2一a1=8.因 g(x)→0，当x→一∞时，9(x)→-c∞，作出 为bs一b1=4d,所以4d=8,解得d=2,所以 p(x)的大致图象，如图.若直线y=a与曲线 b.=2十(n一1)×2=2n,所以首项与公比均最 小的等比数列{c.}的首项为2，公比为2，其通项 p)-二有两个交点，则0<a<是.综上，0< e 公式为c.=2,所以前6项和为21二2）-126. 1-2 7.D【解析】在△ABC中，由cos∠BAC= 2少 (x)= 2x 得sin∠BAC=45.又cos∠BAC=1 2sin∠BAD,则sin∠BAD=sin∠CAD= T因为SaE=SacD+SaD,所以 ·1 ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 A∈[0,1]，得点P在线段BC上.易得BD'∥ 9.BCD【解析】联立 (y=x, 口=-1或 BD,因为B'D在平面BCD,BDC平面BCD, 得 y=x3, y=-1, 所以B'D'∥平面BC'D,同理可得AD'∥ 或1， x=0, 平面BCD.因为AD',B'D'C平面AD'B',且 所以a+b的值可能为一2， y=0,y=1, AD'∩BD'=D',所以平面AB'D'∥平面 0,2. BCD.又DPC平面BC'D,所以DP∥平面 10.ABD【解析】对于A,f(x)的最小正周期为 AB'D',故C正确.对于D,以A为坐标原点， =,故A正确：对于B,令2kx一元≤2红S AB,AD,AA'所在直线分别为x,y,z轴，建 立空间直角坐标系，则B(a,0,0),D(0,a, 2张x,k∈Z,得x-≤x≤k,k∈Z令k 0),A'(0,0,a),所以AB=(a,0,0),AD= -1,得-3<x<-x,故B正确：对于C (0,a,0),AA7=(0,0,a).设B,D,A'三点到 平面a的距离分别为dB,dp,da',平面a的 f(-)=2cos(-）-1=0,放C错误：对 法向量为n=(红，y,),则dn=n,A店 n 2,所以 于D,由f(x)=-2,得cos2x=- r+y+=1①，dn=n·Ai laxl 2x=- 行+2n或2x=号+2x,k∈乙，即 layl V2+y+=2 ②，d'=n·AA1 n x=- +x或x=行十x,∈么因为x长 laz =3 √x2+y2+z ③.由①②得ax-1 [-2红，]，所以x的取值分别为-5”，-4红 3， 3 受一音音号则所有工的取值之和为 则：由D0得侣-号，则=9 ax 一3π，故D正确. 所以 √x2+4x+9z =1,所以|ax =1, √/14lx| 11.ACD【解析】对于A,三棱锥A-BDA'外接 球的直径长即为正方体的体对角线长，所以 所以lal =1.又a>0,所以a=√14，故D /14 由a=1,得正方体的体对角线长为3，所以 正确. 外接球半径R=,所以外接球体积V 三、填空题 12.一1【解析】连接BD,由题意得AE=AB+ 青R=台()广-号，放A正确对于B。 驼=A+2B心=A+2A,E成=2B丽- 设AC与BD的交点为O,连接OA',易知 OA'⊥BD,OA⊥BD,所以∠A'OA为二面角 合(A-A,所以正.成=（店+ A'-BD-A的平面角.在Rt△A'OA中，易知 0A-号所以m∠AOA-站 2A)·(市-A=(2A市-A)因 a 为正方形ABCD的边长为2，所以AD= √2，故B错误对于C,由B驴=1BB+ABC, =4,所以应，成=2×号×4-4到=-1 2· 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· 13. 2【解析】由f(2十x)-f(2-x)=0,得 16. 解：1设P(),则号+g=10, f(x)的图象关于直线x=2对称.又f(x)的 OP=(xo,yo). 图象关于点(4,0)对称，所以8是f(x)的一 OP. 个周期.又在f(2+x)-f(2-x)=0中，令 由题意得 OPl -=cos4' x=专，得（得）-()=0，所以（得） 即 xo十yg 2 √6+y话·瓦 2 ()-2,放f(9)-(9+4×8) 则x。=0或y。=0,且x6十y>0②.(4分) f()=2 由①②得/2=0 或， 14.11100010【解析】因为29的二进制数是 yo=1,yo=0, 11101,所以8位二进制表示29，前面补0，得 所以点P的坐标为(0,1)或(3,0).(6分》 到00011101.又因为是一29，所以符号位变为 (2)(1)当l的斜率不存在时，不符合题意. 1,所以得到一29的原码是10011101.而一29 (7分) 的反码的符号位不变，还是1，其余各位取反， ()设A(x1,y),B(x2,y2),l的斜率为k, 0变1,1变0，从而得到反码为11100010. 当k=0时，OA+O=0,与a平行，符合题意： 四、解答题 (8分) 15.(1)证明：因为am+1=3an一2， 当k≠0时，则1的方程为y=k(x一1). 所以am+1-1=3(a。-1),且a1-1=2, 所以{a.一1}是以2为首项，3为公比的等比 联立 3+y-1, 得(1十3k8)x2一6k2x十 数列， (2分) y=k(x-1), 所以a.一1=2·3-1， (3分) 3k2-3=0, 故a.=2·3-1十1. (4分) 则△>0，且x1十x2= 6k2 (2)解：由(1)知b,=2,3可 1+3k2,y1+y2= (5分) 2k k(x1十x2-2)= 所以工.=6+a++a=(停+号++ 1+3k2 (11分) 因为向量OA+O成=(x1十x,y十y2)与a (6分) 平行， 所以.=（++…++引， 所以十业=1，即2张 x1十x2 0=1,解得=-宁 (7分) (13分) 所以号红.=(+号+京+…+品一) 所以1的方程为y=一子c-1D,即x十3y 1 1=0. 综上，l的方程为y=0或x+3y一1=0. (15分) 3 =3_2m+3 17.解：(1)要使最终得分为15分，需要第1名队 44·3*1 (12分) 员投篮投中1次，第2名队员投篮投中1次， 放工-号品. 且第3名队员投篮1次投中。 (13分) ①第1名队员投篮投中1次的概率为P,= ·3· ·数学· 参考答案及解析 +x+日××-日它的对立事 因为MP,MBC平面MPB,MP∩MB=M, 所以AC⊥平面MPB. 件是3次都未投中，其概半为分×号×宁-日 又ACC平面APC, 所以平面APC⊥平面MPB. (4分) (2分) (2)解：因为△ABC是边长为a的等边三 ②第2名队员投篮投中1次的概率为P: 角形， 号+号×号-器它的对立事件是2次都未 所以MB= 2. 投中，其概率为号×号一云 (4分) 由已知及1)得MP-停。，PB=Ea,（6分) ③第3名队员投篮1次投中的概率P,= 5 在△MPB中，由余弦定理，得PB=MB2十 (5分) MP2-2MB·MP cos.∠PMB, 因为各次投篮相互独立， 即2a2=2× a-2∠PMB. 所以P(X=15)=P,P,P,= 所以cos∠PMB=- 3 (7分) (2)由题意得X的所有可能取值为0,5， 所以sin∠PMB=2 3 10,15, 则P(X=0)= 8, 又由(1)知AC⊥平面MPB, 7 47 P(X=5)=8×2550 所以V三棱锥PABC= 3SaPw·AC=Y2 pX=10)-×器×号- (8分) 21 (3)解：因为AC⊥平面MPB,MNC平面 P(X=15)= 40' (11分) MPB,所以AC⊥MN. 所以X的分布列为 又MN⊥MB, 所以MA,MB,MN两两垂直， X 0 5 10 15 以M为坐标原点，MA,MB,MN所在直线 7 21 21 8 50 100 40 分别为x轴、y轴、x轴，建立如图所示的空间 直角坐标系。 (13分) 1 故E(X)=0×8+5 0+10 21 100 +15× 21427 4040 (15分) 18.(1)证明：因为AP⊥AB,PC⊥CB, 所以PB2=AP2+AB2=PC2+CB 又PC=CB=AP,所以AB=CB.(1分) 因为M为棱AC的中点，所以MB⊥AC. 又PC=AP,所以MP⊥AC. (2分) 设MA=x,MB=y,MN=x,则M(0,0,0), 。4 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· A(x,0,0),B(0,y,0)N(0,0,x),C(-x, 所以sin0= 2√2 0,0). 3 因为P店=3PN,所以P(0,-之，)， 放二面角APBC的正弦值为2。 (17分) (10分) 19.(1)解：由f(x)=e-alnx,得f'(x)=e- A市-(-x,-名)A店=(-xy0. a (2分) 由AP=AB,得(-x)+(-)'+() 所以f'(1)=e一a, (3分) 所以曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程 (-x)2+y2,解得y=√3z. 为y-e=(e-a)(x-l), 由AP⊥AB,得AP.AB=x-号=0， 即(e-a)x-y十a=0. (4分) (2)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)= 即x 2y. c-a_Ie'-a x 不妨令y=√6，则x=√5，x=√2， 令h(x)=xe2-a,则h'(x)=(x+1)e. 当x∈(0，十oo)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以P0,-9)A,00,B0, (5分) √6,0)，C(-3,0,0), 又h(0)=-a<0,h(a)=a(e-1)>0, 所以存在xo∈(0，a),使得h(x。)=0,即 则-0353号)成-(-5，一6,0 xoe"o=a. 当0<x<xo时，h(x)<0,即f'(x)<0, BA=3,-6,0). (13分) f(x)单调递减； 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1,1), 当x>x。时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单 BP·n=0, 3W ,32 调递增， 即 2y1十221=0， BA.n=0 所以f(x)的极小值为f(xo)=e一alnx。= W3x1-√6y1=0. efo-xoefo Iln xo=e, (7分) 令y1=1,得x1=2,x1=3,所以平面PAB 即eo1(1-x。lnxo)=1. 的一个法向量为n=(W2,1,√3) 令s(x)=e-1(1-xlnx), 设平面PBC的法向量为m=(x2y2,之2)， 则s'(x)=-e-1(1+x)nx. 当x∈(0,1)时，s'(x)>0,s(x)单调递增： BP·m-0, 3√6 3√ 则 即 2+ 222=0, 当x∈(1，十∞)时，s'(x)<0,s(x)单调递减， BC·m=0, -√3xz-√6y2=0. (10分) 所以s(x）.=s(1)=1, 令y:=1,得x2=一√2,2=3，所以平面 所以s(x)=1有唯一解x=1, PBC的一个法向量为m=(一√2,1,5). 即xo=1,则a=e (11分) (15分) (3)证明：由(2)可知a=e,所以g(x)=e 设二面角A-PBC的平面角为0， elnx-ex,定义域为(0，十o), 则1cos01=1cos〈n,m>1=n:m nlm 则g'(x)=e--e=e-c1+）)月 1-2+1+311 (2)2+1+(W3)23’ 令tx)=e-c1+）x>0, 5 ·数学· 参考答案及解析 则tx)=e+>0, 又g(1)=0,所以g(x1)<0. 又当x趋近于0时，g(x)趋近于+∞， 所以t(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 故x=1是g(x)的一个零点，即g(x)在区间 即g'(x)在区间(0，十∞)上单调递增. (0,x1)上存在唯一的零点x=1. (14分)》 (12分) 又g(3)=e3-eln3-3e>e3-2e-3e=(e2- 又g'=-e<0,g'(2)=e->0,当z 5)c>0, 所以g(x)在区间(x1,3)上存在唯一的零点 趋近于0时，g'(x)趋近于一∞，当x趋近于 a,使得g(a)=0, +∞时，g'(x)趋近于十∞， 故g(x)在区间(x1,十∞)上存在唯一的零点. 所以g'(x)连续，且从一∞递增至十，存在 (16分) 唯一的x1∈(1,2)，使得g'(x1)=0, 综上，g(x)有两个零点. (17分) 故g(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间 (x1,十∞)上单调递增. ·6绝密★启用前 齐鲁名校大联考 22 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 数 学 本试卷总分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 如图是2024年1月至2025年1月全国居民消费价格涨跌幅关于同比与环比的折线图, 在同比数据中需易除一个数使其方差更小,则被易除的数为 善 2.0 --同比 一-环比 0.0 1-0.1-02 0003 _0.0 -1.0-0.8 -10 -0.6 -2.0 2024年2月3月4月5月 6月 7月8月9月10月11月12月2025年 1月 1月 C.0.7 B.-0.8 A-1.0 D.1.0 短 1i2025 2. 复数 11--在复平面内对应的点的坐标为 A.(0,1) B.(0,-1) C.(1,0) D.(-1,0) 3. 已知过点P(2,4)可作圆(x一1)十v{一a的两条切线,则a的取值范围是 1” B.(0,/17] C.(/17,十) A.(-o,17) D.(0,17) 4. 某学校组织社团活动,有书法、绘画、音乐、舞蹈4个社团,要求每位同学至少选择一个社 团参加,且不能同时选择书法和绘画社团,则每位同学的选择方案共有 A.8种 B.9种 C. 10种 D.11种 28 5. 某建筑设计师设计了一个焦点在y轴上的双曲线型拱门,该双曲线的渐近线方程为y 曲线的离心率为 C D. B. A. t2_ 数学试题 第1页(共4页) 6. 在首项为2,公差为8的等差数列a.)的任意相邻两项之间均插入3个数,使它们和原数 列的项一起构成一个新的等差数列。),由。)中的部分项构成等比数列c。),当c。)的 首项与公比均最小时,则c。的前6项和为 A. 42 B. 62 C. 126 D. 254 1 #7 BC上,且AD平分BAC,则AD的长为 C.45 D. B.4 487 5 7 49 8. 已知函数f(x)=e-ax2-x-1,g(x)-ae*-x②,且f(x)的导函数f'(x)在区间 [0,1]上单调递增,g(x)有两个极值点,则实数a的取值范围是 B.(0.1 A.(0 C.(0) D.(-o,e] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 已知集合A=((x,y)ly=x),B=((x,y)ly=x3),若(a,b)E(AOB),则a十b的值可 能为 A.4 B. 2 C.0 D.-2 10. 已知函数f(x)-2cos2x-1,则 A.f(x)的最小正周期为n D. 方程f(x)一一2在区间[一2π,n]上的所有根的和为一3 11. 在校长为a的正方体ABCD-A'B'C'D中,点A在平面a内,且点B,D,A'均在a的同 侧,则下列说法正确的是 C. 若点P满足BP-aBB+aBC,aE[0,1],则DP/平面AB'D' D. 若B,D,A'三点到g的距离分别为1,2,3,则a三/14 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则AE·- 14. 在计算机中,对于有符号整数,定义原码:最高位为符号位,正数的符号位为0,负数的符 号位为1,其余各位用该数绝对值的二进制表示,比如,对于8位二进制表示,十进制数7 的原码是00000111,一7的原码是10000111.定义反码:正数的反码与原码相同;负数的 反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反.例如,7的反码是00000111,-7 的反码是11111000.根据以上定义,已知一个以8位二进制存储的有符号整数,十进制数 为一29,则它的反码是 数学试题 第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列a.满足a1-3,a.1-3a。-2. (1)证明:(a.一1)为等比数列,并求a。)的通项公式; 16.(15分) (1)设点P在C上,若向量O芦与a的夹角为",求点P的坐标; (2)直线/过点(1,0)与C交于A,B两点,若OA十OB与a平行,求/的方程 17.(15分) 为响应国家全民健身号召,某社区举办了一场趣味运动会,其中一项比赛为投篮接力赛 比赛规则如下:每支参赛队伍由3名队员组成,依次进行投篮,第1名队员有3次投篮机会 若3次都未投中,则该队比赛结束,得分为0分;若投中1次,则第2名队员继续投篮,第2名 队员有2次投篮机会,若2次都未投中,则该队比赛结束,得分为5分;若投中1次,则第3名 队员继续投篮,第3名队员只有1次投篮机会,若未投中,该队得10分,投中该队得15分,已 知某队中第1名队员每次投篮投中的概率均为一,第2名队员每次投篮投中的概率均为 {” 第3名队员投中的概率为,各次投篮相互独立.记比赛结束时该队总得分为X. (1)求P(X-15) (2)求X的分布列及数学期望 数学试题 第3页(共4页) 18.(17分) 如图,在三 锥P-ABC中,AP |AB,PC|CB,PC=CB=AP,M为校AC的中点,点 N满足PB-3PN. (1)证明:平面APC1平面MPB; (2)若△ABC是边长为a的等边三角形,求三校锥P-ABC的体积; (3)若MN1MB,求二面角A-PB-C的正弦值 19.(17分) 已知函数f(x)一e一alnx,其中a>0 (1)求曲线y一/(x)在点(1,e)处的切线方程; (2)若f(x)的极小值为e,求a的值; (3)在(2)的条件下,证明:g(x)三f(x)一ex有两个零点 数学试题 第4页(共4页)绝密★启用前 齐鲁名校大联考 .在有用为2，公差为8的等差数列{山。》的任夏相落两顶之间均插入3个敢，被它门和原数 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 列的项一起构成一个新的等整数列6.1，由b。)中的部分项构成等比数列{，，当：。的 看审与公比约最小时，测：，)的肩专明和身 A.18 且.62 C.128 D.254 数学 7,配记△AB的的角A:B:C的对近分群为b,,已短6=3-4：KA=7·点D在边 C上，且AD平分∠H4C,嫌AD的长为 本试在总分150分，考试时同120分钟 注意事项： 43@ 4 月40 《4后 D 49 1.答卷前，考生务必将自己的时名，考生号等填写在答卡和试卷指定位餐， 8.已知而数了(.r-e2一ax一重一1·g(x)-8e一r,且f1)的导函敢了'(x》在区何 之国答量择莲时，豫出每小题答案后，用船笔把答题卡上对应题目的答案标修豫见，如 〔0,1上单国递增，x(x》有两个极值点：集实数的取值范围是 看改动，用橡皮擦干净后，冉选除其雀答案标号。酒答丰选择碰时，将答案写在答题卡上， 可在本试整上无效。 A(,引 司 c.(u.) D,.一g, 3考试桌后，将本试卷和答题卡一并交问 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共书分。在每小题给出的选项中，有多项符合娅日 要求。全郎选对的得石分，部分选对的得部分分，有选皓的得非分。 一，选桶：本蜀共然小题每小题5分，共4相分。在每小题给出的四个选项中，只有一项品 ,已知第合A-{(xy)y=r,B-xy)Jy=x5,若(m)E(An),谢4十0的值可 能为 符合题日要术的。 A.I B.2 C.0 D.-2 1.加曙是2024年1月至的25年1月全国居民消有价格紫段幅关于句比与环比的折线图， 10,已知雨数f(r》=2m21,期 在同比数据中雷期除一个数使其方差更小，则被刷除的数为 A./x)的显小正刚期为育 % 30 技在间[一票-可上单期盗端 每一上。一J化 C士的图象关于直线一一营对称 方程了（女）=一2在区0[一2年.x上的所有根的和为一3x 01-102 1L,在陵长为u的正有体ABCD-A'BCD'中，点A在平面a内，且点B,D,A判在=的同 -0外 侧，则下列说达正确的是 20外 -30 人当。=司时，三设链个BD1外接球的体概为 224年2片3H4H5月6片7片片9片1⊙州11片12H225年 1月 A,-10 H-0,8 C.0,7 10 上兰面角AB0A约正切值为号 二复数十在复平我内对应的点的坐标为】 C若点P满昆BF一aBB+A以，A∈[0,1门，财DP《平面ABD D若B,D,A三点到x的鹿离分别为1,2,3，一可 A.(0,1) k(0,1) C.1,0j D(=1,0) 三、填空愿：本题共3小题，每小愿5分，共15分。 3.已知过点P(2,4)可作圆一1)十y一a的两条切线，则g的取值植围是 I2.杂边长为2的正方形4D中，E,F分调为C,CD的中点，则4正·EF A.(-3c.17) 线(0.17J C,/T7,+o1)(0,173 4,某学校组识杜用情动，有书法，始衡，音乐，舞罩4个社用，要求母位同学至少透怀一个阳 1B已知定义在R上的所数满是下列条件：①/川)-女®2+)-2-)-0， 团参师，且不能同时建择书法和诊群社围，则每位同学的选箱方案共有 A.8种 我9种 C.10种 D11种 ①周象关于么4.e可称则/曾 玉某建筑设计帕设计了一个焦点在y轴上的礼曲线型拱门，支双由线的票近线方程为y 1,在计算机中，对干有符号整数，定义原例：量高位为符号位，正数的符号位为，负数的管 土.将镜拱门在半童00为半标期点)内装特8为税角.则旋转后孩拱门对应双 号位为1，其余各位月该数论对值的二进朝表示.出如，对于8位二进制表示，十进制数 的原号是c0001【。一7的好码是0000111.定义反码：正数的反码与第号相同：负数的 首的离心率为 反写是在其原码的场线上，符号位不变，其余各位取反.例如，7的反码是00011山，一 c n 的反钙是111100，银然以上定又，已知一个以8位二进制存销的有符号整数。十进制散 为一2的.则它的反码是 前学式里第1百（共4百） 酸学试题第：贡引共4蜀1 四，解客题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说阴.证阴过程或清算步骤。 18.17分) 15.(13分) 扣图，在三棱脏PAC中，AP⊥AB,PC⊥CB,PC=CB=AP,M为搜AC的中点，点 已加数列u.满是a一3，a:t一3，一2， N满足PB=3PN, (1》证明：。一1》为等比数列.并求引u.》的通项公式 (1证明：平面APC⊥平直MPH, 但激列，满定6二求伍，的前项和 (2)若△AC是边长为u的等边三角形，求三楼蜂AC的体积： ()若N⊥B,求二自角APBC的正弦值， 1G.〔15分) 已知畅到C,号+y-1.向量。-1，》0为老标点 )设点P在C上，若向量（示与年的表角为求点P的坐标 42》直线/过点(1，o)与C交于A,B两点，若0A十OB与a平行，成1的方数. 19.17分》 已每函数fz)一一anx,其中a>0 (11求由线x一/)在点(1，e》处的切线方程： 17(15分) (2)若f《x)的慢小催为，。的值， 为响应闻家全见能身号召，某杜风异办了一场是账蹈动会，其中一湖比赛为投督接力赛 (3)在(2)的条件下，证明：x(r)=一r有两个零点， 比套现刚如下：每支参赛以伍由3名队员组成，依次进行段蓝第【名以易有寻次数篇惧会， 若3赏常未投中，别该队比赛站束，得分为0分：若授中1次，第2名从员健铁投置，第2名 队员有2改投蓝机会，若2次都未授中，侧废队比密姑束，视分为5分：若投中1次，喇第3名 页继续投整，帝3者队员只有1次投整机合，若末授中，该说得1山分，段中该识得5分已 知某队中第1名队员每次投管投中的厦率均为，第2名队贝每次投直投中的题率均为： 第3名队员投中的复率为亏，各次投蓝相互鞋这，记比赛结束时该以总得分为X.。 1》求P(X=5): (2》求X的分有列及数学期业， 数学试是第3贡1共页引 数学试理规4面（共4面】 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· 叁春答案及解折 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测·数学 一、选择题 1.B【解析】由同比折线图可知数据一0.8偏离 2csin∠BAC=b·ADsin∠CAD+2c· 整体数据较远，所以应剔除该数 2.A【解析】因为 +P@1+i(1+i) ADsin∠BAD.即号×3X4×4-号X3X 72 1-i1-i(1-D(1+iD 1 4DX212×4×AD￥y② ,解得 i,所以其在复平面内对应的点的坐标为(0,1). 7 3.D【解析】由题意知点P(2,4)在圆(x-1)十 AD= 48v7 49 y2=a外，且a>0,所以(2-1)2十4>a,即a< 8.B【解析】f'(x)=e-2ax-1,令h(x)= 17,所以0<a<17. e-2a.x-1,则h'(.x)=e-2a.因为f'(.x)在 4.D【解析】由题意知每位同学选择1个社团有 区间[0,1]上单调递增，所以h'(x)≥0在区间 C=4种选法，选择2个社团有C号+CC=5种 [0,1]上恒成立.当x∈[0,1]时，由h'(x)= 选法，选择3个社团有C=2种选法，所以共有 c一2a≥0，得2a≤e恒成立，所以2a≤1，即 4十5+2=11种选择方案. 5.C【解析】由题意知旋转0前，该拱门对应双 a≤2因为g(x)=ae-x,所以g'(x)= 曲线的新近线方程为y=士子，得号-子因 ae一2x.由g(x)有两个极值点，得ae一 2.x=0有两个不同的实数解，即直线y=a与 为c=g+6,所以e=后=号面旋转不改变 曲线g(x)=芒有两个交点而，(x)= 双曲线离心率的大小，故旋转后该拱门对应的 21-）,所以当x<1时9'(x)>09(x)单 e 双尚线的离心率仍为 调递增：当x>1时，p‘(x)<0,9(x)单调递 6.C【解析】设数列{bn}的公差为d,由题意可 减，放g）=g1=总面当十时， 知b1=a1,b:=a2,则b5一b1=a2一a1=8.因 (x)→0，当x→一∞时，(.x)→一oo,作出 为bs一b1=4d,所以4d=8,解得d=2,所以 (x)的大致图象，如图.若直线y=a与曲线 b.=2+(n一1)×2=2n,所以首项与公比均最 小的等比数列{c}的首项为2，公比为2，其通项 px)-2有两个交点，则0<a<是.综上，0< 公式为c,=2”,所以前6项和为21一2) 1-2 =126. 7.D【解析】在△ABC中，由c0s∠BAC= 2. x)= 23 得sin∠BAC=45.又os∠BAC=1 2sin∠BAD,则sin∠BAD=sin∠CAD= 因为Sam=Sm+Sa:所以 ·数学· 参考答案及解析 二、选择题 A∈[0,1门，得点P在线段BC'上.易得B'D'∥ 9.BCD【解析】联立 (y= 得 或 BD,因为B'D'丈平面BC'D,BDC平面BCD, y=3, y=-1, 所以B'D'∥平面BC'D,同理可得AD'∥ x=0, 平面BCD.因为AD',B'D'C平面AD'B',且 所以a十b的值可能为一2， y=0,y=1. AD'∩B'D'=D',所以平面AB'D'∥平面 0,2. BC'D.又DPC平面BC'D,所以DP∥平面 10.ABD【解析】对于A,f(x)的最小正周期为 ABD',故C正确.对于D,以A为坐标原点 =放A正确：对于B.令2k元一元≤2x了 AB,AD,AA'所在直线分别为x,y,轴，建 立空间直角坐标系，则B(a,0,0),D(0,a, 2张，k∈Z.得m-<x<k,k∈Z令k= 0),A'(0,0,a),所以AB=(a,0,0),AD= -1,得-3≤x<-x,故B正确：对于C, (0,a,0),AA-(0,0,a).设B,D,A'三点到 平面a的距离分别为dg,dp,d',平面a的 /(-)=2co(-)-1=0,故C错误：对 法向量为n=(xy,则dn=n·A n 2,所以 于D,由f(x)=-2,得cos2x=- lax VaFyF F=1①，d。=n:Ai n 2x=- 2元 37+2k元或2x三3十2k元，k∈Z,即 ayl =2 ②，da'=n·AA n 重=一答十x或x=吾十长x,k∈五因为x气 Vr+y az =3 ③.由①②得ax=1 [-2,x],所以x的取值分别为-5x,-4红 Vr+y 3· 3 受。一吾营行则所有：的取值之和为 则=r:由①@得-号则产=9r 所以 ar 一3π，故D正确. √x2+4x+9x =1，所以ax =1 V1z 11,ACD【解析】对于A,三棱锥A-BDA'外接 球的直径长即为正方体的体对角线长，所以 所以a =1.又a>0,所以a=√14，故D 14 由a=1,得正方体的体对角线长为5，所以 正确. 外接球半径R-复，所以外接球体积V 三、填空题 12.一1【解析】连接BD,由题意得A正=AB+ 言R-言)-，故A正确，对于B, 庞=A+2BC=A+2A.成=2D 设AC与BD的交点为O,连接OA',易知 OA'⊥BD,OA⊥BD,所以∠A'OA为二面角 2(A-A店.所以正·床=2(+ A-BD-A的平面角.在Rt△A'OA中，易知 2A)·市-A)=(-A)因 、OA=2a.所以an∠A'OA=OA2 为正方形ABCD的边长为2，所以AD 2,故B错误对于C,由BP=ABB+ABC, =4,所以正·成=2×(2×4-)=-， ·2· 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· 13. 2【解析】由f(2十x)-f(2-x)=0,得 16. 解：1设Py.则+g=10. f(x)的图象关于直线x=2对称.又f(x)的 OP=(xo,yo). 图象关于点(4,0)对称，所以8是f(x)的 op·a 个周期.又在f(2十x)一f(2-x)=0中，令 由题意得 cos OPllal 4 =音得()-（号）=0.所以() 即一 zo+yo 2 +·2 2' (号)-2，放(9)=(g+4×8) 则x。=0或ya=0,且x。十y。>0②.(4分) (9)-2 由①②得2=0 或r=3, yo=1,yo=0, 14.11100010【解析】因为29的二进制数是 11101,所以8位二进制表示29，前面补0，得 所以点P的坐标为(0,1)或(3,0).(6分) 到00011101.又因为是一29，所以符号位变为 (2)(1)当1的斜率不存在时，不符合题意. 1,所以得到一29的原码是10011101.而-29 (7分) 的反码的符号位不变，还是1，其余各位取反， (i)设A(x1y1).B(x:y),1的斜率为k, 0变1,1变0，从而得到反码为11100010. 当k=0时，OA+OB=0,与a平行，符合题意： 四、解答题 (8分) 15.(1)证明：因为am+1=3a。一2， 当k≠0时，则1的方程为y=k(x一1). 所以am+1-1=3(am-1),且a1一1=2， x 所以{a。一1}是以2为首项，3为公比的等比 联立 +y=1, 得(1+3k2)x2一6k2x+ 数列， (2分) y=k(.x-1), 所以am-1=2·3"-1, (3分) 3k2-3=0, 故a.=2·3"-1十1. (4分) 6k2 则△>0，且x1十x:= (2)解：由1)知b=2·37 1+3k2'y1十yg= (5分) 2k 所以不，=6+h+…+a,=(得+号 (11分) k(x1+x:-2)= …十 1+3k2 因为向量OA+OB=(x1十x4,y1十y:)与a (6分) 平行， 所以.-(+号++g+ 所以十=1，即2 x1十x2 1,解得=一骨 (7分) (13分) 所以号.-+++…+ 3-3 所以1的方程为y=一3（红-1D.即x+3y 1=0. 综上，1的方程为y=0或x+3y一1=0. 1 (15分) 3 17.解：(1)要使最终得分为15分，需要第1名队 32n+3 44·3" (12分) 员投篮投中1次，第2名队员投篮投中1次， 故工，=名和品 且第3名队员投篮1次投中， (13分) ①第1名队员投篮投中1次的概率为P,= ·3· ·数学· 参考答案及解析 1111117 2+2×2十2×2×2=8，它的对立事 因为MP,MBC平面MPB,MP∩MB=M, 所以AC⊥平面MPB. 件是3次都未投中，其概率为×号×宁 又ACC平面APC, 所以平面APC⊥平面MPB. (4分) (2分) (2)解：因为△ABC是边长为a的等边三 ②第2名队员投篮投中1次的概率为P:= 角形， 号+号×号-器它的对立事件是2次都未 所以MB= 2. 投中，其概率为号×号-后 (4分) 由已知及1得MP-,PB=a,6分) ③第3名队员投篮1次投中的概率P,= 5 在△MPB中，由余弦定理，得PB=MB”+ (5分) MP-2MB·MP cos.∠PMB, 因为各次投篮相互独立， 即2a2=2× 3 a-2 acos∠PMB, 所以PX=15)=PP,P=×2×-头 8×25×7-40 所以cos∠PMB=- 3 (7分) (2)由题意得X的所有可能取值为0,5， 所以sin∠PMB=22 10,15, 则P(X=0)= 所以S△m= 8 又由(1)知AC⊥平面MPB, 7、47 P(X=5)=8×2550' 所以V=酸PAm 3Sa·AC= 12a P0X=1o)×器×号器 25 (8分) 1 (3)解：因为AC⊥平面MPB,MNC平面 p(X=15)=40 (11分) MPB,所以AC⊥MN. 所以X的分布列为 又MN⊥MB, 所以MA,MB,MN两两垂直. X 0 5 10 15 以M为坐标原点，MA,MB,MN所在直线 7 21 21 分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间 8 50 100 40 直角坐标系. (13分) 故E(X)=0X 8+5 50+10 21 +15× 100 21427 4040 (15分) 18.(1)证明：因为AP⊥AB,PC⊥CB, 所以PB=AP2十AB=PC2+CB. 又PC=CB=AP,所以AB=CB.(1分) 因为M为棱AC的中点，所以MB⊥AC. 又PC=AP,所以MP⊥AC. (2分) 设MA=x,MB=y,MN=,则M(0,0,0), ·4· 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· A(x,0,0),B(0,y,0),N(0,0,x),C(-x, 0,0). 所以sin0=22 因为P店=3P,所以P(0,-之，)。 故二面角APBC的正弦值为22 (17分) (10分) 19.(1)解：由f(x)=e-alnx,得f'(x)=e- A萨-(-之2)A店=(-y0, a (2分) 由AP=AB,得(-)+(-)+() 所以f'(1)=e一a, (3分) 所以曲线y=f(x)在点(1，e)处的切线方程 (-x)+y2,解得y=√3：. 为y-e=(e-a)(x-1), 由AP⊥AB,得AP.A店=x-=0, 即(e-a)x-y+a=0. (4分) (2)解：f(x)的定义域为(0，+o∞)，'(x)= 即x= 2 e-a_xe'-a 不妨令y=√6，则x=5,x=√2， 令h(.x)=xe-a,则h'(x)=(x+1)e. 当x∈(0，+○)时，h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以Po,-)45,6.0.B0 (5分) 6,0).C(-3,0,0) 又h(0)=-a<0,h(a)=a(e-1)>0, 所以存在x。∈(0，a),使得h(xm)=0,即 则-o-863 22 ）.BC=(-3,-6,0), x。eg=a. 当0<x<x。时，h(x)<0,即'(x)<0, B=3,-6,0). (13分) f(x)单调递减： 设平面PAB的法向量为n=(x1,y1·1), 当x>x。时，h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单 BP.n=0. 3V 3w2 2y+21=0, 调递增， 即 BA·n=0, 所以f(x)的极小值为f(xo)=e一aln ro= w3x1-√6y:=0. eo-roe'oIn to=e, (7分) 令y1=1,得x1=√2,2=3，所以平面PAB 即e'-1(1-Zoln to)=1. 的一个法向量为n=(2,1,3) 令s(x)=e1(1-xlnx), 设平面PBC的法向量为m=(x,y:,z2), 则s'(x)=-e1(1十x)nx 36 32 当x∈(0,1)时，s'(x)>0,s(x)单调递增： BP·m=0, 即 23y+ 22=0, 当x∈(1，十∞)时，s'(x)<0,s(x)单调递减， BC·m=0, -√3xg-6y2=0. (10分) 所以s(x）x=s(1)=1, 令y2=1,得x:=一√2,2=3，所以平面 所以s(x)=1有唯一解x=1, PBC的一个法向量为m=(一√2,1.W3). 即xo=1,则a=e (I分) (15分) (3)证明：由(2)可知a=e,所以g(:x)=e 设二面角A-PB-C的平面角为0， elnx-ex,定义域为(0，+oo), 则|cos0|=|cos〈n,m〉|= n·m nm 则g'(x)=e--e=e-1+) 1-2+1+311 (W2)2+1+(3)23 令r)=e-d1+）x>0. ·5· ·数学· 参考答案及解析 则1x)=e+>0. 又g(1)=0,所以g(x1)<0. 又当x趋近于0时，g(x)趋近于十©， 所以1(x)在区间(0，十∞)上单调递增， 故x=1是g(x)的一个零点，即g(x)在区间 即g'(x)在区间(0，十∞)上单调递增. (0,x1)上存在唯一的零点x=1.(14分) (12分) 又g(3)=e3-eln3-3e>e3-2e-3e=(e2 又g'1=-e<0g2)=e-登>0，当r 5)e>0, 所以g(x)在区间(x1,3)上存在唯一的零点 趋近于0时，g'(x)趋近于一∞，当x趋近于 a,使得g(a)=0, +∞时，g'(x)趋近于+∞， 故g(x)在区间(x1,十©)上存在唯一的零点. 所以g'(.x)连续，且从一∞递增至十∞，存在 (16分) 唯一的x1∈(1,2)，使得g'(x1)=0, 综上，g(x)有两个零点。 (17分) 故g(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间 (x1,十∞)上单调递增. ·62025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学. 参考管宗及解析 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测·数学 一、选择题 1. B【解析】由同比折线图可知数据一0.8偏离 整体数据较远,所以应剔除该数 1 ADsin BAD,即 2 7= -X3X 21 ADx 7,解得 i.所以其在复平面内对应的点的坐标为(0.1) 3. D【解析】由题意知点P(2,4)在圆(x-1)十 AD48、7 49· y=a外,且a>0,所以(2-1)②+4>a,即a< 8. B【解析】f'(x)=e{-2ax-1,令h(x)= 17,所以0<a17. e-2ax-1,则h'(x)=e-2a.因为f'(x)在 4. D【解析】由题意知每位同学选择1个社团有 区间[0,1]上单调递增,所以h'(x)>0在区间 C=4种选法,选择2个社团有C+CC-5种 [0,1]上恒成立,当x[0,1]时,由'(x) 选法,选择3个社团有C一2种选法,所以共有 e-2a>0,得2a<e*恒成立,所以2a<1,即 4+5+2-11种选择方案 a<.因为g(z)-ae-x*,所以g'(c)一 5.C【解析】由题意知旋转θ前,该拱门对应双 ae一2x.由g(x)有两个极值点,得ae一 2x=0有两个不同的实数解,即直线y=a与 曲线(x)一 2(1-x) 双曲线离心率的大小,故旋转后该拱门对应的 ,所以当x<1时,。(x)>0,(x)单 双曲线的离心率仍为 {。2 调递增;当x>1时,(x)<0,(x)单调递 6.C【解析】设数列(。)的公差为d,由题意可 减,故(x)mx-(1)- 知b=aì,b=a,则b-b.=a-a-8.因 (x)→0,当x→-co时,(x)→-co,作出 为b-b.-4d,所以4d-8,解得d-2,所以 c(x)的大致图象,如图,若直线y一a与曲线 b.=2+(n-1)×2-2n,所以首项与公比均最 小的等比数列c.)的首项为2,公比为2,其通项 1-2 2sin{} BAD,则sin BAD=sin CAD= 21 一.因为S△Anc-S△cAp十S△BAp,所以 7 ·数学. 参考答案及解析 二、选择题 aE[0,1],得点P在线段BC'上.易得B'D'/ 9.BCD【解析】联立{ BD.因为B'D'C平面BC'D,BDC平面BCD 所以B'D'//平面BC'D,同理可得AD'/ 平面BC'D.因为AD',B'D'C平面AD'B',且 AD'OB'D'-D',所以平面AB'D/平面 0,2. BC'D.又DPC平面BC'D,所以DP/平面 10. ABD【解析】对于A,f(x)的最小正周期为 AB'D',故C正确.对于D,以A为坐标原点 AB,AD,AA所在直线分别为x,y,z轴,建 立空间直角坐标系,则B(a,0,0),D(0,a, 0),A'(0,0,a),所以AB-(a,0,0),AD (0,a,0),AA'=(0,0,a).设B,D,A'三点到 平面a的距离分别为dn,dp,d',平面a的 (一)-2cos(--)-1-0,故C错误;对 ln 于D,由f(x)--2,得cos 2x=-1 2,所以 laxl -1 ①,dn.AD 十y十2} 2+2kn,kz,即 n 2-+2kn或2x 2r=一 layl ) _-2 2 ②,d'_n.AA) x*十y十2效} n 2-- laz laxl1 -3 ③.由①②得 5π 4r r十y{十z{} lay2 [一2x,x],所以x的取值分别为一 2π (2π 则-4x:由①③得 axl-1, lax 所以一 _-1,所以一 -3n,故D正确. g*+4x+9x* 14lxl 11. ACD【解析】对于A,三校锥A-BDA'外接 lal 所以一 -1.又a>0,所以a-v14,故D 球的直径长即为正方体的体对角线长,所以 14 由a三1,得正方体的体对角线长为、3,所以 正确. 3 外接球半径R一 三、填空题 12.-1【解析】连接BD,由题意得AE一AB+ B$A+B-AB+A,F-BD= 设AC与BD的交点为O,连接OA',易知 OA'1.BD,OA1.BD,所以 A'OA为二面角 A'-BD-A的平面角.在Rt△A'OA中,易知 4A)·(A-AB)-(-A),因 #4_ OA ## 为正方形ABCD的边长为2,所以AD一 AB:-_4,所以A·-#×(#4)--1. ②,故B错误,对于C.由BP-&BB+BC。1 .2. 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学· 【解析】由f(2十x)一f(2一x)=0,得 13. ①. f(x)的图象关于直线x一2对称,又f(x)的 p-(x。,y。). 图象关于点(4,0)对称,所以8是f(x)的一 由题意得- r 个周期.又在f(2十x)一f(2-x)=0中,令 loP|a -,得()()0,所以()一 x。+y。2 即一 #(#)-,故/(10-/(0+4×8)- ##x+·22, 则x。-0或y。-0,且x。+y。o ②.(4分) ##1-#<# 。-1, y。-0, 14.11100010【解析】因为29的二进制数是 所以点P的坐标为(0,1)或(③,0) (6分) 11101,所以8位二进制表示29,前面补0,得 到00011101.又因为是一29,所以符号位变为 (2)(1)当/的斜率不存在时,不符合题意 1,所以得到-29的原码是10011101.而-29 (7分) 的反码的符号位不变,还是1,其余各位取反, (lI)设A(x·y),B(x,y),l的斜率为 0变1,1变0,从而得到反码为11100010. 当-0时,OA+OB-0,与a平行,符合题意; 四、解答题 (8分) 15.(1)证明:因为a.,-3a。-2, 当k字0时,则l的方程为y一k(x-1) 所以a +-1=3(a。-1),且a-1=2, 所以a。一1)是以2为首项,3为公比的等比 得(1十3^*})x②-6^{x+ 数列, (2分) -(v-1), 所以a.-1-2·3-1. (3分) 3^-3-0, 故a。-2·3-1+1. (4分) #6^2} 则△>0,且x1十x= (5分) 1+3·:+= (11分) 1+3 因为向量OA+OB=(x.+x,y+y)与a ) (6分) 平行, 以1-() x.十x。 3. (13分) (7分) -{1+}+0) “ 所以1的方程为y=一 1-0. 综上,1的方程为y=0或x+3y-1-0. (15分) -32n+3 17. 解:(1)要使最终得分为15分,需要第1名队 (12分) 44·3' 员投篮投中1次,第2名队员投篮投中1次 9 2n+3 且第3名队员投篮1次投中 故T。 88·3-· (13分) ①第1名队员投篮投中1次的概率为P .3. ·数学. 参考答案及解析 ,它的对立事 因为MP,MBC平面MPB,MPOMB=M, 所以AC1平面MPB. 又ACC平面APC. 8 所以平面APC1平面MPB. (4分) (2分) (2)解:因为△ABC是边长为a的等边三 ②第2名队员投篮投中1次的概率为P。- 行 角形, 5 所以MB-# 2. 2 (4分) #2a, PB一v2a,(6分) ③第3名队员投篮1次投中的概率P。= 在△MPB中,由余弦定理,得PB{*}=MB^{*+$ (5分) MP:-2MB·MPcos PMB 因为各次投篮相互独立 即2^*-2×3。 所以cosPMB-- 3. (7分) (2)由题意得X的所有可能取值为0,5, 所以sin PMB22 3, 10,15. #)## 则P(X-0)- 1 8' ##7 又由(1)知AC1平面MPB, P(X-5)-- 所以V三梳笔PABC-- 一#行 2 212 21 P(X-10)- (8分) 21 (3)解:因为AC1平面MPB,MNC平面 P(X-15)- 40 (11分) MPB,所以ACIMN. 所以X的分布列为 又MN 1MB, (2{1 x 所以MA,MB,MN两两垂直. 0 5 10 以M为坐标原点,MA,MB,MN所在直线 ~1 01 P 分别为x轴、v轴、z轴,建立如图所示的空间 直角坐标系 (13分) 1 .7 +10× 21 故E(X)-0×- #。+5× 50 100+15× 21427 4040 (15分) 18. (1)证明:因为AP |AB,PC | CB, 所以$PB^{}=AP^{+AB^{$=PC^{*}+CB^{}$$$ 又PC=CB=AP,所以AB=CB. (1分) 因为M为梭AC的中点,所以MB |AC 又PC=AP,所以MPIAC. (2分)1 设MA=x,MB=y,MN-,则M(0,0,0) .4. 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 ·数学. A(x,0,0),B(0,y,0),N(0,0,z),C(-x, 所以sin922 0,0). 3~ 因为PB-3PN,所以P(o-3). 故二面角A-PB-C的正弦值为{-2 22 (17分) (10分) 19.(1)解;由f(x)=e-alnx,得f'(x)=e- p-(--3-)AB一(-x y). (2分) 所以f'(1)-e-a, 由AP=AB,得(一-)2+(一-){}(3{)}- (3分) 所以曲线y=f(x)在点(1,e)处的切线方程 (一x)十y”,解得y-3z. 为y-e=(e-a)(x-1). 即(e-a)x-y+a-0. 由APLAB,得AP·A--:-2 (4分) (2)解:f(x)的定义域为(0,十oo),f'(x)= & 2 不妨令y=6,则x-③,-② 令h(x)=xe-a,则h'(x)=(x+1)e. 当xE(0,+oo)时,h'(x)>0,h(x)单调递增 (5分) 6,o),C(-3,o,0). 又h(0)=-a<o,h(a)=a(e*-1)>0, 所以存在x。E(0,a),使得h(x。)=0,即 x。e。-a. 当0<x<x。时,h(x)<0,即f'(x)<0. B-(3,-6,0). (13分) f(x)单调递减; 设平面PAB的法向量为n=(x1,y,z), 当x>x。时,h(x)>0,即f'(x)>0,f(x)单 BP.n-0, 32 调递增, 即 2~-0, 所以f(x)的极小值为f(x。)=e。-alnx。= 3x.-6y:-0. e。-x。e。lnx。-e, (7分) 令y=1,得x-②,-3,所以平面PAB$ 即e。-1(1-x。lnx。)-1. 的一个法向量为n=(②,1.3). 令s(x)-e*-1(1-xlnx), 设平面PBC的法向量为m=(x。,y,z), 则s'(x)--er-1(1+x)lnx. [36 3#} BP.m-0. 当x(0,1)时,s'(x)>0,s(x)单调递增; 2-0 则 '即{ 当x(1,+oo)时,s'(x)<0,s(x)单调递减. -③x-6y-0. (10分) 所以s(x)=s(1)-1 令y。=1,得x。=-v2,z=③,所以平面$ 所以s(x)=1有唯一解x=1, PBC的一个法向量为m=(-②,1,3) 即x。=1,则a=e. (11分) (15分) (3)证明:由(2)可知a=e,所以g(x)=e- 设二面角A-PB-C的平面角为A, elnx一ex,定义域为(0,十o), In||m 1-2+1+31 (\2)*+12+(3):-3’ .5. ·数学. 参考答案及解析 又g(1)=0,所以g(x)<0 又当x趋近于0时,g(x)趋近于十oo, 所以t(x)在区间(0,十)上单调递增, 故x=1是g(x)的一个零点,即g(x)在区间 即g'(x)在区间(0,十q)上单调递增 (0,x)上存在唯一的零点x=1. (14分) (12分) 又g(3)-e3-eln3-3e>e3-2e-3e-(e- 5)e>0. 所以g(x)在区间(x,3)上存在唯一的零点 趋近于0时,g(x)趋近于一oo,当x趋近于 a,使得g(a)-0, 十oo时,g'(x)趋近于十o. 故g(x)在区间(x,十)上存在唯一的零点. 所以g(x)连续,且从一递增至十,存在 (16分) 唯一的x(1,2),使得g'(x)=0, 综上,g(x)有两个零点 (17分) 故g(x)在区间(0,x)上单调递减,在区间 (x1,十)上单调递增 .6.绝密★启用前 齐鲁名校大联考 6.在青项为2，公差为8的等差数列{仙，}的任意相隔两项之间均插人3个数，使它们和原数 2025届山东省高三第八次学业水平联合检测 列的项一起构成一个新的等差数列{6。)，由5，》中的部分项构成等比数列，}，当.》的 首项与公比均最小时.则，》的前6蜀和为 A.42 且.62 C.126 D.254 数学 7,记△ABC的内角A,B,C的对边分判为年b,r,已妇6=3c=csA=7·点D在边 C上，且AD平分∠B4C,赚AD的长为 本试秘总分150分，考试时同120分钟 注意率项： A32 81a C.5 n 1答卷前，考生务经将自己的姓名，考生号等填写在客题卡和试卷指定位置。 8.已知函数∫(x》一e一8x一正一1，g(x)-8e一x,且f(x)的导函数广《x)在区间 之国答选择道时，逢出每小题答案后，用船笔把容题卡上对应题日的答案标号豫黑，如 0,门上单调递地：x(x)有两个极值点，则实数的取值范围是 图改动，用橡皮擦干净后，再选其雀答案标号，国答丰选择题时，将答案对在答题卡上， o,引 且0， (, D.(-oe,e] 写在衣试整上无效 3,考试结桌后，将本以岳和苍题卡一管交同 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题日 要求。全部站对的得6分，部分港对的得部分分，有选蜡的得非分。 一，选播丽：本题共等小要，每小题5分，共40分。在每小题给出的因个选项中，只有一项星 9,已知第合A-(xy)ly-x,B-I(x,y)ly-x'》,若(a,b)∈(A∩B),期a+b的值可 衡为 蒋合题日要术的。 A,4 B.2 C.0 D.-2 1.如图是2024年1月至2025年1月全线居昆用良接格漆数幅关于同比与环比的岳线图： 10,已知两数j(x》=2c0w2x一1，则 在同比数基中雷测除个数使其方差更小，则被队除的数为 Af〔x)的最小正周期为育 1 30 Rf)在区[-经-上单测盏端 2 一。比。一环比 10 C:的图象关于直线上=一对称 1九.方程f(x)=一2在区闻[一2x,x上的所有限的和为一3x 11.在棱长为a的正方体ABCD-A'B'CD'中，点A在平面x内，且点B,D,A均在的同 -10叶0 侧，则下列说达正确的是 -20 人当e-1时，三校维个DΛ'外接球的体积为受 204年2月314月5月6月7月等月9月10月11月12月225年 月 1月 A.-1,0 H-Q,8 c.0.7 D.1,0 五二面角A5DA的正切值为号 二复数生二在复平面内对应的点的坐标为 C若点P满足B币-aBB+AC,A∈[o,1,则DP∥平面ABD D.若B,D.A'三点到x的距真分湖为1,2,3，则a- A.0,1) 我(0，-1) D.(-1,0j 三，填空题：本题其5小露，每小题5分，其5分。 3.已知过点P(24)可作因(x一1)十y=日的两条切线，则a的收值花围是 12.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点.则A正，E下- A.〔-9,17) B(0,1万] C.〔，/17，+o)(0,17) 4.某学校组饥社团活动，有书法，绘调，音乐，舞量4个社团，要米每位可学至少透择一个社 1品.已知定义在R上的函数fx)情是下列条件：①f()=@f2+:)一f2-x)=0: 逝参加，且不能国时选择书法每绘同社团，图每位句学的选择方案共有 A.8种 玉9种 C、10种 D11种 ①用象关于点.0)对称，测9- 玉某建筑设计简设计了一个集点在y轴上的双雄线型拱门，黄汉确线的常近线方程为y 14,在计算机中，对于有符号整数，定义原码：最高位为符号位，正数的符号位为0，鱼数的符 土是x,将该提门在平面(0为坐标原点)内胞转8为臣角).则腹转后慎拱门时度双 号位为1，其余各位用该数论对值的二进解表示.比起，对于8位二进制表示，十进制数7 的原写是0000111，一7约原码是10000111，定义反码：正数的反码与联码相同：鱼数的 黄鳗的离（心率为 反同是在其厚码的琴上，符号位不度，其余各位取反例加，7的反母是00000111，一 业ua c号 n 的反钙是11111000，银居以上定文.已知一个以8位二进制存储的有符号整数，十进制数 为一2努，则它的反码是 ■学试题第1百（共4页） 酸学试用第2贡引共4图引 四，解篝题：本题共5小题，共77分。解答虚写出文学说明，证明过程或演算步骤。 18.《17分) 15.(13分) 如图，在三棱脏PAC中，AP⊥AB.PC⊥CB,PC=CB=AP,M为棱AC的中点，点 已如数列{a,}满是4，=3，d.+1=3.一2. N湖足P面=3PN (I》证明：a。一1》为等比数列，并求日.)的通项公式 (1)旺明：平面APC⊥平指MPB: 2数列6，满足6=。二气求，)的前：项和下 (2)若△ABC是边长为4的等边三角形，求三碳雄AC的体积： ()若MN⊥MB,求二面角A-PBC的正弦值. 16.(15分) 巳知箱圆C号+y-.向量4-1，，0为坐标源点 )设点P在C上，香向量O币与：的无角为，求点P的坠标： (2)直线1过点1,0)与C交于A,B两点，若OA+O用与a学行，漂1的方程 19.17分) 已每函数f《x)=一lnx,其中a>0 (1)采由线y=/x)在点(1，e》处的切线方程： 17.(15分) ()若f(x)的极小值为e,求g的值， 为响应爵家全民蕾身号召，某社区塔办了一·畅是账品动会，其中一罩比赛为投营接力赛 (3)在(2)的条件下，证明：g(士》一（士》一e士有两个零点， 比赛规则如下：每支参赛队伍由3名队员阻成，依次送行段蓝第1名从员有3次段篮机会， 若3文都米投中，期该队比赛结束，得分为0分：若授中1次，则第2名风员壁续投赞，第2名 从员有2次投技机会，若2次靠末授中，则该队比荐结束，得分为5分：若投中1改，刚第3名 队员继续投资.箭3名从员只有1次段餐机会，若术授中，孩队得10分，段中该风得15分.已 知某飘中第1名队员每汝投管投中的度率均为号，第2名队员每次投管投中的餐率当为 第3名队员投中的复率为，，各次投篮相互独立，记比赛结束时该队总得分为X, (1》求P(X-15), (2)求X的分有列及数学期量， 整￥试层第1蜀引共4万1 登学试题原4面（共4图】