压轴专题11 等差等比综合归类（10大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题11 等差等比综合性质 总论： 1．等差数列常用结论： 若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak； (2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列； (3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列； (4)数列{}是公差为的等差数列，其通项公式＝n＋； 3．等差数列与函数关系： (1) an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)； (2)Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 4.等比数列与函数关系： 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 2．等比数列常用结论： 若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 等比数列“高斯技巧” （1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，容易漏掉对的讨论. 4.等比数列与函数关系： 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 压轴题型一：等差等比“纠缠数列” √满分技法 等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。 1．若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正项等差数列和正项等比数列，，是的等差中项，是的等比中项，则下列关系肯定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ） A． B． C． D． 5．已知、 ，A是、 的等差中项，G是、 的等比中项，则（ ） A． B． C．ab≤∣AG∣ D．ab>∣AG∣ 压轴题型二：等差数列“等距”性质 √满分技法 等差数列“等距”性质 若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则 ，…仍是等差数列，公差为． 4.，…也成等差数列，公差为． 1．已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．设等差数列前项和为，若，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 3．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．0 D．12 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．120 5．等差数列中，已知，则的前10项和等于（    ） A．36 B．30 C．20 D．18 压轴题型三： 等比数列“等距”性质 √满分技法 等比数列“等距”性质： （1）“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； （2）“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. （3）“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（   ） A．1 B． C． D． 3．在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 4．在递增等比数列中，，且，则该数列的公比为（    ） A． B．2 C．3 D．6 5．已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 压轴题型四：等差数列奇偶型 √满分技法 设数列是等差数列，且公差为， （1） 若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （2） 若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 1 ．已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（       ） A．300 B．298 C．296 D．294 2．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 3．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 4．已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为 A． B． C． D． 5．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 压轴题型五：等差等比数列函数性及最值 √满分技法 在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则. 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．6或7 D．5或7 2．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 3．数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 4．已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 5．已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（   ） A． B． C． D． 轴题型六：等差数列“正负不等式”型 √满分技法 在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．使得成立的最小自然数是20 C． D． 2．已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 4．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 5．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 压轴题型七：等比数列“平衡点”不等式型 √满分技法 等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an. 1．设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 2．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 3．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于198 4．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 5．已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 压轴题型八：等差“中项”比值型 1．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（      ） A． B． C．1 D． 5．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 压轴题型九：恒成立求参型 1．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．己知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 压轴题型十： 插入数构造二阶等差等比型 √满分技法 插入数型 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2. 插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3. 插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 1．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 2．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（    ） A．1095 B．3282 C．6294 D．9843 3．将等比数列按顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到数列：，，，，，，，，，，…，数列的前项和为．若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 5．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题11 等差等比综合性质 总论： 1．等差数列常用结论： 若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak； (2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列； (3)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列； (4)数列{}是公差为的等差数列，其通项公式＝n＋； 3．等差数列与函数关系： (1) an＝dn＋(a1－d)，则数列{an}是等差数列⇔ 通项an为一次函数：即an＝kn＋b (a、b为常数)； (2)Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列⇔Sn为无常数项的二次函数：即Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 4.等比数列与函数关系： 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 2．等比数列常用结论： 若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 等比数列“高斯技巧” （1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，容易漏掉对的讨论. 4.等比数列与函数关系： 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 压轴题型一：等差等比“纠缠数列” √满分技法 等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。 1．若 分别是与的等差中项和等比中项， 则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得 ，，然后结合同角三角函数的关系，以及恒等变换公式化简，即可得到结果. 【详解】依题意可得 ，， 且， 所以，即， 解得 又因为，所以， 所以 故选:A 2．已知正项等差数列和正项等比数列，，是的等差中项，是的等比中项，则下列关系肯定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据条件建立方程组，求解基本量公差、公比，再根据通项公式依次判断选项即可. 【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为，且， 由是的等差中项，得， 则有，化简得①， 由是的等比中项，得， 又已知正项等差数列和正项等比数列， 所以，则有②， 联立①②解方程组得，（舍去），或，或. 故，或. 当时，可知AC错误，BD成立； 当，时， ，，故D错误. 又，B也成立， 故选：B. 3．是公比不为1的等比数列的前n项和，是和的等差中项，是和的等比中项，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是和的等差中项，可得，又由是和的等比中项，同时令，得，由此即可得到本题答案. 【详解】设的公比为，由于， 所以，，， 又是和的等差中项，所以， 即， 化简得， 由于，所以，， 所以， ， ， 因为是和的等比中项， 所以， 即， 所以，令， 则， 当，即时，取得最大值，最大值为. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题. 4．已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，A是a、b的等差中项，正数G是a、b的等比中项， ∴， ∴， 故选D． 5．已知、 ，A是、 的等差中项，G是、 的等比中项，则（ ） A． B． C．ab≤∣AG∣ D．ab>∣AG∣ 【答案】C 【分析】由等差中项和等比中项的概念把A和G用含有a，b的代数式表示，然后利用基本不等式可得结论． 【详解】∵a＞0，b＞0，且A是a，b的等差中项，G是a，b的等比中项， ∴A=，G=±． 由基本不等式可得：|AG|=•≥ab． 故选C． 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差中项和等比中项的概念，考查了利用基本不等式比较大小，属于基础题． 压轴题型二：等差数列“等距”性质 √满分技法 等差数列“等距”性质 若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则 ，…仍是等差数列，公差为． 4.，…也成等差数列，公差为． 1．已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及平均值求法得均值为，再应用方差公式求方差即可. 【详解】由题设， 所以 . 故选：C 2．设等差数列前项和为，若，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】利用等差数列的下标性质即可. 【详解】由题意可知， 则， 则. 故选：C. 3．已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A． B． C．0 D．12 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，以及前项和公式，结合已知条件，计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，故两式作差可得：，即，； 又，故. 故选：B. 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．96 C．106 D．120 【答案】B 【分析】先由题设结合等差数列下标和性质得，再结合等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】由题得， 所以，则. 故选：B 5．等差数列中，已知，则的前10项和等于（    ） A．36 B．30 C．20 D．18 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解，即可得到答案. 【详解】由等差数列得，故，即， 故选：B. 压轴题型三： 等比数列“等距”性质 √满分技法 等比数列“等距”性质： （1）“指数型中点”技巧：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； （2）“跳项”等比：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. （3）“和项”等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到，又，从而利用倒序相加法求和，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，得. 又因为函数，所以， 所以， 所以，，，…. 令，则， 所以， 所以. 故选：B. 2．等比数列中的，是函数的极值点，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数极值的情况确定的值，再根据等比数列的性质进行计算即可. 【详解】由求导得. 由或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极大值点为，极小值点为. 由题意可知，所以. 故选：A 3．在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】在等比数列中，， 则， 设等比数列的公比为，则， 所以同号，又， 所以. 故选：A. 4．在递增等比数列中，，且，则该数列的公比为（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】先利用等比数列的通项公式化简得出，再利用性质得，解方程组并结合数列的增减性可得，即可求公比. 【详解】因数列为等比数列，则， 得，则， 因，可得或， 因数列为递增数列，则且，此时，则. 故选：C 5．已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得，再计算，再利用倒序相加计算结果． 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 压轴题型四：等差数列奇偶型 √满分技法 设数列是等差数列，且公差为， （1） 若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （2） 若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②. 1 ．已知等差数列共有99项，其中奇数项之和为300，则偶数项之和为（       ） A．300 B．298 C．296 D．294 【答案】D 【分析】由奇数项之和可求得，利用等差数列奇数项和与偶数项和的关系可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：，， 又，. 故选：. 【点睛】本题考查等差数列奇数项和与偶数项和的性质的应用，属于基础题. 2．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值. 【详解】中间项为.因为，，所以.故选C. 【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式以及等差数列的性质.利用等差数列分别列出奇数项与偶数项的和之后，如何化简，就需要用到等差数列的性质来化简，对于一个等差数列来说，如果有，则有.这样两个已知条件就转化为要求的形式了.这是化归与转化的数学思想方法转化的数学思想. 3．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 4．已知某等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】所有的偶数项减所有的奇数项=10d 【详解】，选B. 【点睛】每一个偶数项前面都有一个奇数项，他们的差值为d. 5．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，知等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，故奇数项、偶数项的和直接代入等差数列的前项和公式，结合等差中项的性质化简即可. 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 压轴题型五：等差等比数列函数性及最值 √满分技法 在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则. 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．6或7 D．5或7 【答案】D 【分析】先求出等比数列，，的公比为，进而可得等差数列的公差及通项公式，再判断出数列的前5项都小于0，从第8项起都大于零点，且第6项为正，第7项为负，第6项与第7项的和为0，即可得答案. 【详解】解：设等比数列，，的公比为, 由，， 即，解得， 由，解得，所以， 又因为为等差数列，且，， 所以公差，则， 所以， 当时，；当时，， 又因为，，， 所以当或时，的前项和最小. 故选：D. 2．已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 3．数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 4．已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据已知可得为递减数列，且有，有，，即可得. 【详解】由，则，可得，即， 所以，又，即为递减数列， 当，，当，，又， 所以使的最大值为10. 故选：B. 5．已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ∵，， ∴数列为递减数列， ∴，，， 由得，即， ∴， ∴使的最小的的值为. 故选：D． 轴题型六：等差数列“正负不等式”型 √满分技法 在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（    ） A． B．使得成立的最小自然数是20 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B，根据为递减数列即可判断C，由的关系及的符号可判断D. 【详解】由公差为可知，等差数列为递减数列且， 对A，，故A错误； 对B，因为，所以，所以，故B错误； 对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确； 对D，由B知，且，所以， 因为，，若，则，且， 即，即，而，， 显然矛盾，故不成立，故D错误. 故选：C 2．已知公差为的等差数列，为其前项和，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】构造函数，借助导数与奇偶性的定义可得函数在定义域内单调递增且为奇函数，又由可得，从而得到，再借助，从而得到，即可得解. 【详解】令，则，故在定义域内单调递增， 又，故为奇函数， 由，可得， 故有，，又在定义域内单调递增且为奇函数， 故有，即，即， 故， 又，即， 故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数，由函数的单调性与奇偶性结合所给数列的性质得到以及，从而得解. 3．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据题意构造函数，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据的关系即可确定答案. 【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以， . 故选：C. 4．已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由得到，即可求解； 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即中最小的项是， 故选：C. 5．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的求和公式和下标的性质可得B正确；由等差数列的项的性质可得A、C正确；由等差数列基本量运算可推得D错误. 【详解】对于B，，所以，故B正确； 对于A、C，因为，即，， 所以，，则，故A、C正确； 对于D，因为， ，所以，故D错误. 故选：D 压轴题型七：等比数列“平衡点”不等式型 √满分技法 等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an. 1．设数列是公比为q的等比数列，其前n项的积为，并且满足条件，，，下列结论中：①②③④使得成立的最小自然数n等于4018，其中正确结论序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】，，∴，则 又， 若，则，与前提矛盾， 所以，故①正确； 由等比中项的性质知：，故③正确； 易知，， 且 使成立的最小自然数等于4019，故②④不正确． 正确结论的序号是①③．故选：C． 2．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 3．在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于198 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 4．已知数列，若存在数列满足对任意正整数，都有，则称数列是的交错数列.有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列.下列结论正确的是（   ） A．①与②都是真命题； B．①为真命题，②为假命题； C．①为假命题，②为真命题； D．①与②都是假命题． 【答案】A 【分析】对于①：根据等差数列通项公式为一次函数形式分析判断；对于②：根据等比数列通项公式为指数型，并举例说明即可. 【详解】对于①：因为数列、均为等差数列， 设，则， 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 若，可知的符号不变，不满足交错数列； 若，可知当时，恒成立，不满足交错数列； 综上所述：对任意等差数列、，均不是的交错数列，故①正确； 对于②：因为数列为等比数列，设， 等比数列的公比为 不妨假设，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 同理若，，此时等比数列的公比为 当为奇数，则； 当为偶数，则； 满足是的交错数列， 若等比数列的公比为，根据对称结构，上述结论依然成立， 综上所述：对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列，故②正确； 故选：A. 【点睛】关键点点睛：数列是特殊的函数，根据数列的特性，准确构造相应的函数，借助函数性质分析求解是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件. 5．已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的取值范围，进而判定二者的关系. 【详解】由，即，即， ，可得，即. 所以不能推出，而可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 压轴题型八：等差“中项”比值型 1．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式对合理变形为，再结合代入求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 2．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在等差数列中，，得出，结合通项公式，即可得到的值. 【详解】等差数列和中， ， 所以，设等差数列和的公差分别为， 则，且， 所以. 故选：A 3．已知别为等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用三点共线得，根据等差数列的性质求得可得答案. 【详解】，不妨设， 因为三点共线，所以， 所以 ， 所以， 故选：D. 4．设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（      ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质求值. 【详解】因为数列和均为等差数列， 所以. 故选：B 5．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看成整体角，求出其范围，利用函数在上单调递增得不等式，求出，再根据缩小范围为；接着根据对任意，都有，结合正弦函数的图象得不等式，求得，由，缩小范围为，最后求交即得. 【详解】由，得，依题意， ，解得（*）. 又又，则，故由（*）得，时，即①. 由，得，因对任意，都有， 则，解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 故选：A. 压轴题型九：恒成立求参型 1．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，，，若对任意的，都有，则正整数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设数列的公比为.根据等比数列通项公式及前项和公式，结合题中条件可得.由对任意的都成立，可知.记，则求数列的最大项对应的项数即可. 【详解】设数列的公比为. 由得，所以，故. 因为，显然， 所以，得，所以. 因为对任意的都成立，等比数列的各项均为正数， 所以对任意的都成立，所以. 记，则，， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当或时，取得最大值， 所以或，对任意的，都有， 所以正整数的最大值为5. 故选： 2．已知数列的前项和为，若，且对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据恒成立，再结合二次函数的单调性列式计算求参. 【详解】因为，且对任意的，都有成立， 所以，所以. 故选：D. 3．已知等差数列、的前项和分别为、，若，对，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出，即可得出实数的取值范围. 【详解】等差数列、的前项和分别为、，且， 则， 且当时，， 因为，，，则，即的最小值为. 故选：C. 4．己知数列的前n项和记为，且，若对任意正整数n都成立，则实数t的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求得数列的通项公式，通过代数运算化简求得，因而对任意正整数n都成立，即所以对任意正整数n都成立，分离参数得，即可得解. 【详解】由得，又符合上式 所以对任意，有， 则， 因此， 因为，， 又因为， 所以， 所以， 因为对任意正整数n都成立， 所以对任意正整数n都成立， 所以对任意正整数n都成立， 因为，所以， 所以实数t的最小值是. 故选：C. 5．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得，进而有的公差，则，应用裂项相消法求，最后由不等式恒成立求参数最小值. 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 压轴题型十： 插入数构造二阶等差等比型 √满分技法 插入数型 1.插入数构成等差数列 在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等差数列，公差记为，所以： 2. 插入数构成等比数列 在和之间插入个数，使这个数构成等比数列，可通过构造新数列来求解 个数构成等比数列，公差记为，所以： 3. 插入数混合型 混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列提供了多少项，其余都是插入进来的。 1．已知数列的通项公式，在每相邻两项，之间插入个2（），使它们和原数列的项构成一个新的数列，记数列的前n项和为，则成立的n的最小值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】根据已知列举出的项，再根据数列构成求、，即可得. 【详解】由题设，数列各项依次为， 当时，， 当时，， 所以成立的n的最小值为21. 故选：B. 2．在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（    ） A．1095 B．3282 C．6294 D．9843 【答案】B 【分析】根据给定条件，得到第次构造后数列的和与第次构造后数列的和的关系，再求出数列的通项即可. 【详解】设第次构造后得的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 于是，， 显然，而， 因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，则，即, 所以. 故选：B 【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 3．将等比数列按顺序分成1项，2项，4项，…，项的各组，再将公差为2的等差数列的各项依次插入各组之间，得到数列：，，，，，，，，，，…，数列的前项和为．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列的前100项中含有数列的前6项，含有数列的前94项，运用分组求和的方法可求得答案. 【详解】解：由已知得，，，等比数列的公比． 令，则，， 所以数列的前100项中含有数列的前6项，含有数列的前94项， 故 ． 故选：D． 4．数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（     ） A．510 B．514 C．1022 D．1026 【答案】B 【分析】先设第次构造后得的数列为1，，3，求出此时所有项之和，接着得到第次构造后得到的数列，并求出，观察与的关系，结合等比数列定义得到数列是等比数列即可求解. 【详解】设第次构造后得的数列为1，，3，则， 则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3， 于是，， 显然，而， 因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即， 所以. 故选：B 5．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前项和公式即可求解. 【详解】依题意，，， ， ， ， ， 由等比数列的前项和公式，得， 所以的通项公式. 故选：A 2 学科网（北京）股份有限公司 $$