专题04 圆柱与圆锥（考点串讲，4考点+3专项突破+5易错）-2024-2025学年六年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

六年级数学下学期·期末复习大串讲 专题04 圆柱与圆锥 （4考点+3专项突破+5易错） 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 三大专项突破十六种题型 五大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 圆柱与圆锥 圆柱 圆柱的认识 圆柱的表面积 圆柱的体积 圆锥 圆锥的认识 圆锥的体积 知识结构 底面 侧面 底面 圆柱的底面都是圆，并且大小一样。 圆柱的侧面是曲面。 知识梳理 知识点一：圆柱及其侧面展开图 侧面 侧面 底面 底面 底面 底面 高 高 圆柱有无数条高。 圆柱的两个底面之间的距离叫作高。 底面 底面 圆柱的高 底面的周长 底面 底面 底面的周长 长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 底面 底面 圆柱的高 底面的周长 底面 底面 底面的周长 高 圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面的面积 高 底面的周长 侧面 底面的周长 圆柱的高 圆柱的侧面积＝长方形的面积 ＝ 长 × 宽 ＝圆柱的底面周长 × 高 如果圆柱的底面半径是r，高是h，那么，可以得到下面的公式。 圆柱的侧面积＝2πrh 高 底面的周长 侧面 底面的周长 圆柱的高 其中一个底面的面积＝πr² 圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高 长方体的体积 圆柱的体积 ＝ 底面积 × 高 ＝ 底面积 × 高 V＝πr2h 侧面（扇形） 底面 （圆） 顶点 底面 侧面 知识点二：圆锥及其侧面展开图 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 O h r 高 圆锥只有一条高。 比较圆柱与圆锥的特征 图形 相同点 不同点 底面 形状 侧面 底面 个数 侧面 展开 高 圆柱 圆锥 圆形 圆形 曲面 曲面 2 1 无数条 1条 长方形 （或正方形） 扇形 等底等高 圆柱的体积等于圆锥体积的3倍 圆锥的体积等于圆柱体积的 V圆锥＝ V圆柱＝ Sh 1. 填空。 (1)一个圆柱的底面直径是6厘米，高是5厘米，如果侧面沿着高展开，是一个(　　)形，它的长是(　 　)厘米，宽是(　　)厘米。 长方 18. 84 5 针对训练 考点1：圆柱和圆锥的认识 (2)一个底面直径为8 cm的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后，表面积增加了72 cm2。这个圆锥的高是(　　)cm。 9 15 2. 海绵城市是指城市能够像海绵一样，在适应环境变化和应对雨水带来的自然灾害等方面具有良好的弹性，也称“水弹性城市”。建造蓄水池是建设海绵城市的措施之一。经测量，一个圆柱形蓄水池的底面半径是3 m，深是4 m。 (1)建造这个蓄水池挖出的土有(　 　)m3。 113. 04 【点拨】根据题意可知，挖出的土的体积等于圆柱形蓄水池的容积。 考点2：圆柱的表面积和体积 16 (2)在这个蓄水池的侧面与下底面抹上水泥，每平方米大约需要 2. 5 kg水泥，一共大约需要多少千克水泥？(得数保留整数) 3. 14×2×3×4＋3. 14×32＝103. 62(m2) 103. 62×2. 5≈259(kg) 答：一共大约需要259 kg水泥。 【点拨】 由题可知，需要抹水泥的面积是蓄水池的侧面积及底面积，也就是圆柱的侧面积和一个底面积，将数据代入公式计算出需要抹水泥的面积。再乘2. 5 kg求得一共大约需要的水泥质量。 17 3. 同同先用橡皮泥做了一个圆柱，再在圆柱中凿了四个相同的圆柱形孔，剩余部分的体积是多少立方厘米？(大圆柱的底面直径为24 cm，小圆柱的底面直径为8 cm，高都是15 cm) 3. 14×(24÷2)2×15－3. 14×(8÷2)2×15×4＝ 3768(cm3)　 答：剩余部分的体积是3768 cm3。 【点拨】圆柱的体积等于底面积乘高，要求剩余部分的体积，用大圆柱的体积减去四个小圆柱的体积即可求解。 18 4. 同同家有一个圆柱形的舀水筒(如图，舀水筒平置)，底面内直径是10 cm，筒口距离底面的最小高度是20 cm，最大高度是25 cm，这个舀水筒平置时最多能装多少毫升水？ 10÷2＝5(cm) 3. 14×52×20＝1570(cm3)　1570 cm3＝1570 mL 答：这个舀水筒平置时最多能装1570 mL水。 【点拨】这个舀水筒筒口距离底面的最小高度决定了最大装水量。 返回 19 5. 圆锥的底面半径和高都扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的(　　)倍。 27 【点拨】根据圆锥体积公式V圆锥＝ πr2h可知，r和h都乘3，即圆锥的体积乘(3×3×3)，即扩大到原来的27倍。 考点3：圆锥的体积 20 6. 学校进行维修，在一教室墙角堆放一堆沙子，已知沙堆底部弧长为3. 14 m，沙堆的高为3 m，这个沙堆的体积是多少立方米？ 21 7. 整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。钱塘小学科技小组制作了运载火箭整流罩的模型(如图所示，整流罩本身的厚度忽略不计)，已知圆锥的高是圆柱高的。该整流罩模型的容积是多少立方分米？ 考点4：圆柱和圆锥的组合图形 【点拨】 该整流罩模型的容积为圆柱的容积加圆锥的容积，根据圆柱的容积＝πr2h，圆锥的容积＝ πr2h，代入数据求解，最后把两者的容积加起来即可。 22 巧算圆柱的表面积 专项突破一 23 1. 如图的“博士帽”是用卡纸做成的，上面是边长为35 cm 的正方形，下面是底面直径为20 cm、高为15 cm的无底无盖的圆柱。制作30顶这样的“博士帽”，至少需要多少平方分米的卡纸？ (35×35＋3. 14×20×15)×30＝65010(cm2)＝650. 1 dm2　 答：至少需要650. 1 dm2的卡纸。 类型1：正方形面积与圆柱侧面积的综合应用 【点拨】 用正方形的面积加上下面圆柱的侧面积等于制作一顶帽子至少需要的卡纸面积，再乘30即可。 24 2. 如图所示的物体是由三个圆柱体组成的，每个圆柱体的高都是0. 5 m，底面半径分别是2 m、1 m和0. 5 m。如果用油漆涂它的表面(底面不涂)，则涂漆部分的面积是多少平方米？ 2×3. 14×2×0. 5＋2×3. 14×1×0. 5＋2×3. 14×0. 5×0. 5＋3. 14×22＝23. 55(m2) 答：涂漆部分的面积是23. 55 m2。 类型2：求组合图形的表面积 【点拨】 由题可知，这个物体涂漆部分的面积是三个圆柱的侧面积与一个半径是2 m的圆的面积之和。 25 3. 如图，1根圆柱形木材长2. 5 m，截成5根大小相同的圆柱形木材后，表面积增加了100. 48 dm2，这根木材原来的表面积是多少平方分米？ 2. 5 m＝25 dm　(5－1)×2＝8(个) 100. 48÷8＝12. 56(dm2) 12. 56÷3. 14＝4(dm2) 4＝2×2　底面半径是2 dm。 2×3. 14×2×25＋12. 56×2＝339. 12(dm2) 答：这根木材原来的表面积是339. 12 dm2。 类型3：根据增加的底面积求表面积 【点拨】表面积增加的部分是(5－1)×2＝8(个)底面积之和，先求出底面积，再求出底面半径，最后求出这根木材原来的表面积。 26 4. 我们经常见到保温杯中部有一条装饰圈(如下图)，这是商家防止烫伤使用者的手特意设计的。装饰圈的宽度是整个杯的，这条装饰圈的面积是多少平方厘米？(接头处忽略不计) 3. 14×8×15× ＝125. 6(平方厘米) 答：这条装饰圈的面积是125. 6平方厘米。 类型4：求圆柱部分侧面积 27 5. 华华和典典按不同的切法将圆柱平均分成两部分(如图)。华华平行于底面切，表面积增加了25. 12 cm2；典典沿高由底面圆心竖直切，表面积增加了32 cm2。这个圆柱的表面积是多少平方厘米？ 25. 12÷2÷3. 14＝4(cm2)　4＝2×2 32÷2÷(2×2)＝4(cm) 2×3. 14×22＋2×3. 14×2×4＝75. 36(cm2) 答：这个圆柱的表面积是75. 36 cm2。 类型5：根据截面积求圆柱的表面积 28 6. 周末天天组织小组成员进行探究性活动，有一根圆柱形木头浮在水面上，正好有一半露出水面，已知这根圆柱形木头长5 dm、横截面直径是20 cm。这根木头与水接触的面积是多少平方分米？ 20 cm＝2 dm　2÷2＝1(dm) 3. 14×2×5÷2＋3. 14×12＝18. 84(dm2) 答：这根木头与水接触的面积是18. 84 dm2。 类型6：求半圆柱的表面积 【点拨】 木头与水接触的面积等于圆柱表面积的一半，即圆柱侧面积的一半加上一个底面的面积。 29 巧算圆柱的体积 专项突破二 30 1. 一款牙膏出口处直径为6 mm，典典每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这支牙膏可用320次。该牙膏商家推出的新包装只将出口处直径改为8 mm，其他不变。典典还按每次挤出1 cm长的牙膏，这款牙膏现在能用多少次？(π取3) 6 mm＝0. 6 cm　8 mm＝0. 8 cm 3×(0. 6÷2)2×1×320＝86. 4(cm3) 3×(0. 8÷2)2×1＝0. 48(cm3) 86. 4÷0. 48＝180(次) 答：这款牙膏现在能用180次。 类型1：用“等积变形思想”解决问题 【点拨】 将每次挤的牙膏看作一个圆柱，先求出此款牙膏一共的体积，再求将出口处直径改为8 mm后每次的牙膏用量，然后根据等量关系牙膏体积÷每次用量＝次数计算即可。 31 2. 如图所示，一个圆柱高10 cm，如果它的高增加3 cm，那么它的表面积增加37. 68 cm2，原来圆柱的体积是多少立方厘米？ 37. 68÷3＝12. 56(cm)　 12. 56÷3. 14÷2＝2(cm) 3. 14×22×10＝125. 6(cm3) 答：原来圆柱的体积是125. 6 cm3。 类型2：根据增加的表面积求圆柱体积 【点拨】高增加3 cm，那么它的表面积增加37. 68 cm2，实质是侧面积增加了37. 68 cm2。用增加的侧面积除以增加的高，可得到圆柱底面周长，进而求得半径，最后求出原来圆柱的体积。 32 3. 已知圆柱的高是10 cm，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了80 cm2。圆柱的体积是多少立方厘米？ 80÷2÷10÷2＝2(cm)　 3. 14×22×10＝125. 6(cm3) 答：圆柱的体积是125. 6 cm3。 【点拨】 圆柱由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，据此先求出圆柱的底面直径，再求出底面半径，最后求出圆柱的体积。 33 4. 如图是一个用钢材做的圆柱形零件，你能求出这个零件的体积吗？如果每立方厘米的钢材重7. 8g,这个零件重多少千克？ 3. 14×(12÷2)2×10－3. 14×(2÷2)2×10＝1099(cm3) 7. 8 g＝0. 0078 kg　0. 0078×1099＝8. 5722(kg) 答：这个零件的体积是1099 cm3，重8. 5722 kg。 类型3：求空心圆柱的体积 34 5. 如图，分别以下面的长方形的长和宽所在的直线为轴旋转一周，得到两个圆柱，它们的体积各是多少立方厘米？ 以8 cm长的边所在的直线为轴旋转： 3. 14×52×8＝628(cm3) 以5 cm长的边所在的直线为轴旋转： 3. 14×82×5＝1004. 8(cm3) 答：它们的体积分别是628 cm3和1004. 8 cm3。 类型4：求旋转形成的圆柱的体积 35 6. 梦梦为了测试出一个鸡蛋的体积，按如下步骤进行了实验： 步骤1：在一个底面直径是8 cm的圆柱形玻璃杯中倒入一定量的水，量得水面的高度是6 cm。 步骤2：将鸡蛋完全浸入水中且水没有溢出，再次测量水面的高度是7 cm。 这个鸡蛋的体积是多少立方厘米？(玻璃杯壁厚度不计) 类型5：用排水法求不规则物体的体积 【点拨】 用圆柱形玻璃杯中现在水的高度减去原来水的高度可求出放入鸡蛋后水面上升的高度，然后再乘玻璃杯的底面积即可求出鸡蛋的体积。 3. 14×(8 ÷2)2×(7－6)＝50. 24(cm3) 答：这个鸡蛋的体积是50. 24 cm3。 36 综合运用圆柱和圆锥的体积解决问题 专项突破三 37 1. 填一填。 (1)一块圆锥形橡皮泥，底面积是12 cm2，高是3 cm。如果把它捏成等底的圆柱，这个圆柱的高是(　　)cm；如果把它捏成等高的圆柱，这个圆柱的底面积是(　　)cm2。 1 4 类型1：运用“圆柱与圆锥的体积关系”解决问题 (2)一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱体积少48 dm3，那么这个圆柱的体积 是(　　)dm3，圆锥的体积是(　　)dm3。 【点拨】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，则圆锥体积是48÷(3－1)＝24(dm3)，圆柱体积是24×3＝72 (dm3)。 72 24 38 2. 华华捏面团：把一块底面半径是2 cm、高是4 cm 的圆柱形面团捏成一个底面周长是12. 56 cm的圆锥。圆锥的高是多少厘米？ 3. 14×22×4＝50. 24(cm3) 12. 56÷3. 14÷2＝2(cm) 50. 24×3÷(3. 14×22)＝12(cm) 答：圆锥的高是12 cm。 【点拨】体积是不变量，先求出圆柱的体积，即圆锥的体积，再逆推出圆锥的高即可。 类型2：运用“等积变形思想”解决问题 39 3. 一个圆锥形沙堆，底面直径是4 m，高是1. 8 m，用这堆沙子在15 m宽的公路上铺4 cm厚的路面，能铺多少米？ 4 cm＝0. 04 m ×3. 14×(4÷2)2×1. 8÷15÷0. 04＝12. 56(m) 答：能铺12. 56 m长。 【点拨】根据圆锥体积＝ ×底面积×高，计算出沙堆的体积，用沙堆的体积除以路面的宽和厚,即可求出能铺多少米长。 40 4. 一个底面内半径是10 cm 的圆柱形容器中装有一些水，水里浸没了一个底面半径是4 cm、高是9 cm的圆锥形铁块，将铁块从容器中取出后，容器中水面会下降多少厘米？ ×3. 14×42×9÷(3. 14×102)＝0. 48(cm) 答：容器中水面会下降0. 48 cm。 类型3：运用“排水法”解决问题 【点拨】圆柱形容器内水下降部分的体积等于圆锥的体积，根据圆锥的体积计算公式计算出圆锥形铁块的体积，再除以圆柱形容器的底面积即可求出水面下降的高度，据此计算。 41 5. 蒙古包，古代称作穹庐，上面为圆锥形，下面为圆柱形，四周用绳索固定，图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？(厚度忽略不计) 8÷2＝4(m) 3. 14×42×2＋3. 14×42×1. 2× ＝120. 576(m3) 答：这个蒙古包内部的空间是120. 576 m3。 【点拨】把蒙古包上面看作一个圆锥，下面看作一个圆柱，求出它们的体积之和即可。 类型4：求圆柱与圆锥组合体的体积 42 6. 一种儿童玩具陀螺(形状如图)，它的上面是一个近似的圆柱，下面是圆锥。经测试，当圆柱的底面直径是3 cm，高是4 cm，圆锥的高是圆柱的高的时，陀螺才能转得又稳又快。这样的一个陀螺的体积是多少？ 43 7. 如图，一个直角三角形三条边的长分别为3 cm，4 cm，5 cm，以斜边所在直线为轴旋转一周形成了一个立体图形，则这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 3×4÷2×2÷5＝2. 4(cm) 3. 14×2. 42×5× ＝30. 144(cm3) 答：这个立体图形的体积是30. 144 cm3。 类型5：求旋转后图形的体积 44 1. (1)一个圆柱的体积是3. 14 cm3，若将它的半径扩大到原来的3倍，高不变，则它的体积将会(　　)。 A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的6倍 C. 扩大到原来的9倍 C 【点拨】由圆柱体积公式可知，底面半径扩大到原来的3倍，圆柱体积扩大到原来的9倍。 易错点1：半径有变化时判断体积变化情况出错 易混易错 46 (2)一个圆锥的半径扩大到原来的3倍，高缩小到原来的， 体积(　　)。 A. 扩大到原来的3倍 B. 扩大到原来的9倍 C. 不变 A 47 2. 学校梦想画社要举行斗笠彩绘比赛，华华妈妈给华华网购了一顶底面半径为20 cm，高为25 cm的圆锥形斗笠。商家用一个长方体纸盒进行包装，这个纸盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 20×2＝40(cm) (40×40＋40×25＋40×25)×2＝7200(cm2) 答：这个纸盒至少需要7200 cm2的纸板。 易错点2：求表面积时没有结合实际 【点拨】这个长方体纸盒的长和宽至少等于圆锥的底面直径，高至少等于圆锥的高，根据长方体的表面积公式计算即可。 48 3. 如图，妈妈要把两个底面半径是8 cm，高是30 cm的圆柱形花瓶放入一个长方体包装盒里。 (1)每个花瓶的容积是多少毫升？(花瓶的厚度不计) 3. 14×82×30＝6028. 8(cm3) 6028. 8 cm3＝6028. 8 mL 答：每个花瓶的容积是6028. 8 mL。 49 (2)做这个包装盒(有盖)至少需要硬纸板多少平方厘米？(接头处不计) 8×2×2＝32(cm)　8×2＝16(cm) (32×16＋32×30＋16×30)×2＝3904(cm2) 答：做这个包装盒(有盖)至少需要硬纸板3904 cm2。 【点拨】 (1)根据圆柱的体积公式，将数据代入即可得出答案，要注意单位换算。(2)根据图意可知，长方体的长是8×2×2＝32(cm)，宽是8×2＝16(cm)，高是30 cm，然后依据长方体的表面积公式，代入数据即可求解。 50 4. 把一个底面半径为r，高为h的圆柱切拼成一个近似的长方体后，(　　)。 A. 表面积增加2rh，体积不变 B. 表面积不变，体积不变 C. 表面积不变，体积变大 D. 表面积增加rh，体积变大 A 易错点3：转化法解决圆柱问题时出错 【点拨】 把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积(即长方体的左右面)，这两个长方形的宽等于圆柱的底面半径r，长方形的长等于圆柱的高h，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个长方形的面积，再乘2即是增加的表面积；据此解答。 51 5. 如图所示，把底面直径为4分米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的表面积比原来增加40平方分米，这个圆柱的高是(　　)分米，圆柱的体积是(　 　)立方分米。 10 125. 6 52 6. 下列图形中体积相等的是(　　)。(单位：cm) A. (1)和(2)　　　 B. (1)和(3) C. (1)和(4) D. (3)和(4) C 易错点4：不理解圆柱和圆锥的体积关系 53 7. 将一个底面直径是 18 cm的圆锥完全浸入一个底面直径和高都是 20 cm的圆柱形玻璃容器中，容器内水面高度由15 cm上升到18 cm。这个圆锥的体积是多少？ 3. 14×(20÷2)2×(18－15)＝942(cm3) 答：这个圆锥的体积是 942 cm3。 【点拨】水面上升部分水的体积就是圆锥的体积，用圆柱的底面积×水面上升的高度即可。 易错点5：用排水法求圆锥的体积时，多乘了 54 1.甲、乙是两个完全相等的直角三角形，它们按如图所示方向旋转一周后，甲与乙分别所形成的立体图形的体积比是(　　)。 A. 1∶2　　 B. 2∶1　　 C. 1∶3　　 D. 3∶1 A 【点拨】甲旋转一周后所形成的立体图形的体积为圆锥的体积，乙旋转一周后所形成的立体图形的体积为与甲圆锥等底等高的圆柱的体积减去甲圆锥的体积。 押题预测 55 2.一段长、宽、高的比是5∶4∶3的长方体木材，棱长总和是48 cm，把它加工成一个最大的圆柱，再把圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥的体积是(　 　　)cm3。 12. 56 【点拨】根据题意，可求得长方体的长、宽、高分别是5 cm、4 cm、3 cm，则圆锥的体积为 3. 14×(4÷2)2×3× ＝12. 56(cm3)。 56 3. 求下面立体图形的体积。 从圆柱中挖掉一个圆锥，求剩下部分的体积。 3. 14×(2÷2)2×6－3. 14×(2÷2)2×3× ＝15. 7(dm3) 【点拨】用圆柱的体积减去圆锥的体积即可。 57 3. 14×4÷3. 14÷2＝2(m) ×3. 14×22×3×＝3. 14(m3) 答：这个沙堆的体积是3. 14 m3。 【点拨】 由于墙面是一个直角，所以沙堆不是一个完整的圆锥，而是一个圆锥的。根据题意可知，整个圆锥的底面周长为3. 14×4＝12. 56(m)，整个圆锥的底面半径为12. 56÷3. 14÷2＝2(m)，那么整个圆锥的体积为×3. 14×22×3＝12. 56(m3)。因为沙堆的体积是整个圆锥体积的，所以这个沙堆的体积为12. 56×＝3. 14(m3)。 3. 14×(4÷2)2×10＋3. 14×(4÷2)2×10×× ＝150. 72(dm3) 答：该整流罩模型的容积是150. 72 dm3。 【点拨】×12×3÷12＝1(cm)，×12×3÷3＝4(cm2)。 3÷2＝1. 5(cm)　4×＝3(cm) 3. 14×1. 52×4＋3. 14×1. 52×3×＝35. 325(cm3) 答：这样的一个陀螺的体积是35. 325 cm3。 【点拨】把直角三角形以斜边所在直线为轴旋转一周所形成的立体图形是由两个圆锥组成的，它们的底面相同。直角三角形斜边上的高(也就是圆锥的底面半径)为3×4÷2×2÷5＝2. 4(cm)。假设上面圆锥的高是h1 cm,下面圆锥的高是h2 cm,则h1＋h2＝5。形成的立体图形的体积为3.14×2.42×h1×＋3. 14×2. 42×h2×＝3.14×2.42×(h1＋h2)×＝3.14×2. 42×5×＝30. 144(cm3)。 $$