专题04 等腰三角形（考点串讲，3考点+3模型+2专项+2易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题04 等腰三角形 （3考点+3模型+2专项+2易错） 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 三大解题模型+二大专项突破 二大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 知识梳理 1.性质 (1)两腰相等; (4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”. 顶角平分线 (3)两个_______相等，简称“等边对等角”; 底角 (2)是轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴; 知识点一：等腰三角形的性质及判定 2.判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形; (2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）. 等角对等边 1.性质 (1)等边三角形的三边都相等; (2)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于________; (3)是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线; (4)任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”. 60° 知识点二：等边三角形的性质及判定 2.判定 ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形; ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形; ⑶有一个角是60°的___________是等边三角形. 等腰三角形 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______. 相等 判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 端点 知识点三：线段垂直平分线的性质和判定 考点 1 等腰三角形的性质与判定 1. 在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝100°，点 D 在 BC 边 上，连接 AD ，若△ ABD 为直角三角形，则∠ ADB 的度 数是 ⁠. 90°或50°　 针对训练 2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，作 AD ⊥ AB 交 BC 的延长线于点 D ，作 AE ∥ BD ， CE ⊥ AC ，且 AE ， CE 相交于点 E ，求证： AD ＝ CE . 证明：∵ AB ＝ AC ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB . ∵ AE ∥ BD ， ∴∠ EAC ＝∠ ACB . ∴∠ ABC ＝∠ EAC . ∵ AD ⊥ AB ， CE ⊥ AC ，∴∠ BAD ＝∠ ACE ＝90°. ∴△ ABD ≌△ CAE . ∴ AD ＝ CE . 3. 如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ， BF ⊥ AC 于点 F . (1)若∠ A ＝36°，求∠ FBC 的度数； (1)解：∵ BA ＝ BC ，∠ A ＝36°， ∴∠ C ＝∠ A ＝36°. ∵ BF ⊥ AC ， ∴∠ FBC ＝90°－∠ C ＝54°. (2)若点 D 在边 AB 上， DE ∥ BC 交 BF 的延长线于点 E ， 求证：∠ E ＝∠ ABF . (2)证明：∵ BA ＝ BC ， BF ⊥ AC ， ∴∠ ABF ＝∠ CBF . ∵ DE ∥ BC ，∴∠ E ＝∠ CBF . ∴∠ E ＝∠ ABF . 3. 如图，在△ ABC 中， BA ＝ BC ， BF ⊥ AC 于点 F . 4. 如图，点 E 在△ ABC 的 AC 边的延长线上， D 点在 AB 上， DE 交 BC 于点 F ， DF ＝ EF ， BD ＝ CE . 求证：△ ABC 是等腰三角形. 证明：过点 D 作 DG ∥ AC 交 BC 于点 G ， ∵ DG ∥ AC ，∴∠ GDF ＝∠ CEF ， 又∵ DF ＝ EF ，∠ DFG ＝∠ EFC ， ∴△ GDF ≌△ CEF (ASA)，∴ GD ＝ CE . 又∵ BD ＝ CE ，∴ BD ＝ DG ， ∴∠ DBG ＝∠ DGB ， ∵ DG ∥ AC ，∴∠ DGB ＝∠ ACB ， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ， ∴ AB ＝ AC ，∴△ ABC 是等腰三角形. 考点 2 等边三角形的性质与判定 5.如图， BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心， DB 长为半径作弧交 BC 的延长线于点 E ，则∠ DEC ＝ ​. 30°　 6. 如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为6， E ， F 是边 BC 上的三等分点，分别过点 E ， F 沿着平行于 BA ， CA 方向各剪一刀，则剪下的△ DEF 的周长是 ​. 6　 7.如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ AC ， AE ＝ CD ， AD 与 BE 相交于点 P ， BQ ⊥ AD 于点 Q . 求证： （1）△ ADC ≌△ BEA ； （2） BP ＝2 PQ . 证明：∵△ ADC ≌△ BEA ， ∴∠ CAD ＝∠ ABE . ∵∠ CAD ＋∠ BAD ＝60°， ∴∠ ABE ＋∠ BAD ＝60°. ∴∠ BPQ ＝60°. ∵ BQ ⊥ AD ， ∴∠ PBQ ＝30°. ∴ BP ＝2 PQ . 8. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝120°，AD⊥ BC ，垂足为 G ，且 AD ＝ AB ，∠ EDF ＝60°，其两边分别交边 AB ， AC 于点 E ， F ，连接 BD . 求证： （1）△ ABD 是等边三角形； （2） BE ＝ AF . 考点3线段垂直平分线的性质与判定 9. [2024保定期末] 如图，在△ ABC 中，以点 A 为圆心， AC 的长为半径作圆弧交 BC 于点 D ，再分别以点 B 和点 D 为 圆心，大于 BD 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 M 和点 N ，连接 MN 交 AB 于点 E . 若△ ADE 的周长为 20.5， AC ＝7，则 AB 的长为(　B　) A. 6.5 B. 13.5 C. 15 D. 17 B 10. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . (1)若∠ BAC ＝50°，求∠ EDA 的度数； (1)解：∵ AD 平分∠ BAC ，∠ BAC ＝50°， ∴∠ EAD ＝ ∠ BAC ＝25°. ∵ DE ⊥ AB ，∴∠ ADE ＝90°－∠ EAD ＝90°－25°＝65°. (2)求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. (2)证明：∵ DE ⊥ AB ，∠ ACB ＝90°， ∴∠ AED ＝90°＝∠ ACB . 又∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ DAE ＝∠ DAC . 10. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AD 平分∠ BAC ， DE ⊥ AB 于点 E . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ AED ≌△ ACD . ∴ AE ＝ AC ， DE ＝ DC . ∴点 A ，点 D 在线段 CE 的垂直平分线上， 即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线. 11. 【情境题·生活应用】拟在新竣工的长方形广场的内部修 建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉 M 到广场的两个入口 A ， B 的距离相等，且到广场管理处 C 的距离等于 A 和 B 之间距离的一半， A ， B ， C 的位置如图所示，请在原图 上利用尺规作出音乐喷泉 M 的位置. 解：点 M 的位置如图所示. 【模型介绍】两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应 的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四 条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 文字说明：（1）点 A 为共用顶角顶点，看作头； （2）线段 AB ， AC 为等腰三角形 ABC 的两腰，看 作两条手臂；线段 AM ， AN 为等腰三角形 AMN 的 两腰，看作两条手臂； （3）点 B 与点 M 看作左手，线段 BM 看作左手拉 左手；点 C 与点 N 看作右手，线段 CN 看作右手拉右手. 解题模型 解题步骤： （1）找共用顶点，确定“四只手”； （2）连接对应顶点； （3）SAS证明全等. 模型一：等边三角形中三点共线的“手拉手”模型 已知：△ ABC 和△ AMN 都为等边三角形（ A ， B ， N 三点共线），连 接 BM ， CN 交于点 O ，连接 AO . 结论：（1）△ ABM ≌△ ACN ； （2）∠ MON ＝60°（拉手线的夹角等于顶角）； （3） AO 平分∠ BON . 1. 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形，连接 AN ， BM 交于点 O ， AN 交 MC 于点 E ， BM 交 CN 于点 F . 求∠ BON 的度数. 1. 如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形，连接 AN ， BM 交于点 O ， AN 交 MC 于点 E ， BM 交 CN 于点 F . 求∠ BON 的度数. 模型二：等边三角形中三点不共线的“手拉手”模型 已知：△ ABC 和△ AMN 都为等边三角形（ A ， B ， N 三点不共线）， 连接 BM ， CN 交于点 O ，连接 AO . 结论：（1）△ ABM ≌△ ACN ； （2）∠ MON ＝60°（拉手线的夹角等于顶角）； （3） AO 平分∠ BON . 2. 如图，△ ABC ，△ CDE 均为等边三角形，连接 BD ， AE 交于点 O . 求证： AE ＝ BD . 模型三：等腰直角三角形（或正方形）中的“手拉手”模型 已知：四边形 ABCD 和四边形 AEFG 都为正方形，连接 EB 和 GD 交于 点 O ，连接 AO . 结论：（1）△ AGD ≌△ AEB ； （2） GD ⊥ EB ； （3） AO 平分∠ EOD . 3. 如图，两个等腰直角三角形△ ABC 和△ ADE 中， AB ＝ AC ， AE ＝ AD ，∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°，连接 BD ， CE 交于点 P ，试判断 BD 和 CE 的数量关系和位置关系，并说明理由. 解： BD ＝ CE 且 BD ⊥ CE . 构造等腰三角形的常见方法 专项突破一 33 方法一　巧用角平分线、垂线合一构造等腰三角形 1. 如图所示， D 为△ ABC 内一点， CD 平分∠ ACB ， BD ⊥ CD ，∠ A ＝∠ ABD ，若 BD ＝1， BC ＝3，求线段 AC 的长. 解：延长 BD 交 AC 于点 E ，∵∠ A ＝∠ ABD ，∴ BE ＝ AE . ∵ BD ⊥ CD ，∴ BE ⊥ CD ，∴∠ BDC ＝∠ EDC ＝90°， ∴∠ BCD ＋∠ EBC ＝∠ ECD ＋∠ BEC ＝90°. ∵ CD 平分∠ ACB ，∴∠ BCD ＝∠ ECD ， ∴∠ EBC ＝∠ BEC ，∴ BC ＝ CE . ∵ BE ⊥ CD ，∴ BE ＝2 BD . ∵ BD ＝1， BC ＝3，∴ BE ＝2， CE ＝3， ∴ AE ＝ BE ＝2，∴ AC ＝ AE ＋ EC ＝2＋3＝5. 方法二　巧用平行线＋角平分线构造新等腰三角形 2. 已知，如图△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于 点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F . (1)如图①，若 AB ＝ AC ，图中有 个等腰三角形，且 EF 与 BE ， CF 的数量关系是 ⁠ ⁠. 5　 EF ＝ BE ＋ CF ＝2 BE ＝2 CF 　 (2)如图②，若 AB ≠ AC ，其他条件不变，(1)问中 EF 与 BE ， CF 间的关系还成立吗？请说明理由. 2. 已知，如图△ ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线相交于点 O ，过点 O 作 EF ∥ BC 分别交 AB ， AC 于点 E ， F . 解：(2) EF 与 BE ， CF 的数量关系 EF ＝ BE ＋ CF 成立， EF ＝2 BE ＝2 CF 不成立. 理由如下：∵ BO 平分∠ ABC ， CO 平分∠ ACB ， ∴∠ CBO ＝∠ ABO ，∠ BCO ＝∠ ACO . ∵ EF ∥ BC ，∴∠ BOE ＝∠ CBO ，∠ COF ＝∠ BCO ， ∴∠ ABO ＝∠ BOE ，∠ ACO ＝∠ COF ，∴ BE ＝ OE ， CF ＝ OF ， ∴ EF ＝ OE ＋ OF ＝ BE ＋ CF . ∵ AB ≠ AC ，∴易知 OE ≠ OF ， ∴ EF ≠2 BE ≠2 CF . (3)如图③，在△ ABC 中，若 AB ≠ AC ，∠ ABC 的平分线 与三角形外角∠ ACD 的平分线 CO 交于点 O ，过点 O 作 OE ∥ BC 交 AB 于点 E ，交 AC 于点 F . 请直接写出 EF 与 BE ， CF 间的数量关系. 解：(3) EF ＝ BE － CF . 方法三　过等边三角形边上一点作平行线构造新等边三角形 3. 已知：等边三角形 ABC 中.(1)如图①，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AB 边上， 满足∠ AMN ＝60°，求 的值； (1)解：∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ B ＝∠ BAC ＝60°， AB ＝ AC . ∵点 M 是 BC 的中点， ∴∠ MAN ＝30°，∠ AMB ＝90°. ∵∠ AMN ＝60°，∴∠ BMN ＝30°， ∴ BM ＝2 BN ， AB ＝2 BM . 设 BN ＝ x ，∴ BM ＝2 x ，∴ AB ＝4 x ， ∴ AN ＝3 x ，∴ ＝3. 3. 已知：等边三角形 ABC 中.(2)如图②，点 I 在 AB 边上( I 为非中点，不与 A ， B 重合)，点 J 在 CB 的延长线上且∠ IJB ＝∠ ICB ，求证： AI ＝ BJ ； (2)证明：如图②， 过点 I 作 IG ∥ JC 交 AC 于点 G ， 易得∠ A ＝∠ AIG ＝∠ AGI ＝60°， ∴△ AIG 为等边三角形，∴ AI ＝ AG ，∴ BI ＝ CG . ∵∠ AGI ＝∠ ABC ＝60°， ∴∠ IGC ＝∠ JBI ＝120°. ∵ IG ∥ BC ，∴∠ GIC ＝∠ ICB . ∵∠ IJB ＝∠ ICB ，∴∠ GIC ＝∠ IJB ， ∴△ IGC ≌△ JBI (AAS)，∴ IG ＝ BJ . ∵△ AIG 为等边三角形，∴ AI ＝ IG ，∴ AI ＝ BJ . 3. 已知：等边三角形 ABC 中.(3)如图③，点 P 为 AC 边的中点，点 E 在 AB 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上，满足∠ AEP ＝∠ PFC ，求 的值. (3)如图③， 过点 P 作 PH ∥ BC 交 AB 于点 H ，易得△ AHP 为等边 三角形，∴ AP ＝ HP ＝ AH ，∠ AHP ＝60°. ∵ P 为 AC 的中点，∴ AP ＝ PC ＝ AC ， ∴ HP ＝ PC . ∵∠ ACB ＝60°，∴∠ EHP ＝∠ PCF ＝120°. ∵∠ AEP ＝∠ PFC ，∴△ PCF ≌△ PHE (AAS)， ∴ CF ＝ HE ，∴ BF － BE ＝ BC ＋ CF － HE ＋ HB ＝ BC ＋ HB . ∵△ ABC 是等边三角形，∴ AB ＝ AC ＝ BC . 又∵ AH ＝ AP ， AP ＝ AC ，∴ AH ＝ AB . ∴ HB ＝ AB ＝ BC ，∴ BF － BE ＝ BC ＋ BC ＝ BC ，∴ ＝ . 方法四　利用倍角关系构造新等腰三角形 4. 如图①，在△ ABC 中，∠ B ＝2∠ C ， AD 是∠ BAC 的平 分线.求证： AB ＋ BD ＝ AC . (1)解决问题：甲同学的证明思路：在 AC 上截取 AE ＝ AB ，连接 DE . (如图②) 乙同学的证明思路：延长 CB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连 接 AE . (如图③) 请你任意选择一种思路完成证明. 解：(1)选择甲的证明思路.证明：∵ AD 是∠ BAC 的平分线， ∴∠ BAD ＝∠ EAD . 又∵ AB ＝ AE ， AD ＝ AD ，∴△ ABD ≌△ AED (SAS)， ∴ BD ＝ DE ，∠ ABD ＝∠ AED . ∵∠ AED ＝∠ EDC ＋∠ C ，∠ ABD ＝2∠ C ， ∴∠ EDC ＝∠ C ，∴ DE ＝ EC ， ∴ AB ＋ BD ＝ AE ＋ DE ＝ AE ＋ CE ＝ AC . (答案不唯一) (2)问题升华：如图④，在△ ABC 中，若∠ ACB ＝2∠ B ，∠ ACB ≠90°， AD 是△ ABC 外角∠ CAF 的平分线，交 BC 的延长线于点 D ，则线段 AB ， AC ， CD 之间有怎样的数量关系？请证明. 4. 如图①，在△ ABC 中，∠ B ＝2∠ C ， AD 是∠ BAC 的平分线.求证： AB ＋ BD ＝ AC . 解：(2) AB ＝ CD － AC . 证明：在 AF 上取一点 E ，使 AE ＝ AC ，连接 DE ， ∵ AD 平分∠ CAF ，∴∠ CAD ＝∠ EAD . 又∵ AD ＝ AD ，∴△ ACD ≌△ AED (SAS)， ∴∠ ACD ＝∠ AED ， CD ＝ DE ， ∴∠ ACB ＝∠ FED . ∵∠ ACB ＝2∠ B ，∴∠ FED ＝2∠ B . ∵∠ FED ＝∠ B ＋∠ EDB ，∴∠ EDB ＝∠ B ， ∴ DE ＝ BE ，∴ BE ＝ CD ， ∴ AB ＝ BE － AE ＝ CD － AC . 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 专项突破二 46 类型一　底和腰不确定需分类讨论 1. 用一条长20 cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是 另一边长的2倍，则底边的长为 ⁠. 4 cm　 类型二　底角和顶角不确定需分类讨论 2. 一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2∶5，则它 的三个内角可能是(　C　) A. 30°，30°，120° B. 50°，50°，80° C. 75°，75°，30° D. 80°，80°，20° C 类型三　与高有关的分类讨论 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个 等腰三角形的顶角等于(　D　) A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° D 类型四　与中线有关的分类讨论 4. 已知一个等腰三角形的周长为45 cm，一腰上的中线将这 个三角形的周长分为3∶2的两部分，则这个等腰三角形的 底边长为 ⁠. 9 cm或21 cm　 类型五　与腰的垂直平分线有关的分类讨论 5. 已知在△ OPQ 中， OP ＝ OQ ， OP 的垂直平分线交 OP 于 点 D ，交直线 OQ 于点 E ，连接 EP ，∠ OEP ＝50°，则 ∠ POQ ＝ ⁠. 点拨：如图①，当△ OPQ 为锐角三角形时， ∵ DE 垂直平分 OP ， ∴∠ ODE ＝∠ PDE ＝90°， OE ＝ PE ， 65°或115°　 易得∠ OED ＝∠ PED ＝ ∠ OEP ＝ ×50° ＝25°， ∴∠ EOD ＝90°－25°＝65°； 如图②，当△ OPQ 为钝角三角形时， ∵ DE 垂直平分 OP ，∴∠ ODE ＝∠ PDE ＝90°， OE ＝ PE ， 易得∠ OED ＝∠ PED ＝ ∠ OEP ＝ ×50°＝25°， ∴∠ EOD ＝90°－25°＝65°， ∴∠ POQ ＝180°－65°＝115°. 综上，∠ POQ 的度数为65°或115°. 类型六　动点问题的分类讨论 6. 如图，△ ABC 的顶点 A ， C 在直线 l 上，∠ B ＝130°， ∠ ACB ＝30°，若点 P 在直线 l 上运动，当△ ABP 是等腰 三角形时，∠ ABP 的度数是 ⁠ ⁠. 10°，80°，140°或 20°　 点拨：∵∠ ABC ＝130°，∠ ACB ＝30°， ∴∠ BAC ＝180°－130°－30°＝20°. 分四种情况： 当 AP ＝ AB ，点 P 在 CA 的延长线上时，如图①， ∵∠ BAC 是△ ABP 的一个外角， ∴∠ BAC ＝∠ APB ＋∠ ABP ， ∵ AB ＝ AP ，∠ BAC ＝20°， ∴∠ APB ＝∠ ABP ＝ ∠ BAC ＝10°； 当 AP ＝ AB ，点 P 在 AC 上时，如图②， ∵ AB ＝ AP ，∠ BAP ＝20°，∴∠ ABP ＝∠ APB ＝ ＝80°； 当 BA ＝ BP 时，如图③， ∵ BA ＝ BP ，∴∠ BAP ＝∠ BPA ＝20°， ∴∠ ABP ＝180°－∠ BAP －∠ BPA ＝180°－20°－20°＝140°； 当 PA ＝ PB 时，如图④， ∵ PA ＝ PB ，∴∠ BAP ＝∠ ABP ＝20°. 综上所述：当△ ABP 是等腰三角形时，∠ ABP 的度数是 10°，80°，140°或20°. 7. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . (1)当∠ BDA ＝115°时，∠ BAD ＝ ；点 D 从点 B 向点 C 运动时，∠ BDA 逐渐变 (填“大”或 “小”). 25°　 小　 (2)当 DC 的长为多少时，△ ABD 与△ DCE 全等？请说明 理由. 7. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . 解：(2)当 DC ＝2时，△ ABD ≌△ DCE . 理由：∵ AB ＝2， ∴ AB ＝ DC ， ∵ AB ＝ AC ，∴∠ C ＝∠ B ＝40°， ∴∠ DEC ＋∠ EDC ＝140°. ∵∠ ADE ＝40°，∴∠ ADB ＋∠ EDC ＝140°， ∴∠ ADB ＝∠ DEC . 在△ ABD 和△ DCE 中， ∴△ ABD ≌△ DCE (AAS). (3)在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状也在改变，请判 断当∠ BDA 等于多少度时，△ ADE 是等腰三角形.(直 接写出结论，不用说明理由) 解：(3)当∠ BDA 的度数为110°或 80°时，△ ADE 是等腰三角形. 7. 【新趋势·学科内综合】如图所示，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝2，∠ B ＝40°，点 D 在线段 BC 上运动(点 D 不与点 B ， C 重合)，连接 AD ，作∠ ADE ＝40°， DE 交线段 AC 于点 E . 类型七　与构造等腰三角形有关的分类讨论 8. 在平面直角坐标系中， A (2，3)， O 为原点，若点 B 为坐 标轴上一点，且△ AOB 为等腰三角形，则这样的 B 点有 (　C　) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 C 点方法：分别以点 O ， A 为圆心，以 OA 长为半径作圆， 与坐标轴的交点即为所求(不包含点 O )，再作线段 OA 的 垂直平分线，与坐标轴的交点也为所求，作出图形，利用 数形结合求解即可. 9. 【新视角·新定义题】定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线. (1)如图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) 解：(1)如图②. (2)图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出 顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰 三角形顶角的度数. 解：(2)如图③.(答案不唯一) (3)在△ ABC 中，∠ B ＝30°， AD 和 DE 是△ ABC 的三分 线，点 D 在 BC 边上，点 E 在 AC 边上，且 AD ＝ BD ， DE ＝ CE ，设∠ C ＝ x ，求出 x 所有可能的值. 解：(3)如图④，当 AD ＝ AE 时，∵2 x ＋ x ＝30°＋30°，∴ x ＝20°. 如图⑤，当 AD ＝ DE 时， ∵2 x ＋ x ＋30°＋30°＝180°，∴ x ＝40°. ∴ x 的所有可能的值为20°或40°. 10. 【新考法·方程建模法】如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， AC ≤ BC ，将△ ABC 沿 EF 折叠，使点 A 落在直 角边 BC 上的 D 点处，设 EF 与 AB ， AC 边分别交于点 E 、点 F ，如果折叠后△ CDF 与△ BDE 均为等腰三角 形，求∠ B 的度数. 解：∵在△ CDF 中，∠ C ＝90°，且△ CDF 是等腰三 角形， ∴ CF ＝ CD ，∴∠ CFD ＝∠ CDF ＝45°， 连接 AD ，设∠ DAE ＝ x °， 由折叠的性质可知， AF ＝ FD ， AE ＝ DE ， ∴∠ FDA ＝ ∠ CFD ＝22.5°，∠ DEB ＝2 x °. ①如图①，当 DE ＝ DB 时，∠ B ＝∠ DEB ＝2 x °， 由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ， 得45°＋22.5°＋ x °＝4 x °， 解得 x ＝22.5.此时∠ B ＝2 x °＝45°； ②如图②，当 BD ＝ BE 时，则∠ B ＝(180－4 x )°， 由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ， 得45°＋22.5°＋ x °＝2 x °＋180°－4 x °，解得 x ＝37.5， 此时∠ B ＝(180－4 x )°＝30°. ③当 DE ＝ BE 时，则∠ B ＝ (180－2 x )°， 由∠ CDE ＝∠ DEB ＋∠ B ， 得45°＋22.5°＋ x °＝2 x °＋ (180－2 x )°， 此方程无解.∴ DE ＝ BE 不成立. 综上所述，∠ B 的度数为45°或30°. 易错点1.利用等腰三角形的性质解题时，考虑问题不全面导致出错 【例1】已知等腰三角形的一个角是62°，求等腰三角形的另外两个角 的度数. 错解：∵180°－2×62°＝56°，∴等腰三角形的另外两个角分别为 62°，56°. 错解分析：误认为题干所给的角就是底角，从而导致漏解.若题中没有 指出该角是顶角还是底角时，要注意分情况进行讨论. 易混易错 【针对训练】已知一个等腰三角形的两个内角分别为（2 x －2）°和（3 x －5）°，求这个等腰三角形各内角的度数. 解：①当两个底角分别是（2 x －2）°和（3 x －5）°时，2 x －2＝3 x －5，解得 x ＝3. ∴三个内角分别是4°，4°，172°； ③当顶角是（3 x －5）°时，3 x －5＋2（2 x －2）＝180，解得 x ＝27. ∴三个内角分别是76°，52°，52°. 综上所述，这个等腰三角形各内角的度数分别是4°，4°，172°或 46°，67°，67°或76°，52°，52°. ②当顶角是（2 x －2）°时，2 x －2＋2（3 x －5）＝180，解得 x ＝24. ∴三个内角分别是46°，67°，67°； 易错点2.误用等腰三角形“三线合一”的性质 【例2】如图Z13－1－8，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， BD ⊥ AC ，垂足为 D ，∠ A ＝40°，求∠ DBC 的度数. 【针对训练】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝36°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D . 求证： BC ＝ BD . 1.(2023春·虹口区期末)已知等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm,那么这个等腰三角形的周长是 ____ cm. 【解析】解：∵等腰三角形的两条边长分别是3cm、7cm, ∴当此三角形的腰长为3cm时，3+3＜7，不能构成三角形，故排除， ∴此三角形的腰长为7cm,底边长为3cm, ∴此等腰三角形的周长=7+7+3=17cm, 故答案为：17． 17 押题预测 78 2.(2023春·黄浦区期末)阅读并填空： 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是边AC延长线上的一点，E在边AB上，且连接DE交BC于O，如果OE=OD，那么CD=BE，为什么？ 解：过点E作EF∥AC交BC于F， 所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)， ∠D=∠OEF( ___________________________ )， 在△OCD与△OFE中， ， 两直线平行，内错角相等 79 所以△OCD≌OFE，( _____ )， 所以CD=FE( ____________________________ )， 因为AB=AC(已知)， 所以∠ACB=∠B( _____________ )， 所以∠EFB=∠B(等量代换)， 所以BE=FE， 所以CD=BE． 【解析】解：过点E作EF∥AC交BC于F， 所以∠ACB=∠EFB(两直线平行，同位角相等)， ∠D=∠OEF(两直线平行，内错角相等)， ASA 全等三角形的对应边相等 等边对等角 80 在△OCD与△OFE中， ， 所以△OCD≌OFE(ASA)， 所以CD=FE(全等三角形的对应边相等)， 因为AB=AC(已知)， 所以∠ACB=∠B(等边对等角)， 所以∠EFB=∠B(等量代换)， 所以BE=FE， 所以CD=BE． 故答案为：两直线平行，内错角相等；对顶角相等；ASA；全等三角形的对应边相等；等边对等角． 81 3.(2023春·杨浦区期末 )已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A． (1)如图1，试说明CD=CB的理由； (2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． ________ 【解析】解：(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC=∠A+∠ACD， ∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A， ∴∠BDC=∠ACB， ∴∠ABC=∠BDC． ∴CD=CB； 82 (2)①∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠ACB=90°， 设∠CBE=α，则∠ACB=90°-α， ∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α， ∴∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α， ∴∠BCD=2∠CBE； 3.(2023春·杨浦区期末 )已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A． (1)如图1，试说明CD=CB的理由； (2)如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD=2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． ________ 83 ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α， 分三种情况：当BD=BF时，∴∠BDC=∠BFD=3α， ∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α，∴90°-α=3α， ∴α=22.5°，∴∠A=∠BCD=2α=45°； 当DB=DF时，∴∠DBE=∠BFD=3α， ∵∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-α-α=90°-2α， ∴90°-2α=3α，∴α=18°，∴∠A=∠BCD=2α=36°； 当FB=FD时，∴∠DBE=∠BDF， ∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB=FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 84 证明：∵ AB ＝ BC ＝ AC ， ∴△ ABC 是等边三角形. ∴∠ BAC ＝∠ C ＝60°. 在△ ADC 和△ BEA 中， ∴△ ADC ≌△ BEA （SAS）. 证明：∵ AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，∠ BAC ＝120°， ∴∠ BAD ＝∠ DAC ＝ ∠ BAC ＝60°. ∵ AD ＝ AB ， ∴△ ABD 是等边三角形. 证明：∵△ ABD 是等边三角形， ∴∠ ABD ＝∠ ADB ＝60°， BD ＝ AD . ∵∠ EDF ＝60°， ∴∠ BDE ＝∠ ADF . 在△ BDE 和△ ADF 中， ∴△ BDE ≌△ ADF （ASA）. ∴ BE ＝ AF . 解：∵△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形， ∴∠ ACM ＝∠ BCN ＝60°， AC ＝ MC ， CN ＝ CB . ∴∠ ACM ＋∠ MCN ＝∠ BCN ＋∠ MCN ， 即∠ ACN ＝∠ MCB . 在△ CAN 和△ CMB 中， ∴△ CAN ≌△ CMB . ∴∠ CNA ＝∠ CBM . ∵∠ OFN ＝∠ CFB ， ∴∠ BON ＝∠ BCN ＝60°. 证明：∵△ ABC 和△ CDE 都是等边三角形， ∴ AC ＝ BC ， CD ＝ CE ，∠ ACB ＝∠ DCE ＝60°. ∴∠ ACB ＋∠ BCE ＝∠ DCE ＋∠ BCE ，即∠ ACE ＝∠ BCD . 在△ ACE 和△ BCD 中，， ∴△ ACE ≌△ BCD （SAS）. ∴ AE ＝ BD . 理由如下： ∵∠ DAE ＝∠ BAC ＝90°， ∴∠ DAE ＋∠ BAE ＝∠ BAC ＋∠ BAE ， 即∠ DAB ＝∠ EAC . 在△ DAB 和△ EAC 中，， ∴△ DAB ≌△ EAC （SAS）. ∴ BD ＝ CE ，∠ DBA ＝∠ ECA . ∵∠ ECA ＋∠ ECB ＋∠ ABC ＝90°， ∴∠ DBA ＋∠ ECB ＋∠ ABC ＝90°， 即∠ DBC ＋∠ ECB ＝90°. ∴∠ BPC ＝180°－（∠ DBC ＋∠ ECB ）＝90°. ∴ BD ⊥ CE . 综上所述， BD ＝ CE 且 BD ⊥ CE . 正解：①当该角是底角时，180°－2×62°＝56°，∴另外两个角分别 为62°，56°；②当该角是顶角时， ＝59°，∴另外两个角 分别为59°，59°. 综上所述，等腰三角形的另外两个角分别为62°，56°或59°，59°. 错解：在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝40°， ∴∠ C ＝∠ ABC ＝ ＝70°. ∵ BD ⊥ AC ， ∴∠ BDC ＝90°.∴∠ DBC ＝ ＝35°. 错解分析：误认为等腰三角形的高就是“三线合一”中的一条线，忽视 高的位置必须是等腰三角形底边上的高. 正解：在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝40°，∴∠ C ＝∠ ABC ＝ ＝70°.∵ BD ⊥ AC ，∴∠ BDC ＝90°.∴∠ DBC ＝90°－ 70°＝20°. 证明：∵ AB ＝ AC ，∠ A ＝36°， ∴∠ ABC ＝∠ C ＝ ＝72°. ∵ BD 平分∠ ABC ， ∴∠ ABD ＝ ∠ ABC ＝36°. ∴∠ BDC ＝∠ ABD ＋∠ A ＝72°. ∴∠ BDC ＝∠ C . ∴ BC ＝ BD . $$