辽宁省抚顺市四方高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（B）

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦解析几何与立体几何核心内容，以阿波罗尼斯圆等历史素材渗透文化传承，通过双曲线与圆综合题等设计，考查空间观念、运算能力及逻辑推理，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线方程、椭圆方程、异面直线成角|第7题以阿波罗尼斯圆为背景，体现数学文化| |多选|3/18|椭圆方程、圆的性质、立体几何轨迹|第11题结合正方体动点轨迹，考查空间想象| |填空|3/15|直线与圆位置关系、点到直线距离|第14题椭圆与圆最值问题，融合几何直观| |解答|5/77|双曲线方程、立体几何证明、圆的综合|第15题双曲线定点证明，第19题双曲线与圆面积最值，突出逻辑推理与运算能力，贴合高考命题趋势|

2024—2025学年（上）高二年级期中考试（B） 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ） A. －1 B. C. D. 3. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若方程表示椭圆，则的值可以为（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 10. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（　　） A. 圆心C的坐标为 B. 点Q在圆C外 C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为 D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为 11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ） A. 无论M，N在何位置，为异面直线 B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为 C. M，N存在唯一的位置，使平面 D. AP与平面所成角的正弦最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线：与圆：有两个交点，则可以是_______.（写出满足条件的一个值即可） 13. 已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知双曲线的右顶点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点，过且垂直于轴的直线与直线交于点，证明：以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 16. 如图，AB是圆的直径，平面PAC面ACB，且APAC. （1）求证：平面； （2）若，求直线AC与面PBC所成角的正弦值. 17. 已知圆，直线. （1）求证：直线l与圆C恒有两个交点； （2）若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 18. 设双曲线，直线与交于两点. （1）求的取值范围； （2）已知上存在异于的两点，使得. （i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）； （ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围. 19. 已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限． （1）求点横坐标的取值范围； （2）线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值． 2024—2025学年（上）高二年级期中考试（B） 数 学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】（答案不唯一） 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）证明：如图所示，记，并设的中点为，设， 由于，假设的斜率不存在， 那么的方程是，该直线与只有一个公共点，矛盾； 所以的斜率存在，故可设其方程为. 将该直线与联立，得， 即. 所以该方程的两根之和为. 但，故此方程已有一根，从而另一根为. 又. 此时，由，知直线的方程为， 而过且垂直于轴的直线为，故. 这就得到的中点的坐标为. 由于 . 所以圆心在直线上， 设原点关于直线的对称点为, 则有，解得， 所以， 因为，点O在圆上，所以点T也在圆上， 故以线段的中点为圆心且过坐标原点的圆一定经过. 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC， 所以PA面ACB，又因为平面PBC， 所以PA，又因为AB是圆的直径，所以， 因为平面， 所以平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） 因为直线可变形为， 所以，解得， 故直线经过的定点为. 将点代入圆的方程有， 所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点. （2）面积最大值为，或. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $