数轴 相反数-2025年小升初衔接

数轴 相反数 数轴 思维导图 数轴的画法 用数轴上的点表示有理数 知识清单 数轴与有理数的关系 相反数的概念 多重符号的化简 数轴的三要素及画法 数轴 相反数 用数轴上的点表示有理数 利用数轴比较有理数大小 题型精讲 数轴上的动点问题 相反数的定义 判断是否互为相反数 相反数的应用 化简多重符号 课堂练习 课后作业 知识点一、数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向． （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． 知识点二、数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 要点：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取． 确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 知识点三、用数轴上的点表示有理数 例如，2可以用数轴上位于原点右边、距离原点2个单位长度的点表示，3.4可以用数轴上位于原点右边、距离原点3.4个单位长度的点表示，-3可-3以用数轴上位于原点左边、距离原点3个单位膝度的点表示. 知识点四、数轴与有理数的关系 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π． 要点：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． 一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 知识点五、由数轴上离原点距离相等的点引出相反数概念 在数轴上，与原点的距离是3个单位长度的点有几个?这些点表示的数分别是多少? 可以发现，数轴上与原点距离3个单位长度的点有两个，它们表示的分别是3和-3。 3和-3只有符号不同，一正一负；从数轴上看，表标3和-3的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等. 像3和-3这样，只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的的相反数；3与-3互为相反数 相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 一般地，数a和数-a互为相反数，也就是数a的相反数是-a，数-a的相反数是a，这里的的a表示一个有理数。 要点：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 知识点六、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． 在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 题型1：数轴的三要素及画法 【例1】画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 【答案】 直线 O 原点 单位长度 右 正方向 【解析】略 【变式1-1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，进行判断即可． 【解析】解：∵数轴要有三要素：单位长度，原点，正方向，并且数轴上表示的数从左到右增大， ∴四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的定义．熟练掌握数轴的三要素：原点，单位长度和正方向，是解题的关键． 【变式1-2】在下列选项中数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【解析】解：A.各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； B.数轴为直线，可以无限延伸，故此选项错误，不符合题意； C.规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D.没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握数轴是一条规定了正方向、原点、单位长度的直线是解题的关键． 题型2：用数轴上的点表示有理数 【例2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A． ①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④ 【解析】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键． 【变式2-1】写出数轴上A、B两点所表示的最简分数 A点表示________ B点表示_______ 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置进行求解即可． 【解析】解：由题意得，A点表示，B点表示， 故答案为：①，②． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，正确读懂数轴是解题的关键． 【变式2-2】如图，在数轴上点M表示的数可能是（    ）    A． B． C．1.5 D．2.3 【答案】A 【分析】根据题意可得所表示的数在与之间进行判定即可得出答案． 【解析】解：设表示的数为， 由数轴可知：， ∴可能是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解决本题的关键． 【变式2-3】如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数是，那么点表示的数是（  ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上两点间的距离，进行计算即可解答． 【解析】解：点在点的右边，且距点共3个单位长度， 点表示的数， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【变式2-4】下列说法中正确的是(   ) A．无法用数轴上的点表示，因为5不能被6整除 B．数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是2 C．数轴上，在1和3之间只有一个数2 D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点3个单位长度 【答案】D 【分析】根据有理数与数轴的关系理解判断即可． 【解析】A. 能用数轴上的点表示，故不符合题意； B.数轴上距离原点个单位长度的点表示的数是或，故不符合题意； C.数轴上，在和之间有无数个数，故不符合题意； D. 数轴上表示的点在原点左侧且距离原点个单位长度，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数与数轴的关系，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 【变式2-5】在数轴上位于和3之间（不包括和3）的整数有（    ） A．7个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据数轴的特点，找出大于小于3的整数点，即可得到结果． 【解析】解：数轴上位于和3之间（不包括和3）的整数点有：，共5个． 故选：B． 【点睛】此题考查了数轴的特点，熟练掌握数轴上点的特征是解本题的关键． 【变式2-6】数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（　  　） A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边 C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边 【答案】D 【分析】由于不知道数m的数值，所以不清楚点A与点C，点A与点B的位置关系，再根据点B，C分别表示数m，即可判断． 【解析】解：∵m的数值未知， ∴点A与点C，点A与点B的位置关系未知， ∵点B，C分别表示数m，， 即点B向左移动一个单位得到C， ∴点C一定在点B的左边， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴，掌握在数轴上，右边的数总比左边大是解题关键． 题型3：利用数轴比较有理数的大小 【例3】数轴上表示的点在原点的____侧，所以比0_____．(填“大”或“小”) 【答案】 左 小 【分析】根据数轴上原点左侧的数是负数，并且数轴上左边的数小于右边的数即可得到答案． 【解析】解：数轴上表示的点在原点的左侧，所以比0小， 故答案为：左，小． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，利用数轴比较有理数大小，熟知有理数与数轴的关系是解题的关键． 【变式3-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【解析】解：点在的左边， ，故A错误，不符合题意； 点在1的右边， ，故B错误，不符合题意； 点在点的左边， ，故C错误，不符合题意； ， ， ，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点的特征，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【变式3-2】已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）    【答案】< 【分析】根据在数轴上右边的数据大于左边的数据即可得出答案． 【解析】解： 在n的左边， ， 故答案为：<． 【点睛】此题考查了实数与数轴，正确掌握数轴上数据大小关系是解题关键． 【变式3-3】如图，点M表示数m，点N表示数n，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴确定m,n的取值范围，再进一步判断，即可． 【解析】由数轴知， ∴，； 故选：C． 【点睛】本题考查数轴以及数轴上点表示的数，根据数轴得出m，n的取值范围及大小关系是解题的关键． 【变式3-4】点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比0小 【答案】C 【分析】由数轴可得点A表示的数小于点B表示的数小于0，据此判断即可． 【解析】由数轴可得，点A表示的数小于点B表示的数小于0， 故点A、点B表示的数都是负数，都小于0，故选项A、B、D正确； 点A在点B的左边，即点A表示的数比点B表示的数小，故选项C错误． 故选：C 【点睛】本题考查有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 【变式3-5】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从数轴得出，据此判断即可． 【解析】解：由题意可知，，且， ∴，故选项A不合题意； ∴，故选项B合题意； ∴，故选项C不合题意； ∴，故选项D符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 题型4：数轴上的动点问题 【例4】如果点A是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动6个单位长度到点B，则点B表示的数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查数轴．根据数轴上点的移动规律“左减右加”的计算方法可得求解． 【解析】解：由题意得，点表示的数为． 故答案为：3． 【变式4-1】在数轴上，点P从某点A表示的数是开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达点B表示的数是 ． 【答案】0 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【解析】解：点从数轴上表示的点开始移动， 点表示的数是， 点向右移动个单位长度， 点表示的数是， 又向左移动个单位长度， 点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，利用数轴上的点左移减，右移加是解题的关键 【变式4-2】一个点从数轴上表示的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据数轴的特点向左移动减，向右移动加，求解即可. 【解析】解：， 故选：C. 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的知识是解题的关键. 【变式4-3】如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（    ） A．0 B． C．0.5 D．2 【答案】B 【分析】判断点P所在的大概位置，估计即可． 【解析】∵点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P， ∴点P在原点左边，即点P表示的数为负数 故选：B． 【点睛】本题考查本题考查的是数轴，关键是熟悉数轴上的点左减右加的知识点． 【变式4-4】把长为2022个单位长度的线段AB放在单位长度为1的数轴上，则线段AB能盖住的整点有（   ） A．2021个 B．2022个 C．2021或2022个 D．2022或2023个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【解析】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 【变式4-5】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（　　） A． 点C B．点D C．点A D．点B 【答案】B 【分析】通过题意得到4个数为一个循环，由2020÷4=505，得到2020对应点D． 【解析】解：在翻转过程中，1对应的数是A，2对应的数是B，3对应的数是C，4对应的数是D，…依次4次一循环的出现， ∵， ∴2020所对应的点是D， 故选：B． 【点睛】本题考查实数与数轴，能够确定多少个数为一个循环是解答本题的关键． 【变式4-6】如图，数轴上有一个点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位长度，经过5次跳动，点落在表示数3的点上，则点的不同运动方案共有___________种． 【答案】 【分析】根据题意可以用列举法把符合要求的方案写出来，从而得到问题的答案． 【解析】解：根据题意，动点的不同运动方案为： 方案一：； 方案二：； 方案三：； 方案四：； 方案五：； 共计5种． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴，解题的关键是可以根据题目中的信息，把符合要求的方案列举出来． 题型5：相反数的定义 【例5】的相反数是（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【解析】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【变式5-1】如果一个数与互为相反数，那么这个数是______． 【答案】 【分析】直接利用相反数的定义得出答案． 【解析】解：一个数与互为相反数， 这个数是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数 题型6：判断是否互为相反数 【例6】下列各数中，不是互为相反数的是（    ） A．0与0 B．与 C．6与 D．与 【答案】C 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；即可解答． 【解析】解：A、0与0互为相反数，不符合题意； B、与互为相反数，不符合题意； C、6与互为倒数，不是相反数，符合题意； D、与 互为相反数，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义． 【变式6-1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义进行判断即可． 【解析】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； ∵，，不互为相反数，故C不符合题意； ∵，， ∴与互为相反数，故D符合题意； 故选：D． 题型7：化简多重符号 【例7】________，________． 【答案】 【分析】根据相反数的意义，化简多重符号即可求解． 【解析】解：，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 【变式7-1】化简符号： ___________． 【答案】 【分析】根据多重符号的化简规律即可解答． 【解析】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数、多重符号化简等知识点，掌握多重符号的化简规律：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． 【变式7-2】化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【解析】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，掌握相反数表示相反意义的量是解答本题的关键． 题型8：相反数的应用 【例8】如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的应用，根据相反数的定义：相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，即可得到答案，掌握相反数的定义是解题的关键． 【解析】解：∵与互为相反数， ∴的值是， 故选：D． 【变式8-1】若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是相反数和有理数的加法，解题关键是熟记相反数的性质． 依据相反数的定义可得到，然后代入计算即可． 【解析】解：∵与互为相反数， ∴． ∴． 故选A． 【变式8-2】已知与互为相反数，则__________ 【答案】 【分析】根据互为相反数的两数和为0，列出方程，解法方程即可求解． 【解析】解：∵与互为相反数， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了相反数的意义，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式8-3】若不为的有理数与互为相反数，同学们化简后得出了下列不同的结果：①；②；③；④.其中结果错误的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互为相反的两个数的和是即可得到正确选项． 【解析】解：∵不为的有理数与互为相反数， ∴, ∴①②③错误，④正确； 故选． 【点睛】本题考查了相反数的定义和性质，熟记相反数的性质以及定义是解题的关键． 【变式8-4】若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______． 【答案】1 【分析】根据题意求得a与b的关系，c，d的值，代入代数式求值． 【解析】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c是最小的非负数， ∴， ∵d是最小的正整数， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查互为相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 题型一 数轴的三要素及画法 1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键．根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】解：A．没有正方向，错误，不符合题意； B．单位长度不相等，错误，不符合题意； C．有正方向，原点，单位长度相等，正确，符合题意； D．选项没有原点，错误，不符合题意． 故选：C． 2．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键，数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【详解】解：A、没有正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B、负半轴的数据标注错误，不是数轴，故本选项不符合题意； C、单位长度不等，不是数轴，故本选项不符合题意； D、符合数轴的定义，是数轴，故本选项符合题意； 故选：D． 3．如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的三要素和画法，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答本题的关键． 根据数轴的特点进行解答即可． 【详解】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；（4）符合数轴的特点，正确． 故选：A． 4．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了数轴的三要素：原点，正方向，单位长度．熟记数轴的三要素是解题的关键．数轴利用数轴的概念和三要素（原点、正方向和单位长度）来判断正误． 【详解】解：A、单位长度不均匀，故错误； B、正确； C、数据顺序不对，故错误； D、没有正方向，故错误． 故选：B． 5．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    题型二 用数轴上的点表示有理数 1．数轴上点表示的数是( )，点表示的数写成分数是( )，点表示的数写成小数是( )．    【答案】 1.4 【分析】本题主要考查了用有理数表示数轴上的点，根据数轴写出答案即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数写成分数是，点表示的数写成小数是1.4． 故答案为：，，1.4． 2．如图，若点D所表示的数是20，则点A所表示的数是 ；若点C所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 利用数轴的知识解答． 【详解】解：若点D所表示的数是20，则点A所表示的数是；若点C所表示的数是，则点B所表示的数是． 故答案为：；． 3．如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴，掌握数轴的概念，正确计算是解题的关键． 首先可得，再由点A在原点的左边，可得结果． 【详解】， ， 点A表示的数为． 故答案为：． 4．若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系求解即可得． 【详解】解：A、由数轴可知，，则此项不符合题意； B、由数轴可知，，则此项不符合题意； C、由数轴可知，，则此项不符合题意； D、由数轴可知，，则此项符合题意； 故选：D． 5．数轴上点M到表示的点的距离是5，则点M表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查数轴，根据数轴上的点所表示的数的特征即可解决问题． 【详解】解：因为数轴上到表示-1的点的距离是5的点有两个， 且， 所以点M表示的数是或4． 故选：C． 题型三 有理数大小比较 1．在，，0，1这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．根据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”，得出答案即可． 【详解】解：根据“两个负数相比较，绝对值大的反而小”， 得到， 故选A． 2．下列各数中最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数小于，小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，据此即可作答． 【详解】解：，， ， 故选：D 3．下面各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数比较大小，将百分数，分数，小数转换一致，进行比较即可求解，掌握百分数，分数，小数之间的相互转换是解题的关键． 【详解】解：， ∴，即， ∴只有D选项符合题意， 故选：D ． 4．下列各数中比大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知有理数比较大小的方法是解题的关键：正数大于，大于负数，两个负数比较大小，其绝对值越大其值越小．根据有理数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴下列各数中比大的是， 故选． 5．在有理数、、、中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：因为， 所有最小的数是． 故选：C． 题型四 相反数的定义 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据“只有符号相反的两个数互为相反数”进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2．的相反数是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数是互为相反数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是3． 故选：A． 3．2024的相反数是（   ） A．2021 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可解答． 【详解】解：2024的相反数是， 故选：B． 4．8的相反数是（   ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键． 直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案． 【详解】解：8的相反数是． 故选：C． 5．的相反数是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零”即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：的相反数是2， 故选：D ． 题型五 判断是否互为相反数 1．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的绝对值和相反数，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 先化简A、B、D三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A．和2不互为相反数，故本选项不符合题意； B．6和互为相反数，故本选项符合题意； C．和不互为相反数，故本选项不符合题意； D．7和不互为相反数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．利用相反数的定义判断． 【详解】解：3和不互为相反数，选项不符合题意； 3和互为相反数，选项符合题意； ，两个数不互为相反数，选项不符合题意； ，两个数不互为相反数，选项不符合题意． 故选：． 3．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故A不符合题意； B．∵， ∴与相等，不是互为相反数，故B不符合题意； C．∵，， ∴与互为相反数，故C符合题意； D．与不互为相反数，故D不符合题意． 故选：C． 4．下列互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与5 D．与4 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，绝对值．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可． 【详解】解：A、，，∴与相等，不是相反数，故本选项不符合题意； B、，∴与不是相反数，故本选项不符合题意； C、，∴与5互为相反数，故本选项符合题意； D．，∴与4相等，不是相反数，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简多重符合，相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 故选：C． 题型六 化简多重符号 1．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可；然后根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； ①当前面有2012个负号，化简后结果是； ②当前面有2013个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 2．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；． 【答案】 3 【分析】该题主要考查了相反数的定义，去括号．解题的关键是根据相反数的定义去括号． 根据相反数的定义去括号即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：3；；；． 3． ， 【答案】 2 【分析】本题考查了相反数，相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．掌握相反数的定义是解答本题的关键． 根据多重符号化简，即可解答． 【详解】解：；；． 故答案为：；；2． 4．下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据多重符号的化简方法化简即可． 【详解】解∶A．，原化简错误，不符合题意； B．，原化简正确，符合题意； C．，原化简错误，不符合题意； D．，原化简错误，不符合题意； 故选∶B ． 5．的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义直接解答即可．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：的相反数是． 故选：C． 题型七 相反数意义的量 1．我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵收入100元记作元， ∴元表示支出80元， 故选：D． 2．小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（　　） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【答案】B 【分析】根据表示收入5.20元，可以得出“收入”用正数表示，从而“支出”就用负数表示，得出答案． 【详解】解：∵表示收入5.20元，“收入”用正数表示， ∴“支出”就用负数表示， ∴表示支出1.00元， 故选：B． 3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反意义的量，解答即可． 本题考查了相反意义的量，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得零上记作，则零下可记作， 故选：C． 4．下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．气温上升和零下 B．胜2局和负4局 C．身高增加和体重下降 D．向上和向右 【答案】B 【分析】此题主要考查了正数与负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：A、气温上升和零下不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； B、胜2局和负4局是一对相反意义的量，故此选项符合题意； C、身高增加和体重下降不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意； D、向上和向右不是一对相反意义的量，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可解答． 【详解】粮库把运进20吨粮食记为“”， “”表示为运出20吨粮食， 故选：B． 一、单选题 1．四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴的判断，根据一条带有方向，坐标原点，单位长度的直线叫数轴逐个判断即可得到答案； 【解析】A选项方向与数不对应，不符合题意， B选项图形正确，符合题意， C选项图形无原点不符合题意， D选项图形无单位长度不符合题意， 故选：B． 2．的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相反数，根据“绝对值相同、符号相反的两个数互为相反数”即可求解． 【解析】解：的相反数是． 故选：A． 3．计算：（         ） A． B．-3 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了求有理数的相反数，根据相反数定义进行计算即可． 【解析】解：， 故选：D 4．在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】首先把各式化简，然后根据大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，即可求得答案． 【解析】解：∵，，， ∴负数有：，，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了正、负数的定义，解题关键是能正确化简各数并牢记大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数等概念． 5．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【解析】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 6．下列说法不正确的是（    ） A．不同的两个数叫做互为相反数 B．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数 C．若的相反数是正数，则一定是负数 D．若和互为相反数，则 【答案】A 【分析】互为相反数的两数只有符号不同，负数的相反数是正数．本题考查相反数，能正确理解相反数在数轴上的位置关系是解决本题的关键． 【解析】解：．只有符号不同的两个数互为相反数，错误，故符合题意． ．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数，正确，故不符合题意． ．若的相反数是正数，则一定是负数，正确，故不符合题意． ．若和互为相反数，则，正确．故不符合题意． 故选：． 7．如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，由数轴可得，，即可判定． 【解析】解：由数轴可得， ∴， 故选：C． 8．若M﹣1的相反数是3，那么﹣M的值是（　　） A．+2 B．﹣2 C．+3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得关于M的方程，根据解方程，可得M的值，再根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，可得答案． 【解析】解：由M﹣1的相反数是3，得： M﹣1=﹣3， 解得M=﹣2． ﹣M=+2． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 9．若数轴上，点A表示－1，AB距离是3，点C与点B互为相反数，则点C表示（    ） A． B． C．-4或2      D．4或-2 【答案】D 【分析】先确定B点表示的数，分两种情况，B点在A点的左边、右边，再根据点C与点B互为相反数，求C点表示的数即可． 【解析】∵点A表示－1，AB距离是3 ∴B点表示的数为-4或2 ∵点C与点B互为相反数 ∴点C表示为4或-2 故选：D 【点睛】本题考查的是数轴上的点之间的距离及相反数，注意分类讨论求得B点表示的数是关键． 10．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴和数轴上两点间的距离，解题的关键是求出的长度．根据图1算出的长度13，图2中的，用就是的长度，用两点之间的距离公式得出点表示的数． 【解析】解：图1：， 图， ， 点表示的数是：， 故选：B 二、填空题 11．的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数（零的相反数是零）是解题的关键．根据相反数的定义进行求解即可． 【解析】解：的相反数是； 故答案为： 12．（1） ；                 （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负． 根据化简符号的规律进行解答即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 13．如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题考查了利用数轴进行比较大小，根据越在数轴的右边的数越大，即可作答． 【解析】解：由数轴可知 ∴ 故答案为：＜ 14．如图，被墨迹盖住的数中，整数一共有 个． 【答案】10 【分析】本题考查用数轴表示有理数，根据图形，求出被墨迹盖住的数，即可． 【解析】解：由图可知，被墨迹盖住的数中，整数有，共10个； 故答案为：10． 15．数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴．根据数轴上点的特点即可求解． 【解析】解：在数轴上距离原点7的点有两个，所表示的数是． 故答案为：． 16．点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【解析】根据平移规律，得，， 故点B表示的数是4， 故答案为：4． 17．在数轴上表示的点，沿数轴正方向移动个单位，移动后的点所对应的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的特点，掌握数轴上两点间的距离公式求解即可． 根据数轴的特点进行解答即可． 【解析】解：由题意得：， 故答案为：． 18．数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，A在B的左侧，并且这两点的距离是，则点 A 表示的数是 . 【答案】 【分析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：①0的相反数为0，②可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，根据相反数的概念得A和B是一个正数和一个负数，且距离为；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数，即可得到结果． 【解析】解：， ∵A在B的左侧， ∴A表示的数为：， 故答案为：． 三、解答题 19．在数轴上表示下列各数及相反数，并用“<”将它们连接起来． 4，，，0， 【答案】图见解析，． 【分析】先写出各数的相反数，再将这些数以及它们的相反数在数轴上表示出来，并根据数轴用“<”把这些数连接起来． 【解析】解：4的相反数是，互为相反数，互为相反数，互为相反数，0的相反数是0， 表示在数轴上，如图， ． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示数，根据数轴比较大小，相反数的定义，数形结合是解题的关键． 20．化简下列各数： (1)+（﹣3）； (2)﹣（+5）； (3)﹣（﹣3.4）； (4)﹣[+（﹣8）]； (5)﹣[﹣（﹣9）]． 【答案】(1) (2) (3)3.4 (4)8 (5) 【分析】（1）根据+（﹣3）表示﹣3的本身求解即可； （2）根据﹣（+5）表示+5的相反数求解即可； （3）根据﹣（﹣3.4）表示﹣3.4的相反数求解即可； （4）根据﹣[+（﹣8）] 表示﹣8的相反数求解即可； （5）根据﹣[﹣（﹣9）] 表示﹣9的本身求解即可． 【解析】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】此题主要考查了相反数的意义，正确发现符号变化规律是解题关键． 21．字母a表示一个有理数，表示什么数？一定是负数吗？ 【答案】表示a的相反数，不一定是负数 【分析】根据相反数的定义、有理数的分类分析，即可求得答案． 【解析】表示a的相反数，不一定是负数； 当a是正数时，是负数； 当a是负数时，是正数； 当a是0时，是0． 【点睛】本题考查了相反数的定义，有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键． 22．若，化简，再确定它的符号． 【答案】，符号为正 【分析】直接利用去括号法则进而化简得出答案． 【解析】解：，因为，则，即它的符号为正． 【点睛】此题主要考查了相反数，正确掌握去括号法则是解题关键． 23．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．用不等号把，，，连接起来． 【答案】 【解析】略 24．有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【答案】(1)5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是 (2)见解析 (3) (4)比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，涉及相反数、有理数大小比较等知识，解题的关键是把这些数表示在数轴上． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）将这些数及它们的相反数表示在同一条数轴即可； （3）根据数轴上表示的数，从右到左写出这些数，用连接即可； （4）根据数轴上表示的数，写出比小的最大整数，比5大的最小整数即可． 【解析】（1）解：5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是； （2）解：将它们表示在数轴上，如图： ； （3）解：用“”连接为：； （4）解：比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6． 25．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 【答案】点B，C所表示的数是和5或和11 【分析】本题考查相反数、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以得到点C表示的数，由点B，C表示互为相反数的两个数，可以得到点B表示的数，本题得以解决． 【解析】解：∵点A表示数8，点C和点A之间的距离为3， ∴点C表示的数是或， ∵点B，C表示互为相反数的两个数， ∴点B表示的数是或， 由上可得，点B，C所表示的数是和5或和11． 26．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】(1)、1、4 (2)7；10 (3)点B向左移动2个单位 【分析】本题考查了是数轴，运用数轴上点的移动和数的大小变化规律是左减右加是解答此题的关键． （1）本题可直接根据数轴观察出A、B、C三点所对应的数； （2）根据数轴的几何意义，根据图示直接回答； （3）由于，则点B到点A和点C的距离都是5，此时将点B向左移动2个单位即可． 【解析】（1）解：根据图示可知：A、B、C这三个点表示的数各是、1、4， 故答案为：；1；4． （2）解：根据图示知：的距离是；的距离是， 故答案为：7；10； （3）解：∵A、C的距离是10， ∴点B到点A和点C的距离都是5， ∴应将点B向左移动2个单位，使点B表示的数为，． 27．【数形结合思想】已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示： (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的位置； (3)若与相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)是负数，是正数； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据点在数轴上的位置即可得到答案； （2）根据数轴上互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等即可得到答案； （3）与相隔2024个单位长度，且与分别位于原点的两侧，到原点的距离相等，位于原点的左侧，即可得到答案 【解析】（1）解：∵在原点的左边，在原点的右边， ∴， 即是负数，是正数； （2）在数轴上标出的相反数的位置如图所示， （3）∵与相隔2024个单位长度，且与分别位于原点的两侧，到原点的距离相等，位于原点的左侧， ∴数是， 【点睛】此题考查了数轴的定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握数轴和相反数的几何意义进行解题． 28．（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥； （2）当前面有2022负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 【分析】本题考查的是相反数的概念和多重符号化简，掌握一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数是解题的关键． 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．多重符号的化简：与“”个数无关，有奇数个“”号结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【解析】解：（1）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； （2）当前面有2022个负号，化简后结果是．当前面有2022个负号，化简后结果是； （3）规律：在一个数的前面有偶数个负号，化简结果是本身；在一个数的前面有奇数个负号，化简结果是这个数的相反数． 没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数轴 相反数 数轴 思维导图 数轴的画法 用数轴上的点表示有理数 知识清单 数轴与有理数的关系 相反数的概念 多重符号的化简 数轴的三要素及画法 数轴 相反数 用数轴上的点表示有理数 利用数轴比较有理数大小 题型精讲 数轴上的动点问题 相反数的定义 判断是否互为相反数 相反数的应用 课堂练习 课后作业 化简多重符号 知识点一、数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点：（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向． （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等． 知识点二、数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 要点：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取． 确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 知识点三、用数轴上的点表示有理数 例如，2可以用数轴上位于原点右边、距离原点2个单位长度的点表示，3.4可以用数轴上位于原点右边、距离原点3.4个单位长度的点表示，-3可-3以用数轴上位于原点左边、距离原点3个单位膝度的点表示. 知识点四、数轴与有理数的关系 每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π． 要点：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． 一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 知识点五、由数轴上离原点距离相等的点引出相反数概念 在数轴上，与原点的距离是3个单位长度的点有几个?这些点表示的数分别是多少? 可以发现，数轴上与原点距离3个单位长度的点有两个，它们表示的分别是3和-3。 3和-3只有符号不同，一正一负；从数轴上看，表标3和-3的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等. 像3和-3这样，只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的的相反数；3与-3互为相反数 相反数的定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 一般地，数a和数-a互为相反数，也就是数a的相反数是-a，数-a的相反数是a，这里的的a表示一个有理数。 要点：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）． （2）互为相反数的两数和为0． 知识点六、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． 在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 题型1：数轴的三要素及画法 【例1】画一条水平_____，在直线上取一点，表示____（叫做______），选取某一适当长度为____，规定直线上向___的方向为____，就得到一条数轴． 【变式1-1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】在下列选项中数轴画法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2：用数轴上的点表示有理数 【例2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【变式2-1】写出数轴上A、B两点所表示的最简分数 A点表示________ B点表示_______ 【变式2-2】如图，在数轴上点M表示的数可能是（    ）    A． B． C．1.5 D．2.3 【变式2-3】如图，数轴的单位长度为，如果点表示的数是，那么点表示的数是（  ） A． B．0 C．1 D．3 【变式2-4】下列说法中正确的是(   ) A．无法用数轴上的点表示，因为5不能被6整除 B．数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是2 C．数轴上，在1和3之间只有一个数2 D．数轴上表示的点在原点左侧且距离原点3个单位长度 【变式2-5】在数轴上位于和3之间（不包括和3）的整数有（    ） A．7个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2-6】数轴上点A，B，C分别表示数，m，，下列说法正确的是（　  　） A．点C一定在点A的右边 B．点C一定在点A的左边 C．点C一定在点B的右边 D．点C一定在点B的左边 题型3：利用数轴比较有理数的大小 【例3】数轴上表示的点在原点的____侧，所以比0_____．(填“大”或“小”) 【变式3-1】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则m_______n．（填“<”、“>”或“=”）    【变式3-3】如图，点M表示数m，点N表示数n，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比0小 【变式3-5】如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4：数轴上的动点问题 【例4】如果点A是数轴上表示的点，将点在数轴上向右移动6个单位长度到点B，则点B表示的数为 ． 【变式4-1】在数轴上，点P从某点A表示的数是开始移动，先向右移动5个单位长度，再向左移动4个单位长度，最后到达点B表示的数是 ． 【变式4-2】一个点从数轴上表示的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（    ） A． B． C．3 D．2 B． 【变式4-3】如图，在数轴上，点A表示的数是6，将点A沿数轴向左移动个单位长度得到点P，则点P表示的数可能是（    ） A．0 B． C．0.5 D．2 【变式4-4】把长为2022个单位长度的线段AB放在单位长度为1的数轴上，则线段AB能盖住的整点有（   ） A．2021个 B．2022个 C．2021或2022个 D．2022或2023个 【变式4-5】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（　　） A．点C B．点D C．点A D．点B 【变式4-6】如图，数轴上有一个点从原点出发，沿数轴跳动，每次向正方向或负方向跳个单位长度，经过5次跳动，点落在表示数3的点上，则点的不同运动方案共有___________种． 题型5：相反数的定义 【例5】的相反数是（    ） A． B． C．2023 D． 【变式5-1】如果一个数与互为相反数，那么这个数是______． 题型6：判断是否互为相反数 【例6】下列各数中，不是互为相反数的是（    ） A．0与0 B．与 C．6与 D．与 【变式6-1】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型7：化简多重符号 【例7】________，________． 【变式7-1】化简符号： ___________． 【变式7-2】化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型8：相反数的应用 【例8】如果与互为相反数，那么的值是（    ） A． B． C． D．2024 【变式8-1】若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【变式8-2】已知与互为相反数，则__________ 【变式8-3】若不为的有理数与互为相反数，同学们化简后得出了下列不同的结果：①；②；③；④.其中结果错误的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______． 题型一 数轴的三要素及画法 1．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，所画数轴完全正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   5．画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 题型二 用数轴上的点表示有理数 1．数轴上点表示的数是( )，点表示的数写成分数是( )，点表示的数写成小数是( )．    2．如图，若点D所表示的数是20，则点A所表示的数是 ；若点C所表示的数是，则点B所表示的数是 ． 3．如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是 ． 4．若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A B． C． D． 5．数轴上点M到表示的点的距离是5，则点M表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或5 题型三 有理数大小比较 1．在，，0，1这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 2．下列各数中最小的是（    ） A． B． C． D． 3．下面各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各数中比大的是（   ） A． B． C． D． 5．在有理数、、、中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 题型四 相反数的定义 1．的相反数是（ ） A． B． C． D． 2．的相反数是（　　） A．3 B． C． D． 3．2024的相反数是（   ） A．2021 B． C． D． 4．8的相反数是（   ） A． B． C． D．8 5．的相反数是（   ） A． B． C． D．2 题型五 判断是否互为相反数 1．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和2 B．6和 C．和 D．7和 2．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．3和 B．3和 C．和 D．和 3．下列各对数中，是互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列互为相反数的是（    ） A．与 B．与 C．与5 D．与4 5．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D．3 题型六 化简多重符号 1．化简下列各式的符号，并回答问题： （1）；（2）；（3）（4）（5）（6） 问：①当前面有2012个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2013个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 2． （1） ；（2） ； （3） ；（4） ；． 3． ， 4．下列各式的化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 题型七 相反数意义的量 1．我国东汉初的著名数学著作《九章算术》中就明确提出了“正负术”，如果收入100元记作元，那么元表示（    ） A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元 2．小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（　　） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 3．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下可记作（    ） A． B． C． D． 4．下列选项中，具有相反意义的量是（　　） A．气温上升和零下 B．胜2局和负4局 C．身高增加和体重下降 D．向上和向右 5．中国是最早采用正负数表示相反意义，并进行负数运算的国家．若粮库把运进20吨粮食记为“”，则“”表示（    ） A．卖掉20吨粮食 B．运出20吨粮食 C．吃掉20吨粮食 D．亏损20吨粮食 一、单选题 1．四个同学各画了一条数轴，你认为正确的是（     ） A．B． C． D． 2．的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 3．计算：（         ） A． B．-3 C． D．3 4．在，，，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．下列说法不正确的是（    ） A．不同的两个数叫做互为相反数 B．如果数轴上的两个点关于原点对称，则这两个点表示的数互为相反数 C．若的相反数是正数，则一定是负数 D．若和互为相反数，则 7．如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若M﹣1的相反数是3，那么﹣M的值是（　　） A．+2 B．﹣2 C．+3 D．﹣3 9．若数轴上，点A表示－1，AB距离是3，点C与点B互为相反数，则点C表示（    ） A． B． C．-4或2      D．4或-2 10．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则点C表示的数是（    ） A． B． C． D．0 二、填空题 11．的相反数是 ． 12．（1） ；                 （2） ； （3） ；             （4） ． 13．如图，比较大小：a ．（填“＞”“＜”“＝”） 14．如图，被墨迹盖住的数中，整数一共有 个． 15．数轴上到原点的距离为7的点所表示的数是 ． 16．点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 17．在数轴上表示的点，沿数轴正方向移动个单位，移动后的点所对应的有理数是 ． 18．数轴上，若点A和点B分别表示互为相反数的两个数，A在B的左侧，并且这两点的距离是，则点 A 表示的数是 . 三、解答题 19．在数轴上表示下列各数及相反数，并用“<”将它们连接起来． 4，，，0， 20．化简下列各数： (1)+（﹣3）； (2)﹣（+5）； (3)﹣（﹣3.4）； (4)﹣[+（﹣8）]； (5)﹣[﹣（﹣9）]． 21． 字母a表示一个有理数，表示什么数？一定是负数吗？ 22．若，化简，再确定它的符号． 23．有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．用不等号把，，，连接起来． 24．有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 25．在数轴上，点A表示数8，点B，C表示互为相反数的两个数，且点C和点A之间的距离为3，求点B，C所表示的数． 26．如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： (1)A、B、C这三个点表示的数各是多少？ A： ；B： ；C： ． (2)A、B两点间的距离是 ，A、C两点间的距离是 ． (3)应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 27．【数形结合思想】已知数a，b在没有标明单位长度的数轴上的大致位置如图所示： (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的位置； (3)若与相隔2024个单位长度，则数是多少？ 28．（1）化简下列各式： ①___________； ②__________； ③___________； ④__________； ⑤______________； ⑥____________ （2）根据你所发现的规律，猜想当前面有2022个负号时，化简后结果是多少?当前面有2022个负号时，化简后结果是多少? （3）结合（2）中的规律，用文字叙述你所得到的结论. 没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。 学科网（北京）股份有限公司 $$