精品解析：广东省江门市鹤山市鹤华中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

鹤华中学2024-2025学年度第二学期期中考试 数 学（高二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2或3 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 64 D. 124 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值 5. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前10项和为 10. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 此二项式系数最大项为第4项 C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处的切线方程为 C. 有两个不同的零点 D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则__________. 13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. （1）求a，b的值； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 16. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列. 17. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 19. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤华中学2024-2025学年度第二学期期中考试 数 学（高二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数公式和组合数公式计算即可. 【详解】因为，，，所以， 对比选项进行讨论有： 当时，，不成立， 当时，，成立， 当时，，成立， 所以或. 故选：. 2. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的计算逐一判断即可. 【详解】，，，， 故选：C 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 64 D. 124 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算求解即可. 【详解】展开式的通项为，，， 令，得，因此展开式中项的系数为． 故选:A． 4. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 是函数的极小值点 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图象求出函数的单调区间，然后根据极值点和极值的概念逐项判断即可. 【详解】由图可知时，，所以函数在上单调递增，故A错误； 由图可知时，，所以函数在上单调递增， 不是函数的极小值点，故B错误； 由B选项可知函数在上单调递增， 由图可知时，，所以函数在上单调递减， 故是函数的极大值点，是函数的极大值， 故C错误；D正确． 故选：D 5. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并事件的概率计算公式求出，在由条件概率公式计算即可. 【详解】因为， 即， 解得， 所以． 故选：B. 6. 已知等差数列的前项和为，若，则一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算得出，结合等差数列的求和公式逐项判断即可. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，则， ，无法判断ABC选项， ，D对. 故选：D. 7. 某测试由8道四选一的单选题组成，学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会，若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用古典概型、条件概率公式、全概率公式计算即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件， “选到有思路的2道题”为事件，“选到完全没有思路的题”为事件， 则，，，， ，， 由全概率公式可得 ． 故选：A． 8. 已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答. 【详解】令，，因为，则， 因此函数在上单调递减，则，解得， 所以的解集为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（ ） A. B. 的前项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前10项和为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】对于A：因为，，成等比数列，所以，即， 解得，所以，则，故A正确； 对于B：的前项和为，故B错误； 对于C：因为， 所以的前100项和为 ，故C错误； 对于D：因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：AD 10. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 此二项式系数最大项为第4项 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求，利用二项式系数的特点可求二项式系数最大项，利用通项公式可求，利用赋值法可判断D. 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为64，所以，解得，故A错误； 因为二项式系数为，所以当时，最大，即第4项最大，故B正确； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故C正确； 由展开式的通项为，得，， 所以， 令，可得，令，可得， 所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处的切线方程为 C. 有两个不同的零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求得，得出函数的单调性，求得函数的极大值，可判定A正确；根据导数的几何意义，求得切线方程，可判定B正确；由函数在上单调递增，且和，根据零点存在性定理，可得在上有且只有一个零点，再由时，单调递减，且恒成立，得到在上没有零点，可判定C错误；由，得到，得出函数的单调性和最大值，得到的范围，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数，可得的定义域为，且， 令，可得，所以在上单调递增； 令，可得，所以在上单调递减， 所以当时，取得极大值，所以A正确； 对于B中，由，可得，， 所以在处的切线方程为，所以B正确； 对于C中，由A知：函数在上单调递增，且， 又由，根据零点存在性定理，可得在上有且只有一个零点． 当时，单调递减，且恒成立，所以在上没有零点， 所以函数只有一个零点，所以C不正确； 对于D中，由不等式恒成立，即恒成立， 令，可得， 当时，；当时，， 所以，当时，取得最大值， 因为在上恒成立，即在上恒成立，所以，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到数列是公比为的等比数列，再由等比数列的性质，求得，结合，即可求得的值，得到答案. 【详解】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列， 根据等比数列的性质，可得， 因为，可得，所以. 故答案为：. 13. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【答案】 【解析】 【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算. 【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种， 然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位， 利用插空法排列甲，排法有种， 所以不同的排列方法有种. 故答案为： 14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值. 【详解】因为，，则， 且，则， 所以，曲线在处的切线方程为，即， 由题意可得，解得． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 ，当 时取极小值，当 时取极大值. （1）求a，b的值； （2）求函数 在 上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求导可得，由代入计算，然后检验即可得到结果； （2）根据题意，先由导数求得函数的极值，然后求得端点值，比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，则， 由题意可得，解得， 经检验符合题意，所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则，， 令，解得或， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，函数有极小值， 时，函数有极大值， 且，， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 16. 北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对其中的5道题，求： （1）甲测试合格的概率； （2）甲答对的试题数X的分布列. 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据题意，由古典概型概率公式代入计算，即可得到结果； （2）由题意可得，X可以为0，1，2，3，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列. 【小问1详解】 设甲测试合格为事件A，则. 【小问2详解】 甲答对的试题数X可以为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 17. 记数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项和为. 【答案】（1） 因为数列的前项和， 当时，可得， 当时，可得， 经检验当时也成立，所以， 则，且， 所以数列是首项为，公比为等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的前项和，结合与的关系，求得，进而得到，即可得证； （2）由（1）求得，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，可得， 所以， 则， 两式相减，可得， 即． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，分和，两种情况讨论，结合的符号，即可求得函数的单调区间； （2）根据题意，转化为与函数的图象有两个交点， 求得，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 解：由函数，可得其定义域为，且． （i）当时，对任意的，，所以在上单调递增； （ii）当时，若，则，则在上单调递增； 若，则，则在区间上单调递减． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 解：令，可得，令，其中， 因为函数有两个零点，所以函数与函数的图象有两个交点， 又由，令，可得， 列表如下： + 0 - 递增 极小值 递减 所以函数的极小值为， 且当时，；当，；当，， 所以函数的图象，如图所示， 当时，函数与函数的图象有两个交点， 因此，所求的取值范围为. 19. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验.经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有两种方案.方案①：从原来袋子中摸球；方案②：从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）方案②中取到红球的概率更大 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得. （2）根据条件概率公式进行计算，根据数据下结论. 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件. ， 所以试验一次结果为红球的概率为. （2）（i）因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 所以方案①中取到红球的概率为：. 方案②中取到红球的概率为：. 因为，所以方案②中取到红球的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $