精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县2024-2025学年高二下学期4月期中测试数学试题

巴楚县2024-2025学年第二学期期中测试卷 高二数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 2. 某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 16 B. 24 C. 60 D. 72 4. 在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ） A. -1 B. -2 C. 3 D. 5. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 6. 已知函数，且，则的值为 A. 1 B. C. -1 D. 0 7. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 8. 已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）. A. 在上函数为增函数. B. 在上函数为减函数. C. 在上函数有极大值. D. 是函数在区间上的极小值点. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种. 13. 曲线在点处的切线方程是______. 14. 若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 （1） 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2） 从书架的第1、 2、 3层各取1本书，有多少种不同取法 （3） 从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，并将取出的这 3 本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？ 16. 计算： （1）； （2）； （3）已知，求 17. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 18. 已知数列，若，且． （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求． 19. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县2024-2025学年第二学期期中测试卷 高二数学 考生须知： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．本卷由试题卷和答题卡两部分组成，其中试题卷共4页，答题卡共4页.要求在答题卡上答题，在试题卷上答题无效. 3．答题前，请先在答题卡上认真填写姓名、准考证号和座位号.要求字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　) A. 243 B. 252 C. 261 D. 279 【答案】B 【解析】 【详解】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 2. 某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用捆绑法让甲､乙二人相邻有种，再看作4个元素全排列即可. 【详解】先安排甲､乙相邻，有种排法， 再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列， 故有排法种数为. 故选：C 3. 在等差数列中，，则（ ） A. 16 B. 24 C. 60 D. 72 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质当时，及的公式即可得出答案. 【详解】． 故选：C 4. 在数列中，若，则下列数不是中的项的是（ ） A. -1 B. -2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】推出为周期数列，且周期为4，得到答案. 【详解】由题意得， 所以为周期数列，且周期为4. 故选：A. 5. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积称等比数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造等比数列的方法，求得数列的首项和公比，从而求得正确答案. 【详解】自上而下各节的容积构成等比数列，首项为，公比为. ，两式相除得（），解得， 则， 所以. 故选：D 6. 已知函数，且，则的值为 A. 1 B. C. -1 D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】 由题意得，函数的导数为，因为， 即，所以，故选A． 7. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【详解】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 8. 已知数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后利用裂项相消求出结果. 【详解】由已知有，故. 所以，从而. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得. 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，则C正确 对于D：当时，，故D错误； 故选：ABC 10. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）. A. 在上函数为增函数. B. 在上函数为减函数. C. 在上函数有极大值. D. 是函数在区间上的极小值点. 【答案】ABC 【解析】 【分析】导函数的图像看正负，决定原函数的增减性及极值点. 【详解】由图可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减； 时，，单调递增； 是的极大值点， 是函数的极小值点， 故、、正确.错误. 故答案为：ABC. 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 它的极大值为，极小值为 B. 当时，它的最大值为，最小值为 C. 它的单调递减区间为 D. 它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种. 【答案】180 【解析】 【分析】由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分4步进行分析： 对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况； 对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况； 对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况； 对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况； 则不同的着色方法有5×4×3×3=180种 【点睛】利用分步计数原理解决问题时，要按问题发生过程合理的分步. 13. 曲线在点处的切线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】由可得， 所以曲线在点处斜率， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得， 故答案为： 14. 若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可通过求导得出，然后根据题意得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】， 令，即. 因为函数有极大值和极小值， 所以方程有两个不相等的实数根， 即，解得或. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，第15题13分，第16-17题每小题15分，第18-19题每小题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 书架上第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书 （1） 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法? （2） 从书架的第1、 2、 3层各取1本书，有多少种不同取法 （3） 从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，并将取出的这 3 本书送给3名同学阅读，共有多少种不同的排列方法？ 【答案】（1）9 （2）24 （3）144 【解析】 【分析】（1）利用分类加法原理，即可求解； （2）利用分步乘法原理，即可求解； （3）根据（2）的结果，再多一步分配，即可求解. 【小问1详解】 从书架上个任取一本书，可以有三种方案：第一种方案从第一层取一本计算机书，有4种方法； 第二种方案从第二层取一本文艺书，有3种方法； 第三种方案从第三层取一本体育书，有2种方法． 根据分类加法计数原理，共有种. 【小问2详解】 分3步完成：第一步从第一层取一本计算机书，有4种方法； 第二步从第二层取一本文艺书，有3种方法； 第三步从第三层取一本体育书，有2种方法． 根据分步乘法计数原理，共有种方法. 【小问3详解】 由 (2) 可知，从书架的第 1、 2、 3 层各取 1 本书，有种不同取法 . 送给3名同学阅读，则为三本书的全排列，， 则共有种不同的排列方法. 16. 计算： （1）； （2）； （3）已知，求 【答案】（1）64； （2）348； （3）7. 【解析】 【分析】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由，得，即，则， 整理得，所以. 17. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程； （2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可. 【小问1详解】 因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因的定义域为， 令 得 ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 18. 已知数列，若，且． （1）证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）若，且数列的前项和为，求． 【答案】（1）因为， 所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列， 所以，则. （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合等比数列的定义证明即可，求出的通项，即可得到的通项公式； （2）由（1）可得，则，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以. 19. 已知函数在时取得极值． （1）求函数的单调区间； （2）求函数在区间上的最小值； （3）若有两个零点，求的值． 【答案】（1）递增区间是，递减区间是； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求导，由可求出的值，进而确定导数，由导数正负即可得解. （2）由（1）可知函数单调性，根据单调性求出最低的端点值和极小值进行比较即可得解. （3）将函数零问题转化成图像交点问题结合函数单调性和极值情况即可求解. 【小问1详解】 由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 此时，显然是的变号零点，即是极值点， 因此， 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 且在上单调递增，在上单调递减， 又 所以函数在区间上的最小值是. 【小问3详解】 因为， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为， 由有两个零点得直线与函数的图像有两个交点， 故或，所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $