精品解析：四川省成都外国语学校2024-2025学年高二下学期期中检测数学试卷

成都外国语学校2024-2025学年度下期半期考试 高二数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2、本堂考试120分钟，满分150分. 3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂. 4、考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题部分，共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 2. 已知在等差数列中，，，则等于（ ） A. -2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质求出公差及指定项. 【详解】在等差数列中，，解得，公差， 所以. 故选：C 3. 已知数列是等比数列，若，公比，则的前8项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式求解. 【详解】因为，，所以. 故选：A. 4. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数研究极值点即可. 【详解】由，因为是函数的极小值点， 所以，即 则当或时，，所以在上递增， 则当时，，所以在上递减， 即在时有极大值, 故选：D . 5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，结合组合数运算求解即可. 【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可， 所以偶数的个数为. 故选：A. 6. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数形结合，得出与直线平行且与曲线相切的直线与曲线的切点处即为到直线的距离最小的点，所以结合导数表示出过点的切线方程，在结合斜率相等求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 7. 已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解. 【详解】数列的通项公式为，则 ， 由，，解得，而, 因此当时，，即，当时，， 即， 所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，. 故选：C 8. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用导数法研究函数的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画出函数的大致图象，根据图象列不等式组求解即可. 【详解】设， 则不等式即有且只有两个整数解. 因为，且， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减. 当时，，当时，，当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 因为函数在上单调递增，，，， 则， 函数的大致图象如图 由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1， 所以解得.又，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用递推关系逐一求解即可判断A；求出前四项可判断数列 的周期为3，根据周期性逐一计算即可判断BCD. 【详解】A： 由题意， ， ， 则 ，故A正确； B： ， 结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ， 因为 ，所以 ，故B错误； C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确； D： 由于 ，所以 ， 所以，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果． 【详解】设，则， 因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增； 因为，所以，则，所以A错误； 因为，所以，则，所以B正确； 因为，所以，则，所以C正确； 因为，所以，则，所以D错误； 故选：BC． 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正三角形的性质以及曲线方程找出数列与的递推关系，即可判断AB，然后求得，由平方和公式代入计算，即可判断C，再由时，，由裂项相消法代入计算，即可判断D. 【详解】依题意，，设，由为正三角形，直线的方程为， 由，得，则， 由，则的横坐标为，纵坐标为， 且在曲线上，则， 又，即，得，则， 当时，，两式相减得，， 因此，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 对于A，，A正确； 对于B，由，得 ，B错误； 对于C，正面积， 则，C正确； 对于D，由，得，， 当时，， 则 ，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和______． 【答案】162 【解析】 【分析】利用时，求解即可. 【详解】由，可得，所以 ，故. 故答案为：162. 13. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 【答案】 【解析】 【分析】先排女生，再将男生插入到空位中可得. 【详解】先将女生排成一排，有种，再将男生插入到5个空位中，有种， 由分步乘法计数原理可得，不同的排列方法总数为种. 故答案为： 14. 若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】令，则有，令函数，画出其图象，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，，即可求解． 【详解】由关于的方程， 令，则有， 令函数，则， 当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减，且时，， 其图象如下： 要使关于的方程有3个不相等的实数解，，， 且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，由韦达定理知，，， 所以， 又， 可得. 故答案为：． 四、解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，16-17题每道15分，18-19题每道17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且在处的切线斜率为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调减 【解析】 【分析】(1)对原函数求导，根据已知条件代入即可求出的值； (2)分形解，即可得解． 【小问1详解】 因为函数，求导得， 在处的切线斜率为，即，， 解得； 【小问2详解】 由(1)可知，求导， 令，解得；令，解得. 函数在上单调递增，在上单调减． 16. 已知数列的前n项和为. （1）求的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用求解； （2）利用裂项相消法求和． 【小问1详解】 中，令得， 当时，， 又适合上式，所以； 【小问2详解】 由（1）知：， 所以. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最大值． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 18. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） ， ，又， 所以， 又， ， 数列中任意一项不为0，， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则. （2）（i） (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义运算证明； （2）利用错位相减法求出，代入可得，对分类讨论，利用数列的单调性即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 (ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为， 所以①，②， 所以①-②可得： ， 所以. . (ⅱ)由，得，化简得. 当为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 19. 已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”. （1）判断是否是上的“函数”？请说明理由； （2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； （3）已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值. 【答案】（1） 是上的“函数”，理由如下： ，. ，， ， 在恒成立， 是上的“函数”. （2） 是上的“函数”， 在上恒成立， 设，则， ∴在上单调递增，且. 又，，即. ∵在上单调递增，， ∴. （3）6 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得在上恒成立，设，求导可知函数在上单调递增，且.由，可知，根据的单调性即可证明； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数研究其单调性分析即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，. ∵是上的“函数”， ∴在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，对任意的，上式恒成立，符合题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. ∵，当时，， ∴，即. 令，， 则由题意可知：存在，使得在上为增函数， 即存在，使得，即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立. 而函数在上单调递增，所以，即. 另一方面，当，时，，， 可知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 【点睛】与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2024-2025学年度下期半期考试 高二数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2、本堂考试120分钟，满分150分. 3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂. 4、考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题部分，共58分） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知在等差数列中，，，则等于（ ） A. -2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知数列是等比数列，若，公比，则的前8项和（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 120 6. 函数图象上一点到直线的最短距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列正三角形，记为，，…，，（为坐标原点）.设的边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和______． 13. 有4名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数. __________. 14. 若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为______ 四、解答题：本题共5个小题，共77分，其中15题13分，16-17题每道15分，18-19题每道17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且在处的切线斜率为. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性. 16. 已知数列的前n项和为. （1）求的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，求. 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求在上的最大值． 18. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”. （1）判断是否是上的“函数”？请说明理由； （2）证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； （3）已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $