精品解析：山东省淄博市沂源县第二中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年下学期高二数学阶段性考试试题 2025.4 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 50 B. 100 C. 400 D. 500 3. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 54 8. 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 、均为的最大值 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 单调递减 B. 在处取得极大值 C. 有两个不同零点 D. 在处的切线方程为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则______． 13. 已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有_______________种. 14. 数列的首项，且（为正整数），令，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最值. 16. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 17. 设数列的前项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期高二数学阶段性考试试题 2025.4 注意事项： 1.答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用导数的减法运算法则和导数公式，对求导得，再将代入，即可求出结果. 【详解】解：已知， 则， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的减法运算法则和导数公式的应用，以及某点处的导数值，属于基础题. 2. 等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 50 B. 100 C. 400 D. 500 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差求和公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 3. 已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数. 【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个. 故选:B. 4. 我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解. 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故选：C 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过归纳得到数列的周期为3，即得解. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的周期为3， 因为， 所以. 故选：B 6. 若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令，解出极值点，由的正负得到函数的单调区间，然后根据函数有三个不同零点，可得极大值大于零，极小值小于零，解出即可. 【详解】 令，即，解得：或， 当时，，在上单调递减； 当时，，在、上单调递增， 故当时，取极小值：， 当时，取极大值：， 有三个不同零点， ∴，解得：， ∴实数的取值范围是：. 故选：A. 7. 数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为（ ） A. 40 B. 45 C. 50 D. 54 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先分析要求“三位数的偶数回文数”的个位和百位数字，可知其有4种情况，而对于十位数字，没有限制，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，三位数的偶数回文数的个位和百位数字相同，必须为2、4、6、8中的1个，有4种情况，对于十位数字，没有限制，有10种情况， 则三位数的偶数回文数有个. 故选：A. 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 8. 已知函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导后讨论单调性，再根据题意可得，进而解不等式即可. 【详解】由题知函数的定义域为， ， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因为函数在区间上不单调， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（ ） A. B. C. D. 、均为的最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质以及其前项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列是递减数列，所以，，所以，，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为由题意得，，所以，，故D正确； 故选：BD 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出每个选项中函数的二阶导函数，并验证是否对任意的恒成立，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A，，， 当时，，，，故在上不是凸函数； 对于B，，对任意的，，故在上是凸函数； 对于C，，对任意的，，故在上是凸函数； 对于D，，对任意的，，故在上不是凸函数. 故选：BC 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 单调递减 B. 在处取得极大值 C. 有两个不同零点 D. 在处的切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用函数探讨单调性、极值及零点判断ABC；利用导数的几何意义求出切线方程判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上递增，在递减， 对于A，由函数在上递增，得A错误； 对于B，在处取得极大值，B正确； 对于C，函数在上递增，且， 而当时，恒有，函数只有1个零点，C错误； 对于D，，因此在处的切线方程为，D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，设出切点坐标，利用导数的几何意义列式计算即得. 【详解】由求导得，设切点为， 则切线的斜率为，解得，则切点坐标为， 将代入直线，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有_______________种. 【答案】125 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理可得. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故答案为：125 14. 数列的首项，且（为正整数），令，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知变形可得，可知数列是首项为，公比也为的等比数列，可求出的通项公式，进而可得出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的首项，且（为正整数），则， 且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故， 所以，，则， 所以，数列为等差数列，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最小值为，最大值为4 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值. 【小问1详解】 定义域为R， ， 令得：或， 令得：， 所以单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故， 又因为，而， 所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为4 16. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）为何值时，取得最大值并求其最大值． 【答案】（1）；（2）n=4时取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用公式，进行求解； （2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值. 【详解】（1）由题意可知：，当时，， 当时，， 当时，显然成立，∴数列的通项公式； （2）， 由，则时，取得最大值28， ∴当为4时，取得最大值，最大值28． 【点睛】本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键. 17. 设数列的前项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设是数列的前项和，求使对所有的都成立的最大正整数的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用关系及等比数列的定义求通项公式，进而由等差数列的定义判断是等差数列. （2）利用裂项相消法求，即得，将问题转化为求的解集，即可得的最大正整数值. 【详解】（1）依题意，，故， 当时，①，又②， ②-①得：，又，即， 所以，故为等比数列，则， 所以，故，即是首项、公差均为1的等差数列. （2）由（1）知：=， 所以， 由题设，，解得：，故所求最大正整数为5. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系，消去即可得； （2）借助错位相减法求和即可得. 【小问1详解】 由， 则当时，有， 则，即， 当时，，即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即； 【小问2详解】 由，故， 则， 故， 则， 即 ， 故. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $