9.1-9.2 二元一次方程组的概念及其解法（10大题型提分练）（题型专练）数学新教材沪教版六年级下册

9.1 -9.2 二元一次方程组的概念及其解法 题型一、二元一次方程（组）的定义 1. 下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2. 下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3. 在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4. 在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 题型二、二元一次方程组的解 1. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 2. 已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 3. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 4. 有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 5. 若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 6. 若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 7. 已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 8. 已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 题型三、代入消元法解二元一次方程组 1. 已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 2. 用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 3. 用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 4. 用代入法解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 5. 用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 题型四、加减消元法解二元一次方程组 1. 利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 2. 用加减法解下列方程组． (1)． (2)． 3. 用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 4. 用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 5. 用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 6. 解方程组 (1) (2) (3) (4) 题型五、二元一次方程的整数解（不定方程方案问题） 1. 某校开展以“趣味运动”为主题的体育活动，计划拿出3600元全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件200元，则购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2. 小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小张购买的铅笔可能有 支． 3. 把一根长为的钢管截成长或长的两种规格．在不造成浪费的情况下，不同的截法有 种． 题型六、二元一次方程组的特殊解法 1. 先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 2. 解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 3. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，∴， 把代入①得， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式的值． 4. 阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 5. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 题型七、同解方程问题 1. 若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 2. 若方程组的解中，则 ． 3. 已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 题型八、错解方程问题 1. 小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 3. 甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ． 4. 甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 5. 小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值． 题型九、含参数的二元一次方程问题 1. 已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 2. 若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3. 若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4. 已知方程组的解是，则方程组的解 ． 5. 若方程组解为则方程组的解为 ． 6. 若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 题型十、二元一次方程（组）与新定义 1. 关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 2. 对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 3. 定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 4. 我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值 5. 定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 6. 定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 7. 定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2. 对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 3. 已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 4. 若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5. 已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 6. 若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 7. 李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 8. 已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 9. 已知方程组，则 ． 10. 若关于x，y的方程组的解满足，则 ． 11. 班级要用40元钱买、两种彩笔，两种彩笔必须都买，已知型彩笔每个6元，型彩笔每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有 种． 12. 若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 13. 一个四位正整数的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称为“十全十美数”，将“十全十美数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“十全十美数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数2873，，且 是“十全十美数”，此时，，． （1）若是最大的“十全十美数”，请直接写出： ； （2）若是“十全十美数”，且能被9整除，求符合条件的的最小值 ． 14. 已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 15. 解下列方程组： (1)； (2) 16. 解方程组： (1) (2) 17. 解下列方程组： (1) (2) 18. 小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值． 19. 定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 20. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______________； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： 得：，所以 得： 得：，从而得 所以原方程组的解是． 用上述方法求共轭方程组的解． 21. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由得即③， 得④， 得， 解得： 把代入③得： 解得： 方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)猜测关于x，y的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证． 22. 对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为常数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)下列关于，的方程组具有性质的是______（只填写序号）； ；； (2)用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下面问题： 若关于，的方程组具有性质，求的最小值． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1 -9.2 二元一次方程组的概念及其解法 题型一、二元一次方程（组）的定义 1. 下列方程中，不是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数是1次；（3）都是整式方程．据此逐一判断即可． 【详解】解：A． 未知数的项最高次数是2次，不是二元一次方程，故本选项符合题意； B． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； C． 是二元一次方程，故本选项不符合题意； D． 是二元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，四个方程中只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 3. 在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题关键． 根据二元一次方程组的定义对选项逐一判断：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意； B．是二元一次方程组，故符合题意； C．方程组中的次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意； D．不是二元一次方程组，故不符合题意； 故选：B． 4. 在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的整式方程；可判断①②⑤是二元一次方程组． 故选：C． 题型二、二元一次方程组的解 1. 若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握运算法则，正确求出的值； 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入，得到：，然后解得：； 故选：D． 2. 已知是方程组的解，则的值是（　　） A． B．2 C．5 D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查代数式求值，涉及已知含参数二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组等知识，先由是方程组的解，代入得到新的方程组求解即可得到的值，代值求解即可得到答案．熟记二元一次方程组解的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程组的解， ，解得， ， 故选：B． 3. 已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程的解以及解一元二次方程，熟练掌握解二元一次方程是解题的关键．根据题意得到关于的二元一次方程解出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， ， 故选C． 4. 有四组数：①②③④其中， 是方程的解， 是方程的解， 是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【知识点】二元一次方程的解、判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 5. 若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，理解定义是解题的关键，注意整体思想的运用．根据方程的解的定义，把这对数值代入方程，即可得到，再整体代入即可求得． 【详解】解：把代入二元一次方程，得， ∴． 故答案为：． 6. 若是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，运用整体代入的思想方法是解本题的关键．先将方程的解代入方程，求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解 ∴ ∴ ， 故答案为：2025． 7. 已知当时，关于的二元一次方程和有相同的解，求的值． 【答案】． 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，把代入中求出，再把代入即可求出的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：把代入中得，， 解得：， ∴相同的解为， ∴ 代入方程得， ∴ ． 8. 已知是关于x，y的二元一次方程组的解． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)2027 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、代数式求值等知识，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． （1）将代入方程组计算即可得； （2）将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， 所以． （2）解：由（1）已得：， 则． 题型三、代入消元法解二元一次方程组 1. 已知方程，把它变形为用含x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查二元一次方程的变形，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． 通过移项，等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解： ， ∴， 故选：D． 2. 用代入法解下列方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组， 对于（1），由②得出③，把③代入①求出x，再把解代入③求出x即可； 对于（2），由①得出③，把③代入②求出y，再把解代入③求出x即可． 【详解】（1）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 得，③， 由①得，④， 把④代入③得，， 解得，， 将代入④，得y， 所以方程组的解是． 3. 用代入法解下列方程组： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了代入法二元一次方程组，先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解． 对于（1），直接将①代入②求出x，再将x的值代入①求出y即可； 对于（2），将①整理为，再代入②，求出y，再将y值代入③可得解； 对于（3），仿照（1）去解； 对于（4），将②整理为，再代入求出解. 【详解】（1）解：, 把①代入②得，， 解得， 把代入①得， ． ∴原方程组的解为； （2）解：， 由①，得， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为； （3）解：， 把②代入①得，， 解得，， 把代入②得， ， ∴原方程组的解为； （4）解：， 由②得，， 把③代入①得，， 解得， 把代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 4. 用代入法解方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可； （3）方程组利用代入消元法求解即可； （4）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解这个方程，得， 把代入②，得， ∴方程组的解是； （2）解：． 由①得， 把③代入②，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （3）解： ， 由②得， 把③代入①，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是； （4）解： 由②得， 把③代入①，得， 解这个方程，得， 把代入③，得 ∴这个方程组的解是． 5. 用代入消元法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组． （1）按照代入消元法解二元一次方程组即可． （2）按照代入消元法解二元一次方程组即可． （3）按照代入消元法解二元一次方程组即可． （4）按照代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①式代入②可得出， 解得：， 把代入①可得出， 则方程组的解为：； （2）解：， 由②可得出， 把代入①可得出：， 解得：， 把代入， 解得， 则方法组的解为：； （3）解：， 由①可得出：， 把代入②可得出：， 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为：； （4）解：， 将方程组变形为：， 由②可得出：， 把代入①可得出：， 解得：， 把代入， 解得：， 则方程组的解为：． 题型四、加减消元法解二元一次方程组 1. 利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查加减消元法，牢记加减消元法的定义（当二元一次方程组的两个方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法）是解题的关键．根据加减消元法的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，得，可以消去，符合题意； B、，得，无法消去，不符合题意； C、，得，无法消去，不符合题意； D、，得，无法消去，不符合题意； 故选：A． 2. 用加减法解下列方程组． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）先把方程组中的方程化为不含分母及括号的方程，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， 故此不等式组的解集为：； （2）解：原方程组可化为， 得，，解得：， 把代入④得，，解得：， 故此方程组的解为． 3. 用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法并灵活选择是关键． （1）由于y的系数互为相反数，所以用加减消元法； （2）未知数系数比较复杂，应先找到某一个未知数系数的最小公倍数后，用加减消元法． 【详解】（1）解：， 两式相加消去y得：， 所以， 代入①得：． 所以原方程组的解为． （2）， ①×2+②×3得：， 所以． 代入①得：． 所以原方程组的解为． 4. 用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． （2）解：化简得， 由得：， 代入①得：， ∴． ∴原方程组的解为． 5. 用加减法解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可； （3）利用加减消元法求解即可； （4）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得：， 代入①得，解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ，得，解得：， 代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （3）解： ，得，解得：， 代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （4）解：方程组可化为， ，得，解得：， 代入②，得，解得：， 则方程组的解为． 6. 解方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可； （3）加减消元法解方程组即可； （4）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （2） 解：，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （3）原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：； （4） 原方程组可化为： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：； ∴方程组的解为：． 题型五、二元一次方程的整数解（不定方程方案问题） 1. 某校开展以“趣味运动”为主题的体育活动，计划拿出3600元全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的班级，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件200元，则购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买件甲种奖品，件乙种奖品，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出，的值，进而可得出共有3种购买方案． 【详解】解：设购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或， 共有3种购买方案． 故选：B． 2. 小张计划花20元购买了铅笔和记号笔，铅笔每支3元，记号笔每支2元，并且购买的记号笔数量超过了铅笔的数量，若剩余3元，则小张购买的铅笔可能有 支． 【答案】1或3 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程正整数解及数量比较关系，解题关键是根据总价列出方程并结合正整数条件和数量大小关系确定解． 设小张购买了铅笔x支，记号笔y支，根据花费列出二元一次方程，根据x，y 为正整数和记号笔数量超过铅笔数量，得到正整数解即可． 【详解】解：设小张购买了铅笔x支，记号笔y支，根据题意得 ∵x，y都应为正整数， ∴的正整数解为： 或或 ∵购买的记号笔数量超过了铅笔的数量， ∴或 ∴小张购买的铅笔可能有1或3支． 3. 把一根长为的钢管截成长或长的两种规格．在不造成浪费的情况下，不同的截法有 种． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意找准等量关系是解题关键． 设截成长的钢管段，截成长的钢管段，根据题意列出二元一次方程，结合题意得、均为整数，分类求解即可． 【详解】解；设截成长的钢管段，截成长的钢管段， 根据题意，得：， ， 一根长为的钢管截成长或长的两种规格， 、均为整数， 或或， 共有种截法． 故答案为：． 题型六、二元一次方程组的特殊解法 1. 先阅读下列材料，解方程组时，如果我们直接消元，那么会很麻烦，但若用下面的解法，则要简便得多． 解方程组 解：，得，③ ，得，④ ，得， 将代入③得， 所以原方程组的解是， 根据上述材料，解答问题： (1)解方程组； (2)在（1）的条件下，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，代数式求值，正确理解题中消元的方法是解题的关键； （1）仿照题中消元方法解方程组即可； （2）根据（1）所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 得：，即③， 得：④， 得：， 把代入③得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解：当时，． 2. 解方程组，若设，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组，其中_________，_________，解得________，_________； (2)知识迁移：请用这种方法解方程组； (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为，求关于的方程组的解． 【答案】(1)，4，1， (2)； (3)． 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键． （1）设，，即可得，解方程组即可求解； （2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解； （3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解． 【详解】（1）解：设，，则原方程组可化为， ∵的解为， ∴， 解得， 故答案为：，4，1，； （2）解：设，，则原方程组可化为， 解得， 即有， 解得， 即：方程组的解为； （3）解：设，，则原方程组可化为， 化简，得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴，即有， 解得：， 故方程组的解为：． 3. 阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形为，即，③ 把方程①代入③得，∴， 把代入①得， ∴方程组的解为 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 (2)已知x，y满足方程组求整式的值． 【答案】(1) (2)19 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查解二元一次方程组等知识． （1）将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，即可求出y，进而可得解； （2）由①得，即③，把方程③代入②得，即可求出，进而可求，再整体代入所求式子即可得解． 【详解】（1）解：将方程②变形为，即③， 把方程①代入③得， ∴， 把代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：由①得，即③， 把方程③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴， 答：整式的值为19． 4. 阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如解方程组，设m，n，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为． 运用以上知识解决下列问题： (1)求方程组的解． (2)关于x，y二元一次方程组的解为，则方程组的解为 ． (3)举一反三：方程组的解为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便． （1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案； （3）利用换元思想设，，然后解方程组即可得到未知数的值． 【详解】（1）解：（1）设m，n，则原方程组可化为， 解得，， 即， 解得，； （2）解：根据题意得， 解得，； （3）设，，则原方程组可化为， 解得，， ∴， 解得，． 5. 阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 为了提高全班学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目． 解方程组：． 观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量都比较大，且容易出错．如果把方程组 中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以更简便地解决问题． 设，，则原方程组可化为， 解关于，的方程组，得，所以解方程组，得． 任务． (1)材料中运用的数学思想是______； A．数形结合思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．类比思想 (2)运用上述方法，解方程组； (3)已知关于，的方程组的解为，直接写出关于，的方程组的解． 【答案】(1)B； (2)； (3)． 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了用换元法解比较复杂的二元一次方程组，解决本题的关键是读懂材料中的解题思路，仿照材料中的解题思路解答即可． 根据材料中的解题思路可知，材料中运用的数学思想是整体思想， 仿照材料中的解题思路，设，，则方程组可化为，解方程组求出，从而可得方程组，继续解方程组求出、的值即可； 首先把方程组，整理成的形式，根据方程组的解为，可得方程组，继续解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：材料中把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，分别用字母、表示， 材料中运用的数学思想是整体思想， 故选：B； （2）解：设，， 则原方程组可化为， 解得：， ， 解得：； （3）解：整理方程组， 可得：， 可得方程组的解为， 解得：． 题型七、同解方程问题 1. 若关于x，y的二元一次方程组和同解，则 ． 【答案】0 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】由系数已知两方程组成方程组，求解得，分别代入含参数方程，求得参数． 【详解】解：由题意，得 求解得，， 代入得，， 解得， 代入得，， 解得， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题考查方程组解的定义，二元一次方程组的求解；理解方程组的定义是解题的关键． 2. 若方程组的解中，则 ． 【答案】2025 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加，可得，又由得到，求解即可解答． 【详解】解：方程组两个方程相加，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 3. 已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 题型八、错解方程问题 1. 小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解求参数，解题关键是正确理解二元一次方程的解． 把代入②得关于的方程，解方程求出，再把代入①得关于的方程，解方程求出，最后把，的值代入进行计算即可． 【详解】解：把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ． 故选：． 2. 甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则的值 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的定义．根据方程的解的概念得出是方程②的解，是方程①的解，从而得到、满足，，解之求出、的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入， 可得：，， 解得：， 将代入， 可得：， 解得：， 当，时，． 故答案为：． 3. 甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因为抄错c的值，解得，则 ． 【答案】7 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出的值代入计算即可 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：7． 4. 甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 5. 小王和小李同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为，求，的值． 【答案】 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．解题的关键是根据题意建立关于、的二元一次方程组．根据题意建立关于、的二元一次方程组，求得和的值． 【详解】解：根据题意可以知道： 是方程的解， 是方程的解， 分别代入得到方程组：， 解得：． 题型九、含参数的二元一次方程问题 1. 已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：， 当 时，，， 当 时，，， 当 时，，， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 2. 若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解， 先将原方程组整理为，根据题意可得，再求出方程组的解即可． 【详解】解：将原方程组整理为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， 解得． 故选：A． 3. 若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．根据已知条件和二元一次方程组的解的定义得到，求出，即可． 【详解】解：∵， ∴， 方程组的解为， ， 解得：， 方程组的解为：， 故选：C． 4. 已知方程组的解是，则方程组的解 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据对应相等，由方程组的解是，可以得到方程组的解，本题得以解决． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴在方程组中， 解得，， 故答案为：． 5. 若方程组解为则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，设，则方程组变为，再根据二元一次方程组的解的定义得出，继而得出，从而得到，即可求出的值，观察方程组的系数特点并准确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 则方程组为， ∵方程组解为， ， ， ，， ，， ， ， ∴方程组的解为， 故答案为：． 6. 若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 题型十、二元一次方程（组）与新定义 1. 关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得，再根据二元一次方程的解的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：整理得， ∴二元一次方程的“关联系数”为； （2）解：∵关于，的二元一次方程的“关联系数”为， ∴， ∵为该方程的一组解， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴或． 2. 对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 3. 定义：当两个实数，满足，则称这两实数x与y具有“友好关系”． (1)判断方程组的解与是否具有“友好关系”？说明你的理由． (2)若方程组中方程组的解与具有“友好关系”，试求出方程组的解及a，b的正整数值． 【答案】(1)方程组的解与具有“友好关系”，理由见解析 (2)；，或， 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解二元一次方程，熟知解二元一次方程组和解二元一次方程的方法是解题的关键． （1）把方程组中两个方程相减即可证明，据此可得结论； （2）根据题意可得，解方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入方程中，并解方程求出a、b的正整数值即可得到答案． 【详解】（1）解：方程组的解与具有“友好关系”，理由如下： 得， ∴方程组的解与具有“友好关系”； （2）解：∵方程组中方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵a、b都是正整数， ∴是正整数，即b为正偶数， ∴当时，；当，； 4. 我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程 “幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于，的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于，的“幸福”方程组的解，求的值 【答案】(1)不是 (2)4 (3)5 【知识点】加减消元法、二元一次方程的定义 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴方程不是“幸福”方程； 故答案为：不是； （2）由题意，得：， 解得：； 故答案为：4； （3）由题意，得：， 解得：， ∴原方程组化为：，解得：， ∴， ∴． 5. 定义：对任意一个两位数，若满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，则称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： (1)下列两位数：20，52，44中，“相异数”为________________； (2)如果“相异数”满足，直接写出所有“相异数”的值______________； (3)如果，都是“相异数”，且，请判断值是否为常数，并说明理由． 【答案】(1)52 (2)13，31 (3)是常数为9，见解析 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了新定义，解答本题的关键是明确题意，理解“相异数”． （1）根据题目中“相异数”的定义即可判断； （2）根据题目中“相异数”的定义，即可得到所有“相异数”b的值； （3）根据题意，可以表示出m、n，然后即可计算出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由“相异数”的定义可得，两位数：20，52，44中，“相异数”为52； （2）解：设“相异数”b的十位数字是x，个位数字是y， ∵“相异数”b满足 ∴ ∴ 即 ∵个位数字与十位数字互不相同，且都不为零 ∴当时，，此时b的值为13； 当时，，此时b的值为31； ∴所有“相异数”b的值为13，31； （3）解：是常数，理由如下： ∵m、n都是“相异数”，且 设，则 ∴ ， ∴． 6. 定义：关于x，y的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，其中如二元一次方程与二元一次方程互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程” ； (2)二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为405，n的值为405 【知识点】加减消元法 【分析】（1）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是； （2）利用“对称二元一次方程”的定义，可找出二元一次方程的“对称二元一次方程”是，结合二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值． 本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据“对称二元一次方程”的定义，找出给定二元一次方程的“对称二元一次方程”是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：二元一次方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：； （2）解：二元一次方程的“对称二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“对称二元一次方程”的公共解为， ∴， 解得：． 答：m的值为405，n的值为405． 7. 定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、构造二元一次方程组求解、方程的解 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】根据二元一次方程组的定义：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且有两个方程组成的方程组，即可作答．本题主要考查二元一次方程组的定义，正确理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】A．第一个方程的次数是二次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B．第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C．是二元一次方程组，故本选项符合题意； D．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的乘法，利用题中的新定义得到二元一次方程组，求出与的值然后代入求解即可，弄清题中的新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∴， 故选：． 3. 已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 4. 若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了加减消元法，二元一次方程组的特殊解法，理解题意，得方程组的，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的 则得， 解得， 把代入得， 解得， ∴方程组的解为， 故选：B． 5. 已知关于x，y的二元一次方程组（a，b为常数）的解为，则关于x，y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用整体思想． 根据二元一次方程组的解的定义，利用整体的思想得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故选：C． 6. 若是方程组的解，则的值为（    ） A． B．3 C．7 D．10 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键． 把代入方程组得到一个关于的方程组，求出的值，再代入求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 解得：， 则． 故选：C． 7. 李明解出方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和■，则两个数▲和■分别为（　　） A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3 【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．先把代入中求出的值，然后把和的值代入中求出▲表示的数，即可得到答案． 【详解】解：把代入中，得：，解得：， ■， ， ▲． 故选：A ． 8. 已知是二元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义可得，再由，代入计算，即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的解， ， ， 故答案为：5． 9. 已知方程组，则 ． 【答案】2 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，把两个方程相加可得，进而即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若关于x，y的方程组的解满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先把方程组中的两个方程相加消去m，得到关于x，y的方程，再把代入求出x，然后求出y，最后把x，y的值代入②得到关于m的方程，解方程求出m即可． 【详解】解：， 得：③， 把代入③得：， 解得：， 把代入得：， 把和代入②得：， 解得：， 故答案为：． 11. 班级要用40元钱买、两种彩笔，两种彩笔必须都买，已知型彩笔每个6元，型彩笔每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有 种． 【答案】3 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个，根据购买费用为40元建立关于x、y的方程，再求出方程的正整数个数即可得到答案． 【详解】解：设购买A型彩笔x个，购买B型彩笔y个， 由题意得，， ∴， ∴ ∵两种彩笔必须都买， ∴x、y都为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴一共有3种购买方案， 故答案为：3． 12. 若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组， ∴， 解得：， 则二元一次方程组的解是， 故答案为： 13. 一个四位正整数的千位上的数字小于十位上的数字，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，均等于10，则称为“十全十美数”，将“十全十美数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的和记为，将“十全十美数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的差记为．例如：四位正整数2873，，且 是“十全十美数”，此时，，． （1）若是最大的“十全十美数”，请直接写出： ； （2）若是“十全十美数”，且能被9整除，求符合条件的的最小值 ． 【答案】 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查十全十美数的定义，二元一次方程组的解，整式的加减混合运算，熟练掌握整式的加减运算法则，能被9整除的数的特征是解题的关键． （1）根据十全十美数的定义可得十位数字要大于千位数字，那么千位最大是8，进而可得其他位数的数字即可求解； （2）设的千位数字是，十位数字是，则百位数字是，个位数字是，可求，由题意可得能被9整除，则，分别对、的值进行讨论，即可求是1973或2864或3755或8291，进而求得最小值． 【详解】解：（1）由题意可知，十位数字要大于千位数字，那么千位最大是8，那么百位为2，十位数字为9，个位为1， ∴， 故答案为：8291； （2）解：设的千位数字是，十位数字是，则百位数字是，个位数字是， ， ， 能被9整除， 能被9整除， ， ， ，或，或，或， 是或或或． ∴符合条件的的最小值 14. 已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则 ． 【答案】500 【知识点】构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 15. 解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 16. 解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得， 把③代入②得：，解得， 把代入③得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 17. 解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）运用加减消元法求解即可； （2）将方程组去分母化简后，运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解为； （2）解：， 整理，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴这个方程组的解为． 18. 小明和小文同解一个二元一次方程组小明正确解得，小文因抄错了，解得，已知小文除抄错外没有发生其他错误，求的值． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法 【分析】把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：因为小明解法正确， 所以将代入得 故， 因为小文除抄错外没有发生其他错误， 所以应满足第二个方程． 代入得， 由解得 所以． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 19. 定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“对称方程”．例如方程的“对称方程”为． (1)写出方程的“对称方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与它的“对称方程”组成的方程组的解为，求m，n的值； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“对称方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2)； (3)2025 【知识点】二元一次方程的定义、二元一次方程的解、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“对称方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“对称方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“对称方程”为， 联立得， 解得， 故答案为：，； （2）解：方程的“对称方程”为， 联立得， ∵方程组的解为， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， 方程与它的“对称方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即， ∴ ， 20. 规定：形如关于、的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是______________； (2)若关于、的方程组为共轭方程组，则______，__________； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组时，可以采用下面的解法： 得：，所以 得： 得：，从而得 所以原方程组的解是． 用上述方法求共轭方程组的解． 【答案】(1) (2)；1 (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了新定义、解二元一次方程组，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义即可解答； （2）根据新定义可得，，解出的值即可解答； （3）仿照题意的方法解共轭方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的共轭二元一次方程是． 故答案为：． （2）解：关于、的方程组为共轭方程组， ，， 解得：，． 故答案为：；1． （3）解：， 得：，所以， 得：， 得：，从而得， 所以原方程组的解是． 21. 阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由得即③， 得④， 得， 解得： 把代入③得： 解得： 方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法解方程组； (2)猜测关于x，y的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，分析所给方程组的特点，仿照题干中的解法是解题的关键． （1）仿照题干解法，得③，，得，解出x的值，代入③求出y值； （2）由题干及（1）的答案猜测方程组的解为，得，即③，得出，解出x的值，代入③求出y值． 【详解】（1）解：， ，得③， 得出， 解得：， 把代入③，得， 解得；， 所以原方程组的解是； （2）解：， 得出， ∴③， 得出， 解得：， 把代入③，得， 解得；， 所以原方程组的解是． 22. 对于关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为常数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)下列关于，的方程组具有性质的是______（只填写序号）； ；； (2)用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下面问题： 若关于，的方程组具有性质，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值不等式的应用以及对新定义概念的理解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）解两个二元一次方程组，计算解中与的绝对值差，判断是否满足的性质； （2）将和视为整数变量，解方程组确定其值，根据取整函数的定义，确定和的取值范围，然后在和的取值范围内，找到使最小的组合即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ，不满足性质； 解方程组得， ，满足性质； 故答案为：； （2）解：设（整数），（整数）， 则方程组化为， 解得， ，， ，， 当，时，最小，此时最小， ，故的最小值为． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$