专题15 立体图形的表面积和体积（讲义）（知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练）-2024-2025小升初数学核心考点精编讲义 通用版（原卷版＋解析版）

专题15 立体图形的表面积和体积 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 一、表面积与体积的意义 1.表面积的意义： 一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。 本质：描述立体图形外表面的大小，单位为面积单位（如平方厘米、平方分米、平方米等）。 例：长方体的表面积是6个面的面积之和，圆柱的表面积是两个底面圆面积与侧面积之和。 2.体积的意义： 一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。 本质：描述立体图形在三维空间中占据的空间量，单位为体积单位（如立方厘米、立方分米、立方米等）。 例：长方体的体积是长×宽×高，圆柱的体积是底面积×高。 二、立体图形的表面积与体积计算公式 （一）长方体 1.表面积计算公式 文字公式：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 字母公式：（为长，为宽，为高） 推导逻辑：长方体有6个面，相对的面面积相等（前后面面积=长×高，左右面面积=宽×高，上下面面积=长×宽），故总和为2×（长×宽+长×高+宽×高）。 2.体积计算公式 文字公式：体积=长×宽×高 字母公式：或（为底面积，为高，底面积） 推导逻辑：体积是三维空间的度量，可看作底层单位立方体数量×层数，底层数量=长×宽，层数=高，故体积=长×宽×高。 （二）正方体 1.表面积计算公式 文字公式：表面积=棱长×棱长×6 字母公式：（为棱长） 推导逻辑：正方体6个面均为相同的正方形，每个面面积=棱长×棱长，总和=6×单个面面积。 2.体积计算公式 文字公式：体积=棱长×棱长×棱长 字母公式：或（为底面积，为高） 推导逻辑：作为特殊长方体（长=宽=高=棱长），体积公式是长方体公式的特例，即棱长³。 （三）圆柱 1.表面积计算公式 文字公式：表面积=侧面积+2×底面积=底面周长×高+2×π×半径² 字母公式：（为底面半径，为高） 推导逻辑： 侧面积：侧面沿高展开为长方形，长=底面圆周长（），宽=高（），故侧面积=底面周长×高=。 底面积：两个底面为圆，单个底面积=，总底面积=2。 2.体积计算公式 文字公式：体积=底面积×高 字母公式： 推导逻辑：将圆柱切割成无数薄片，近似长方体，体积=底面积（圆面积）×高，与长方体体积公式（）一致。 （四）圆锥 体积计算公式 文字公式：体积=底面积×高× 字母公式：或（为底面积，为高） 推导逻辑：等底等高的圆锥体积是圆柱的（实验验证：3次倒满等底等高圆柱），故体积=圆柱体积×。 （五）公式对比表格 表面积公式 体积公式 核心变量 推导依据 长方体 长、宽、高 6个面面积相加；单位立方体累加 正方体 棱长 6个正方形面面积；长方体特例 圆柱 底面半径、高 侧面展开为长方形；转化为长方体体积 圆锥 底面半径、高、母线长 等底等高圆柱体积的 三、体积与容积的区别与联系 1.相同点：计算公式相同，长方体（正方体、圆柱）的体积（容积）=底面积×高（）。 2.不同点： 意义：体积指物体所占空间大小；容积指容器容纳物体的体积（内部空间大小）。 测量方法：体积从外部测量长、宽、高；容积从内部测量（需考虑壁厚，壁厚忽略时体积≈容积）。 单位：体积用立方厘米、立方米等；容积常用升（L）、毫升（mL），1L=1dm³，1mL=1cm³。 四、不规则物体的体积计算（排水法） 1.溢水法（容器装满水）： 操作：物体完全浸入，溢出的水体积=物体体积。 公式：物体溢出水（直接测量溢出水体积）。 2.升高法（容器未装满水）： 操作：记录初始水位和浸没后水位，水面上升体积=物体体积。 公式：物体容器底面积（底面积=长×宽或）。 原理：水体积变化量等于物体体积，适用于完全浸没且水未溢出的情况。 五、核心公式推导逻辑 1.直柱体统一体积公式： 长方体/正方体/圆柱均为直柱体（上下底面平行且全等，侧面垂直底面），体积=底面积×高： 长方体：，为高；正方体：，；圆柱：，为高。 2.圆锥与圆柱的关系： 等底等高时，圆锥圆柱；若体积和底面积相等，圆锥高是圆柱的3倍；若体积和高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍。 六、易错点与注意事项 1.单位混淆：表面积用“平方”单位（如cm²），体积用“立方”单位（如cm³），容积单位1L=1dm³，1mL=1cm³。 2.圆锥体积漏乘：牢记圆锥体积是等底等高圆柱的三分之一，公式必须包含“×”。 3.圆柱表面积漏加底面积：完整圆柱表面积=侧面积+2底面积，无盖圆柱需减1个底面积（如水桶）。 4.排水法前提：物体必须完全浸没，若漂浮（如木块），需按压使其浸没，否则水面上升体积≠物体体积。 核心考点精讲 核心考点一：长方体和正方体的表面积 【典型例题】 下面三幅图分别是什么立体图形的展开图？请在括号里填出立体图形的名称，并计算出这个立体图形的表面积。（单位：） （    ） （    ） （    ） 【答案】长方体；正方体；圆柱 5400cm2；150cm2；244.92cm2 【分析】长方体有6个面，相对的面完全一样，观察可知，第一幅图是1－4－1型长方体展开图，看图可知长方体的长50cm，宽30cm，高15cm，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算这个长方体的表面积； 正方体有6个面，6个面是完全一样的正方形，观察可知，第二幅图是1－4－1型正方体展开图，看图可知，正方体的棱长是5cm，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，计算这个正方体的表面积； 圆柱沿高展开，侧面是个长方形，底面是2个圆，看图可知，圆柱的底面直径6cm，高10cm，根据圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，列式计算即可。 【解析】 （长方体） （正方体） （圆柱） （50×30＋50×15＋30×15）×2 ＝（1500＋750＋450）×2 ＝2700×2 ＝5400（cm2） 5×5×6＝150（cm2） 3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×10 ＝3.14×32×2＋188.4 ＝3.14×9×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（cm2） 长方体的表面积是5400cm2，正方体的表面积是150cm2，圆柱的表面积是244.92cm2。 【通关练习】 1．用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 【答案】2332.8平方厘米 【分析】根据题意，用彩纸包装一个的正方体礼品盒，实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，先根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出礼盒的表面积，再乘1.2即是包装这个礼盒至少用纸的面积。 【解析】18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 1944×1.2＝2332.8（平方厘米） 答：包装这个礼盒用纸至少是2332.8平方厘米。 2．一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1000平方厘米 【分析】长方体切分成两个正方体，增加的表面积为正方体两个面的面积之和，所以正方体一个面的面积是200÷2＝100（平方厘米）。由图可知，原来长方体的左面和右面为正方形，面积均为100平方厘米，长方体的上、下、左、右四个面均为两个正方形的面积之和，是200平方厘米，最后将六个面的面积相加即可。据此解答。 【解析】200÷2＝100（平方厘米） 100×2＋200×4 ＝200＋800 ＝1000（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是1000平方厘米。 3．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。 【答案】三种；42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米 【分析】第一种拼法如题中的图。第二种拼法，将小长方体沿着2厘米的棱依次相接。第三种拼法，将小长方体沿着3厘米的棱依次相接。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数据分别代入公式，求出它们的表面积即可。 【解析】拼法一： （1×3×2＋1×3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 拼法二： （2×3×1＋2×3×3＋1×3）×2 ＝（6＋18＋3）×2 ＝27×2 ＝54（平方厘米） 拼法三： （3×3×1＋3×3×2＋1×2）×2 ＝（9＋18＋2）×2 ＝29×2 ＝58（平方厘米） 答：有三种拼法，它们的表面积分别是42平方厘米、54平方厘米、58平方厘米。 核心考点二：长方形、正方形的体积 【典型例题】 计算下面长方体和正方体的体积。       【答案】1152立方分米；216立方厘米 【分析】根据题意，依据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，正方体体积公式：正方体体积＝棱长3，将数据代入公式计算出结果即可。 【解析】长方体体积＝16×9×8 ＝144×8 ＝1152（立方分米） 长方体体积为：1152立方分米 正方体体积＝6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 正方体体积为：216立方厘米 【通关练习】 1．小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 【答案】48立方厘米 【分析】由题意可知，下降的水的体积等于棱长是4厘米的正方体铁块的体积，用正方体铁块的体积除以水面下降的高度，求出水槽的底面积，石块的体积等于上升的水的体积，用水槽的底面积乘上升的高度即可求出石块的体积；根据长方体的体积＝底面积×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此代入相关数据解答。 【解析】（4×4×4÷2）×1.5 ＝（16×4÷2）×1.5 ＝（64÷2）×1.5 ＝32×1.5 ＝48（立方厘米） 答：这个石块的体积是48立方厘米。 2．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】 如图，流出的水的体积等于涂色部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，流出的水的体积×2＝涂色部分的体积，涂色部分的体积÷原来正方体容器的底面积＝BC的长度，原来正方体的棱长－BC的长度＝AB的长度，据此列式解答。 【解析】10×10×10＝1000（立方厘米） 1000×2＝2000（立方厘米） 2000÷（20×20） ＝2000÷400 ＝5（厘米） 20－5＝15（厘米） 答：图中线段AB的长度是15厘米。 【总结】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 3．一只长方体的玻璃缸，长10分米、宽7分米、高6分米，缸里水深4.5分米。如果在缸里放入一块棱长为5分米的正方体铁块，会溢出多少升水？ 【答案】20升 【分析】根据题意可知：用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积。据此解答。 【解析】10×7×4.5＋5×5×5－10×7×6 ＝315＋125－420 ＝20（立方分米） ＝20（升） 答：缸里的水溢出20升。 【总结】本题的关键是让学生理解数量关系：溢出水的体积＝水的体积＋铁块的体积－玻璃缸的容积。 核心考点三：圆柱的表面积 【典型例题】 根据展开图计算圆柱的表面积。（单位：cm） 【答案】150.72 【分析】从图中可知，圆柱的底面半径是3dm，高是5dm，长方形的长是18.84cm，圆柱的表面积由侧面积和两个底面积组成，圆柱的侧面展开图是一个长方形，根据长方形的面积＝长×宽求出侧面积；再根据圆的面积＝×半径的平方求出底面积，进而求出两个底面积，最后将侧面积与两个底面积相加得到圆柱的表面积。 【解析】18.84×5＋3.14××2 ＝94.2＋3.14×9×2 ＝94.2＋28.26×2 ＝94.2＋56.52 ＝150.72（） 【通关练习】 1．一个圆柱从前面和右面看，看到的都是下图的长方形，是指圆柱的( )，这个圆柱的表面积是( )cm2。 【答案】 直径 244.92 【分析】由题意可知，6cm是圆柱的底面直径，10cm是圆柱的高，根据半径＝直径÷2、圆柱的侧面积公式、圆的面积公式、，代入数据计算即可。 【解析】 （cm2） 一个圆柱从前面和右面看，看到的都是下图的长方形，是指圆柱的直径，这个圆柱的表面积是244.92cm2。 2．为了响应国家节水号召，幸福村在农田旁修建了一个圆柱形蓄水池，用于收集和储存雨水，以实现高效灌溉。已知蓄水池底面直径为6米，深3米，施工团队需在蓄水池的内侧和底面抹上防水涂层，以防止渗漏。那么抹防水涂层部分的面积是多少平方米？ 【答案】84.78平方米 【分析】分析题目，抹防水涂层的面积等于圆柱的一个底面积加上侧面积，据此根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2，圆柱的侧面积＝πdh代入数据列式计算即可。 【解析】3.14×（6÷2）2＋3.14×6×3 ＝3.14×32＋18.84×3 ＝3.14×9＋56.52 ＝28.26＋56.52 ＝84.78（平方米） 答：抹防水涂层部分的面积是84.78平方米。 3．做一个蚊帐（底面无薄纱）至少需要多少平方米的薄纱？（结果保留一位小数） 【答案】4.9平方米 【分析】观察示意图可知，两个半圆形底面可以拼成一个完整的圆，薄纱的面积＝圆柱底面积＋侧面积÷2，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。结果根据四舍五入法保留近似数即可。 【解析】3.14×（1.2÷2）2＋3.14×1.2×2÷2 ＝3.14×0.62＋3.768 ＝3.14×0.36＋3.768 ＝1.1304＋3.768 ≈4.9（平方米） 答：至少需要4.9平方米的薄纱。 核心考点四：组合图形的表面积 【典型例题】 这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂是红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【答案】12800平方厘米，10000平方厘米 【分析】先明确黄色与红色各有多少个面，每个面的面积各是多少，从而可以分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少。 【解析】65－10＝55（厘米） 涂黄色油漆的面积： （40×40＋40×65＋40×55）×2 ＝（1600＋2600＋2200）×2 ＝6400×2 ＝12800（平方厘米） 红色油漆的面积： 40×40×4＋（65﹣40）×40＋40×10＋40×55 ＝6400＋1000＋400＋2200 ＝10000（平方厘米） 答：涂黄色油漆和红色油漆的面积分别是12800平方厘米和10000平方厘米。 【总结】解答此题的关键是，要弄清楚每个面的边长各是多少，进而求出每个面的面积。 【通关练习】 1．如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布( )平方厘米。 【答案】1884 【分析】观察图形，这顶帽子的上面是圆柱形，圆柱形所需布的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的底面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出上面圆柱形部分所用布的面积； 帽檐部分是一个圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出帽檐部分所用布的面积； 然后把圆柱形部分所用布的面积加上帽檐部分所用布的面积，求出做这顶帽子一共用布的面积。 【解析】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 上面圆柱形的表面积： 3.14×20×10＋3.14×102 ＝3.14×20×10＋3.14×100 ＝628＋314 ＝942（平方厘米） 帽檐部分的面积： 3.14×（202－102） ＝3.14×（400－100） ＝3.14×300 ＝942（平方厘米） 一共：942＋942＝1884（平方厘米） 做这顶帽子一共用布1884平方厘米。 2．如图下图，求组合体的表面积。（单位：厘米；π取3.14） 【答案】142.84平方厘米 【分析】观察图形可知，组合体的表面积等于长方体的表面积加上圆柱体的侧面积，根据长方体的表面积公式：，圆柱体的侧面积公式：，代入数据计算即可。 【解析】 （平方厘米） 即组合体的表面积是142.84平方厘米。 3．求表面积。（单位：厘米） 【答案】329.04平方厘米 【分析】图形是一个棱长为6厘米的正方体上面放了底面直径和高等于6厘米的一个圆柱体，圆柱体上底面的面积刚好等于圆柱下底面遮盖掉的正方体部分面积，因此整个图形的表面积应该等于正方体的表面积加上圆柱的侧面积。其中正方体的表面积＝棱长×棱长×6，圆柱的侧面积等于底面周长乘高也就是等于。 【解析】（平方厘米） （平方厘米） 表面积：216＋113.04＝329.04（平方厘米） 图形的表面积是329.04平方厘米。 核心考点五：圆柱的体积公式推导 【典型例题】 我们在学习圆柱的体积公式时，是将一个圆柱转化为一个近似的长方体得出的。 （1）观察图1，我们发现长方体的底面积等于圆柱的（    ），长方体的高等于圆柱的（    ），因此圆柱的体积可以这样计算：（    ），用字母表示为（    ）。 （2）如果将转化得到的长方体在翻转一下摆放（如图2）。这时，我们就会发现翻转后长方体的底面积等于圆柱的（    ），长方体的高等于圆柱的（    ），因此圆柱的体积还可以这样计算（用字母表示）：（    ）。 （3）用你的发现解决下面的问题。 有一个圆柱，侧面积是90平方分米，半径是6平方分米。它的体积是多少？ 【答案】（1）底面积；高；底面积×高；； （2）侧面积一半；底面半径；； （3）270立方分米 【分析】（1）如图1所示，将一个圆柱体转化为一个近似的长方体，可知这个长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为长方体的体积=底面积×高，因此圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为：； （2）观察图2，我们发现翻转后长方体的底面积等于圆柱体的侧面积的一半 ，长方体高等于圆柱体的底面半径，因此圆柱体的体积还可以这样计算：圆柱的体积＝侧面积的一半×半径＝； （3）根据上面得到的圆柱体的体积公式V＝侧面积的一半×半径＝，直接利用侧面积的一半×底面半径，代入数据即可解答。 【解析】（1）由分析可知： 观察图1，我们发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因此圆柱的体积可以这样计算：底面积×高，用字母表示为。 （2）由分析可知： 如果将转化得到的长方体在翻转一下摆放（如图2）。这时，我们就会发现翻转后长方体的底面积等于圆柱的侧面积一半，长方体的高等于圆柱的底面半径，因此圆柱的体积还可以这样计算（用字母表示）：。 （3）90÷2×6 ＝45×6 ＝270（立方分米） 答：它的以及是270立方分米。 【通关练习】 1．把一个底面半径是4厘米的圆柱沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了144平方厘米，这个圆柱的体积是多少？ 【答案】904.32立方厘米 【分析】根据圆柱的体积推导公式可知，增加两个长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面半径的长方形面积，用增加面积÷2，求出一个长方形面积，再用长方形面积÷圆柱底面半径，求出圆柱的高；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【解析】144÷2÷4 ＝72÷4 ＝18（厘米） 3.14×42×18 ＝3.14×16×18 ＝50.24×18 ＝904.32（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是904.32立方厘米。 2．把一个高为5厘米的圆柱沿直径分割成若干等分（如图），拼成一个近似的长方体，表面积增加了20平方厘米，这个圆柱体的体积是多少？表面积是多少？ 【答案】62.8立方厘米；87.92平方厘米 【分析】将圆柱割拼成一个近似的长方体，表面积增加了2个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱的底面半径，增加的表面积÷2÷高＝底面半径，再根据圆柱体积＝底面积×高，圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，列式解答即可。 【解析】20÷2÷5＝2（厘米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（立方厘米） 3.14×22×2＋2×3.14×2×5 ＝3.14×4×2＋62.8 ＝25.12＋62.8 ＝87.92（平方厘米） 答：这个圆柱体的体积是62.8立方厘米，表面积是87.92平方厘米。 3．把一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），长方体的体积是( )cm3，表面积比原来增加了( )cm2。 【答案】 282.6 60 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，那么这个近似长方体的体积与圆柱的体积相等；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积，也就是长方体的体积； 拼成的近似长方体的表面积比圆柱的表面积增加了2个以圆柱的高为长、圆柱的底面半径为宽的长方形的面积；根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【解析】6÷2＝3（cm） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝282.6（cm3） 3×10×2＝60（cm2） 长方体的体积是282.6cm3，表面积比原来增加了60cm2。 核心考点六：圆柱的体积 【典型例题】 请你制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮搭配选择。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。 （2）若爷爷用这个水桶提水浇花，桶中水深2分米，那么桶中水有多少升？ 【答案】（1）②和③ （2）25.12升 【分析】（1）根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高剪开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高，根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出圆的周长，然后与长方形的长进行比较即可。 （2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。最后根据1立方分米＝1升换算单位。 【解析】（1）3.14×4＝12.56（分米） 3.14×2＝6.28（分米） 则选择的材料是②号和③号或者①号和④号。 （2）选择②号和③号 4÷2＝2（分米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×2 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 25.12立方分米＝25.12升 答：桶中水有25.12升。 选择①号和④号 2÷2＝1（分米） 3.14×12×3 ＝3.14×3 ＝9.42（立方分米） 9.42立方分米＝9.42升 答：桶中水有9.42升。 【通关练习】 1．如图，把一张长方形铁皮剪开，涂色部分正好能制成一只圆柱形油桶，求油桶的容积。（提示：先求出油桶的底面直径） 【答案】339.12立方米 【分析】根据题意可知，图中的2个圆是圆柱形油桶的上下底面，阴影长方形是圆柱形油桶的侧面；根据圆柱侧面展开图的特征可知，阴影长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高； 从图中可以看出，圆柱的底面周长＋底面直径＝24.84米，根据圆的周长公式C＝πd，据此列出方程，并求出油桶的底面直径； 底面半径＝底面直径÷2，圆柱的高＝底面直径×2，根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出油桶的容积。 【解析】解：设油桶的底面直径是d米。 3.14d＋d＝24.84 4.14d＝24.84 d＝24.84÷4.14 d＝6 3.14×（6÷2）2×（6×2） ＝3.14×32×12 ＝3.14×9×12 ＝339.12（立方米） 答：油桶的容积是339.12立方米。 2．这个钢管的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【分析】钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，根据圆柱的体积，将数据代入计算即可。 【解析】6÷2＝3（厘米） 2÷2＝1（厘米） 3.14×32×5－3.14×12×5 ＝3.14×9×5－3.14×1×5 ＝3.14×45－3.14×5 ＝3.14×（45－5） ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 则这个钢管的体积是125.6立方厘米。 3．在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】60.288立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（鸡蛋）的体积，鸡蛋的体积等于放入鸡蛋后上升的水的体积，而这部分水的形状是圆柱体，已知底面直径是8厘米可算出半径，放入鸡蛋后水的高度从5厘米上升到了6.2厘米，所以水面上升的高度是6.2－5＝1.2（厘米），最后可根据圆柱体积公式计算，据此解答即可。 【解析】8÷2＝4（厘米） 6.2－5＝1.2（厘米） 3.14×42×1.2 ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288（立方厘米） 答：这枚鸡蛋的体积大约是60.288立方厘米。 核心考点七：圆锥的体积 【典型例题】 为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】已知圆柱形木头的侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米，根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch，可知C＝S侧÷h，据此求出圆柱的底面周长； 再根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，据此求出圆柱的底面半径； 把这根圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺，那么圆锥形陀螺与圆柱形木头等底等高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥形陀螺的体积。 【解析】圆柱的底面周长： 75.36÷6＝12.56（厘米） 圆柱的底面半径： 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 圆锥的体积： ×3.14×22×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方厘米） 答：削成的圆锥形陀螺的体积是25.12立方厘米。 【通关练习】 1．把一个圆锥沿着底面直径和高分成两部分，表面积比原来增加120平方厘米。已知圆锥的高是10厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】376.8立方厘米 【分析】一个圆锥沿底面直径和高被平均分成体积相等、形状相同的两部分，表面积比原来增加了两个截面，共120平方厘米，每个截面都是高为10厘米、底为圆锥的底面直径的三角形，三角形的底边a＝S×2÷h，由此计算出三角形的底（圆锥的底面直径），再根据圆锥的体积公式V＝πr2h÷3列式解答即可。 【解析】120÷2×2÷10 ＝60×2÷10 ＝12（厘米） 3.14×（12÷2）2×10÷3 ＝3.14×36×10÷3 ＝1130.4÷3 ＝376.8（立方厘米） 答：圆锥的体积是376.8立方厘米。 2．如图是一个沙漏，它由两个完全相同的圆锥组合而成。 （1）在这个沙漏上面的圆锥中装满沙子，可以装多少立方厘米的沙子？ （2）如果每分钟漏掉20立方厘米的沙子，那么这个沙漏中的沙子全部漏完要多少分钟？ 【答案】（1）157立方厘米 （2）7.85分钟 【分析】（1）根据题意可知，每个圆锥的底面半径是10÷2＝5（厘米），高是12÷2＝6（厘米），根据圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，代入数据计算即可求出沙子的体积。 （2）根据除法的意义，用（1）求得的沙子的体积除以20，即可求出所需时间。 【解析】（1）10÷2＝5（厘米） 12÷2＝6（厘米） 3.14×52×6× ＝3.14×25×6× ＝3.14×50 ＝157（立方厘米） 答：可以装157立方厘米的沙子。 （2）157÷20＝7.85（分钟） 答：这个沙漏中的沙子全部漏完要7.85分钟。 3．计算下面立体图形的体积。 【答案】282.6dm3 【分析】由图可知图形是由两个圆锥和一个圆柱组成，一个圆锥的高是3dm，另一个圆锥的高是6dm，它们的底面直径都是6dm；圆柱的高为7dm，底面直径是6dm，根据：圆锥的体积＝π（d÷2）2h，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，将数据代入公式计算各部分的体积，再相加即可。 【解析】3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（dm3） 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（dm3） 3.14×（6÷2）2×7 ＝3.14×9×7 ＝28.26×7 ＝197.82（dm3） 28.26＋56.52＋197.82 ＝84.78＋197.82 ＝282.6（dm3） 立体图形的体积是282.6dm3。 核心考点八：组合图形的体积 【典型例题】 看图解答。 【答案】12.56立方厘米；3.14立方厘米；20.096立方厘米 【分析】（1）据图可知，长方形绕轴旋转一周得到一个底面半径是2厘米高是1厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝πr2h列式计算即可； （2）据图可知，三角形绕轴旋转一周得到一个底面半径是1厘米高是3厘米的圆锥的体积，根据圆锥的体积＝πr2h列式计算即可； （3）据图可知，梯形绕轴旋转一周得到的图形的体积是一个底面半径是2厘米高是2厘米的圆柱的体积减去一个底面半径是2厘米高是（2－0.8）厘米的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h列式计算即可。 【解析】3.14×22×1 ＝3.14×4×1 ＝12.56×1 ＝12.56（立方厘米） 3.14×12×3× ＝3.14×1×3× ＝3.14×3× ＝9.42× ＝3.14（立方厘米） 3.14×22×2－3.14×22×（2－0.8）× ＝3.14×4×2－3.14×4×1.2× ＝12.56×2－12.56×1.2× ＝25.12－15.072× ＝25.12－5.024 ＝20.096（立方厘米） 答：这三个图形绕轴旋转一周得到的立体图形的体积依次是12.56立方厘米、3.14立方厘米、20.096立方厘米。 【通关练习】 1．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 【答案】214.2立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的体积＝圆柱的体积×＋长方体的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算即可求解。 【解析】3.14×22×10×＋6×10×2 ＝3.14×4×10×＋60×2 ＝94.2＋120 ＝214.2（立方厘米） 图形的体积是214.2立方厘米。 2．下图是一个长15厘米、宽6厘米、高15厘米的长方体钢制零件，中间有一个半径是5厘米的圆柱形空洞。这个零件的体积是多少立方厘米？ 【答案】879立方厘米 【分析】看图可知，圆柱的高＝长方体的宽，零件的体积＝长方体体积－圆柱体积，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高，据此列式解答。 【解析】15×6×15－3.14×52×6 ＝1350－3.14×25×6 ＝1350－471 ＝879（立方厘米） 答：这个零件的体积是879立方厘米。 3．长方体、正方体和圆柱的体积都可以用“V＝Sh”计算。想一想，下面这个图形的体积也可以用“V＝Sh”计算吗？把你的想法写下来并求出这个图形的体积。（单位：cm） 【答案】可以用“V＝Sh”计算；144立方厘米 【分析】题干中的图形底面是一个五边形，且立体图形的高与底面垂直，与长方体、正方体、圆柱类似，可以运用底面积×高来计算体积。可将底面的五边形过左右两个顶点作线段分为一个底为6里面、高为（4－3）厘米的三角形和一个上底为4厘米、下底为6厘米、高为3厘米的梯形，根据三角形面积＝底×高÷2，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算两者面积相加得到底面积，再乘高可得出答案。 【解析】下面的这个图形底面是五边形，且上底面和下底面完全相同，有5条高且高与底面垂直，与长方体、正方体、圆柱类似，可以用底面积×高来计算体积，即V＝Sh。 这个图形的面积为： （立方厘米） 答：这个图形可以用“V＝Sh”计算；体积为144立方厘米。 【总结】本题主要考查的是长方体、正方体、圆柱体积计算公式推广到底面为多边形的柱体中，解题的关键是熟练掌握体积计算公式，进而将底面分割为容易计算的图形面积，计算得出答案。 核心考点九：等积变形 【典型例题】 一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050立方厘米，瓶子中酒深15厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、放平，这时无酒部分的高度为6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？ 【答案】750毫升 【分析】根据题意可知，无论是正放还是倒放，瓶子里酒的体积不变，由此可知，瓶子的容积相当于是以瓶子的底面为底面，高是（15＋6）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：，那么，据此求出瓶子的底面积，进而求出瓶子中酒的体积，最后将单位换算为毫升即可，1毫升＝1立方厘米。 【解析】 （平方厘米） （立方厘米） 750立方厘米＝750毫升 答：瓶中有750毫升的葡萄酒。 【通关练习】 1．有一个底面直径是16厘米、高是20厘米的圆柱形容器，容器中原来水深12厘米。把一个底面直径是8厘米、高是4厘米的圆柱形铁块浸没其中，现在水深多少厘米？ 【答案】13厘米 【分析】已知圆柱形容器的底面直径是16厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱形容器的底面积； 已知圆柱形铁块的底面直径是8厘米、高是4厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出铁块的体积； 把圆柱形铁块浸没在水深12厘米的圆柱形容器中，水面会上升，水上升部分的体积等于铁块的体积；根据圆柱的体积公式V＝Sh，可知水上升的高度h＝V÷S，据此求出水上升的高度，再加上原来水的深度，即可求出现在水的深度。 【解析】圆柱形容器的底面积： 3.14×（16÷2）2 ＝3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 圆柱形铁块的体积： 3.14×（8÷2）2×4 ＝3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方厘米） 水上升了： 200.96÷200.96＝1（厘米） 现在水的高度： 12＋1＝13（厘米） 答：现在水深13厘米。 2．把一个底面半径为4分米，高为1.2米的实心圆锥形钢材，改铸成底面直径为8分米的实心圆柱形零件（无损耗剩余），铸成的圆柱形零件的高是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】分析题目，圆锥形钢材的体积和改铸成的圆柱形零件的体积是相等的，先根据1米=10分米把1.2米换算成分米，再根据圆锥的体积＝πr2h代入数据求出圆锥的体积，再根据圆柱的底面积＝π（d÷2）2求出圆柱的底面积，最后用圆锥的体积除以圆柱的底面积即可得到圆柱的高。 【解析】1.2米＝12分米 3.14×42×12× ＝3.14×16×12× ＝50.24×12× ＝602.88× ＝200.96（立方分米） 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 200.96÷50.24＝4（分米） 答：铸成的圆柱形零件的高是4分米。 3．把一块棱长是9分米的正方体钢材，锻造成横截面面积是9平方分米的长方体钢材（如图）。这个长方体钢材的体积有多大？有多长？ 【答案】729立方分米；81分米 【分析】由于把正方体钢材锻造成长方体钢材，那么体积不变，根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出钢材的体积，由于横截面的面积是9平方分米的长方体钢材，根据长方体的体积公式：底面积×高，把横截面的面积看作底面积，长方体的长看作高，据此即可求解。 【解析】9×9×9＝729（立方分米） 729÷9＝81（分米） 答：这个长方体的体积是729立方分米；长是81分米。 4．一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 【答案】5厘米 【分析】由图发现，拿出石块，水面下降10－9＝1厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，先用正方体的底面积×1求出下降水面水的体积，也就是石块的体积；再用石块的体积÷石块底面积即可求出石块的高。 【解析】10－9＝1（厘米） 10×10×1＝100（立方厘米） 100÷（5×4） ＝100÷20 ＝5（厘米） 答：这个长方体石块的高是5厘米。 核心考点十：不规则物体的体积 【典型例题】 下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 【答案】3立方厘米；14立方厘米 【分析】看图可知，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积是17立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积是23立方厘米，1个大玻璃球和3个小玻璃球的体积－1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积＝2个小玻璃球的体积，2个小玻璃球的体积÷2＝1个小玻璃球的体积，1个大玻璃球和1个小玻璃球的体积－1个小玻璃球的体积＝1个大玻璃球的体积。 【解析】（23－17）÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（立方厘米） 17－3＝14（立方厘米） 答：一个小玻璃球的体积是3立方厘米，一个大玻璃球的体积是14立方厘米。 【通关练习】 1．一个圆柱形鱼缸如下图，把鱼缸中的石块取出后水面会下降2厘米。 （1）石块的体积是多少？ （2）取出鱼后，鱼缸里的水又下降2.2厘米，鱼的体积是多少？ （3）这个鱼缸的高是22厘米，取出石块和鱼以后，再加多少升水就能加满鱼缸？（得数保留一位小数） 【答案】（1）981.25立方厘米 （2）1079.375立方厘米 （3）3.0升 【分析】（1）根据题意可知，把鱼缸里的石块取出后，水面下降2厘米，水面下降部分的体积，就是石块的体积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出石块的体积； （2）鱼缸取出鱼后水面又下降2.2厘米，水面下降部分的体积就是鱼的体积，根据圆柱的体积公式，体积＝底面积×高，代入数据，求出鱼的体积； （3）先用20减去取出石块下降的高度，再减去取出鱼水面下降的高度，求出现在水面的高度，再用鱼缸的高度减现在鱼缸里水的高度，求出空白高度，再代入圆柱的体积公式，即可解答。 【解析】（1）3.14×（25÷2）2×2 ＝3.14×12.52×2 ＝3.14×156.25×2 ＝490.625×2 ＝981.25（立方厘米） 答：石块的体积是981.25立方厘米。 （2）3.14×（25÷2）2×2.2 ＝3.14×12.52×2.2 ＝3.14×156.25×2.2 ＝490.625×2.2 ＝1079.375（立方厘米） 答：鱼的体积是1079.375立方厘米。 （3）3.14×（25÷2）2×[22－（20－2－2.2）] ＝3.14×12.52×[22－（18－2.2）] ＝3.14×156.25×[22－15.8] ＝490.625×6.2 ＝3041.875（立方厘米） 3041.875立方厘米＝3.041875升 3.041875升≈3.0升 答：再加3.0升水就能加满鱼缸。 2．亮亮利用两种方法测量一块石块的体积。（单位：厘米） 方法一 方法二 （1）这两种方法相同的地方是 　 　。 （2）请选择你喜欢的一种方法计算这块石块的体积。 【答案】（1）都是应用排水法测量实物的体积　 （2）1570立方厘米 【分析】（1）方法一和方法二都是利用水的体积变化来测量石块的体积。方法一是通过测量放入石块前后水的高度变化，计算出石块的体积；方法二是通过测量溢出的水的体积来直接得到石块的体积。这两种方法相同的地方是：都是应用排水法测量实物的体积。（合理即可） （2）第①种实验方法。把石块放入有水的长方体容器中，石块完全浸没在水里（水未溢出），上升部分水的体积就等于石块的体积，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 第②种实验方法。把石块放在盛满水的容器里，石块完全浸没在水里，水溢出来，把溢出来的水倒入圆柱体容器里，溢出的水的体积就等于石块的体积，根据圆柱体的体积公式：V＝Sh（S＝πr2），把数据代入公式解答。 【解析】（1）这两种方法相同的地方是：都是应用排水法测量实物的体积。（合理即可） （2）第①种实验方法： 20×15.7×（15－10） ＝314×5 ＝1570（立方厘米） 第②种实验方法： 3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝78.5×20 ＝1570（立方厘米） 这块石块的体积是1570立方厘米。 （选择其一即可） 3．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【分析】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【解析】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 真题演练 一、填空题 1．（2024·河南漯河·小升初真题）把一个底面半径是4cm的圆柱切拼成一个近似的长方体（如图），其表面积增加了48cm2，圆柱的高是( )cm，圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 6 301.44 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似的长方体，增加的表面积等于2个长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径；用增加的表面积除以2，求出一个面的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱的体积。 【解析】圆柱的高： 48÷2÷4 ＝24÷4 ＝6（cm） 圆柱的体积： 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（cm3） 圆柱的高是6cm，圆柱的体积是301.44cm3。 2．（2024·重庆涪陵·小升初真题）用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是( )cm2，容积是( )cm3。（纸板厚度忽略不计） 【答案】 224 1344 【分析】根据长方体的展开图知，这个长方体的长是16cm，高是6cm，宽是（20－6＝14）cm，根据长方体的底面积＝长×宽，体积（容积）＝底面积×高，把数据代入公式解答即可。 【解析】20－6＝14（cm） 16×14＝224（cm2） 224×6＝1344（cm3） 这个纸盒的底面积是224cm2，容积是1344cm3。 3．（2022·陕西西安·小升初真题）由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 【答案】50 【分析】首先数出露出的面的数量，前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。那么露出的面一共是50个，再根据正方形的面积计算公式正方形的面积＝边长边长，求出边长为1的正方形的面积，再乘50即可解答。 【解析】前、后面露出的面数量都是7个，左、右面露出的面的数量都是10个，上、下面露出的面的数量都是8个。 （个） （） 由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积是50。 4．（23-24六年级下·河南信阳·期末）两个大小相同的量杯中，都盛有450mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是( )cm3，圆锥零件的体积是( )cm3。 【答案】 150 50 【分析】水面上升的体积就是放入水中零件的体积，等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥的3倍，通过甲量杯求出圆柱形零件的体积，再用圆柱形零件的体积除以3，就是圆锥形零件的体积。 【解析】600－450＝150（mL） 150mL＝150cm3 150÷3＝50（cm3） 圆柱形零件的体积是150cm3，圆锥形零件的体积是50cm3。 5．（2022·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为( )。（结果保留） 【答案】 【分析】蓝色溶液的体积没有发生变化，图2和图3的阴影部分都是液体的体积。由图2可以根据圆柱的体积＝算出蓝色溶液的体积。再根据图三求出空白部分的体积，空白的部分是一个和圆柱相同的底面，但是高是4cm的圆柱。整个玻璃器皿的体积＝蓝色溶液的体积＋空白部分的体积。 【解析】蓝色溶液的体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 空白部分的体积： ＝ ＝ ＝（cm3） 玻璃器皿的体积：（cm3） 则玻璃密封器皿总容量为cm3。（结果保留） 6．（22-23六年级下·广东肇庆·期末）一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是( )dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是( )dm2。 【答案】 12 3 【分析】等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，据此求出圆锥的体积；把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，长方体的体积和圆锥体积相等，再根据长方体体积＝底面积×高，求出长方体的底面积，据此解答即可。 【解析】圆锥体积：（dm3） 长方体底面积：（dm2） 【总结】本题考查圆柱、圆锥体积之间的关系、长方体的体积，解答本题的关键是掌握圆柱、圆锥体积之间的关系与长方体的体积计算公式。 7．（2024·河南驻马店·小升初真题）两个完全相同的圆柱能拼成一个长12厘米的圆柱，但表面积比原来减少了25.12平方厘米，原来一个圆柱体的体积是( )立方厘米。若将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，则体积会减少( )立方厘米。 【答案】 75.36 50.24 【分析】两个完全相同的圆柱能拼成一个圆柱，那么表面积比原来减少了两个底面，用25.12除以2求出一个底面面积，再乘原来圆柱的高（12÷2）厘米即可计算出圆柱的体积；将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，那么得到圆锥的体积是圆柱的，对比原来圆柱的体积也就减少了，用圆柱的体积×（1－）即可求出减少的体积。 【解析】25.12÷2×（12÷2） ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 75.36×（1－） ＝75.36× ＝50.24（立方厘米） 所以，原来一个圆柱体的体积是75.36立方厘米，若将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，则体积会减少50.24立方厘米。 8．（24-25六年级下·全国·期末）下面的方格纸表示一张长方形铁皮（每个小方格表示1平方分米），剪下涂色部分可以围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 12.56 18.84 【分析】①圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱的高，已知长方形长6.28分米，宽2分米，根据可计算出圆柱的侧面积； ②已知底面周长是6.28分米，根据“C＝2πr”可计算出半径“r＝C÷π÷2”，然后根据圆的面积公式可计算出圆柱的底面积，最后根据计算出圆柱的表面积。 【解析】①6.28×2＝12.56（平方分米） 所以该圆柱的侧面积是12.56平方分米； ②6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 12.56＋3.14×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（平方分米） 所以该圆柱的表面积是18.84平方分米。 二、选择题 9．（23-24六年级下·广东东莞·期末）一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个石顶屋的体积是（    ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 【答案】D 【分析】圆锥的体积＝π×底面半径的平方×高÷3，长方体的体积＝长×宽×高，圆锥的体积＋长方体的体积＝这个石顶屋的体积，据此解答即可。 【解析】圆锥的底面直径是4m，底面半径是2m， 圆锥的体积：3.14×2×2×3÷3 ＝12.56×3÷3 ＝12.56（m3） 长方体的体积：4×4×2 ＝16×2 ＝32（m3） 石顶屋的体积：12.56＋32＝44.56（m3） 故答案为：D 10．（23-24六年级下·黑龙江鸡西·期末）综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（    ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 【答案】C 【分析】帽子顶和帽檐合在一起就是一个大圆，先求出大圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch，分别计算大圆的面积和帽顶部分的侧面积，最后将两者相加就是所用布的总面积。 【解析】20÷2＝10（厘米） 10＋10＝20（厘米） 3.14×20² ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 3.14×20×10＝628（平方厘米） 628＋1256＝1884（平方厘米） 即这顶帽子一共用布1884平方厘米。 故答案为：C 11．（22-23六年级下·安徽滁州·期末）从长方体的一个面上截取一个棱长4cm的正方体（如图）后，则其表面积（    ）。    A．没变 B．增加 C．增加 D．增加 【答案】C 【分析】根据长方体、正方体表面积的意义可知，从长方体的一个面上截取一个棱长4cm的正方体后，表面积增加了这个正方体的4个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。 【解析】4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm2） 表面积增加64cm2。 故答案为：C 【总结】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体表面积的意义及应用，正方形的面积公式及应用。 12．（2022·湖北武汉·小升初真题）将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（    ）。 A．2∶3 B．π∶1 C．157∶200 D．π∶4 【答案】C 【分析】将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，那么它的底面的直径和高都是正方体的棱长，假设正方体的棱长为1，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱体积＝底面积×高，由此求出正方体和圆柱体的体积，写出削成的圆柱与原来正方体体积的比，化简即可。 【解析】假设正方体的棱长是1。 则正方体的体积：1×1×1＝1 1÷2＝0.5 圆柱的体积：3.14×0.52×1 ＝3.14×0.25×1 ＝0.785 0.785∶1＝785∶1000＝（785÷5）∶（1000÷5）＝157∶200 削成的圆柱与原来正方体体积的比是157∶200。 故答案为：C 13．（2024·安徽宿州·小升初真题）将图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据上升的水的体积等于石块的体积，且上升的水的体积＝底面积×水面上升的高度。在体积一定时，当底面积越小，水位上升就越多；当底面积越大，水位上升就越少，所以先根据圆的面积公式：S＝πr2、长方形的面积公式：S＝ab、正方形的面积公式：S＝a2，分别计算出四个容器的底面积，再比较大小，底面积最小的容器，水位上升最多，据此解答。 【解析】A．3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） B．6×8＝48（cm2） C．8×8＝64（cm2） D．10×8＝80（cm2） 48＜50.24＜64＜80 因此水位上升最多的是。 故答案为：B 14．（2020·浙江·小升初真题）有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形。当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。则此时容器内的水有（    ）。 A．13.5升 B．18升 C．22.5升 D．27升 【答案】C 【分析】因为是长方体容器，根据长方体的体积公式：长×宽×高，求出容器的体积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式：底面积×高，求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积。 【解析】容器体积：4×3×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 无水部分体积：3×3÷2×3 ＝9÷2×3 ＝4.5×3 ＝13.5（立方分米） 容器内水的体积：36－13.5＝22.5（立方分米） 22.5立方分米＝22.5升 故答案为：C。 【总结】本题主要考查体积的计算，本题容器内水的体积＝容器的容积－无水部分的体积，重点是把无水部分看作是底面是直角三角形的棱柱。 三、计算题 15．（23-24六年级下·贵州黔西·期末）如图的体积。（单位：厘米） 【答案】870立方厘米 【分析】由图意可知，该立体图形的体积等于长是12厘米，宽是10厘米，高是8厘米的大长方体体积减去长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米的小长方体体积，根据，代入数据计算即可。 【解析】 （立方厘米） 这个图形的体积是870立方厘米。 16．（2024·河北石家庄·小升初真题）求如图立体图形的体积。 【答案】173.61立方分米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积＝底面积×高；用正方体的体积减去圆柱的体积即可求出立体图形的体积；据此解答。 【解析】正方体体积为： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（dm3） 中间的圆柱体积为： （3÷2）2×3.14×6 ＝1.52×3.14×6 ＝2.25×3.14×6 ＝7.065×6 ＝42.39（dm3） 216－42.39＝173.61（dm3） 即立体图形的体积是173.61 dm3。 17．（2024·河南三门峡·小升初真题）求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 【答案】2072.4立方厘米；150.72立方厘米 【分析】（1），图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公式计算； （2），，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公式计算。 【解析】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2072.4（立方厘米） 所以，该图形的体积是2072.4立方厘米。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150.72（立方厘米） 所以，该图形的体积是150.72立方厘米。 四、解答题 18．（2024·广东广州·小升初真题）小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）18立方厘米 （2）13.5平方厘米 【分析】（1）由题意可知，上升的水的体积就是圆锥的体积，已知上升的水呈长方体，长是15厘米，宽是6厘米，高是厘米，根据，代入数据计算即可。 （2）根据的逆运算，用圆锥体积除以再除以高，即可得圆锥的底面积。 【解析】（1） （立方厘米） 答：圆锥铁块的体积是18立方厘米。 （2） （平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是13.5平方厘米。 19．（2024·浙江杭州·小升初真题）小明和哥哥一起做了“鸡蛋、鸭蛋浮起来”的实验。他们俩是这样操作的： ①用一个半径5厘米的圆柱形杯往杯子里加盐水，测量盐水的高度是8.4厘米； ②放入1个鸡蛋（小），这时水面上升到9厘米； ③再放入1个鸭蛋（大），测量水面高度。 实验操作后的记录如图。 根据如图的信息，解决问题： （1）鸭蛋的体积占三种物体总体积的（    ）%。 （2）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （3）放入鸭蛋后水面上升了多少厘米？ 【答案】（1）10 （2）47.1立方厘米 （3）1厘米 【分析】（1）把三种物体的总体积看作单位“1”，结合扇形统计图，用“1”减去盐水、鸡蛋分别占总体积的百分比，即是鸭蛋的体积占总体积的百分之几。 （2）已知加有盐水的圆柱形杯子的底面半径是5厘米，放入1个鸡蛋（小）后，水面上升了（9－8.4）厘米，那么水上升部分的体积就是这个鸡蛋的体积；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个鸡蛋的体积。 （3）由上一题可知鸡蛋的体积，且鸡蛋的体积占总体积的6%，把三种物体的总体积看作单位“1”，单位“1”未知，用鸡蛋的体积除以6%，求出三种物体的总体积； 再根据求一个数的百分之几是多少，用三种物体的总体积乘鸭蛋的体积占总体积的百分比，即可求出鸭蛋的体积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，用鸭蛋的体积除以圆柱形杯子的底面积，即可求出放入鸭蛋后水面上升的高度。 【解析】（1）1－84%－6%＝10% 鸭蛋的体积占三种物体总体积的（10）%。 （2）3.14×52×（9－8.4） ＝3.14×25×0.6 ＝47.1（立方厘米） 答：鸡蛋的体积是47.1立方厘米。 （3）三种物体的总体积： 47.1÷6% ＝47.1÷0.06 ＝785（立方厘米） 鸭蛋的体积： 785×10% ＝785×0.1 ＝78.5（立方厘米） 水面上升了： 78.5÷（3.14×52） ＝78.5÷（3.14×25） ＝78.5÷78.5 ＝1（厘米） 答：放入鸭蛋后水面上升了1厘米。 20．（2024·河南信阳·小升初真题）一个圆柱形鱼缸，底面直径是6分米，高是35厘米，把一个底面半径为20厘米的圆锥放入鱼缸中，圆锥全部进入水中后，鱼缸中的水面升高了2厘米，这个圆锥的高是多少？（π取3.14） 【答案】13.5厘米 【分析】根据题意，把圆锥完全浸没进有水的圆柱形容器中，水面上升了2厘米，那么水上升部分的体积等于这个圆锥的体积； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也就是圆锥的体积； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出圆锥的高。 【解析】6分米＝60厘米 圆锥的体积（水上升部分的体积）： 3.14×（60÷2）2×2 ＝3.14×302×2 ＝3.14×900×2 ＝5652（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 圆锥的高： 5652×3÷1256 ＝16956÷1256 ＝13.5（厘米） 答：这个圆锥的高是13.5厘米。 21．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个长方体礼盒刚好能容纳2个圆柱形茶叶罐。（如图） （1）一个圆柱形茶叶罐高为20厘米，底面直径为8厘米，这个圆柱形茶叶罐的容积是多少立方厘米？（厚度忽略不计） （2）做一个如图所示的长方体礼盒，至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） 【答案】（1）1004.8立方厘米 （2）1216平方厘米 【分析】（1）一个圆柱形茶叶罐高为20厘米，底面直径为8厘米，根据圆柱的体积（容积）公式：V＝π（d÷2）2h，把数据代入公式，求出一个圆柱形茶叶罐的容积。 （2）根据题意可知：这个箱子的长是圆柱底面直径的2倍，宽是圆柱底面直径，箱子的高度是20厘米，再根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，进行解答。 【解析】（1）3.14×（8÷2）2×20 ＝3.14×42×20 ＝3.14×16×20 ＝50.24×20 ＝1004.8（立方厘米） 答：这个圆柱形茶叶罐的容积是1004.8立方厘米。 （2）8×2＝16（厘米） （16×8＋16×20＋8×20）×2 ＝（128＋320＋160）×2 ＝608×2 ＝1216（平方厘米） 答：至少需要1216平方厘米的包装材料。 22．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 【答案】1004.8毫升 【分析】根据题意可知，模具的容积、水的体积不变，则正放时空白部分的容积与倒放时空白部分的容积相等，所以模具的容积＝正放时水的体积＋倒放时无水部分的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出模具的容积。注意单位的换算：1立方厘米＝1毫升。 【解析】3.14×（8÷2）2×6＋3.14×（8÷2）2×14 ＝3.14×42×6＋3.14×42×14 ＝3.14×16×6＋3.14×16×14 ＝3.14×16×（6＋14） ＝3.14×16×20 ＝1004.8（立方厘米） 1004.8立方厘米＝1004.8毫升 答：这个模具的容积是1004.8毫升。 【总结】理解正放和倒放时水的体积是不变的，也就是容器中空的部分体积是一样的，利用转化思想将其转化成圆柱进行计算。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 立体图形的表面积和体积 知识梳理＋核心考点精讲＋真题演练 2024-2025小升初数学通用版 知识梳理 一、表面积与体积的意义 1.表面积的意义： 一个立体图形所有面的面积总和叫作它的表面积。 本质：描述立体图形外表面的大小，单位为面积单位（如平方厘米、平方分米、平方米等）。 例：长方体的表面积是6个面的面积之和，圆柱的表面积是两个底面圆面积与侧面积之和。 2.体积的意义： 一个立体图形所占空间的大小叫作它的体积。 本质：描述立体图形在三维空间中占据的空间量，单位为体积单位（如立方厘米、立方分米、立方米等）。 例：长方体的体积是长×宽×高，圆柱的体积是底面积×高。 二、立体图形的表面积与体积计算公式 （一）长方体 1.表面积计算公式 文字公式：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 字母公式：（为长，为宽，为高） 推导逻辑：长方体有6个面，相对的面面积相等（前后面面积=长×高，左右面面积=宽×高，上下面面积=长×宽），故总和为2×（长×宽+长×高+宽×高）。 2.体积计算公式 文字公式：体积=长×宽×高 字母公式：或（为底面积，为高，底面积） 推导逻辑：体积是三维空间的度量，可看作底层单位立方体数量×层数，底层数量=长×宽，层数=高，故体积=长×宽×高。 （二）正方体 1.表面积计算公式 文字公式：表面积=棱长×棱长×6 字母公式：（为棱长） 推导逻辑：正方体6个面均为相同的正方形，每个面面积=棱长×棱长，总和=6×单个面面积。 2.体积计算公式 文字公式：体积=棱长×棱长×棱长 字母公式：或（为底面积，为高） 推导逻辑：作为特殊长方体（长=宽=高=棱长），体积公式是长方体公式的特例，即棱长³。 （三）圆柱 1.表面积计算公式 文字公式：表面积=侧面积+2×底面积=底面周长×高+2×π×半径² 字母公式：（为底面半径，为高） 推导逻辑： 侧面积：侧面沿高展开为长方形，长=底面圆周长（），宽=高（），故侧面积=底面周长×高=。 底面积：两个底面为圆，单个底面积=，总底面积=2。 2.体积计算公式 文字公式：体积=底面积×高 字母公式： 推导逻辑：将圆柱切割成无数薄片，近似长方体，体积=底面积（圆面积）×高，与长方体体积公式（）一致。 （四）圆锥 体积计算公式 文字公式：体积=底面积×高× 字母公式：或（为底面积，为高） 推导逻辑：等底等高的圆锥体积是圆柱的（实验验证：3次倒满等底等高圆柱），故体积=圆柱体积×。 （五）公式对比表格 表面积公式 体积公式 核心变量 推导依据 长方体 长、宽、高 6个面面积相加；单位立方体累加 正方体 棱长 6个正方形面面积；长方体特例 圆柱 底面半径、高 侧面展开为长方形；转化为长方体体积 圆锥 底面半径、高、母线长 等底等高圆柱体积的 三、体积与容积的区别与联系 1.相同点：计算公式相同，长方体（正方体、圆柱）的体积（容积）=底面积×高（）。 2.不同点： 意义：体积指物体所占空间大小；容积指容器容纳物体的体积（内部空间大小）。 测量方法：体积从外部测量长、宽、高；容积从内部测量（需考虑壁厚，壁厚忽略时体积≈容积）。 单位：体积用立方厘米、立方米等；容积常用升（L）、毫升（mL），1L=1dm³，1mL=1cm³。 四、不规则物体的体积计算（排水法） 1.溢水法（容器装满水）： 操作：物体完全浸入，溢出的水体积=物体体积。 公式：物体溢出水（直接测量溢出水体积）。 2.升高法（容器未装满水）： 操作：记录初始水位和浸没后水位，水面上升体积=物体体积。 公式：物体容器底面积（底面积=长×宽或）。 原理：水体积变化量等于物体体积，适用于完全浸没且水未溢出的情况。 五、核心公式推导逻辑 1.直柱体统一体积公式： 长方体/正方体/圆柱均为直柱体（上下底面平行且全等，侧面垂直底面），体积=底面积×高： 长方体：，为高；正方体：，；圆柱：，为高。 2.圆锥与圆柱的关系： 等底等高时，圆锥圆柱；若体积和底面积相等，圆锥高是圆柱的3倍；若体积和高相等，圆锥底面积是圆柱的3倍。 六、易错点与注意事项 1.单位混淆：表面积用“平方”单位（如cm²），体积用“立方”单位（如cm³），容积单位1L=1dm³，1mL=1cm³。 2.圆锥体积漏乘：牢记圆锥体积是等底等高圆柱的三分之一，公式必须包含“×”。 3.圆柱表面积漏加底面积：完整圆柱表面积=侧面积+2底面积，无盖圆柱需减1个底面积（如水桶）。 4.排水法前提：物体必须完全浸没，若漂浮（如木块），需按压使其浸没，否则水面上升体积≠物体体积。 核心考点精讲 核心考点一：长方体和正方体的表面积 【典型例题】 下面三幅图分别是什么立体图形的展开图？请在括号里填出立体图形的名称，并计算出这个立体图形的表面积。（单位：） （    ） （    ） （    ） 【通关练习】 1．用彩纸包装一个棱长为18厘米的正方体礼品盒，如果实际用纸是礼盒表面积的1.2倍，那么包装这个礼盒用纸至少是多少平方厘米？ 2．一个长方体的木块，正好截成两个完全相同的正方体。表面积比原来增加了200平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 3．用三个相同的小长方体拼成一个大长方体（如下图），有几种拼法？它们的表面积分别是多少？先试着把拼法画在下面，再计算。 核心考点二：长方形、正方形的体积 【典型例题】 计算下面长方体和正方体的体积。       【通关练习】 1．小东做测量石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了2厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是多少？ 2．如图，在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器按图倾斜放置在桌面上，流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长度是多少厘米？ 3．一只长方体的玻璃缸，长10分米、宽7分米、高6分米，缸里水深4.5分米。如果在缸里放入一块棱长为5分米的正方体铁块，会溢出多少升水？ 核心考点三：圆柱的表面积 【典型例题】 根据展开图计算圆柱的表面积。（单位：cm） 【通关练习】 1．一个圆柱从前面和右面看，看到的都是下图的长方形，是指圆柱的( )，这个圆柱的表面积是( )cm2。 2．为了响应国家节水号召，幸福村在农田旁修建了一个圆柱形蓄水池，用于收集和储存雨水，以实现高效灌溉。已知蓄水池底面直径为6米，深3米，施工团队需在蓄水池的内侧和底面抹上防水涂层，以防止渗漏。那么抹防水涂层部分的面积是多少平方米？ 3．做一个蚊帐（底面无薄纱）至少需要多少平方米的薄纱？（结果保留一位小数） 核心考点四：组合图形的表面积 【典型例题】 这个颁奖台是由3个长方体合并而成的，它的前后两面涂是黄色油漆，其他露出来的面涂是红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【总结】解答此题的关键是，要弄清楚每个面的边长各是多少，进而求出每个面的面积。 【通关练习】 1．如图，综合实践课，小明制作了一顶帽子（单位：厘米），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布( )平方厘米。 2．如图下图，求组合体的表面积。（单位：厘米；π取3.14） 3．求表面积。（单位：厘米） 核心考点五：圆柱的体积公式推导 【典型例题】 我们在学习圆柱的体积公式时，是将一个圆柱转化为一个近似的长方体得出的。 （1）观察图1，我们发现长方体的底面积等于圆柱的（    ），长方体的高等于圆柱的（    ），因此圆柱的体积可以这样计算：（    ），用字母表示为（    ）。 （2）如果将转化得到的长方体在翻转一下摆放（如图2）。这时，我们就会发现翻转后长方体的底面积等于圆柱的（    ），长方体的高等于圆柱的（    ），因此圆柱的体积还可以这样计算（用字母表示）：（    ）。 （3）用你的发现解决下面的问题。 有一个圆柱，侧面积是90平方分米，半径是6平方分米。它的体积是多少？ 【通关练习】 1．把一个底面半径是4厘米的圆柱沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了144平方厘米，这个圆柱的体积是多少？ 2．把一个高为5厘米的圆柱沿直径分割成若干等分（如图），拼成一个近似的长方体，表面积增加了20平方厘米，这个圆柱体的体积是多少？表面积是多少？ 3．把一个底面直径是6cm，高是10cm的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），长方体的体积是( )cm3，表面积比原来增加了( )cm2。 核心考点六：圆柱的体积 【典型例题】 请你制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮搭配选择。 （1）你选择的材料是（    ）号和（    ）号。 （2）若爷爷用这个水桶提水浇花，桶中水深2分米，那么桶中水有多少升？ 【通关练习】 1．如图，把一张长方形铁皮剪开，涂色部分正好能制成一只圆柱形油桶，求油桶的容积。（提示：先求出油桶的底面直径） 2．这个钢管的体积是多少立方厘米？ 3．在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 核心考点七：圆锥的体积 【典型例题】 为积极传承民族文化特色，某校大力开展陀螺文化进校园活动。六（1）班的王明同学准备把一根侧面积为75.36平方厘米，高为6厘米的圆柱形木头削成一个最大的圆锥形陀螺。削成的圆锥形陀螺的体积是多少立方厘米？ 【通关练习】 1．把一个圆锥沿着底面直径和高分成两部分，表面积比原来增加120平方厘米。已知圆锥的高是10厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 2．如图是一个沙漏，它由两个完全相同的圆锥组合而成。 3．计算下面立体图形的体积。 核心考点八：组合图形的体积 【典型例题】 看图解答。 【通关练习】 1．求图形的体积（单位：厘米）（π取3.14）。 2．下图是一个长15厘米、宽6厘米、高15厘米的长方体钢制零件，中间有一个半径是5厘米的圆柱形空洞。这个零件的体积是多少立方厘米？ 3．长方体、正方体和圆柱的体积都可以用“V＝Sh”计算。想一想，下面这个图形的体积也可以用“V＝Sh”计算吗？把你的想法写下来并求出这个图形的体积。（单位：cm） 核心考点九：等积变形 【典型例题】 一瓶葡萄酒，瓶子的容积是1050立方厘米，瓶子中酒深15厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、放平，这时无酒部分的高度为6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？ 【通关练习】 1．有一个底面直径是16厘米、高是20厘米的圆柱形容器，容器中原来水深12厘米。把一个底面直径是8厘米、高是4厘米的圆柱形铁块浸没其中，现在水深多少厘米？ 2．把一个底面半径为4分米，高为1.2米的实心圆锥形钢材，改铸成底面直径为8分米的实心圆柱形零件（无损耗剩余），铸成的圆柱形零件的高是多少分米？ 3．把一块棱长是9分米的正方体钢材，锻造成横截面面积是9平方分米的长方体钢材（如图）。这个长方体钢材的体积有多大？有多长？ 4．一个长方体石块，长5厘米，宽4厘米，投入到一个棱长为10厘米装满水的正方体水箱里，具体情况如图所示，求这个长方体石块的高。 核心考点十：不规则物体的体积 【典型例题】 下图中一个小玻璃球的体积是多少立方厘米？（每个小玻璃球同样大）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？ 【通关练习】 1．一个圆柱形鱼缸如下图，把鱼缸中的石块取出后水面会下降2厘米。 （1）石块的体积是多少？ （2）取出鱼后，鱼缸里的水又下降2.2厘米，鱼的体积是多少？ （3）这个鱼缸的高是22厘米，取出石块和鱼以后，再加多少升水就能加满鱼缸？（得数保留一位小数） 2．亮亮利用两种方法测量一块石块的体积。（单位：厘米） 方法一 方法二 （1）这两种方法相同的地方是 　 　。 （2）请选择你喜欢的一种方法计算这块石块的体积。 3．如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 真题演练 一、填空题 1．（2024·河南漯河·小升初真题）把一个底面半径是4cm的圆柱切拼成一个近似的长方体（如图），其表面积增加了48cm2，圆柱的高是( )cm，圆柱的体积是( )cm3。 2．（2024·重庆涪陵·小升初真题）用如图所示的硬纸板做成一个无盖的长方体纸盒（单位：cm），这个纸盒的底面积是( )cm2，容积是( )cm3。（纸板厚度忽略不计） 3．（2022·陕西西安·小升初真题）由15个棱长为的小立方块搭成的几何体如图所示，它的表面积为( )。 4．（23-24六年级下·河南信阳·期末）两个大小相同的量杯中，都盛有450mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如图所示，则圆柱零件的体积是( )cm3，圆锥零件的体积是( )cm3。 5．（2022·四川·小升初真题）有一玻璃密封器皿如图1，测得其底面直径为20，高为20。现内装蓝色溶液若干，如图2放置时，测得液面高10。如图3放置时，测得液面高16。该玻璃密封器皿总容量为( )。（结果保留） 6．（22-23六年级下·广东肇庆·期末）一个圆柱的体积是36dm3，和它等底等高的圆锥的体积是( )dm3，如果把这个圆锥铸成一个高是4dm的长方体，那么长方体的底面积是( )dm2。 7．（2024·河南驻马店·小升初真题）两个完全相同的圆柱能拼成一个长12厘米的圆柱，但表面积比原来减少了25.12平方厘米，原来一个圆柱体的体积是( )立方厘米。若将原来一个圆柱体削成一个最大的圆锥，则体积会减少( )立方厘米。 8．（24-25六年级下·全国·期末）下面的方格纸表示一张长方形铁皮（每个小方格表示1平方分米），剪下涂色部分可以围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是( )平方分米，表面积是( )平方分米。 二、选择题 9．（23-24六年级下·广东东莞·期末）一个圆锥形石顶屋（如图），上面是一个圆锥，下面是一个长方体（长与宽相等），这个石顶屋的体积是（    ）m3。 A．37.68 B．23.23 C．69.68 D．44.56 10．（23-24六年级下·黑龙江鸡西·期末）综合实践课，小明制作了一顶帽子（如图），上面是圆柱形；帽檐部分是一个圆环，做这顶帽子一共用布（    ）平方厘米。 A．628 B．1256 C．1884 D．2198 11．（22-23六年级下·安徽滁州·期末）从长方体的一个面上截取一个棱长4cm的正方体（如图）后，则其表面积（    ）。    A．没变 B．增加 C．增加 D．增加 12．（2022·湖北武汉·小升初真题）将一个正方体木块削成一个最大的圆柱，削成的圆柱与原来正方体体积的比是（    ）。 A．2∶3 B．π∶1 C．157∶200 D．π∶4 13．（2024·安徽宿州·小升初真题）将图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 14．（2020·浙江·小升初真题）有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形。当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。则此时容器内的水有（    ）。 A．13.5升 B．18升 C．22.5升 D．27升 三、计算题 15．（23-24六年级下·贵州黔西·期末）如图的体积。（单位：厘米） 16．（2024·河北石家庄·小升初真题）求如图立体图形的体积。 17．（2024·河南三门峡·小升初真题）求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 四、解答题 18．（2024·广东广州·小升初真题）小娅为了准确测量出一个圆锥铁块的底面积，她先用直尺和三角尺测量出圆锥铁块的高是4厘米，然后做了如下的实验： 第一步：准备一个透明的长方体容器，从里面量出它的长、宽、高。 第二步：往长方体容器倒入水，量出此时容器中水的高度。 第三步：把圆锥铁块放入容器中完全浸没且水没溢出，量出此时容器中水的高度。 （1）圆锥铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥铁块的底面积是多少平方厘米？ 19．（2024·浙江杭州·小升初真题）小明和哥哥一起做了“鸡蛋、鸭蛋浮起来”的实验。他们俩是这样操作的： ①用一个半径5厘米的圆柱形杯往杯子里加盐水，测量盐水的高度是8.4厘米； ②放入1个鸡蛋（小），这时水面上升到9厘米； ③再放入1个鸭蛋（大），测量水面高度。 实验操作后的记录如图。 根据如图的信息，解决问题： （1）鸭蛋的体积占三种物体总体积的（    ）%。 （2）鸡蛋的体积是多少立方厘米？ （3）放入鸭蛋后水面上升了多少厘米？ 20．（2024·河南信阳·小升初真题）一个圆柱形鱼缸，底面直径是6分米，高是35厘米，把一个底面半径为20厘米的圆锥放入鱼缸中，圆锥全部进入水中后，鱼缸中的水面升高了2厘米，这个圆锥的高是多少？（π取3.14） 21．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个长方体礼盒刚好能容纳2个圆柱形茶叶罐。（如图） （1）一个圆柱形茶叶罐高为20厘米，底面直径为8厘米，这个圆柱形茶叶罐的容积是多少立方厘米？（厚度忽略不计） （2）做一个如图所示的长方体礼盒，至少需要多少平方厘米的包装材料？（接口处忽略不计） 22．（2024·浙江宁波·小升初真题）（如图）一个圆锥和圆柱拼接成透明模具，小仑装了一些水，正放时水的高度是6厘米，倒放时无水部分高14厘米，这个模具的容积是多少毫升？ 学科网（北京）股份有限公司 $$