专题04 三角与三角函数考前冲刺训练-2025年上海高考数学考前重点专题分题型冲刺训练

专题04 三角与三角函数考前冲刺训练 上海高考数学对三角与三角函数的考查既注重基础知识的掌握，也强调综合应用能力，常结合几何、代数、实际问题等情境。主要包括基本概念及公式、常用的三角公式、解三角形（正弦定理、余弦定理、面积公式等）、三角函数的图像与性质、及在数学建模中的综合应用. 类型一：考查任意角三角函数值的定义、诱导公式及常用三角公式 👉知识点梳理 1. 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）. 2. 同角三角公式： ，，，. 3. 诱导公式： 诱导公式：（），，，诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. （1），， ，； （2），， ，； （3），， ，； （4），， ，； （5），， ，； （6），， ，； 4. 常用三角公式 （1）和角与差角公式： ， ， . （2）倍角公式： ， ， . 1．已知，是第四象限角，则 . 2．已知，则 ． 3．已知，则 . 4．已知，则 ． 5．已知，，则的值为 . 6．已知，则 ． 7．已知，则 ． 8．已知点是角终边上一点，若，则 . 9．已知点是角终边上一点，则 ． 10．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 11．已知，则的值为 . 12．已知，若，则 ． 13．已知角为第二象限角，且，则 ． 14．已知，则 ． 15．已知，角的终边经过点 则 . 16．已知，则 . 17．已知为锐角,若，则 . 18．已知，则 ． 19．若，则 . 类型二：考查正弦定理、余弦定理 👉知识点梳理 1. 正弦定理：. 2. 余弦定理： ，，. 3. 三角形面积公式：. 20．已知的角对应边长分别为，则 . 21．若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 22．在中，若，其面积为，则 ． 23．已知为等腰三角形，且，则 . 24．在中，已知，则的值为 . 25．在中，已知，若，则的面积为 . 26．设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 . 27．在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 28．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 29．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 . 30．若的内角满足，则的最大值是 ． 31．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 类型三：考查正弦、余弦、正切函数的性质 👉知识点梳理： 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 （） （） （） 单调减区间 （） （） 无 图像 32．若，则函数的最小正周期为 ． 33．函数的最小正周期是，则 ． 34．已知，且是偶函数，则实数 ． 35．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为 ． 36．设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 . 37．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 38．若是函数两个相邻的零点，则的值为 ． 39．已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 40．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 41．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 42．设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 43．设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 44．设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 类型四：三角、三角函数与数学建模的综合问题 45．在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 46．某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 47．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    48．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 49．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数） 50．如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 51．如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角与三角函数考前冲刺训练 上海高考数学对三角与三角函数的考查既注重基础知识的掌握，也强调综合应用能力，常结合几何、代数、实际问题等情境。主要包括基本概念及公式、常用的三角公式、解三角形（正弦定理、余弦定理、求面积等）、三角函数的图像与性质、及在数学建模中的综合应用. 类型一：考查任意角三角函数值的定义、诱导公式及常用三角公式 👉知识点梳理 1. 正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有 ，，（），（）. 2. 同角三角公式： ，，，. 3. 诱导公式： 诱导公式：（），，，诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限. （1），， ，； （2），， ，； （3），， ，； （4），， ，； （5），， ，； （6），， ，； 4. 常用三角公式 （1）和角与差角公式： ， ， . （2）倍角公式： ， ， . 1．已知，是第四象限角，则 . 【答案】 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】因为，是第四象限角， 则，可得. 故答案为：. 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以． 3．已知，则 . 【答案】 【分析】由同角三角函数的基本关系将弦变切即可得答案. 【详解】由， 故答案为：. 4．已知，则 ． 【答案】0 【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得. 【详解】由. 故答案为：0. 5．已知，，则的值为 . 【答案】3 【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，则， 所以. 故答案为：3 6．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 7．已知，则 ． 【答案】 【分析】由求解． 【详解】∵，∴． 故答案为：． 8．已知点是角终边上一点，若，则 . 【答案】 【分析】由任意角的三角函数定义即可求解. 【详解】，又， 解得：， 所以， 故答案为： 9．已知点是角终边上一点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为点是角终边上一点，， 所以， 则. 故答案为：. 10．已知是斜率为的直线的倾斜角，计算 ． 【答案】 【分析】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可. 【详解】因为是斜率为的直线的倾斜角，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 11．已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 12．已知，若，则 ． 【答案】/0.4 【分析】根据已知，应用商数关系及平方关系可得，再应用二倍角正弦公式求函数值. 【详解】由， 所以，则. 故答案为： 13．已知角为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】先利用诱导公式求出，再利用三角函数同角关系求出的值，然后利用正切的二倍角公式可求得结果 【详解】因为， 因为是第二象限角， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14．已知，则 ． 【答案】0或 【分析】根据平方关系可得，进而结合两角差的正弦公式计算即可. 【详解】由，则， 所以或. 故答案为：0或. 15．已知，角的终边经过点 则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，又， 所以，又， 所以. 故答案为： 16．已知，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式化简即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 17．已知为锐角,若，则 . 【答案】 【分析】首先求出，再根据两角差的正（余）弦公式求出、，即可得解. 【详解】因为为锐角，所以，又， 所以， 所以 ， ， 所以. 故答案为： 18．已知，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角公式以及弦切互化即可求解. 【详解】， 故答案为： 19．若，则 . 【答案】2 【分析】由两角和与差的正弦公式展开已知式，然后由商数关系求解． 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 故答案为：2. 类型二：考查正弦定理、余弦定理 👉知识点梳理 1. 正弦定理：. 2. 余弦定理： ，，. 3. 三角形面积公式：. 20．已知的角对应边长分别为，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 21．若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【答案】 【分析】设，，，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值，利用正弦定理结合圆的面积公式可求得外接圆面积. 【详解】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 22．在中，若，其面积为，则 ． 【答案】 【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而求出的值. 【详解】已知，，代入面积公式可得： 则，可得：. 根据余弦定理为，可得 则.即， 把代入可得：，即. 由于为边长，可得. 故答案为：. 23．已知为等腰三角形，且，则 . 【答案】/0.875 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得. 故答案为： 24．在中，已知，则的值为 . 【答案】/0.625 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 25．在中，已知，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，，， 由余弦定理得， 解得， 所以的面积为. 故答案为： 26．设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 . 【答案】 【分析】由已知得的大小，再根据的面积公式得的值，从而由余弦定理可得的值. 【详解】，， 又，所以，故， 则的面积，所以， 由余弦定理得， 故. 故答案为：. 27．在中，已知角所对的边分别为，若，则 . 【答案】 【分析】根据正余弦定理边角互化即可求解. 【详解】由可得， 进而可得， 所以， 由于，故， 故答案为： 28．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 【答案】1 【分析】由已知等式，利用正弦定理角化边可得，再利用余弦定理求得，从而利用正弦定理可得答案. 【详解】因为且， 所以由正弦定理可得， 整理得，可得， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为:1. 29．在中，角对应边为，其中.若，且，则边长为 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得. 【详解】依题意，， 由正弦定理得，即， ， 由于，所以，则， 由正弦定理得，. 故答案为：. 30．若的内角满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】由已知条件结合正弦定理可得出，利用余弦定理可求出的最小值，结合余弦函数的单调性可得出角的最大值. 【详解】设的内角、、的对边长分别为、、， 因为，由正弦定理可得， 所以， ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为且余弦函数在上单调递减，故， 所以，的最大值为. 故答案为：. 31．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】由题意可得两点关于折线对称，连结， 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以． 因为，即， 当，即时，， 此时取得最小值，且． 所以的最小值为． 故答案为：. 类型三：考查正弦、余弦、正切函数的性质 👉知识点梳理： 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义域 值域 最大值 无 最小值 无 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调增区间 （） （） （） 单调减区间 （） （） 无 图像 32．若，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】利用两角和差的余弦公式化简，再利用周期公式求解. 【详解】， 故最小正周期为. 故答案为： 33．函数的最小正周期是，则 ． 【答案】 【分析】由正弦型函数的周期公式可求得的值. 【详解】因为函数的最小正周期是，则. 故答案为：. 34．已知，且是偶函数，则实数 ． 【答案】 【分析】利用特殊值求参数并检验. 【详解】，且是偶函数， 则，所以， 所以，又因为，所以， 则实数． 当时，为偶函数，符合题意. 故答案为：0. 35．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】求出平移后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可解得的最小正值. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 36．设 ，函数 图象的一条对称轴为 ，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的对称性与最值的关系，可得，即可化简求解. 【详解】的图象的一条对称轴为 ， 故是函数的最大值或者最小值，即， 故， 化简可得，故，即， 故答案为： 37．函数（）在上存在最小值，则实数的最小值是 . 【答案】 【分析】先由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在最小值， 所以，解得， 所以实数的最小值是. 故答案为：. 38．若是函数两个相邻的零点，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据周期的计算公式即可求解. 【详解】由题意得函数的最小正周期 ，解得． 故答案为： 39．已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果. 【详解】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 40．已知函数，其中，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的范围，利用正弦函数图像的性质计算即可； 【详解】函数，其中，在区间上恰有2个零点， ，.求得，则的取值范围为. 故答案为：. 41．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于的不等式，故可求其取值范围. 【详解】当时，， 因为函数在区间上有且仅有3个零点和1个极小值点， 所以，故， 故答案为： 42．设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 43．设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为： 44．设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由最多有两个零点，可得至少四个根，分别讨论当和时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可. 【详解】当时，令，则， 解得.因为，所以， 当时，，其对称轴为，二次函数最多两个零点. 当二次函数有两个零点时： 结合二次函数图象性质， 解得，即； 解得，即，， 所以当二次函数有两个零点时，的取值范围是. 此时应有四个解，即有四个解. 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 所以当有四个解时 所以当在区间内恰好有6个零点时的取值范围是. 当二次函数有一个零点时：或，即或， 此时应有五个解，即有五个解，即， 所以； 当二次函数有零个零点时：，即， 此时应有六个解，即有六个解，即， 所以此时无符合条件的的值. 终上所述：的取值范围是. 故答案为： 类型四：三角、三角函数与数学建模的综合问题 45．在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 46．某数学建模小组模拟"月距法"测量经度的一个步骤.如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表"月球"与"轩辕十四"（恒星名）.组员在地面处测得轩䢂十四的仰角，随后向着两"天体"方向前进4米至处，测得两"天体"的仰角分别为、.若"月球"距离地衣的高度为3米，则"轩辕十四"到"月球"的距离约为 . 【答案】米 【分析】根据题意先在直角三角形中求出，在中利用正弦定理求出，然后在中利用余弦定理可求出，从而可得答案. 【详解】在中，，，则， 因为，所以， 因为， 所以, 在中，由正弦定理得，， 所以， 在中，， 由余弦定理得 ， 所以米. 故答案为：米 47．一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是13cm，，，且，则圆心到点B的距离约为 cm．（结果精确到0.1cm）    【答案】 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为D，的中点为E，则， 由题意易知， 则， 所以， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：.    48．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是 ．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 49．如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为 平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因为≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 50．如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【分析】过点作，设,，根据正弦定理求得，求得阴影的面积为，令，求得，得出函数的单调性，得到时， 取得最小值，结合为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为： 51．如图，现对某景区一长，宽的矩形空地进行建设.规划在边上分别取点修建人行步道（不考虑宽度），且满足点关于步道的对称点在边上.在内种植花卉，在内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道的最短距离为 .（结果精确到） 【答案】 【分析】由题设有，设，根据图形中边角关系，结合三角函数可得，注意的范围，进而应用换元法并构造函数，利用导数求最值. 【详解】由题意，， 设，则， 在中，得， 则， 由于，解得， 则，解得， 令，，则. 令，则， 令，则，函数单调递增； 令，则，函数单调递减； 所以， 所以， 即人行步道的最短距离为. 故答案为：. 试卷第4页，共28页 试卷第3页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $$