专题10 圆综合（6大题型55题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题10 圆综合（6大题型55题） 题型概览 题型01 圆中的角度问题 题型02 圆中的线段长问题 题型03 圆中的弧长问题 题型04 圆中的周长及面积问题 题型05 圆中的切线证明 题型06 圆大题压轴 ( 题型01 ) 圆中的角度问题 1．（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据正三角形的性质求出，根据圆周角定理可求解的度数，根据角的和差求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（2025·浙江台州·一模）如图，为的弦，于点．若，则等于（  ） A． B．36° C．46° D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理．先利用圆周角定理求得，再利用垂直的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的直径，弦与交于点E，连接，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据是的直径，得到，结合圆周角定理，得到，于是，解答即可． 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．（2025·浙江丽水·一模）如图，的切线交直径的延长线于点D，连结，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质等知识，连接过切点的半径是解题的关键与常作的辅助线；连接，则；由圆周角定理得，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴； ∵， ∴； 故答案为：． 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为 °． 【答案】35 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，先根据切线的性质求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案：35． 8．（2025·浙江温州·一模）如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于 度． 【答案】130 【分析】本题考查了切线的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由切线的性质可得，求出，由等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【详解】解：∵切半圆O于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 10．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查垂直平分线性质和判定，三线合一，切线长定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接，根据题意推出垂直平分，结合等腰三角形性质得到，再结合切线长定理进行求解，即可解题． 【详解】解：记量角器圆弧所在圆的圆心为，连接， 直径是直角边的两倍， ， ， 垂直平分， ， ， 为半径，， 为切线， 为切线， ， ； 故答案为：． 11．（2025·浙江杭州·一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点，作于点，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，作于点， ，， 设正六边形的边长为，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角和弧的关系，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角定理． 接,利用平行线的性质和圆周角定理得出的度数，利用垂径定理和直径定理得出的度数，继而得出的度数，最后可得答案． 【详解】解：如图，连接, ， ， 的度数为， ∵点为弧的中点，为的直径， ∴的度数为， 的度数为， 的度数为的度数减去的度数为， 的度数为的度数减去的度数为， ， 故答案为：． ( 题型02 ) 圆中的线段长问题 13．（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 14．（2025·浙江衢州·一模）如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质和勾股定理、矩形的性质与判定，熟记圆的切线性质是解题的关键． 连接、，过点A作于点D，判断出四边形为矩形，即可得出，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、，过点A作于点D， ∵直线与相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 设的半径为x，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∴的半径为， 故答案为：． 15．（2025·浙江·一模）如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（   ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算长，最后根据勾股定理解题． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 16．（2025·浙江湖州·一模）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，切线的性质，含30度的直角三角形，掌握圆的切线的性质是解题关键．连接，，根据切线的性质得到，再根据等边对等角的性质推出，进而得到，则，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，， ，分别切于点A，B， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 17．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记若，那么的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理的推论，余弦的定义，垂径定理和勾股定理，根据直角所对的弦是直径得到，利用勾股定理求出长，过点P作于点H，当最大时，比值最大，解题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 连接， ∵， ∴是圆O的直径，即， ∴， 过点P作于点H， 则， ∴的最大值为当最大， ∴当与圆相切时，最大，如图，连接并延长交y轴于点G ∴， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∴，，四边形是矩形， ∴， 的最大值是， 故选：B． 18．（2025·浙江宁波·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设与边相切于点，连接并延长交于点，连接，利用切线的性质得到，根据正方形的性质得到，，，得到，利用垂径定理得到，通过证明四边形是矩形，得到，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可． 【详解】解：如图，设与边相切于点，连接并延长交于点，连接， 与边相切， ， 边长为4的正方形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的半径长为． 故答案为：． 19．（2025·浙江台州·一模）如图，的半径为4，以弦为边作，使，点为中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质，连接，根据勾股定理得到，，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，进而列出方程，解方程求出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∵点M为中点， ∴， ∴， 在中，点M为中点， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（2025·浙江杭州·一模）如图，矩形的对角线交于点，线段不经过点，且，分别与边交于点G，H，，连接．若，，点在线段的垂直平分线上，则（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．求得，判断点共圆，利用圆周角定理证明，据此求解即可． 【详解】解：连接，作直线于点， ∵矩形， ∴，直线垂直平分， ∵， ∴四边形是矩形，直线垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点共圆，    ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 21．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ． 【答案】/ 【分析】连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，，则，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 22．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则，证明，推出，在中，利用勾股定理得到，即，据此计算即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， ∵和是圆周角所对的弧， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， 在，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键． 23．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为 ． 【答案】7 【分析】过点A作，交于点E，连接，由题意易得，则有是等边三角形，，过点E作于点H，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作，交于点E，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即圆的半径为7； 故答案为7． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 24．（2025·浙江杭州·一模）如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠圆问题，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据折叠得到等圆，结合所对的弧不同得到即，再结合和圆周角定理得到，即可得到，，，代入得到，解得，最后计算即可． 【详解】解：连接，，设半径为， ∵， ∴设，， ∵将圆形纸片沿着折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 25．（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长，分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形，圆周角定理．连接，，交于点J．设的中点为O，连接．设正方形的边长为．利用全等三角形的性质证明，，再证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，交于点J．设的中点为O，连接．设正方形的边长为． ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；运用相似三角形确定线段间的数量关系是解题的关键． ( 题型03 ) 圆中的弧长问题 26．（2025·浙江杭州·一模）半径为的中，圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，要熟练掌握弧长公式．根据弧长公式即可直接求解． 【详解】解：弧长为， 故答案为：． 27．（2025·浙江舟山·一模）如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，G是其中一顶点，连结，，交于点P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形外接圆的圆心为O，连接，于是得到，由题意得，，，过A作于H，推出是等腰直角三角形，得到，求得，根据弧长的计算公公式即可得到结论． 本题考查了正多边形和圆，正六边形和正十二边形的性质，解直角三角形，弧长的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O， 连接，,则，， 故，是等边三角形， 由题意得，，，， 过A作于H， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的长， 故选：D． 28．（2025·浙江衢州·一模）如图，中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，求弧长： （1）连接，证明，得到，平分，进而得到垂直平分，根据同角的余角相等，得到，即可得证； （2）求出，进而求出，三角函数求出的长，利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则， ∵以点为圆心，为半径作圆与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴，， ∴的长为：． 29．（2025·浙江·一模）如图，在中，已知弦相交于点，连接． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算得到答案． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：连接，， ，， ， ， ， ∵的半径为， 的长为． ( 题型04 ) 圆中的周长及面积问题 30．（2025·浙江衢州·一模）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 31．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 32．（2025·浙江舟山·一模）如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，是的一半．已知，，则扇面的周长为（   ）． A．30 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式，线段中点的计算，正确掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意得到，再结合弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：是的一半．， ， ， ， ， 扇面的周长为， 故选：B． 33．（2025·浙江湖州·一模）如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为，的长为，则扇形的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、解直角三角形、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据垂径定理可得，再解直角三角形可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵半径于点，的长为， ∴， ∵的半径长为， ∴， 在中，， ∴， ∴扇形的面积是， 故答案为：． 34．（2025·浙江·一模）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，再证明得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 35．（2025·浙江湖州·一模）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判断和性质，连接、，易证得，即可得到，求得，然后根据求得即可． 【详解】解：连接、， ∵过的中点C作交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． ( 题型0 5 ) 圆中的切线证明 36．（2025·浙江·一模）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． (1)若，请直接写出，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可； （2）设，根据（1）的推理过程得到，然后根据角平分线得到，然后求出，即可得到结论； （3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后证明，根据对应边成比例得到长，然后根据切线得到，然后证明，求出的值，再在Rt中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； （2）证明：设， ∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得， 在Rt中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 37．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①7；② 【分析】（1）连接、、，利用圆周角定理，直角三角形性质，以及等腰三角形性质得到再利用等量代换得到，即可证明是的切线； （2）①连结，利用勾股定理求出，利用解直角三角形得到，由（1）可知，结合等腰三角形性质和等量代换得到，再结合等腰三角形性质得到，最后根据 求解，即可解题； ②过点D作于H，连结，结合题意得到，利用解直角三角形得到，，进而得到，， 连结，证明，利用相似三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：以为直径的交于点D，M是的中点，如图1，连接、、， ， ， ， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：①在中，，，，如图2， 连结， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 则， 解得， ， ， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ， ， ； ②过点D作于H，连结，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 连结， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 38．（2025·浙江杭州·一模）已知正方形内接于，边以点C为中心顺时针旋转到，连接分别交，边于点F，G． (1)如图1，若是的切线， ①求的度数； ②连结，求证：． (2)如图2，连接，求证：． 【答案】(1)①；②见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆综合，涉及的主要知识点有圆周角定理，切线的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等，解答该题的关键是掌握以上知识点． （1）①连接，根据正方形的性质易证经过圆心O，再由是切线，得到，求出，由旋转，得到，利用即可求解；②连接，延长相交于点M，证明，推出， 再证明，推出，即可证明； （2）根据是内接于的正方形的边长，得到，进而得到，易证点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，利用圆周角定理求出，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，①连接， ∵正方形内接于， ∴由对称性可知，经过圆心O， ∴ 而是切线， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； ②证明：连接，延长相交于点M， 由题可知，，，， ∴ ∴， 又是的直径， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是内接于的正方形的边长， ∴， ∴， 又， ∴点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上， ∴， ∴， ∴． ( 题型0 6 ) 圆大题压轴 39．（2025·浙江湖州·一模）如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结． (1)求的度数； (2)如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3，连结交于点P，若，，求圆半径． 【答案】(1) (2)，，理由见解析 (3)圆半径为9 【分析】对于（1），根据中点的定义得，可得，再结合可得答案； 对于（2），延长交于点H，先证明，可得，，再连结BD，可说明，进而得出，根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（3），结合题意得，再说明，可得，然后设为x，则，作，即可得，根据相似三角形的性质得，可得，，，再根据平行线的性质得，代入数值可得出答案. 【详解】（1）解：∵为直径，C是的中点， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：，． 延长交于点H， ∵，， ∴， ∴． 又，， ∴， ∴，． 连结， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴，． （3）解：∵C是的中点， ∴． ∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴ 设为，则． 过F作于点H， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴. ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）． 所以，圆半径为9． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等（相似）三角形是解题的关键． 40．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 【答案】（1）见解析  （2）的值为 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，掌握构造相似三角形，并应用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题的关键. （1）根据切线可得到，根据直径得到，可推出，再由同弧对应的圆周角相等得到，然后证明得到结论 （2）延长交于点， 连结， ，可以得到，由（1）的结论代入可得到关于的方程，解方程即可求出的值. 【详解】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； （2）如图， 延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得 ， 解得或(舍去)， ∴的值为. 41．（2025·浙江温州·一模）根据要求作图并证明． (1)如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹： ①画一条直径； ②作的垂直平分线交于点C，D； ③连结，得到． (2)根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理， 对于（1），过圆心画一条直径，再分别以点O，B为圆心，以大于为半径画弧，然后过两个交点画直线，与交于点C，D，连接，则就是所求作的三角形； 对于（2），连结，，根据垂径定理得，即，再说明是等边三角形，可得，然后根据圆周角定理得，可求出，则结论可证. 【详解】（1）解：图1即为所作图形． （2）解：如图2，连结OD，BD． ∵是的中垂线，为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 42．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质、圆周角定理是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系和圆内接四边形的性质进行解答即可； （2）①证明，，即可证明结论； ②过点B作交圆于点P，连结，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， ∵B为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）①如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ②如图2，过点B作交圆于点P，连结， 则，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 43．（2025·浙江杭州·一模）如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． (1)如图2，若为的直径，求的度数． (2)求证： ①； ②． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，弧、弦和圆周角之间的关系，熟练掌握弧、弦和圆周角之间的关系是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到，由角平分线的定义得到，则可求出，据此根据三角形内角和定理可得答案； （2）①连接，先证明，，则可证明，进而证明，，进一步证明，得到，则可证明；②如图所示，连接，先证明，再证明，得到；证明，得到，即，再根据，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴； ∵点P是的中点， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①如图所示，连接， ∵点P是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵∵点P是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 44．（2025·浙江丽水·一模）如图，三角形内接于，，连结并延长交于点E，交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)平行，理由见解析； (3)． 【分析】（1）由题意易得，然后根据圆周角的性质可进行求解； （2）延长交于点F，由题意易得，则有，然后问题可求证； （3）由（2）易得，由可设，则，然后根据勾股定理可得，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：平行；如右图，延长交于点F， ∵， ∴， ∴，即点A为的中点， ∵是半径， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； （3）解：由（2）易得， ∵， ∴设，则， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴＝＝， ∴． 【点睛】本题主要考查圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 45．（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点． (1)若，_______，求的度数． ①；②． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．） (2)若，求的长． (3)若，求证：． 【答案】(1)若选择①，；若选择②， (2) (3)见详解 【分析】（1）当选择①时，由题意易得，，然后可得是直径，则有点M是圆心，且四边形是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得，，设，则有，然后可得方程，进而问题可求解； （2）由题意易得，则可证，则有，进而问题可求解； （3）先证明，，则有，，然后根据可得，进而问题可求证． 【详解】（1）解：当选择①时， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴是直径， ∵， ∴， ∴点M是圆心，且四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴都为等边三角形， ∴， ∴； 若选择②， ∵，平分， ∴，， 由可设，则有， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 46．（2025·浙江宁波·一模）如图1，已知内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长 (3)如图2，连接并延长交于点G，连接， ①设，，求y关于x的函数关系式； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（）由是的直径，得，由圆周角定理，再利用等腰三角形的三线合一的性质解答即可； （）设交于点，连接，根据是的直径，得出，根据条件，得出，结合勾股定理解答即可； （）①求解，可得，结合D为中点，O为中点，可得；                  ②先证明，如图，连接，设，则，，，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：设交于点，连接， ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （3）解：①∵，则， ∴， ∵D为中点，O为中点， ∴ 即：                      ②∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵，经过圆心， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， 设，则，， 在中，根据勾股定理可得，， ∴同理可得：， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂径定理的推论，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 47．（2025·浙江衢州·一模）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E． (1)求的度数． (2)如图2，过点A作，连接，若，． ①若，求． ②连接，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据直径得到的度数为，中点得到的度数为，圆周角定理求出的度数即可； （2）①根据，设，则，根据，求出的值，导角得到，进而求出的长，证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果； ②分和两种情况，画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，是的外接圆， ∴为直径， ∴的度数为， ∵D是的中点， ∴， ∴的度数为， ∴； （2）①由（1）可知：， ∴， 设，则， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴； ②当时， 过点O作，由①可知：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，； 当＞时，过点O作 ∵， ∴， 设， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 48．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若直线与直线交于点，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)的度数为或． 【分析】（）连接，，设与交于点，由，，得，，垂直平分，所以，，设，然后由外角性质和角度和差即可求解； （）连接，由勾股定理得，，然后证明，则，从而求出，再由勾股定理得，再通过垂径定理得，再通过圆内接四边形和平角定义证明，则，然后代入求值即可； （）分当在线段上时和当在延长线上时两种情况分析即可 【详解】（1）解：连接，，设与交于点， ∵，， ∴，，垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当在线段上时，连接， 由上可得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 如图，当在延长线上时， 由上可得：， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，为半径， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 49．（2025·浙江湖州·一模）如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线于点F，交于点G，连结，． (1)如图1，若，连结， ①求的度数； ②判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若，延长交直线于点H，连结．当是边的中点时，求的值． (3)如图3，若（k是常数），延长交边于点，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)①；②是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）①先证出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理即可得； ②根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的判定即可得； （2）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，利用勾股定理可得，由此即可得； （3）连接，先根据圆周角定理可得是图中圆的直径，再证出，根据垂径定理可得，然后设，则，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①在矩形中，， 四边形是正方形，， ， 由圆周角定理得：． ②是等腰直角三角形．理由如下： 由圆周角定理得：，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴是过三点的圆的直径， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵是边的中点， ∴ ，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是图中圆的直径， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， 由（2）已得：，即， ∴， 又∵是图中圆的直径，是图中圆的弦， ∴垂直平分， ∴， ∵（是常数）， ∴设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，综合性强，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 50．（2025·浙江宁波·一模）如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点作 于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点，连接． ①若 ，，求的长． ②若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）由圆周角定理可知，再结合直径所对圆周角为直角可知，，根据即可求解； （2）由，得，进而证明，即可证得结论； （3）①连接，作 于点，先证，进而得证， 根据四边形为矩形，可知，，设，，由勾股定理可知，，列出方程即可求解； ②连接，先证，根据，，得，由，得，由，易知，可证得，得，进而可知，得，即可求解． 【详解】（1）解：为直径， ， ， ， 于点，则， ； （2）证明：， ， ，， ， ； （3）①连接，作 于点， ，， ， ， ， ， 为直径， ， ， 四边形为矩形， ，，设，， ，， ， 解得: ，（舍） 的长为； ②连接， 为直径， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 51．（2025·浙江舟山·一模）如图1，内接于，其中．点E在射线上，且满足，交于点H，交于点P． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，连结，交于点K，若H为中点，求证：； (3)如图3，若线段过圆心O，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用等腰三角形性质，以及全等三角形性质推出，进而推出，再结合平行线性质进行等量代换，即可证明为等腰三角形； （2）连接，利用等腰三角形性质，平行线性质，以及圆周角定理，证明，再结合相似三角形性质求解，即可解题； （3）作于点，连接，利用等腰三角形性质得到过圆心，再结合全等三角形性质和圆周角定理推出，进而得到，设，则，利用勾股定理得到，推出，，再利用勾股定理得到，结合全等三角形性质，证明，最后利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 即为等腰三角形； （2）证明：连接， ， ， H为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作于点，连接， ， ， 过圆心， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， 由， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定，全等三角形性质，平行线性质和判定，圆周角定理，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相似三角形性质和判定． 52．（2025·浙江杭州·一模）如图1，是的直径，点在线段上，，，． (1)求证：； (2)连结交于，连结，求证：平分； (3)如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，推出，据此即可证明； （2）由得到，求得，利用圆周角定理求得，据此即可证明平分； （3）连结，证明，得到，，再证明，求得，由，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：连结， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由， ∴，即， ∴， 则． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 53．（2025·浙江杭州·一模）已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，求证：①，② 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先由弧与圆心角的关系得到，再由平角的意义求出的度数，然后由圆周角定理即可求解； （2）①设，则，由圆周角定理得到，根据互余关系得到，，则，即可证明，再由等角对等边即可证明； ②在上取点，使得，连接，则垂直平分，那么，则，由外角性质可得，则，故，那么，而，再等量代换即可求证． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②在上取点，使得，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 54．（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点． (1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______； (2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点． ①当时，求的值； ②设，，求y与x的函数关系式． 【答案】(1)5，，2，2 (2)①；②y与x的函数关系式为 【分析】（1）利用直线解析式求出点E和点F坐标，进而得到和的长度，再根据边角关系可得，继而得到和； （2）①易证，从而求出的长，进而即可得解； ②构造8字型相似，作轴于点K，轴于点J，则，，解直角三角形可得，进而得到、和，再在中，，进而建立等式求解． 【详解】（1）解：直线交x轴于点E，交y轴于点F， 令得，， 解得， ； 令得，， ； ， ， 连接，则， ， ， ， ，即的半径为2； ，， 是等边三角形， ； 故答案为：5，，2，2； （2）解：①连接、， ， ， ， ， ， ， ， 为直径， ，， ， ； ②由①知， ， 如图，作轴于点K，轴于点J，则， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ，即， 整理得， 与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、一次函数与坐标轴交点、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识是解题的关键． 55．（2025·浙江杭州·一模）如图，矩形内接于，是对角线，点在上（不与点重合），连接分别交于点，，于点，，连接交于点． (1)如图1，当点为的中点，时， ①求证：． ②求的长． (2)如图2，若，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质、余角的性质等可证得，根据圆周角定理可得出，然后等量代换即可得证； ②连接，，根据圆周角定理的推论可得、是的直径，则是中点，也是中点，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，结合①中，以及，得出，则可求出，得出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，则，根据弧、圆心角的关系可求出，则，最根据弧长公式求解即可； （2）根据，可设，则，，，根据勾股定理求出，结合（1）中，求出，，证明，可求出，在中求出，过P作于M，根据等角的正切值相等可得出，故设，则，在中，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，结合，可求出，则可求出，，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴； ②解：连接，， ∵， ∴是的直径， ∴是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是的直径， ∴是中点， ∵，， ∴， ∴， 由①知：， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴设，则，， ∴， 由（1）知∶ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 过P作于M， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及推论，弧、圆心角的关系，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识，并正确添加辅助线是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 圆综合（6大题型55题） 题型概览 题型01 圆中的角度问题 题型02 圆中的线段长问题 题型03 圆中的弧长问题 题型04 圆中的周长及面积问题 题型05 圆中的切线证明 题型06 圆大题压轴 ( 题型01 ) 圆中的角度问题 1．（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（　　） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 3．（2025·浙江杭州·一模）如图，的直径与弦的夹角为，过点C的切线与的延长线交于点P，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江台州·一模）如图，为的弦，于点．若，则等于（  ） A． B．36° C．46° D． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的直径，弦与交于点E，连接，．若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江丽水·一模）如图，的切线交直径的延长线于点D，连结，若，则的度数为 ． 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为 °． 8．（2025·浙江温州·一模）如图，是半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆O于点D，连结，．若，则等于 度． 9．（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江舟山·一模）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的刻度线与量角器的刻度线在同一直线上，直径是直角边的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则的度数是 ． 11．（2025·浙江杭州·一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为 ． 12．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，点为弧的中点，为的直径，交于点，连结．若，则 ． ( 题型02 ) 圆中的线段长问题 13．（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2025·浙江衢州·一模）如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为 ． 15．（2025·浙江·一模）如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（   ） A． B．2 C． D．2 16．（2025·浙江湖州·一模）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（　　） A． B．3 C． D．4 17．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记若，那么的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 18．（2025·浙江宁波·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为对角线上一点．若的外接圆与边相切，则的半径长为 ． 19．（2025·浙江台州·一模）如图，的半径为4，以弦为边作，使，点为中点，连接．若，则的长为 ． 20．（2025·浙江杭州·一模）如图，矩形的对角线交于点，线段不经过点，且，分别与边交于点G，H，，连接．若，，点在线段的垂直平分线上，则（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 21．（2025·浙江杭州·一模）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则 ． 22．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，将沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结，若，，则的长为 ． 23．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形内接于，延长，交于点．若，，则圆的半径为 ． 24．（2025·浙江杭州·一模）如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于 ． 25．（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长，分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． ( 题型03 ) 圆中的弧长问题 26．（2025·浙江杭州·一模）半径为的中，圆心角所对的弧长为 ．（结果保留） 27．（2025·浙江舟山·一模）如图，六边形是的内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，G是其中一顶点，连结，，交于点P，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·浙江衢州·一模）如图，中．，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．（2025·浙江·一模）如图，在中，已知弦相交于点，连接． (1)求证：． (2)若，的半径为4，求的长． ( 题型04 ) 圆中的周长及面积问题 30．（2025·浙江衢州·一模）已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为 ． 31．（2025·浙江宁波·一模）已知矩形的顶点在半径为5的半圆上，顶点在直径上．若，则矩形的面积等于（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 32．（2025·浙江舟山·一模）如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，是的一半．已知，，则扇面的周长为（   ）． A．30 B． C． D． 33．（2025·浙江湖州·一模）如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为，的长为，则扇形的面积是 （结果保留）． 34．（2025·浙江·一模）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 35．（2025·浙江湖州·一模）如图，在扇形中，，，过OB的中点C作交于点D，以C为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 圆中的切线证明 36．（2025·浙江·一模）如图，锐角内接于，平分，交于点，交于点，平分，连结并延长交于点． (1)若，请直接写出，的度数． (2)求证：是的切线． (3)若平分，求的长． 37．（2025·浙江杭州·一模）如图1，中，，，，以为直径的交于点D，M是的中点，连结． (1)求证：是的切线； (2)如图2，过点B作的平行线交于点E． ①求的长； ②如图3，点在线段上，连结交并延长交于点Q，当时，求的值． 38．（2025·浙江杭州·一模）已知正方形内接于，边以点C为中心顺时针旋转到，连接分别交，边于点F，G． (1)如图1，若是的切线， ①求的度数； ②连结，求证：． (2)如图2，连接，求证：． ( 题型0 6 ) 圆大题压轴 39．（2025·浙江湖州·一模）如图1，为圆O的直径，弦交于点G（不与O重合），C是的中点，分别过点A，B作的垂线，垂足为E，F，连结． (1)求的度数； (2)如图2，连结，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3，连结交于点P，若，，求圆半径． 40．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 41．（2025·浙江温州·一模）根据要求作图并证明． (1)如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹： ①画一条直径； ②作的垂直平分线交于点C，D； ③连结，得到． (2)根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明． 42．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 43．（2025·浙江杭州·一模）如图1，已知内接于，连接，平分，点P是的中点，连接分别交于点E，F． (1)如图2，若为的直径，求的度数． (2)求证： ①； ②． 44．（2025·浙江丽水·一模）如图，三角形内接于，，连结并延长交于点E，交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 45．（2025·浙江宁波·一模）已知内接于圆，平分交圆于点，交于点，是上一点． (1)若，_______，求的度数． ①；②． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解的度数．） (2)若，求的长． (3)若，求证：． 46．（2025·浙江宁波·一模）如图1，已知内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长 (3)如图2，连接并延长交于点G，连接， ①设，，求y关于x的函数关系式； ②求的值． 47．（2025·浙江衢州·一模）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E． (1)求的度数． (2)如图2，过点A作，连接，若，． ①若，求． ②连接，求的长． 48．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，已知内接于，，过圆心作，交于点，交于点，射线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若直线与直线交于点，且，求的度数． 49．（2025·浙江湖州·一模）如图，在矩形中，E是边上的点（不与C，D重合），过A，D，E三点的圆交对角线于点F，交于点G，连结，． (1)如图1，若，连结， ①求的度数； ②判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若，延长交直线于点H，连结．当是边的中点时，求的值． (3)如图3，若（k是常数），延长交边于点，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 50．（2025·浙江宁波·一模）如图1，四边形内接于，为直径，为锐角，过点作 于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)，请用含的代数式表示． (2)若，求证：． (3)如图2，在（2）的条件下，与交于点，与延长线交于点，连接． ①若 ，，求的长． ②若，求的值． 51．（2025·浙江舟山·一模）如图1，内接于，其中．点E在射线上，且满足，交于点H，交于点P． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图2，连结，交于点K，若H为中点，求证：； (3)如图3，若线段过圆心O，求的值． 52．（2025·浙江杭州·一模）如图1，是的直径，点在线段上，，，． (1)求证：； (2)连结交于，连结，求证：平分； (3)如图2，为上一点，连结交于，过作交于，，若，，，求的长． 53．（2025·浙江杭州·一模）已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若是的直径，求的度数． (2)如图2，求证：①，② 54．（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点． (1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______； (2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点． ①当时，求的值； ②设，，求y与x的函数关系式． 55．（2025·浙江杭州·一模）如图，矩形内接于，是对角线，点在上（不与点重合），连接分别交于点，，于点，，连接交于点． (1)如图1，当点为的中点，时， ①求证：． ②求的长． (2)如图2，若，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$