专题09 几何压轴（3大题型30题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题09 几何压轴（3大题型30题） 题型概览 题型01 选择题压轴 题型02 填空题压轴 题型03 解答题压轴 ( 题型01 ) 选择题压轴 1．（2025·浙江·一模）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则(     )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用证明，从而得到，设，利用证明，从而得到，继而求出，再根据找到与的关系式，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ 设 在正方形中，， ∴， ∴，即 解得： 又∵，即， ∴， ∴， 令，则 ∴，即， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数的定义等知识，利用相似三角形的性质求是解题的关键． 2．（2025·浙江湖州·一模）如图，在正方形中，线段绕点顺时针旋转至（点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得，交于点G，连结，．若，则的面积与四边形的面积的比值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形和勾股定理的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先设，然后等量变换得到，进而证得，然后证得是等腰直角三角形，再证明，得到、、三点共线，再证明，得到点、分别为和的中点，然后设正方形的边长为，分别求得，，然后即可求解； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，由旋转可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在上取，连接， ，如图： ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴、、三点共线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点、分别为和的中点， 设正方形的边长为， ∴，， 在中，根据勾股定理，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C； 3．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：当时，作，根据矩形的性质得，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得，然后求出，接下来可得，最后根据勾股定理求，可根据得出答案； 当时，由上述可知，且，，根据等边三角形的性质求出，可得，然后根据，求出， 再根据，求出，接下来过呢据得出答案． 【详解】解：如图所示，当时，作于点G， ∵四边形是矩形， ∴， 根据勾股定理，得. ∵， ∴． 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴； 如图所示，当时，由上述可知，且，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 则， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴． 综上所述，的值是或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，构造直角三角形应用勾股定理求线段长是解题关键． 4．（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，，，点，分别在，上， ，记长为，长为，．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，作垂线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．作于点，作于点，利用等腰三角形的性质推出，得到，，进而推出，得到，利用勾股定理得出，设，，则，用表示出，计算的值即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ，， ， ， ， 又， ， ，， 又， ， ， 在中，在中， ， ， 设，， ， ，， ， 的值不变． 故选：A． 5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，设交于点，过点作，得到，勾股定理，求出的长，相似比求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：设交于点，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 6．（2025·浙江宁波·一模）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】过点E作于H，根据勾股定理和旋转的性质以及正方形的性质求解即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 当时，过点E作于H， 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， 整理得，故A不符合题意； 当时，则，是等腰直角三角形， ∴，，即点与点重合， ∴，故B符合题意； 当时，则，， ∴，，， 在中，， 则，故C不符合题意； 当时，则，， ∴，，，即点与点重合， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（    ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】连接，根据四边形和四边形是正方形，得出，，，，即可得，连接，证明，得出，即可证明点三点共线，延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，则四边形和四边形是矩形，则，证明，得出，即可得，证出四边形是正方形，即可得，从而得，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，即可得出，即，故①正确；连接，证明，得出，即可得，从而证出点三点共线，故②正确. 【详解】解：连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ，， ∴， 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， 延长，过点作交的延长线于点，过点作交于点，过点作交的延长线于点， 则四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， 即，故①正确； 连接， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线，故②正确； 故选：A． 【点睛】该题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线． 8．（2025·浙江湖州·一模）中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 作于，取，交于，作于，通过等腰三角形三线合一，可知 ，，，，，那么可证，不妨设，，通过，可知，从而得到，那么，不妨设，那么，，，从而得到，推出 ，，接着依次表示出，，你那么，最后求得． 【详解】解：如图，作于，取，交于，作于，如图所示： ，， ，，， ，， ，， ， 不妨设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 不妨设， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． ( 题型02 ) 填空题压轴 9．（2025·浙江杭州·一模）如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，斜边上的中线，含30度角的直角三角形，作，三线合一，得到，证明，得到，进而求出的长，进而求出的长，勾股定理，求出的长，再利用斜边上的中线进行求解即可． 【详解】解：是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：． 10．（2025·浙江湖州·一模）如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点． 由翻折得：，，由勾股定理得，可证明，则求出，则，由于，，则，可得，则，即可求解面积． 【详解】解： 由翻折得：， ∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2025·浙江温州·一模）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等角对等边，由对称的性质可得，，由平行四边形的性质可得，，推出，由等角对等边得出，设，则，，即可得出，证明，得出，设，则，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：∵点D关于的对称点G恰好在的延长线上， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 12．（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形性质，勾股定理，三角形的面积的应用，根据题意得出是解题的关键． 连接，，根据三角形的面积公式得出，根据，推出，当时，有最小值． 【详解】如图，连接，， ∵正方形的边长为1， 由勾股定理得： ∵和的边上的高， ， ， 当时，有最小值， 故答案为：． 13．（2025·浙江衢州·一模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： ．（填写“”“”“”） （2）的值等于 ． 【答案】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及对顶角相等得出，再结合等角的余角相等即可求解； （2）设，，则，，然后利用勾股定理即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵四边形是正方形， ∴， 设，， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，余角的性质，等腰三角形的性质和判定以及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定以及勾股定理是解题的关键． 14．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 【分析】根据矩形的性质及，可得，从而得到，然后连接，可得四边形是菱形，从而得出平分，再证明，可得，最后证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵点G是的中点， ∴． 如图，连接， 根据题意，得． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，作出辅助线构造全等（相似）三角形是解题的关键． 15．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理可得，再结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点， ∵菱形的周长和面积分别为12和6， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，年月在北京召开的第届国际数学家大会的会徽设计源于多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边、于点、．若、是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用以上知识点，确定相似三角形是解题的关键．延长交于点，设，，由题意可得，根据，易得，即，由题意得，因此，又根据，易得，即，得，因此，解得：或（负值舍去），即，在中，利用勾股定理得，最后根据正方形面积公式即可求出面积比． 【详解】解：如图，延长交于点， 四边形是正方形， ，， 大正方形是由个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成， ，， 设，， ， ， ， ， 、是线段的两个三等分点， ， ， 即， 四边形是正方形， ， ， ， 即， ， 解得：或（负值舍去）， 即， 在中，， ， 故答案为：． 17．（2025·浙江杭州·一模）菱形绕点旋转得到菱形，点在上，交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，过点作，交于点，得到，继而得到，得出，求出，由旋转得到，，由得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：菱形绕点旋转得到菱形， ，， ， ， 如图，过点作，交于点， 菱形中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 由旋转可知， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握是解答本题的关键．延长交于点，可证，得到，设，，则，根据平行线分线段成比例得到，得到，能够得到，根据勾股定理得，，能够得到，先计算即可求得． 【详解】解：延长交于点， 由折叠得，，，， 平分， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 设，，则， 在矩形中， ，， ， 即， ， 即， ， 即， ， 在中，， 在中，， ， ， 即， 化简得， 解得（舍），， 即， ， 即， 故答案为：． 19．（2025·浙江舟山·一模）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形，连结交于点H．已知正方形的面积为4，若H为中点，则正方形的面积为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作交的延长线于点，根据直角三角形斜边中线的性质设，则， ，进而得，证明，得，则，由此得，，再由勾股定理得：，则，继而得，然后在中，由勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：过点作交的延长线于点，则，如图所示：    在中，，点为中点， ∴是斜边上的中线， ∴设， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵正方形的面积为4， ∴， 在Rt△ACP中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴正方形的面积为：． 故答案为：． 20．（2025·浙江杭州·一模）如图是一张菱形纸片，点在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则 °， ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．由菱形的性质结合折叠的性质求得，，由平行线的性质列式，可求得；设，，则，证明，利用相似三角形的性质列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，, ∴，，， 由折叠的性质得， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 设，，则， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴， 故答案为：；． 21．（2025·浙江宁波·一模）如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为 ． 【答案】 【分析】过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接，证明四边形为矩形，得出，根据，得出为等腰直角三角形，结合，得出，即可得，根据 为对角线 的中点，结合轴对称可得，，得出，，求出，从而求出，根据直角三角形的性质得出，设，得出，根据三角形内角和固定得出，解直角三角形得出，即可列出方程，求出即可解答． 【详解】解：过点A作，过点D作交的延长线于点M，连接， ∵在 中，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ， ， ∵ 为对角线 的中点，结合轴对称可得，， ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】该题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 22．（2025·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连接并延长交于点，交于点，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合角平分线的性质.延长交延长线于N，作于M，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质，结合角平分线的性质，证明，，得到，，，再证明和，求出与的面积，从而得到其比值． 【详解】延长交延长线于N，作于M， ，，， ， 平分， ，又 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． ( 题型03 ) 解答题压轴 23．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质，结合特殊角的三角函数值求解即可得到答案； （2）由正方形性质得到，再结合角平分线定义、垂直定义得到，利用两个三角形相似的判定定理即可得证； （3）过点作交延长线于点，如图所示，由中位线判定与性质得到，再由正方形性质及已知条件，根据两个三角形全等的判定与性质得到即可得证． 【详解】（1）解∵正方形的对角线相交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点作交延长线于点，如图所示： ， ， ∴，， 由（2）可得， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、特殊角的三角函数值、角平分线定义、垂直定义、相似三角形的判定、三角形中位线的性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． 24．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围； (4)已知与边交于H点，若，直接写出点到的距离． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4) 【分析】（1）连接，直接用证明即可． （2）连接，当点落在上时，点与点D之间距离最小，由勾股定理求出，由平行四边形的性质得出，再用勾股定理求出，进而可得出求点与点D之间的最小距离． （3）当点落在上时，证明，由相似的性质可得出，求出，进而可求出的值，当点落在上时，连接交于F点，由旋转的性质可得出，由已知条件可得出，等量代换可得出，进而可得出，再证明，，由三角形中位线定理可得出，进而可得出的取值范围． （4）延长交于M点，延长交延长线于N点，连接，由旋转的性质得出，进而得出，再四边形是矩形，由三角形等面积法求出，进而求出，再证明，由全等得性质可得出，进而可求出 【详解】（1）证明：连接， ∵点E是的中点 ∴ 又∵，， ∴ （2）连接，当点落在上时，点与点D之间距离最小， ∵，， ∴， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴点与点D之间的最小距离为． （3）当点落在上时， ∵，平分， ∴ 又由（2）得，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点落在上时， 连接交于F点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 若点落在的内部（不包含边界），的取值范围为． （4）延长交于M点，延长交延长线于N点，连接， ∵，，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵ ∴四边形是矩形， ， ∵， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，勾股定理等知识，正确的画出图形并掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 25．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)应该满足 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，难度较大，解题的关键是理清字母表示的线段． （1）由平行四边形得到，则，，那么得到比例式，继而得到，化简即可求解满足的关系； （2）当，则，而，则，那么，而，由于点是对角线上的等分点，则，即可得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 化简得：， ∴或（舍） ∴当，则应该满足； （2）解：当， 由（1）得： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，为中心对称图形， ∴， ∵点是对角线上的等分点， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）． 26．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点． (1)若是正三角形，，求的值． (2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明得到，那么，即可求解； （2）连接，设，利用共高三角形面积比化为底之比得到，即，则，而，即可证明． 【详解】（1）解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了求一个角的正弦值，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积问题，不等式的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 27．（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． (1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； (2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点， ①如图（2），若，求的长； ②如图（3），连接，当，且时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①的长为2；②． 【分析】（1）根据矩形的性质求得，利用三角形中位线的性质求得，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）①连接交于点，连接，利用三角形中位线定理求得，，再证明四边形是平行四边形，据此求解即可； ②设，则，连接，，作于点，求得，证明是线段的垂直平分线，求得，得到，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：①连接交于点，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即的长为2； ②设，则，连接，，作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 28．（2025·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点分别在边上，，在线段上取点，使，连接． (1)若，，求的长，以及四边形的周长； (2)设四边形的周长为的长为，求与的数量关系； (3)可能等于吗？若不能，请说明理由；若能，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）利用正方形四个角为直角、四条边相等的性质，证明，再依据相似三角形对应边成比例求出，进而得出长度．之后通过勾股定理分别计算和的长度，最后求出四边形的周长． （2）利用相似三角形性质和勾股定理建立表达式，得到，将四边形的各边转化为得出 ． （3）设，，依据直角三角形中角所对直角边是斜边一半的性质得到 ．然后根据边的关系列出方程 ，求解方程并结合舍去不符合条件的值，最后根据正切函数定义．求出的值． 【详解】（1）解： 又 又， ，即， ， 四边形的周长为 （2）解法1：设， 由（1）得，， 解法2： 连接， （3）设，则， 若，则 列方程，得，解得 【点睛】本题综合性强，考查了正方形性质、相似三角形判定与性质、勾股定理以及三角函数等重要知识点．解题的关键在于熟练运用正方形性质挖掘角和边的条件，精准判定三角形相似并利用其性质建立边的比例关系和等式．在处理线段长度计算时，勾股定理是有力工具．对于探究角度相关问题，要善于结合特殊角度在直角三角形中的性质构建方程求解．整体上，需要对各知识点融会贯通，灵活转化条件，才能顺利解决问题． 29．（2025·浙江杭州·一模）如图1，在正方形中，过对角线交点的两条互相垂直的直线，交该正方形各边于点．求证：与把该正方形分成面积相等的四部分． 小滨、小江在完成上述解答后，进一步思考，若将图形一般化，是否也会有类似结论？两位同学进行了如下探究． (1)如图2，在矩形中，过对角线交点的两条直线交该矩形各边于点，，． 小滨：若．则与把该矩形分成面积相等的四部分． 小江：若，则与把该矩形分成面积相等的四部分． 请判断小滨、 是否正确，并说明理由． (2)请仿照小滨、小江同学的探究过程，写出一个类似的真命题：如图3，在中，______． 【答案】(1)小滨的猜想正确，小江的猜想错误，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）过点作，垂足为点，可得，那么，同理，则，，由，deed，故，则，即可判断小滨说法；可证明，由于，，但不一定全等，故不一定等于，即可判断小江； （2）仿照题干即可求解． 【详解】（1）解：小滨的猜想正确，小江的猜想错误，理由如下： 过点作，垂足为点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形是中心对称图形， ∴， ∴， ∴与把该矩形分成面积相等的四部分， 故小滨的猜想正确； 如图：过点作，垂足为点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∵，但不一定全等， ∴不一定等于， 故不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定把该矩形分成面积相等的四部分， ∴小江的猜想错误； （2）解：写出的真命题为：在中，过对角线交点的两条直线交该平行四边形各边于点，，，若，则与把该平行四边形分成面积相等的四部分． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴与把该矩形分成面积相等的四部分． 30．（2025·浙江杭州·一模）如图，点和点分别是正方形和正方形对角线的交点，边且过点，与边交于点E，与边交于点F，连接．已知，． (1)求证：重叠部分的四边形是矩形； (2)若．求的值； (3)若正方形和正方形分别绕点和点顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）证明，即可得到四边形是矩形； （2）作于点，证明，求得，证明，求得，再利用三角函数的定义即可求解； （3）重叠部分的四边形恰好为正方形，则正方形和正方形的对角线重合，得到点共线，结合（2）的结论，求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形和正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：连接、、，作于点， ∵点是正方形对角线的交点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是正方形对角线的交点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 由（2）知， ∵， ∴， ∵点是正方形对角线的交点， ∴正方形的边长为6， ∴， ∵， ∴，， ∵重叠部分的四边形恰好为正方形， ∴正方形和正方形的对角线重合， ∴点共线， 如图，重叠部分的四边形的对角线为， ∴， ∴， ∴重叠部分的四边形的边长． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 几何压轴（3大题型30题） 题型概览 题型01 选择题压轴 题型02 填空题压轴 题型03 解答题压轴 ( 题型01 ) 选择题压轴 1．（2025·浙江·一模）如图、点分别是正方形边上的点，且．连接并延长，交的延长线于点M，设，则(     )    A． B． C． D． 2．（2025·浙江湖州·一模）如图，在正方形中，线段绕点顺时针旋转至（点E在正方形内部），连结并延长至点F，使得，交于点G，连结，．若，则的面积与四边形的面积的比值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　） A． B． C．或 D．或 4．（2025·浙江宁波·一模）如图，在中，，，点，分别在，上， ，记长为，长为，．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·浙江宁波·一模）如图，在正方形中，将对角线绕点逆时针旋转角度，使得（为正实数）．设．（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（    ） A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 8．（2025·浙江湖州·一模）中，，点，分别在边，上，连结，，，若，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 填空题压轴 9．（2025·浙江杭州·一模）如图，是边长为6的等边三角形，点为延长线上一点，，过作所在直线的垂线，垂足为，连结，为中点，则线段的长是 ． 10．（2025·浙江湖州·一模）如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是 ． 11．（2025·浙江温州·一模）如图，点E，F分别在平行四边形的边，上，连结，，点D关于的对称点G恰好在的延长线上，连结交于点H．若，，则 ， ． 12．（2025·浙江宁波·一模）已知正方形中，射线与边交于点，过点分别作射线的垂线，垂足分别为．设，若，则的最小值为 ． 13．（2025·浙江衢州·一模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若． （1）比较线段大小： ．（填写“”“”“”） （2）的值等于 ． 14．（2025·浙江宁波·一模）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为 ，的长为 ． 15．（2025·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则 ． 16．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，年月在北京召开的第届国际数学家大会的会徽设计源于多年前我国数学家赵爽的“弦图”．它是由个全等的直角三角形，，，和一个小正方形拼接而成的大正方形．已知直线分别交边、于点、．若、是线段的两个三等分点，则大正方形与小正方形的面积比为 ． 17．（2025·浙江杭州·一模）菱形绕点旋转得到菱形，点在上，交于点．若，则的长为 ． 18．（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，把一张矩形纸片沿折叠，点的对应点为，交于点．若点为的中点，平分，则 ． 19．（2025·浙江舟山·一模）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形，连结交于点H．已知正方形的面积为4，若H为中点，则正方形的面积为 ．    20．（2025·浙江杭州·一模）如图是一张菱形纸片，点在边上，，把沿直线折叠得到，点落在的延长线上．若恰好平分，则 °， ． 21．（2025·浙江宁波·一模）如图，在 中， ， 为对角线 的中点， 为 上一点，将 沿 所在的直线折叠，使点 和点 重合．若 ，则 的长为 ． 22．（2025·浙江丽水·一模）如图，在矩形中，，，平分交于点，过点作交于点，连接并延长交于点，交于点，则与的面积比为 ． ( 题型03 ) 解答题压轴 23．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知正方形的对角线相交于点，平分交于点，，交于点，交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：． 24．（2025·浙江·一模）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围； (4)已知与边交于H点，若，直接写出点到的距离． 25．（2025·浙江宁波·一模）已知平行四边形中，点是对角线上的等分点．连结， 分别交线段于点，连结． (1)若，则应该满足什么条件？ (2)若，四边形的面积为，的面积为，求的值． 26．（2025·浙江宁波·一模）在中，点分别在边上，线段相交于点． (1)若是正三角形，，求的值． (2)设四边形的面积为，，，的面积分别为，求证：． 27．（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点． (1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：； (2)若，点是边上的点，连结交于点，点是的中点， ①如图（2），若，求的长； ②如图（3），连接，当，且时，求的值． 28．（2025·浙江台州·一模）如图，在正方形中，点分别在边上，，在线段上取点，使，连接． (1)若，，求的长，以及四边形的周长； (2)设四边形的周长为的长为，求与的数量关系； (3)可能等于吗？若不能，请说明理由；若能，请求出的值． 29．（2025·浙江杭州·一模）如图1，在正方形中，过对角线交点的两条互相垂直的直线，交该正方形各边于点．求证：与把该正方形分成面积相等的四部分． 小滨、小江在完成上述解答后，进一步思考，若将图形一般化，是否也会有类似结论？两位同学进行了如下探究． (1)如图2，在矩形中，过对角线交点的两条直线交该矩形各边于点，，． 小滨：若．则与把该矩形分成面积相等的四部分． 小江：若，则与把该矩形分成面积相等的四部分． 请判断小滨、 是否正确，并说明理由． (2)请仿照小滨、小江同学的探究过程，写出一个类似的真命题：如图3，在中，______． 30．（2025·浙江杭州·一模）如图，点和点分别是正方形和正方形对角线的交点，边且过点，与边交于点E，与边交于点F，连接．已知，． (1)求证：重叠部分的四边形是矩形； (2)若．求的值； (3)若正方形和正方形分别绕点和点顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且，求重叠部分正方形的边长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$