专题07 几何基础证明与解直角三角形及其应用（8大题型35题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题07 几何基础证明与解直角三角形及其应用（8大题型35题） 题型概览 题型01 几何证明线段相等 题型02 几何证明角度相等 题型03 几何证明特殊四边形 题型04 几何证明线段平分 题型05 几何证明全等与相似 题型06 求线段长 题型07 求角度和三角函数值 题型08 解直角三角形及其应用 ( 题型01 ) 几何证明线段相等 1．（2025·浙江·一模）如图，在等边中，点、分别是边、上的点，与交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，再证明，则，即可得到答案 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：为等边三角形， ， 由（1）知，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． (1)求证：． (2)请写出与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质． （1）过点作交于．先证明四边形为矩形，再根据证明即可； （2）证明四边形为矩形得，证明得，，证明得，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作交于． ∵正方形中， ∴，． ∵， ∴， 又 ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，，， ∴． ∴． （2）， 证明：∵正方形中， ∴， 又 ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 3．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，交于点，点为中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解直角三角形，熟记各性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，可推出是三角形的中位线，即可得出结论； （2）根据，推出的长，再结合（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 又点为中点， ； （2）解：， ， ， ， ． 4．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1或 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证： ； (2)连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①16；② 【分析】（1）连接，根据菱形的性质可得，，结合可得，根据点E是的中点可得点M为的中点，据此证明； （2）①根据中点的概念可得，根据菱形以及平行线的性质可得，，证明，得到，结合以及的值可得，据此不难求出菱形的周长； ②连接，记与交点为点G，易得，，根据等腰三角形的性质可得，结合外角的性质可得，已知，则，则，易得，，，则为直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， 点是的中点， ∴，， 点是的中点， ， ； （2）解：由（1）得，点是的中点， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， ， 菱形的周长为； 如图，连接，记与交点为点， ，， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证得是解答的关键． ( 题型02 ) 几何证明角度相等 6．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查翻折的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后根据翻折得到，，然后利用三角形的外角和角的和差解题即可； （2）先证明两个对应角相等得到，即可得到，然后代入计算解题． 【详解】（1）证明：由作图可得， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴． ( 题型03 ) 几何证明特殊四边形 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可求得、，再结合E、F为中点，可求得，则可证得四边形为平行四边形； （2）根据勾股定理求出，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ( 题型04 ) 几何证明线段平分 8．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，是的中线，点是线段的中点，连结并延长至点，使得，连接．求证： (1)； (2)与互相平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得出即可； （2）连接，证明四边形为平行四边形，得出与互相平分． 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）证明：连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分． ( 题型0 5 ) 几何证明全等与相似 9．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 10．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由得出，再运用夹角相等，两边成比例进行证明，即可作答． （2）结合，则，然后把分别代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 11．（2025·浙江杭州·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． (1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． (2)已知，求的长． 【答案】(1)，证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是正确解答此题的关键． （1）由两角相等很容易得到； （2）根据相似比列方程，再解方程即可得解． 【详解】（1）解：， 证明：平分， ， 而， ； （2）解：设， ， ， ， 解得（负值舍去）， ． 12．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由黄金分割的定义得到，，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似； （2）由得到，则，再代入数据求解． 【详解】（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，， ∴，， 由作图可知，， ∴，即， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角和定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再由即可证明为等边三角形； （2）根据三角形外角定理得到，得到，即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质得到，再根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【详解】（1）解：等边三角形，理由如下： 以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点， ， ， 为等边三角形； （2）证明：为等边三角形， ， ，， ， ， ； （3）解：为等边三角形，， ， ， ， ， ． ( 题型0 6 ) 求线段长 14．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 15．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 16．（2025·浙江湖州·一模）如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． （1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由等边对等角可得出，即可得出，即可求出答案． （2）由勾股定理求出，再根据等面积法求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 17．（2025·浙江丽水·一模）如图，在中，，，，为边上的中点． (1)求的长； (2)求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数． 在中，根据的余弦可得：，从而可求的长度； 根据勾股定理求出，根据点是的中点，求出，利用勾股定理求出的长，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 解得：； （2）解：由可知，， ， ， 点是的中点， ， 在中，， 的周长为． ( 题型0 7 ) 求角度和三角函数值 18．（2025·浙江杭州·一模）在中，，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）根据，，可得，即可求解； （2）结合，得，求得，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，则； （2）∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（2025·浙江宁波·一模）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点固定在伞柄顶端，伞圈能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点到伞骨连结点的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质．根据菱形的性质可得，，求得，，求得，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，高线，中线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得，，结合解答即可． （2）根据是边上的中线，得到．于是，代换解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是边上的中线， ∴． ∴， ． 21．（2025·浙江温州·一模）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，求余弦值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先解直角三角形求出，然后勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可； （2）首先解直角三角形求出，进而求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴，． 在中，， ∴； （2）∵是的高线， ∴在中，． ∴． ( 题型0 8 ) 解直角三角形及其应用 22．（2025·浙江·一模）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可得为等腰三角形，因此作于C点，然后利用三角形函数表示，根据“三线合一”的性质即可得到的长度，从而得出结论． 【详解】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段的长度，如图所示，作于C点， 则由“三线合一”知，，， ∴在中，米， ∴米， 故选：D． 23．（2025·浙江杭州·一模）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，先由等腰三角形得到，再解即可表示，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 24．（2025·浙江杭州·一模）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是正确解答此题的关键． 过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，计算即可． 【详解】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于， 在中，，，则， ， ， ， ， ， 手柄所在直线与地面之间的距离为：， 故答案为：A. 25．（2025·浙江嘉兴·一模）市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为 米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，设与的延长线相交于点，可得米，设米，分别解和得米，米，再根据米列出方程求出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设与的延长线相交于点，则， 由题意可得米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 故答案为：． 26．（2025·浙江台州·一模）如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接，过作于，求解，，，，，，由最大，可得最小，可得最小，可得最小，当时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于， ∵三角板中，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵最大， ∴最小， ∴最小， ∴最小， 当时，最小， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 27．（2025·浙江宁波·一模）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，根据题意可得，利用，求出的长度，利用求出的长，最后根据求出结果即可． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， 即旗杆的高度为米． 28．（2025·浙江杭州·一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米；（2）米 【分析】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的应用. （1）利用直角三角形中角的正弦值即可求出结果； （2）利用等腰三角形的三线合一构造出直角三角形，再根据直角三角形中角的正切值即可求出结果． 【详解】（1）由题可知墙角为， ∴另一端距离地面的高度米； （2）由题可知双梯可抽象为等腰三角形， ∴由等腰三角形三线合一可知，双梯顶端距离地面的高度米． 29．（2025·浙江杭州·一模）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 【答案】小车行驶符合安全规范 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由勾股定理得，证明，则，求出 ，再求出 ，最后比较即可． 【详解】解：中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴小车行驶的速度为， ∴小车行驶符合安全规范． 30．（2025·浙江舟山·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，由含角的直角三角形的性质得，，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，求出，，，则，，，求出点A到地面的距离的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F， 则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 31．（2025·浙江舟山·一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为，并测得A，B两点之间的距离为米．已知点A，M，B依次在同一直线上． (1)求钟楼的高度； (2)学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段上）．小聪测得点C处的仰角等于，求的长为多少米？ （参考数据：，结果精确到米） 【答案】(1)17.3米 (2)1.3米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）设米，在中，可得米．在中，根据，可得米，进而可得，求出的值即可． （2）在中，可得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设米， 在中，， ∴米． 在中，， ∴， ∴米， ∵，两点之间的距离为27.3米， ∴， 解得， ∴钟楼的高度约17.3米． （2）在中，， ∴， ∴（米）． 答：的约长1.3米． 32．（2025·浙江·一模）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． (1)求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）． (2)求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】(1)为米 (2)对面这幢楼房的高度约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作， 垂足为， 根据题意可得：米，， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点作， 垂足为， 由题意得： 米， ， 在中， ， (米) ， 米， ∴两幢楼房之间的水平距离为米； （2）在中， 米， （米) ， ∵米， (米)， ∴对面这幢楼房的高度约为米. 33．（2025·浙江湖州·一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)山体高度约为160米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质求解即可． （2）选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， （米），（米），（米）， 解得：（米）． （2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题． 选择方案二进行问题解决： 根据题意可得， ，， ， ，， ， 可得， （米）， （米）， 山体高度约为160米． 34．（2025·浙江杭州·一模）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 解：设，因为， 所以． 同理，因为， 所以． 因为， 解得． 即可求得的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设，根据进行计算即可； （2）根据三角函数进行化简计算即可． 【详解】解：（1） 设， ， 解得， 故的高度为； （2）解：设，因为， 所以． 同理，因为， 所以． 因为， 解得． 即可求得的长． 故答案为：①；②． 35．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速（千米/时） 72 108 ┄ 停车距离（米） 35 71.25 ┄ (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米） 【答案】(1) (2)①不能，见解析；②不成功，见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）①先将单位转换，再将代入解析式即可解答； ②根据解直角三角形的应用即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒； 经过和 可得， 解得 从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为； （2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：                       由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒， 代入函数关系式得：米米， ∴不能在货物前停车．    ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米， 如图，即， ， 由题意得，， ， 避险不成功． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 几何基础证明与解直角三角形及其应用（8大题型35题） 题型概览 题型01 几何证明线段相等 题型02 几何证明角度相等 题型03 几何证明特殊四边形 题型04 几何证明线段平分 题型05 几何证明全等与相似 题型06 求线段长 题型07 求角度和三角函数值 题型08 解直角三角形及其应用 ( 题型01 ) 几何证明线段相等 1．（2025·浙江·一模）如图，在等边中，点、分别是边、上的点，与交于点． (1)求证：； (2)求的值． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图，在边长为4的正方形中，，分别为边，上的点，且，过点作的垂线交于． (1)求证：． (2)请写出与之间的数量关系并证明． 3．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，交于点，点为中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 5．（2025·浙江杭州·一模）如图，四边形是菱形，是的中点，的垂线交于点，交的延长线于点． (1)求证： ； (2)连接，． ①求菱形的周长； ②若，求的长． ( 题型02 ) 几何证明角度相等 6．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，在中，以为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连结，将沿直线对折使点落在处，交边于点． (1)求证：； (2)若，求的值． ( 题型03 ) 几何证明特殊四边形 7．（2025·浙江杭州·一模）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． ( 题型04 ) 几何证明线段平分 8．（2025·浙江嘉兴·一模）如图，是的中线，点是线段的中点，连结并延长至点，使得，连接．求证： (1)； (2)与互相平分． ( 题型0 5 ) 几何证明全等与相似 9．（2025·浙江衢州·一模）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接． (1)求证：． (2)当时，求与的度数和． 10．（2025·浙江·一模）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，． (1)求证：． (2)若，求的长． 11．（2025·浙江杭州·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． (1)写出一个与相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． (2)已知，求的长． 12．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 13．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． ( 题型0 6 ) 求线段长 14．（2025·浙江·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 15．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 16．（2025·浙江湖州·一模）如图，在中，，是边上的中线，于点E，，． (1)求的长； (2)求的值． 17．（2025·浙江丽水·一模）如图，在中，，，，为边上的中点． (1)求的长； (2)求的周长． ( 题型0 7 ) 求角度和三角函数值 18．（2025·浙江杭州·一模）在中，，，． (1)求的度数． (2)求的面积． 19．（2025·浙江宁波·一模）杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连结点固定在伞柄顶端，伞圈能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点到伞骨连结点的距离都等于的一半，若夹角，求的度数． 20．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． (1)若，求的度数． (2)求证：． 21．（2025·浙江温州·一模）在中，，，是边上的中线，，是的高线． (1)求的值． (2)求的长． ( 题型0 8 ) 解直角三角形及其应用 22．（2025·浙江·一模）如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（   ）米 A． B． C． D． 23．（2025·浙江杭州·一模）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·浙江杭州·一模）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2025·浙江嘉兴·一模）市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，先将测角仪放置在水平地面的处，观测镜头距地面米，此时测得高炉顶端的仰角，再将测角仪移至地面的处，测得高炉顶端的仰角，已知相距米，高炉底部与在同一水平线上．则高炉的高度约为 米．（计算结果精确到米）．（参考数据：，．） 26．（2025·浙江台州·一模）如图，长方形纸片的宽为，三角板中，，，．将三角板的顶点固定在纸片的边上，边与纸片的边交于点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·浙江宁波·一模）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号） 28．（2025·浙江杭州·一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到米，可参考数据：，，，，，） 29．（2025·浙江杭州·一模）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 30．（2025·浙江舟山·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 31．（2025·浙江舟山·一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为，并测得A，B两点之间的距离为米．已知点A，M，B依次在同一直线上． (1)求钟楼的高度； (2)学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段上）．小聪测得点C处的仰角等于，求的长为多少米？ （参考数据：，结果精确到米） 32．（2025·浙江·一模）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶处观测，测得对面一幢楼房顶部处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． (1)求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）． (2)求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 33．（2025·浙江湖州·一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 34．（2025·浙江杭州·一模）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 35．（2025·浙江宁波·一模）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间． 总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速（千米/时） 72 108 ┄ 停车距离（米） 35 71.25 ┄ (1)请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式； (2)请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算， ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为米） / 学科网（北京）股份有限公司 $$