专题04 二次函数（2大题型30题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题04 二次函数（2大题型30题） 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质小题综合 题型02 二次函数解答题综合 ( 题型01 ) 二次函数的图象与性质小题综合 1．（2025·浙江·一模）已知二次函数，当时，函数值 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数的性质，把直接代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 故答案为：0 2．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 即符合要求的为， 故选：A． 3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，然后代入计算解题． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·浙江·一模）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是 故选：B 5．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求得，再根据各选项求解即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， A、若，，则，，说法正确，本选项符合题意； B、若，，则，正负无法确定，则不一定成立，本选项不符合题意； C、若，，则，则，原说法错误，本选项不符合题意； D、若，，则，正负无法确定，则不一定成立，本选项不符合题意； 故选：A． 6．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 由题意得，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别利用不等式的性质进行推导即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 分两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，， 故选：． 7．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，不等式的性质，先把点的坐标分别代入解析式得到，，再 由，然后依次对各选项进行判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的 关键. 【详解】解：、∵二次函数的图象经过点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴当时，可能成立，原选项正确，符合题意； 、∵， ∴，即， 若若时，则，原选项可能不成立，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， 若时，则，原选项可能不成立，不符合题意； 故选：． 8．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 9．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先依题意得，求出，再结合一元二次方程的根与系数，得，故，因为，解得，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个不同交点，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设二次函数（m，n为实数），若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是 ． 【答案】 【分析】根据点，点都在函数y的图象上，得到的表达式，作差解答即可． 本题考查了函数的性质，熟练掌握计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，点都在函数y的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． ( 题型02 ) 二次函数解答题综合 11．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数图象的图象与性质，配方法的应用，熟练掌握二次函数顶点坐标的公式和配方法的应用是解题的关键． （1）求当时，的值，即可判断； （2）利用二次函数顶点坐标的公式求出，关于的式子，再得出关于的式子，再利用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：点在该函数的图象上，理由如下： 当时，， 则点在该函数的图象上； （2）解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是， ∴，， ∴， ∵为常数， ∴， ∴． 12．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【答案】(1)①；② (2)或． 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用待定系数法求解即可； ②首先表示出，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先将二次函数配方成，得到对称轴为直线，判断出抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）①解：∵二次函的图象过点， ∴，   ∴， ∴二次函数的表达式为； ②解：∵和都是二次函数图象上的点， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值是； （2）∵ ∴对称轴为直线 ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∵当时，二次函数有最小值， ①当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得，不符合题意，舍去； ②当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得； 综上所述，实数k的值为或． 13．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：∵， 的图象顶点坐标为， 的图象经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 14．（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 15．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 【答案】(1)①，见解析；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值． （1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为，则函数，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是； （2）由，得到，因为，所以，解得． 【详解】（1）解：①当时，，不合题意，舍去； 当时，， ∴，符合题意， 这时二次函数的表达式是； 当时，， ∴，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过； ②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点， ∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为， ∵当时，该函数的最小值是， ∴； （2）解：当时代入：， 当时代入：， ∴， ∴， ∵， ∴即． 16．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数解析式及其对称轴； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可； （2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m． （3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解． 【详解】（1）解：将代入函数表达式得：，则， 即抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时， 设点、， 则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则， 则点、的坐标分别为：、， 则新抛物线的表达式为：， 即； （3）解：由（1）知，抛物线的顶点为， 当，即时， 抛物线在顶点处取得最小值，即，则； 当时，即时， 则抛物线在时取得最小值，即， 解得：（舍去）或6（舍去）， 综上，． 17．（2025·浙江衢州·一模）已知二次函数， (1)若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． (2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据解析式得到当时，有最小值为，根据当时，函数的最小值为，得到，进行求解即可； （2）根据时，取值范围是，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性，求出的取值的范围即可． 【详解】（1）解：①由题意，得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为：； ∵时，，函数的最小值为， ∴， 解得：， ∴的最大值为； （2）解：∵当时，取值范围是， ∴当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大， ∵二次函数图象经过，两点，且， ∴， 解得：或； 故或． 18．（2025·浙江湖州·一模）已知二次函数（a是常数且）． (1)若， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过和两点，求的值． (2)若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 【答案】(1)①，；② (2)或8 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①将代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标； ②先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点和关于该函数的对称轴对称，由此即可得； （2）先将点代入求出二次函数的解析式为，再分两种情况：①和②，利用二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：①当时，，即， 将二次函数的解析式化成顶点式为， 则该函数图象的顶点坐标为． ②二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象经过和两点， ∴点和关于该函数的对称轴对称， ∴， ∴． （2）解：∵函数图象经过点， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴，其对称轴为直线， ∴时的函数值与时的函数值相等，即为， 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 则分以下两种情况： 由①当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则在内，当时，的值最大， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值为或8． 19．（2025·浙江宁波·一模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数 的图象和性质， 并交流了自己的学习成果． (1)甲同学的说法：当和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． (2)乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3 ．根据乙同学的发现，求出此时的值． (3)丙同学的探索：若 ，当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 【答案】(1)甲同学说法正确，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，二次函数的性质与图象，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴为直线，据此可得结论； （2）求出顶点坐标为，则可推出纵坐标为1的有两个点，再根据三角形面积公式可得纵坐标为1的两个点的距离为，则可推出在二次函数图象上，据此利用待定系数法求解即可； （3）根据增减性可求出当时，，再由当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值，得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解；甲同学说法正确，理由如下： ∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等； （2）解：在中，当时，， ∴顶点坐标为； ∵该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个， ∴函数值的绝对值为1的点有3个， ∴二次函数开口一定向上，且纵坐标为1的有两个点， ∵当轴的距离为 1 的三个点组成的三角形的面积为3， ∴纵坐标为1的两个点的距离为， ∴纵坐标为1的两个点到对称轴的距离都为， ∴，即在二次函数图象上， ∴， ∴； （3）解：∵，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值， ∴， ∴． 20．（2025·浙江丽水·一模）已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【答案】(1)直线 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，注意进行分类讨论． （1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）令a分别等于，得出，，联立两个式子得出，根据，的值与a无关，得出，求出x的值即可； （3）分四种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：令a分别等于，得： ，， 联立两式子得：， 化简得：， ∵，的值与a无关， ∴， 解得：，， ∴． （3）解：当时，原式：，对称轴为直线， ①当时，，， 根据题意得：， 即， 解得； ②当时，，， 根据题意得：， 即， 解得：； ③当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， ④当时，，； 根据题意得：， 即， 解得：（舍去），（舍去）， 综上所述：或． 21．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数 (1)若二次函数过点 ①求此二次函数表达式． ②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离． (2)如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①直接把点代入，求出的值，再代回即可； ②先求出向下平移2个单位长度后的函数表达式，再令得到，然后解方程得，最后利用两个交点之间的距离公式求出即可； （2）先根据点、的纵坐标相同可知这两点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求出对称轴，再利用对称性确定点关于对称轴的对称点为，最后对点分类讨论，根据函数的单调性列出不等式，解出的取值范围． 【详解】（1）解：①把点代入二次函数得：，解得， 二次函数表达式为； ②将二次函数向下平移2个单位，函数表达式为：， 令，得：，解得， 两交点间距离为：， ∴平移后二次函数与轴的两个交点之间的距离为； （2）解：，在二次函数上， 对称轴为直线，点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧， 当时，， 点在二次函数上， 点关于对称轴直线的对称点为， ， 点在对称轴的左侧， 当在对称轴右侧时， 则，，都在对称轴右侧，y随着x的增大而减小， ， ，解得； 当在对称轴左侧时，则，，都在对称轴左侧，y随着x的增大而增大， ， ，解得， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数的表达式求解，平移变换，与轴交点距离计算，以及利用函数性质分析变量范围．解题的关键是懂得利用二次函数的对称性，结合点的坐标进行分类讨论． 22．（2025·浙江杭州·一模）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元次方程根与系数的关系求得，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：抛物线的顶点在轴上， ， ， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：①若，则， 为直线与抛物线的交点， ， ， 若，的值为； ②抛物线的对称轴为直线， ，两点在抛物线上，且点不与点，重合，， ，两点关于对称轴直线对称， ， ， 直线与该抛物线相交于，两点， ， ，是方程的两个根， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 【答案】(1)直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当时，该函数最小值为求解即可；②由称轴在直线与之间可知当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意），则，分别求出最小值即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， （2）解：①， ∴抛物选开口向上， ， ∴当时，该函数最小值为 ∵该函数的最小值为， ， ∴， ②抛物线对称轴在直线与之间，且两个函数的最小值相等 当或时，则两条抛物线的顶点相同，即（不合题意） 当时， 当时， ∵两个函数的最小值相等， ，即 24．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键． （1）根据解析式得到对称轴直线为，再代入计算函数值即可求解； （2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式； （3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解． 【详解】（1）解：对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入， ∴， ∴， ∴二次函数表达式为； （3）证明：二次函数化为一般式得， ∴， ∵和是该二次函数图象上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴原式， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，， ∴． 25．（2025·浙江舟山·一模）已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：． 【答案】(1)①二次函数图象与x轴的交点坐标为；②的最小值为． (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点情况，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）①将代入中，得到二次函数解析式，再当时，有，求解该方程，即可解题； ②根据题意得到，利用二次函数解析式表示出，进而得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数对称轴为直线，进而推出，再分别表示出，进而表示出，再结合求解，即可解题． 【详解】（1）解①：当时，， 当时，有， 解得， 二次函数图象与x轴的交点坐标为； ②点是二次函数图象上的点，且， ， ， ， ， 的最小值为． （2）证明：二次函数， 二次函数对称轴为直线， 点C在对称轴的左侧， ，即， 点和在二次函数图像上， ， ， ， ， ， ， ． 26．（2025·浙江杭州·一模）设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 … … 1 … (1)若，， ①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)当，时，求的取值范围． 【答案】(1)①二次函数的解析式为，该函数图象的顶点坐标为；②当时，随的增大而增大； (2)． 【分析】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象性质，不等式的性质，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键． （1）①将，代入，列得二元一次方程组，求解即可； ②根据二次函数的性质求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，再将代入，据此求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴该函数图象的顶点坐标为； ②∵函数图象的顶点坐标为，且， ∴当时，随的增大而增大； （2）解：∵，∴将代入， 得， ∴， 将代入 ，得， 解得，即， 将代入， 得， 即． 27．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． (3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式计算解题即可； （3）求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性结合图象解题即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得解得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：当时，， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴解得 （3）令，则，解得． 令，则，解得． ∵点C在抛物线上，且在第一象限， ∴由图象可得，的取值范围是或． 28．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设二次函数，记为M，为N． (1)若，， ①求函数y的图象的对称轴； ②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值． (2)若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）． 【答案】(1)（1）①；②， (2)或 【分析】（1）①根据，，对称轴为直线，解答即可； ②函数图象顶点横坐标为对称轴的值即时，，． （2）根若M，N的值互为相反数，得到，解得或． 【详解】（1）①解：根据，， 故对称轴为直线； ②函数图象顶点横坐标为对称轴的值即时， ， ． （2）解：根若M，N的值互为相反数， 得到， 解得或． 【点睛】本题考查了求抛物线的对称轴，求代数式的值，互为相反数的应用，解方程，熟练掌握性质和解方程是解题的关键． 29．（2025·浙江杭州·一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高． (1)求出上沿抛物线的函数表达式． (2)点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象的性质，一元二次方程解决几何问题，根据函数解析式和函数值求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握顶点式函数解析式． （1）利用二次函数顶点解析式即可求解； （2）根据条件求出下沿抛物线解析式，利用，列出一元二次方程解得求出点的横坐标，最后根据函数解析式求出点的纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵上沿抛物线的顶点为， 设上沿抛物线的顶点式为 ∵上沿抛物线过点，代入顶点式得 解得 上沿抛物线的表达式为； （2）解：∵上沿抛物线的顶点比点高， ∴点纵坐标为，点的坐标为， 设下沿抛物线的顶点式为， ∵下沿抛物线过点，代入顶点式得： ， 解得， 下沿抛物线的表达式为， ∵， ∴ 当时， 解得，或，代入下沿抛物线表达式得 故点的坐标为或． 30．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”． 例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若函数的“纵横极差”为4，求h的值． 【答案】(1)5 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，一次函数的图像和性质以及二次函数的图像和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （1）根据“纵横差”的定义求解即可． （2）根据“纵横极差”的定义求解即可． （3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况，利用二次函数的图像和性质即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横差”为， （2）解：因为， 所以，， 因为， 所以时，的最大值是， 所以，函数的“纵横极差”为． （3）解：因为函数的“纵横极差”为4， 所以，当时，的最大值为4． ①若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得． ②若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得或（舍去）． ③若，则当时，有最大值为4， 所以，，解得（舍去）． 综上所述，或 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数（2大题型30题） 题型概览 题型01 二次函数的图象与性质小题综合 题型02 二次函数解答题综合 ( 题型01 ) 二次函数的图象与性质小题综合 1．（2025·浙江·一模）已知二次函数，当时，函数值 ． 2．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象开口向下，则的值可以是（   ） A． B．0 C．2 D．4 3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知抛物线关于对称，其部分图象如图所示，则 ． 4．（2025·浙江·一模）将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．（2025·浙江·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数的图象与轴有两个不同交点，，且，则的取值范围是 ． 10．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设二次函数（m，n为实数），若点，点都在函数y的图象上，则，之间满足的等量关系是 ． ( 题型02 ) 二次函数解答题综合 11．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 12．（2025·浙江宁波·一模）已知二次函数． (1)当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 13．（2025·浙江·一模）已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． (1)求的值． (2)若二次函数的图象经过点，求的最小值． (3)若二次函数在时，，求的取值范围． 14．（2025·浙江嘉兴·一模）已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 15．（2025·浙江衢州·一模）对于二次函数． (1)若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当时，该函数的最小值是，求m的值． (2)若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围． 16．（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数的图象经过点． (1)求二次函数解析式及其对称轴； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 17．（2025·浙江衢州·一模）已知二次函数， (1)若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． (2)若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 18．（2025·浙江湖州·一模）已知二次函数（a是常数且）． (1)若， ①直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标； ②已知该函数图象经过和两点，求的值． (2)若该函数图象经过点，当时，函数的最大值恰好是4t，求t的值． 19．（2025·浙江宁波·一模）甲、乙、丙三个同学研究了二次函数 的图象和性质， 并交流了自己的学习成果． (1)甲同学的说法：当和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． (2)乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3 ．根据乙同学的发现，求出此时的值． (3)丙同学的探索：若 ，当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 20．（2025·浙江丽水·一模）已知二次函数，其中． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过，两个定点，其中，求的值； (3)若，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 21．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数 (1)若二次函数过点 ①求此二次函数表达式． ②将二次函数向下平移2个单位，求平移后的二次函数与轴的两个交点之间的距离． (2)如果，，都在这个二次函数上，且，求的取值范围． 22．（2025·浙江杭州·一模）已知抛物线． (1)若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． (2)直线与该抛物线相交于，两点． ①若，求的值． ②点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当时，，求a的取值范围． 23．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数（常数）． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若． ①当时，该函数的最小值为，求的值； ②当分别取时，两个函数的最小值相等，求的数量关系． 24．（2025·浙江杭州·一模）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 25．（2025·浙江舟山·一模）已知二次函数 (1)当时 ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点是二次函数图象上的点，且，求的最小值． (2)若点和在二次函数图像上，且点C在对称轴的左侧，求证：． 26．（2025·浙江杭州·一模）设二次函数（为常数，）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 … … 1 … (1)若，， ①求二次函数的解析式，并写出函数图象的顶点坐标； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)当，时，求的取值范围． 27．（2025·浙江温州·一模）已知抛物线（a，b为常数）经过点，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值． (3)点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围． 28．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设二次函数，记为M，为N． (1)若，， ①求函数y的图象的对称轴； ②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值． (2)若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）． 29．（2025·浙江杭州·一模）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高． (1)求出上沿抛物线的函数表达式． (2)点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标． 30．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”． 例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7． 根据定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若函数的“纵横极差”为4，求h的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$