专题03 一次函数与反比例函数（5大题型37题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题03 一次函数与反比例函数（5大题型37题） 题型概览 题型01 一次函数的图象与性质 题型02 一次函数的实际应用 题型03 反比例函数的图象与性质 题型04 反比例函数代几综合 题型05 反比例函数的实际应用 ( 题型01 ) 一次函数的图象与性质 1．（2025·浙江杭州·一模）若一次函数的图象过点，，其中，则 ． 2．（2025·浙江台州·一模）已知一次函数（是常数，）的图象过点与，若，，则的取值范围是 ． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则 ． 5．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（   ） A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方 C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方 6．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 一次函数的实际应用 7．（2025·浙江舟山·一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 请推算当摄氏温度为时，华氏温度为 ． 8．（2025·浙江湖州·一模）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： (1)求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； (2)当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 9．（2025·浙江温州·一模）周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程米）出发．分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程（米）随时间（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程关于的函数表达式为． (1)求与的值． (2)爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？ 10．（2025·浙江温州·一模）如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早分钟到达瓯华站． (1)求两人步行的速度． (2)求出图中出租车行驶时路程与时间的函数解析式． (3)求学校到瓯华站的路程． 11．（2025·浙江衢州·一模）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． (1)求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． (2)求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 12．（2025·浙江衢州·一模）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)求联合表演时长； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？ 13．（2025·浙江嘉兴·一模）万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图． (1)求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式； (2)求甲车加油后的速度是多少千米小时？ (3)当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案） 14．（2025·浙江丽水·一模）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为，塔林到草甸的路程为，草甸到飞瀑的路程为．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为，时间为， s关于t的部分函数图象如图所示． (1)求小庆乘电动汽车的速度； (2)求图中a的值； (3)何时两人相距的路程等于？ 15．（2025·浙江宁波·一模）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1) _____， _____． (2)分别求出线段，对应的函数表达式． (3)当两架无人机之间的飞行高度差不超过米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围． 16．（2025·浙江杭州·一模）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 5 根据上述信息解决以下问题： (1)求的值． (2)当时，求关于的函数表达式． (3)小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量． 17．（2025·浙江舟山·一模）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．请解答下列问题： ①填空：图2中的函数表达式为______， 的函数表达式为______； ②货轮出发后几小时追上游轮？ ③从货轮出发到货轮到达终点，直接写出x为何值时，游轮与货轮相距？ ( 题型03 ) 反比例函数的图象与性质 18．（2025·浙江舟山·一模）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·浙江温州·一模）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 20．（2025·浙江衢州·一模）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·浙江丽水·一模）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·浙江宁波·一模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（   ） A． B． C． D． 23．（2025·浙江宁波·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 24．（2025·浙江温州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．（2025·浙江嘉兴·一模）函数的图象经过，两点，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当或时， 26．（2025·浙江衢州·一模）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（   ） A． B． C． D． 27．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．（2025·浙江杭州·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 30．（2025·浙江台州·一模）函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 31．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． (1)求函数，的表达式． (2)当时，比较与的大小．（直接写出结果） (3)若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． ( 题型04 ) 反比例函数代几综合 32．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 33．（2025·浙江舟山·一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，且，．若面积为10，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 34．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 35．（2025·浙江杭州·一模）如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结．    (1)求的面积． (2)若点在反比例函数图像上，当，求点的坐标． ( 题型0 5 ) 反比例函数的实际应用 36．（2025·浙江杭州·一模）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 37．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数与反比例函数（5大题型37题） 题型概览 题型01 一次函数的图象与性质 题型02 一次函数的实际应用 题型03 反比例函数的图象与性质 题型04 反比例函数代几综合 题型05 反比例函数的实际应用 ( 题型01 ) 一次函数的图象与性质 1．（2025·浙江杭州·一模）若一次函数的图象过点，，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征．先把两个点的坐标代入解析式可求出． 【详解】解：把，，其中，代入得， ， 解得， 故答案为：． 2．（2025·浙江台州·一模）已知一次函数（是常数，）的图象过点与，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，不等式的性质，根据题意得出不等式组是解题关键． 将点与代入一次函数，得出方程组求解即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图象过点与，且，， ∴， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：． 3．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数，当时，对应的y值为，则b的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式及一次函数的性质，根据一次函数的单调性分类讨论，求得函数解析式是解题的关键． 一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法即可求得解析式． 【详解】解：当时，由一次函数的性质知，y随x的增大而增大， 所以得， 解得，即； 当时，y随x的增大而减小， 所以得， 解得，即． 故答案为：C． 4．（2025·浙江杭州·一模）已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了点的平移、正比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键． 设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可． 【详解】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为， ∵在正比例函数的图象上， ∴，解得：， ∵ ∴． 故答案为：2． 5．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点一定位于（   ） A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方 C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可． 【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下： A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意； B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意； C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意； D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意； 故选：C． 6．（2025·浙江湖州·一模）在平面直角坐标系中，有，，，四个点，一次函数的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．分四种情况：①一次函数的图象恰好经过点，，；②一次函数的图象恰好经过点，，；③一次函数的图象恰好经过点，，；④一次函数的图象恰好经过点，，，根据其中两个点的坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，再检验另一个是否在这个一次函数的图象上，由此即可得． 【详解】解：①设一次函数的图象恰好经过点，，， 将点，代入得：，解得， ∴， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ②设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ③设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由点，可得：， 当时，，即点不在一次函数的图象上， ∴一次函数的图象不可能恰好经过三个点； ④设一次函数的图象恰好经过点，，， 同理：由，可得：， 当时，，即点在一次函数的图象上， 当时，，即点不在一次函数的图象上， 综上，一次函数的图象恰好经过三个点，不经过点； 故选：B． ( 题型02 ) 一次函数的实际应用 7．（2025·浙江舟山·一模）世界各国的天气预报主要使用摄氏或华氏温标，学生查阅资料，得到两种温标计量值如下表： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 请推算当摄氏温度为时，华氏温度为 ． 【答案】95 【分析】本题考查了函数关系式，找出表格中的数据之间的关系是解题的关键．根据表格可知每增加，增加，当时，，即可确定与的函数关系式，再代入即可求解． 【详解】解：根据表格可知每增加，增加， ∴， 当时，， 故答案为：95． 8．（2025·浙江湖州·一模）已知甲、乙两地相距，小明、小红两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段，线段分别表示小明、小红离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： (1)求小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； (2)当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，弄清题意，能从图象中获取有用的信息是解题的关键． （1）利用待定系数法求出的解析式即可； （2）根据图象分别得出小红和小明的速度，根据出发后分小红在前和小明在前两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知点，，， 设的解析式为， 则， 解得， 所以，， 所以，小红离开甲地的路程与时间的函数表达式； （2）解：由图可知，小红出发3小时离开甲地的路程为， 所以小红的速度为：； 小明出发2小时离开甲地的路程为， 所以小红的速度为：； 小明、小红两人都在行驶中恰好相距时有两种情况： ①当，解得， ②当，解得， 所以小明、小红两人都在行驶中恰好相距时，t的值是或． 9．（2025·浙江温州·一模）周末，小瓯骑自行车从家里向雁荡山（离家路程米）出发．分钟后，她开始休息，休息时发现学生证放家里忘带，于是打电话联系爸爸．接到电话后爸爸立即开摩托车送过去，拿到学生证后小瓯以原速继续骑行，爸爸则不着急慢慢返回．两人离家的路程（米）随时间（分钟）变化的图象如图所示．已知爸爸到达小瓯休息地前，他离家的路程关于的函数表达式为． (1)求与的值． (2)爸爸到家后马上打电话给小瓯，得知她还没到达景区．问：小瓯此时离景区还有多远？ 【答案】(1)，； (2)小瓯此时离景区的路程为米． 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，求一次函数解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象可知把代入，求出的值，然后把代入即可求出的值； （）设返回时爸爸离家的路程与的函数表达式为，把和代入，求出，令，解得，再求出小瓯的骑行速度为米分，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴； （2）解：设返回时爸爸离家的路程与的函数表达式为， 把和代入， 得，解得， ∴， 令，解得， ∵小瓯的骑行速度为（米分）， ∴小瓯此时离景区的路程为（米）． 10．（2025·浙江温州·一模）如图反映的是小温、小州两人从学校出发到瓯华站乘车的过程．两人同时从学校步行出发，小温在途中发现有物品遗漏，于是立刻以同样的速度返回学校拿取，在学校停留分钟后乘出租车赶往瓯华站，结果比小州早分钟到达瓯华站． (1)求两人步行的速度． (2)求出图中出租车行驶时路程与时间的函数解析式． (3)求学校到瓯华站的路程． 【答案】(1)米/分钟 (2) (3)米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据速度路程时间计算即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）设两人出发m分钟时小温到达瓯华站，则两人出发分钟时小州到达瓯华站，根据两人分别到达终点时的路程相等列关于m的方程并求解，将m的值作为t的值代入S与t的函数关系式，求出对应S的值即可． 【详解】（1）解：（米/分钟）， 答：两人步行的速度是米/分钟； （2）解：（分钟）， （米）， 设与的函数解析式为（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 与的函数解析式为； （3）解：设两人出发分钟时小温到达瓯华站，则两人出发分钟时小州到达瓯华站． ， 解得， 当时，． 答：学校到瓯华站的路程是米． 11．（2025·浙江衢州·一模）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示． (1)求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长． (2)求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离． 【答案】(1)甲机器人速度5（米/秒），乙机器人速度3.5（米/秒），甲机器人表演的时长4秒； (2)当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，熟练掌握函数图象，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据图象得出甲乙机器人的路程和时间，然后计算即可； （2）结合图象分为甲机器人表演前、表演时、到达终点时三种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：甲机器人速度：（米/秒）， 乙机器人速度：（米/秒）， （秒）， ∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒． （2）当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0， 当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，， 当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时， 乙机器人的函数表达式：， 甲机器人的函数表达式：（）， 当时，得， 当，， 所以， 答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米． 12．（2025·浙江衢州·一模）无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，乙无人机继续匀速上升．当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： (1)求联合表演时长； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们的高度差为8米？ 【答案】(1) (2) (3)两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出乙无人机的速度，进而求出乙无人机到达距离地面的高度为48米时的时间，用表演完成时的时间减去开始表演的时间，求解即可； （2）求出甲无人机的速度，结合点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分甲单独表演之前和单独表演时和单独表演之后，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：乙无人机的速度为：， ∴当乙无人机到达距离地面时，所用时间为：， ∴联合表演时长； 答：联合表演时长为； （2）由（1）可知：， 联合表演前：甲无人机的速度为：， 设直线的解析式为：，把代入，得：， 解得：； ∴； （3）①当甲无人机单独表演之前：，解得：； 由（2）知：直线的解析式为：， 当时，，即：无人机甲从到，进而单独表演， ②当甲无人机单独表演时：时，； ③当甲无人机单独表演之后，时，； 综上：两架无人机表演训练到2秒，10秒和14秒时，它们的高度差为8米． 13．（2025·浙江嘉兴·一模）万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图． (1)求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式； (2)求甲车加油后的速度是多少千米小时？ (3)当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案） 【答案】(1) (2)千米/小时； (3)小时或或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，看到函数图象是解题的关键． （）设，利用待定系数法解答即可求解； （）由（）可得乙车到达市需要小时，进而可求出甲车加油后的速度； （）求出甲车加油前的速度，再分两车出发后相距千米，甲车加油时与乙车相距千米和甲车加油后与乙车相距千米三种情况，分别列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：设，把代入得：， 解得， ∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴乙车到达市需要小时， ∴甲车加油后的速度为千米/小时； （3）解：甲车加油前的速度为千米/小时， 当两车出发后相距千米时，则， 解得； 当甲车加油时与乙车相距千米时，则或， 解得或； 当甲车加油后与乙车相距千米时，则， 解得； 综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时． 14．（2025·浙江丽水·一模）如图，小丽和小庆去某风景区游览，其主要景点位于同一条公路边，其中古刹到塔林的路程为，塔林到草甸的路程为，草甸到飞瀑的路程为．小丽骑电动自行车从“古刹”出发，沿景区公路匀速去“草甸”，车速为．同一时刻，小庆乘电动汽车从“飞瀑”出发，沿景区公路匀速前往“古刹”．设两人相距的路程为，时间为， s关于t的部分函数图象如图所示． (1)求小庆乘电动汽车的速度； (2)求图中a的值； (3)何时两人相距的路程等于？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了函数图象，求一次函数解析式，从函数图象获取相关信息是解题的关键． （1）由函数图象，先求出两人相遇前的速度的和，再减去小丽的速度即可； （2）先求出从相遇到终点的时间，加上相遇前的时间即可得a的值； （3）求出相遇前后两线段的函数解析式，再求出函数值为5时的自变量值即可求解． 【详解】（1）解：； 答：小庆乘电动汽车的速度为． （2）解：； 即a的值为． （3）解：设相遇前的函数表达式为，此时函数过点， 则有，解得：， 即函数表达式为； 当时，； 设相遇后到终点的函数表达式为，此时函数过点， 则有，解得：， 即函数表达式为； 当时，； 综上所述，或． 15．（2025·浙江宁波·一模）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以米秒的速度匀速飞行了 秒，然后以米秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发秒后起飞，以米秒的速度匀速飞行，乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米．如图，折线 ，线段分别表示甲，乙的飞行高度（米）与甲飞行时间（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． (1) _____， _____． (2)分别求出线段，对应的函数表达式． (3)当两架无人机之间的飞行高度差不超过米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时 的取值范围． 【答案】(1)，； (2)对应的函数表达式为，对应的函数表达式为； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象即可求解； （）利用待定系数法求出解析式即可； （）根据图象即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，甲飞行秒后的速度（米秒 ），乙飞行的速度（米秒 ）， 故答案为：，； （2）解：设对应的函数表达式为， 把， ， 代入得：，            解得， ∴对应的函数表达式为； 设对应的函数表达式为 ， ∵乙出发秒后，与甲飞行的高度相差 米， ∴图象过， ∴， 解得， ∴对应的函数表达式为； （3）解：对于，令，得， 当 时，甲的高度为， 此时两无人机高度差为米， 当甲比乙高米时， ， 解得：， ∴能形成这种表演效果时的取值范围为． 16．（2025·浙江杭州·一模）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度．设月用水量为（吨），每月应交水费（元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是关于的函数图象． 阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨） 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 5 根据上述信息解决以下问题： (1)求的值． (2)当时，求关于的函数表达式． (3)小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨，水费合计为元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量． 【答案】(1) (2) (3)小红家6月份的用水量为吨 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析，自变量或函数值的计算方法是关键． （1）根据函数图象求解即可； （2）运用待定系数法求解析式即可； （3）根据函数关系，分类讨论：当小红家6，7月份在吨；当小红家6月份、7月份的用水量都在吨；当小红家6月份在吨，7月份的用水量在吨；结合函数关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：当时，设关于的函数解析式为，把点，代入得，， 解得，， ∴； 当时，； 当时，关于的函数表达式为； （3）解：小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了吨， ∴当小红家6，7月份在吨，则6月份水费为元，7月份的费用为元， ∴， 解得，，不符合题意； 当小红家6月份、7月份的用水量都在吨， ∴， 解得，，矛盾，不符合题意； 当小红家6月份在吨，则6月份水费为元，7月份的用水量在吨， ∴7月份的费用为（元），用水量为（吨）， ∵小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨， ∴是5的倍数，且， ∴， ∴小红家6月份的用水量为吨． 17．（2025·浙江舟山·一模）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通，一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为，游轮行驶的时间记为，两艘轮船距离杭州的路程关于的函数图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）． (1)写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长； (2)若货轮比游轮早36分钟到达衢州．请解答下列问题： ①填空：图2中的函数表达式为______， 的函数表达式为______； ②货轮出发后几小时追上游轮？ ③从货轮出发到货轮到达终点，直接写出x为何值时，游轮与货轮相距？ 【答案】(1)游轮从杭州出发前往衢州共用了， (2)①，；②；③或或 【分析】根据图中信息，停靠时间等于23小时，减去实际航行用时间，解答即可； ①求出B、C、E、D的坐标后，利用待定系数法即可求解； ②联立的函数表达式和的函数表达式即可求解； ③分三种情形分别构建方程求解即可． 本题考查了一次函数的应用，解题关键是读懂图象中蕴含的信息，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键． 【详解】（1）解：由题意可知C点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了， ，即游轮在“七里扬帆”停靠的时长为； （2）解：①游轮的速度为，，， 故，，从而， 货轮比游轮早36分钟到达衢州， ， 故 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：，； ②令，解得，， 即货轮出发后追上游轮； ③第一种情况：当游轮离开杭州时，游轮与货轮相距， 此时，； 第二种情况：当相遇前距离货轮，即， 解得； 第三种情况：当相遇后距离货轮，即， 解得； 综上，x为或或时，游轮与货轮相距． ( 题型03 ) 反比例函数的图象与性质 18．（2025·浙江舟山·一模）下列各点中，在反比例函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，此点在反比例函数的图象上，符合题意； B、，此点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，此点不在反比例函数的图象上，不符合题意； D、，此点不在反比例函数的图象上，不符合题意． 故选：A． 19．（2025·浙江温州·一模）已知点在反比例函数（k为常数）的图象上，，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小；当比例系数时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的性质可知，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小，对选项逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数，， 函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，随的增大而减小， A、若，则或， 当时，；当时，， 原结论不一定成立，不符合题意，选项错误； B、若，则， ∴，原结论成立，符合题意； C、若，当时，， 当时，，原结论不一定成立，选项错误，不合题意； D、若，则，则 原结论不成立，选项错误，不符合题意， 故选B． 20．（2025·浙江衢州·一模）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，依据题意，由点，，都在反比例函数的图象上，从而，，，结合a是一个正数和反比例函数的性质可得结论． 【详解】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵a是一个正数， ∴，，， 又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴． 故选：A． 21．（2025·浙江丽水·一模）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大，结合得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 22．（2025·浙江宁波·一模）已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．注意是在每个象限内，随的增大而减小．不能直接根据的大小关系确定的大小关系． 先判断出函数图象在二，四象限，在每个象限内，随的增大而增大，再根据，判断出的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大， 又 ∵， ， 故选：D． 23．（2025·浙江宁波·一模）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质， 先根据可知图像位于第二四象限，当时，，当时，函数值y随着x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴双曲线位于第二，四象限， 当时，； 当当时，函数值y随着x的增大而增大，即当时，， ∴． 故选：B． 24．（2025·浙江温州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】反比例函数的常量， 反比例函数的图象分布在第二、四象限， 点，在反比例函数图象上， ，， A．若，则或，选项错误，不符合题意； B．若，则或，选项错误，不符合题意； C．若，则，选项正确，符合题意； D．若，则，选项错误，不符合题意． 故选： C ． 25．（2025·浙江嘉兴·一模）函数的图象经过，两点，则下列选项中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当或时， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由函数解析式得反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且时，时， 、当时，，当时，；当时，，，此时，该选项错误； 、当时，，此时，， ∴，该选项正确，符合题意； 、当时，可能是正数，也可能是负数，当时，；当时，，该选项错误； 、当时，，此时，该选项错误； 故选：． 26．（2025·浙江衢州·一模）若，两点分别是双曲线和图象上的点．若，且，则和的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将，两点分别代入和得到，，再由，根据，，即可判断，继而即可求解． 【详解】解：将，两点分别代入和 得：，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 27．（2025·浙江杭州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，当时，总有，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：一次函数与轴交于点， ， 时，， ，即， ， 当时，， ， ， ， 四个选项，只有选项B符合条件． 故选：B． 28．（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此对每个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大， A、时，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故A错误，不符合题意； B、可举反例，若，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故B错误，不符合题意； C、可举反例，若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故C错误，不符合题意； D、若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 29．（2025·浙江杭州·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象上有，，三点，计算如下：，，，于是，结合性质和m的符号分类解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，有理数的大小比较，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据反比例函数的图象上有，，三点，得：，，， 故， 当或时，无法比较； 当时，，得根据分子相同，分母大的反而小， 得； 当时，，根据分子相同，分母大的反而小， 得， 故 故； 故选：D． 30．（2025·浙江台州·一模）函数（为常数）的图象过点． (1)求的值； (2)小明说：“该函数图象上的任意一点，若，则”，你赞同小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不赞同，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象性质是解题的关键． （1）将代入求解即可． （2）取特殊值判断即可． 【详解】（1）解：根据题意将代入， 则， 解得：，． （2）解：不赞同 根据（1）可得，该函数图象上的任意一点，则， 当时，则有， 故小明说法不正确． 31．（2025·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，． (1)求函数，的表达式． (2)当时，比较与的大小．（直接写出结果） (3)若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)当时，； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）画出图象，利用数形结合解答即可； （3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标． 【详解】（1）解：∵两个函数图象交于点，． ∴, ∴，， ∴， ∵点，在直线图象上， ， 解得， ∴； （2）解：两个函数图象如图所示， 由图可知，当时，； （3）解：设点C坐标为， ∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点， ∴， ∵点D恰好落在函数的图象上， ∴， 整理得， ∴或， ∴点的坐标为或． ( 题型04 ) 反比例函数代几综合 32．（2025·浙江湖州·一模）如图，A是函数的图象上一点，过点A作轴，交函数的图象于点B，点C在x轴上，若的面积是2，则k的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据图形面积求反比例函数系数，设点A的坐标为∶，， 根据题意可得出点B的纵坐标为：，由点B在反比例函数可得出，再根据三角形面积得出关于，即可得出k的值． 【详解】解：设点A的坐标为∶，， ∵轴， ∴点B的纵坐标为：， ∵点B在反比例函数， ∴， 解得：， ∴点， ∴， ∵点C在x轴上，轴， ∴边上的高为∶， ∵的面积是2， 即， 化简得：， 解得：， 故答案为：3． 33．（2025·浙江舟山·一模）如图，点B，C在反比例函数的图象上，点A在x轴上，连结交y轴于点E，延长交x轴于点D．已知点，且，．若面积为10，则k的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．如图，连接、，由题意得，是的中位线，则，可得，再根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，面积为10， ∴， ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 34．（2025·浙江宁波·一模）已知一次函数的图象与反比例函数交于两点．当时，的面积为1，则当时，的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键． 分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则的面积不变，即可求解． 【详解】解：当时，联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关） 当联立直线与 得：， 解得：， ∴点，（顺序无关）， ∴发现点与点关于原点成中心对称，点与点关于原点成中心对称， ∴， 故选：B． 35．（2025·浙江杭州·一模）如图，反比例函数图象过点，直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结．    (1)求的面积． (2)若点在反比例函数图像上，当，求点的坐标． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形的相关运算，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由反比例函数的解析式求出，，得出，运用三角形面积公式计算，即可作答． （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，再得出，运用角的等量代换得，即，，整理得，解得，，经检验：，都是原方程的解，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 连接，    ∴； （2）解：∵直线与该反比例函数图像和轴分别交于点和点，连结． ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 故令时，则， ∴， 如图，，过点作的延长线，    设， 则： ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 解得，． 经检验：，都是原方程的解， 则或． ( 题型0 5 ) 反比例函数的实际应用 36．（2025·浙江杭州·一模）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分． (1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？ 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)月利润不高于100万元时共经历4个月 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的性质，以及函数的解析式的求法；正确理解图是解题的关键； （1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可； （2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过点 ∴， ∴反比例函数表达式为； 又当时，， ∴一次函数图象经过点，， 即， ∴， ∴一次函数表达式为； （2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数， ∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份， ∴月利润不高于100万元时共经历4个月． 37．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． / 学科网（北京）股份有限公司 $$