专题02 方程与不等式（5大题型44题）（浙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题02 方程与不等式（5大题型44题） 题型概览 题型01 一元一次方程及实际应用 题型02 二元一次方程组及实际应用 题型03 分式方程及实际应用 题型04 一元二次方程及实际应用 题型05 不等式及不等式组 ( 题型01 ) 一元一次方程及实际应用 1．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图． (1)求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式； (2)求甲车加油后的速度是多少千米小时？ (3)当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案） ( 题型02 ) 二元一次方程组及实际应用 3．（2025·浙江嘉兴·一模）解方程组：． 4．（2025·浙江台州·一模）解二元一次方程组： 5．（2025·浙江宁波·一模）解方程组： 6．（2025·浙江温州·一模）方程组的解为 ． 7．（2025·浙江舟山·一模）解方程组：． 8．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 9．（2025·浙江杭州·一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江湖州·一模）为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处x人，乙处y人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 11．（2025·浙江杭州·一模）《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·浙江衢州·一模）（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 价格（元） (1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． ( 题型03 ) 分式方程及实际应用 14．（2025·浙江台州·一模）若分式的值为，则 ． 15．（2025·浙江杭州·一模）若，则 ． 16．（2025·浙江衢州·一模）解方程： 17．（2025·浙江温州·一模）分式方程的解是 ． 18．（2025·浙江温州·一模）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·浙江宁波·一模）（1）计算：． （2）解方程：． 20．（2025·浙江杭州·一模）解方程： (1)． (2)． 21．（2025·浙江杭州·一模）以下是小明解分式方程的解答过程： 解：① ② ∴③ 经检验是方程的解 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． ( 题型04 ) 一元二次方程及实际应用 22．（2025·浙江宁波·一模）解方程：． 23．（2025·浙江丽水·一模）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 24．（2025·浙江·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 25．（2025·浙江湖州·一模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 26．（2025·浙江宁波·一模）使得方程有实数根的最大的整数 ． 27．（2025·浙江宁波·一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 29．（2025·浙江杭州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 30．（2025·浙江台州·一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 31．（2025·浙江杭州·一模）命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是 命题（填“真”或“假”）． 32．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． ( 题型0 5 ) 不等式及不等式组 33．（2025·浙江台州·一模）已知，下列不等式中，一定成立的是（  ） A． B． C． D． 34．（2025·浙江衢州·一模）不等式的解是 ． 35．（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 36．（2025·浙江杭州·一模）（1）化简： （2）解不等式组：． 37．（2025·浙江湖州·一模）解不等式组：． 38．（2025·浙江丽水·一模）解不等式组． 39．（2025·浙江嘉兴·一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 40．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2025·浙江温州·一模）解不等式组：，并把解表示在数轴上． 42．（2025·浙江杭州·一模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 43．（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 44．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式（5大题型44题） 题型概览 题型01 一元一次方程及实际应用 题型02 二元一次方程组及实际应用 题型03 分式方程及实际应用 题型04 一元二次方程及实际应用 题型05 不等式及不等式组 ( 题型01 ) 一元一次方程及实际应用 1．（2025·浙江嘉兴·一模）我国古代数学专著《孙子算经》中有一个“多人共车”的问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”译文：“现有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，则有辆车是空的；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行．问人和车各有多少？”设人数为人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设人数为人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设人数为人， 由题意得，， 故选：． 2．（2025·浙江嘉兴·一模）万物复苏，生机盎然，正是踏春好时节．“向晖中学”组织部分同学乘车前往市的“工业遗址文化乐园”开展研学活动．活动当天，学生乘坐甲、乙两车从学校出发驶往乐园．已知学校到乐园的路程是千米，甲车在途中加油用时小时，加油后继续前行并与乙车同时到达乐园．甲、乙两车离学校的路程千米与行驶时间小时的部分函数图象如图． (1)求乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式； (2)求甲车加油后的速度是多少千米小时？ (3)当甲、乙两车之间的路程相差千米时，求行驶的时间．（请直接写出答案） 【答案】(1) (2)千米/小时； (3)小时或或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，看到函数图象是解题的关键． （）设，利用待定系数法解答即可求解； （）由（）可得乙车到达市需要小时，进而可求出甲车加油后的速度； （）求出甲车加油前的速度，再分两车出发后相距千米，甲车加油时与乙车相距千米和甲车加油后与乙车相距千米三种情况，分别列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：设，把代入得：， 解得， ∴乙车离学校的路程千米与行驶时间小时的函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得， ∴乙车到达市需要小时， ∴甲车加油后的速度为千米/小时； （3）解：甲车加油前的速度为千米/小时， 当两车出发后相距千米时，则， 解得； 当甲车加油时与乙车相距千米时，则或， 解得或； 当甲车加油后与乙车相距千米时，则， 解得； 综上，当甲、乙两车之间的路程相差千米时，行驶的时间为小时或或小时． ( 题型02 ) 二元一次方程组及实际应用 3．（2025·浙江嘉兴·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 4．（2025·浙江台州·一模）解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 方程组的解为． 5．（2025·浙江宁波·一模）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为． 6．（2025·浙江温州·一模）方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】解：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得， 解得：， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 7．（2025·浙江舟山·一模）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用得，，解得，再把代入①求出即可． 【详解】解： 得， 解得， 把代入①得， 解得 ∴． 8．（2025·浙江衢州·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 将解代入原方程组即可求解． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， 解得， 故答案为：5． 9．（2025·浙江杭州·一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚人，小和尚人，下列方程组列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人，进行列出方程组，即可作答． 【详解】解：∵100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，且结合大和尚人，小和尚人， ∴， 故选：D． 10．（2025·浙江湖州·一模）为提升学生的劳动意识，某校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人．现调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，问应调往甲、乙两处各多少人？若设应调往甲处x人，乙处y人，则下列方程（组）中，与题意不符的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确建立方程（组）是解题关键．①设应调往甲处人，则调往乙处人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍可列出关于的一元一次方程；②设应调往乙处人，则调往甲处人，根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍可列出关于的一元一次方程；③设应调往甲处人，乙处人，根据调20人去支援，使甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程组即可得． 【详解】解：①列出关于的一元一次方程：设应调往甲处人，则调往乙处人， 则，选项A符合题意； ②列出关于的一元一次方程：设应调往乙处人，则调往甲处人， 则，选项B符合题意； ③列出关于二元一次方程组，设应调往甲处人，乙处人， 则或，选项C符合题意，选项D不符合题意； 故选：D． 11．（2025·浙江杭州·一模）《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为人，物价为钱，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行列式即可． 【详解】解：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱，且人数为人，物价为钱， 即， 故选A． 12．（2025·浙江衢州·一模）（我国古代算题）马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马，牛各价几何？设马价为每匹两，牛价为每头两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据马四匹，牛六头，共价四十八两，马三匹，牛五头，共价三十八两，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可列方程组为： ； 故选D． 13．（2025·浙江杭州·一模）某快递公司需将一批总重为吨的物品从仓库运往配送中心．现有下表所示两种类型货车可供调配： 类型 甲型 乙型 满载（吨） 价格（元） (1)若公司一次性派出两种货车共辆，恰好运完所有物品，且公司要求每辆货车必须满载运输，求甲、乙两种货车各派出多少辆？ (2)若快递公司派出甲型、乙型货车共辆，其中甲型货车不少于辆，要求预算运输费用不超过元，请设计一种运输方案使总费用最低，并计算最低费用． 【答案】(1)派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品 (2)当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设甲型货车辆，乙型货车辆，根据题意列出方程组即可求解； （2）设甲型货车辆，乙型货车为辆，根据题意列不等式组求出的范围，再计算费用即可． 【详解】（1）解：设甲型货车辆，乙型货车辆， 由题意得：， 解得：， 答：派甲型货车辆，乙型货车辆，恰好一次性运完吨物品； （2）设甲型货车辆，乙型货车为辆， 根据题意得：， 解得：， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 当时，此时运费元， 综上可知：当派甲型货车辆，乙型货车辆，总费用最低． ( 题型03 ) 分式方程及实际应用 14．（2025·浙江台州·一模）若分式的值为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了解分式方程的计算，理解题意，掌握分式方程的计算是关键．根据题意，解分式方程即可． 【详解】解：， 去分母得，， 移项，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程的分母不为0， ∴原分式方程的解为， 故答案为：2 ． 15．（2025·浙江杭州·一模）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故答案为：． 16．（2025·浙江衢州·一模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 解得：； 当时，， ∴是原方程的解． 17．（2025·浙江温州·一模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解：方程两边都乘，得出， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 18．（2025·浙江温州·一模）小鹿两次购买相同药物的费用均为300元，第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），根据“第二次购买时每盒降价5元，他多买了2盒”这一等量关系可列方程． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为x（元/盒），则可列方程 故答案为：C． 19．（2025·浙江宁波·一模）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，解分式方程， 对于（1），根据，再计算； 对于（2），去分母，分括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后检验得出答案． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得． 经检验：是原方程的解． 20．（2025·浙江杭州·一模）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程和分式方程的方法以及步骤是解题的关键． （1）先把常数项移至等号右边，再由配方法求解； （2）先去分母化为整式方程求解，再检验是否有增根． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解： ， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴原方程的根为． 21．（2025·浙江杭州·一模）以下是小明解分式方程的解答过程： 解：① ② ∴③ 经检验是方程的解 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程不对，从第①步开始错，解答过程见详解 【分析】本题考查解分式方程，先去分母再解整式方程，最后要检验． 根据解分式方程的步骤进行判断并改正即可． 【详解】解：不正确，从第①步开始错， 正确步骤如下： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：， 检验：当时，， 故是增根，原方程无解． ( 题型04 ) 一元二次方程及实际应用 22．（2025·浙江宁波·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，先将方程整理成一般式，再求出，利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴，． 23．（2025·浙江丽水·一模）如图，根据小丽与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的答案是（   ） A．1 B． C．－1 D．1或－1 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 设这个数为，根据“先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同”列出方程即可求解． 【详解】解：设这个数为， 则有 移项得：， 根据完全平方公式， 对进行因式分解可得： ， 根据平方根得性质，若，则， 所以，解得． 故选A． 24．（2025·浙江·一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据题意得出，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 25．（2025·浙江湖州·一模）关于x的方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 26．（2025·浙江宁波·一模）使得方程有实数根的最大的整数 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式的特殊解．由方程有实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得． 所以满足的最大整数值为2． 故答案为：2． 27．（2025·浙江宁波·一模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故选：A． 28．（2025·浙江宁波·一模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．熟练掌握根与系数的关系是关键． 【详解】解：根据根与系数的关系得：，， 所以， 故答案为：． 29．（2025·浙江杭州·一模）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2018 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 根据一元二次方程的根的定义可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故选：C． 30．（2025·浙江台州·一模）在2020年9月，我国提出力争在2030年前实现碳达峰，即二氧化碳排放量达到峰值并开始下降．已知某企业去年的碳排放量为300吨，该企业为响应国家号召，提出一个减排计划：从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨．为求的值，列出如下方程，其中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．根据去年的碳排放量为300吨，从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨，年内的碳排放量共计2450吨，列出方程即可． 【详解】解：∵去年的碳排放量为300吨，从今年开始，每年的碳排放量均比上年减少10吨， ∴今年（第一年）的排放量为：（吨）， 第二年的排放量为：（吨）， …… 第x年的排放量为：（吨）， ∵年内的碳排放量共计2450吨， ∴， 即， 故选：B． 31．（2025·浙江杭州·一模）命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查了真假命题，一元二次方程根的判别式，利用完全平方公式变形求值，以及平方的非负性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程必有实数根， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 32．（2025·浙江湖州·一模）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式，（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：a，b，m，n，，均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个x的值，使代数式的值为0，则；④若，则c的值不可能是．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 故答案为①④． ( 题型0 5 ) 不等式及不等式组 33．（2025·浙江台州·一模）已知，下列不等式中，一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据性质即可得出答案．本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键． 【详解】A．∵，∴，故选项错误，不符合题意； B．∵，∴的大小关系不明确，故选项错误，不符合题意； C．∵，∴，故选项错误，不符合题意； D．∵，∴，故选项正确，符合题意． 故选D． 34．（2025·浙江衢州·一模）不等式的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，先去分母再去括号移项合并，最后系数化为1，即可解不等式． 【详解】解：由题意得，， 去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1，， 故答案为：． 35．（2025·浙江杭州·一模）已知是实数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 36．（2025·浙江杭州·一模）（1）化简： （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，解不等式组，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：（1）； （2）解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解为 37．（2025·浙江湖州·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是． 38．（2025·浙江丽水·一模）解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式的解集为． 39．（2025·浙江嘉兴·一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出不等式组的解集，再由不等式组无解，可得关于m的不等式，即可求解． 【详解】解： 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 故选：C． 40．（2025·浙江杭州·一模）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 41．（2025·浙江温州·一模）解不等式组：，并把解表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集成为解题的关键． 先求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得，即， 由②得，即， ∴， ∴原不等式组的解为， 把不等式组的解表示在数轴上如图所示： 42．（2025·浙江杭州·一模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， 去分母得， 移项合并得， 解得， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 43．（2025·浙江舟山·一模）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【答案】，见解析，不等式组的整数解为：，0，1， 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集表示在数轴上为： 不等式组的整数解为：，0，1， 44．（2025·浙江杭州·一模）以下是芳芳解不等式组的解答过程： 解：由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． 芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，正确解题过程见解析 【分析】本题考查了解不等式组，根据不等式的性质、乘法的分配律等逐步检查即可发现芳芳的错误，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：芳芳的解答过程有错误， 在解不等式①时，两边同乘以，不等号的方向没有改变，故错误； 在解不等式②时，去括号漏乘3，故错误； 正确解答如下： 由①，得，所以． 由②，得，所以，所以． 所以原不等式组的解是． / 学科网（北京）股份有限公司 $$