精品解析：四川省成都外国语学校2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

成都外国语学校2024-2025高一下学期期中检测数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 5. 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 6. 若向量满足：，且与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 C. 若与是平行向量，则 D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 10. 中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ） A. 若CD是中线，则 B. 若CD是高，则 C. 若CD是角平分线，则 D. 若D是线段AB的三等分点，则 11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 13. 已知均为锐角，若，，则_________. 14. 在中，，P为AB边上一点，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求实数x的值． （2）若，求实数x的值． 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 17. 已知. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域. 18. 如图，在直角梯形中，，E是线段的中点，F在线段上（不包含端点），线段相交于点P． （1）若F是线段的中点，求的值； （2）若，求的值； 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. （1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； （2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 （3）设，若对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2024-2025高一下学期期中检测数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号填写在答题卡上. 2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的运算可得答案. 【详解】. 故选：A. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求解即可. 【详解】由题可得：，故， 又，， 故. 故选：D. 3. 在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是，且到A的距离为2，C点的俯角为，且到A的距离为3，则B、C间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得正确答案. 【详解】依题意可知， 由余弦定理得， 所以. 故选：D 4. 在中，角所对的边分别为，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理角化边求解即得. 【详解】在中，由及余弦定理得，，整理得， 所以是等腰三角形. 故选：A 5. 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D. 先向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移变换和伸缩变换得到相应的图象. 【详解】A：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故A错误； B：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故B错误； C：向右平移个单位长度得，横坐标伸长到原来的2倍得，故C正确； D：向右平移个单位长度得，横坐标缩短到原来的得，故D错误. 故选：C. 6. 若向量满足：，且与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出在上的投影，然后对比即可得到对应的投影向量. 【详解】因为在上的投影为， 又因为，所以在上的投影向量为， 故选：A. 7. 张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 8. 在边长为2的正方形中作出.直角顶点为的中点.其他两顶点分别在边上运动.则的周长的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，进而得到的周长，再应用换元法及三角函数的性质，令则，即可求范围. 【详解】如题图，设，由题意， 所以， 则， 所以的周长， 注意，且， 令，则， 所以，又， 所以，解得， 即周长的取值范围为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若与都是单位向量，则 B. 方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 C. 若与是平行向量，则 D. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量相等的条件，可判断出选项A和C的正误，利用共线向量的定义可判断出选项B的正误，根据向量的几何表示，可判断出选项D的正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，若与都是单位向量，则，但与可以方向不同，故选项A错误， 对于选项B，因为方向为南偏西的向量与北偏东的向量方向相反，所以选项B正确， 对于选项C，若与是平行向量，但当或与方向相反，不满足，所以选项C错误， 对于选项D，由向量的几何表示知，选项D正确， 故选：BD. 10. 中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ） A. 若CD是中线，则 B. 若CD是高，则 C. 若CD是角平分线，则 D. 若D是线段AB的三等分点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中若， 可得若是线段的三等分点，则或 但,均不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C. 若，则的取值范围是 D. 若，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】据中心对称即可求值A；由周期的范围求出的范围，利用函数平移求出周期判断B正确；举例说明判断判断C；结合已知单调区间得出范围判断D. 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12. 已知向量，的夹角为45°，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以 . 故答案为：. 13. 已知均为锐角，若，，则_________. 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出，再由两角差的正切公式即可得出答案. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式化简求值，属于中档题. 14. 在中，，P为AB边上一点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，作出辅助线，建立坐标系，设出，用含m的式子表达出，求出最小值. 【详解】延长AC至点D，使AD=4AC，连接BD，取BD的中点E，连接AE，由于，所以，由三线合一得：，因为，所以，由勾股定理得：，所以△ABD为等边三角形，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立如图所示平面直角坐标系，则，，设（），所以，当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求实数x的值． （2）若，求实数x的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行列方程，由此求得. （2）根据向量垂直列方程，由此求得. 【小问1详解】 ， 若，则. 【小问2详解】 若，则， ，解得或 16. 已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求的值，进而求角. （2）利用余弦定理求边，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 所以， 因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又，所以. 所以. 17. 已知. （1）求函数的最小正周期和对称轴方程； （2）若，求的值域. 【答案】（1）对称轴方程为（），最小正周期 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到，由周期公式和对称轴公式可得答案； （2）先求出，再由正弦函数的性质即可得到值域. 【小问1详解】 . 令（），得，， 则的对称轴方程为（），最小正周期. 【小问2详解】 当时，， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在取最大值1，在取最小值， 所以，所以. 18. 如图，在直角梯形中，，E是线段的中点，F在线段上（不包含端点），线段相交于点P． （1）若F是线段的中点，求的值； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用当作基底，结合平面向量数量积的运算律计算即可； （2）设，利用当作基底，根据平面向量垂直的性质计算参数,，进而即可得解. 【小问1详解】 若F是线段的中点，则由题意可知： ， ， 所以 ； 【小问2详解】 不妨设， 则 ， 由上知，所以若， 即 ，解之得， 由条件可知，所以 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，. （1）若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）； （2）当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求 （3）设，若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）向量的仿射坐标为；其中一个“完美向量”的仿射坐标为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题中新定义和平面向量的线性运算计算即可； （2）由题中新定义结合三角恒等变化计算求解即可； （3）由对恒成立得到，再由平面向量夹角的求法及三角函数值域的求法计算即可. 【小问1详解】 ， 所以向量的仿射坐标为. 其中一个“完美向量”的仿射坐标为. 【小问2详解】 因为当时，是仿射坐标系下的“完美向量”， 所以， 由题意得，则，， 可得，， 故，， 所以，， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 因为， ， ， 因为，所以， 所以对恒成立， 又因为，所以， 得， 此时， 因为，，且， 所以， 所以， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $