精品解析：江西省南昌市江西科技学院附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

江科附中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 卷面分数：150分 考试时间：120分种 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度是0 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ） A B. C. D. 8. 已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 10. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则无解 C. 若，则有一解 D. 若，则有两解 11. 如图，已知圆的内接四边形中， ，，. 下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的直径为 C. D. 过作交于点， 则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______． 13. 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为______． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，且，． （1）若//，且，求的坐标； （2）若向量与夹角是锐角，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）求最小正周期及对称轴、对称中心； （2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 18. 如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. （1）若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. （2）若，，P线段AD上任意一点，求最大值. 19. 已知，，分别为三个内角，，对边，满足，. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江科附中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 卷面分数：150分 考试时间：120分种 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度是0 D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， 故未必成立，所以A错误； B：长度相等的向量方向不一定相同，故B错误； C：根据零向量的定义可判断C正确； D：共线向量不一定在同一条直线上，也可在相互平行直线上，故D错误. 故选：C. 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理得，所以. 故选：A 3. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量坐标运算法则求，结合向量平行坐标表示列方程可得，化简求，再结合二倍角正切公式求结论. 【详解】因为，， 所以，又，， 所以， 若，则，与矛盾，故， 所以， 所以， 故选：D. 5. 非零向量，满足：，，则与夹角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积将已知条件化简可得，再利用向量的夹角公式进行运算即可. 【详解】因为，所以，即，① 又因为，所以，即， 将①代入得，， 设与夹角为， 所以， 因为，所以. 故选：B. 6. 如图，在中，与CE的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 7. 记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 8. 已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知的最小值为，用含的式子表示，利用二次函数最小值的表示方式，表示其最小值让其等于构建方程，解得，由与的夹角为锐角，舍掉负值，代入原二次函数对称轴的表达式中，解得；表示，展开（设），将已知模长代入展开式，可化简为，利用三角函数的值域，即可得答案. 【详解】由题， 因为，，所以， 因最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值， 所以，解得， 又因为与的夹角为锐角，所以，故； 因为， 又有， 将模长代入， 设，即原式， 因为，所以. 因此，的最大值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 设为非零向量，若，则 B. 若，则或 C. 设为非零向量，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律即可判断A；根据模的定义及向量共线的概念即可判断B；根据数量积的运算法则即可判断C；根据向量线性运算及重心的性质即可判断D． 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，表示是的2倍，或表示与共线，且是的2倍，故B错； 对于C，，， 所以与不一定相等，故C错误； 对于D，如图，设为的中点，点为的重心， 则，即，所以，故D正确； 故选：AD． 10. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则无解 C. 若，则有一解 D. 若，则有两解 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，即得答案. 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知圆的内接四边形中， ，，. 下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的直径为 C. D. 过作交于点， 则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算. 【详解】对于A，连接，在中，， 在中，， 由于，所以，故， 解得， 所以，，所以， 故， ， 故四边形的面积为，故A正确； 对于B，设外接圆半径为，则， 故该外接圆的直径为，半径为，故B错误； 对于C，连接，过点作于点，过点B作于点，则由垂径定理得：， 由于，所以，即， 解得，所以，所以，且， 所以，即在向量上的投影长为1，且与反向， 故，故C正确； 对于D，由C选项可知：，故，且， 因为，由对称性可知：为的平分线，故， 由A选项可知：，显然为锐角， 故，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】由，展开，结合诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13. 已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，则， 所以，即是直角三角形.    根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故答案为： 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值 【详解】因，由正弦定理得， 因为，所以，故， 则的面积为， 即即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，，且，． （1）若//，且，求的坐标； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行以及其模长，列出方程组，求解即可； （2）求得与的坐标，结合其数量积为正数，且不共线，进而求得的范围. 【小问1详解】 设，，，，即； 又，，解得或， 或． 【小问2详解】 由题可知，，， 与的夹角是锐角，，解得， 又与不共线，，即， 实数的取值范围是． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称轴、对称中心； （2）若当时，不等式恒成立，求实数m取值范围. 【答案】（1），对称轴为，，对称中心为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，即可求出函数的值域，从而得解. 【小问1详解】 因为 ， 即，所以的最小正周期， 令，，解得，，故对称轴，； 令，，解得，，故对称中心为，． 【小问2详解】 当时，，所以， 则在上的值域为， 因为不等式恒成立，所以，即实数m的取值范围为． 17. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值. （2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18. 如图所示，在中，D为BC边上一点.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）. （1）若， （ⅰ）用，表示； （ⅱ）若，，求的值. （2）若，，P是线段AD上任意一点，求最大值. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）向量的线性表示，利用三角形法则及题所给条件即可得；根据（ⅰ）的结论，转化用，表示，根据三点共线找出等量关系即可求解（ⅱ）； （2）利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）在中，由，又， 所以， 所以 , （ⅱ）因为， 又，， 所以，， 所以， 又三点共线，且在线外， 所以有：，即. 【小问2详解】 由于，故是的中点，故， ， 当且仅当时取等号，故最大值为2， 19. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式求解即可； （2）（ⅰ）根据平面向量的运算、数量积的性质及余弦定理可得，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质求解即； （ⅱ）设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式可得，进而根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则，即， 又，则， 则，即. 【小问2详解】 （ⅰ）由， 因为为外接圆圆心，即外心， 所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，， 则， 由，解得， 所以，则， 所以. （ⅱ）设外接圆半径为，则， 且，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由（ⅰ）知，，令， 则， 所以当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$