第14讲 长方体与正方体的认识(讲义+强化训练)---2025小升初数学热点考点通关宝典

第14讲 长方体与正方体 考点目录 1、长方体的特征 2 2、正方体的特征 4 3、长方体的展开图 5 4、正方体的展开图 8 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 长方体的特征 ★★ ★★ 正方体的特征 ★★★ ★★ 长方体的展开图 ★★ ★★★ 正方体的展开图 ★★ ★★★ 【考情分析】长方体与正方体是小学阶段立体几何的重要内容，在小升初考试中占比约10%-15%。主要考查学生对立体图形的空间观念、表面积与体积计算能力，以及解决实际问题的应用能力。 热点突破1 关键知识 长方体的特征 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 典型例题 例1： 例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（　　） A、只有三个面          B、只能看到三个面          C、最多只能看到三个面 【分析】长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答． 【解答】根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面． 答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面． 故选：C． 【点评】此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围． 例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（　　）cm的长方体框架． A、2            B、3             C、4             D、5 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答． 【解答】52÷4-（6+4）， =13-10， =3（厘米）； 答：高为3厘米的长方体的框架． 故选：B． 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•陕州区期中）根据如图所给的数据，想象一下这个长方体可能是（　　） B．新华字典 C．纸巾盒 【跟踪训练2】（2024秋•吴江区期末）如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm,要捆扎这种礼品盒需准备（　　）m的丝带比较合理。​ A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 【跟踪训练3】（2025春•罗湖区期中）笑笑用磁珠和磁条搭长方体，如图是搭好的一部分，她至少还需要 ______个磁珠，______根磁条。 【跟踪训练4】（2024秋•高州市期末）长方体和正方体都有 ______个面。 【跟踪训练5】（2024春•镇平县期中）一个长方体（非正方体），它至多可以有4个面的面积相等。 ______（判断对错） 【跟踪训练6】（2024春•汉阴县期中）棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 ______（判断对错） 热点突破2 关键知识 正方体的特征 ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 典型例题 例1： 例1：一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（　　）分米． A、16           B、24           C、32           D、48 【分析】一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和． 【解答】4×12=48（分米）． 故选：D． 【点评】此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘12即可． 例2：至少（　　）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体． A、4            B、8             C、9 【分析】假设小正方体的棱长是1厘米，体积是1立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积为8立方厘米，进一步求出个数． 【解答】假设小正方体的棱长是1厘米，体积：1×1×1=1（立方厘米）； 稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积：2×2×2=8（立方厘米）； 需要小正方体的个数：8÷1=8（个）． 故选：B． 【点评】此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•武安市期中）有一根长150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6cm,这个正方体框架的棱长是（　　）cm。（接头处忽略不计） A．12 B．144 C．36 D．24 【跟踪训练2】（2024秋•垦利区期末）用一根长（　　）厘米的铁丝可以围成一个棱长是12厘米的正方体框架。 A．96 B．48 C．72 D．144 【跟踪训练3】（2024•嵩县）如图要搭成一个正方体框架，还需要 ______个磁力珠和 ______根磁力棒。 【跟踪训练4】（2024春•仓山区期末）一个正方体的棱长总和是5m,每条棱的长度占棱长总和的 ______，每条棱长是 ______m。 【跟踪训练5】（2024春•翔安区期中）正方体有6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______（判断对错） 【跟踪训练6】（2024秋•上思县月考）用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为6厘米的正方体框架。 ______（判断对错） 【跟踪训练7】（2024春•昌黎县期末）相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体． ______．（判断对错） 热点突破3 关键知识 长方体的展开图 长方体展开图形如下情况： 典型例题 例1： 例：把下面这个展开图折成一个长方体． ①如果A面在底部，那么______面在上面． ②如果F面在前面，从左面看是B面，______面在上面． ③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积． 【分析】根据长方体的特征，6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），A与E相对，B与D相对，C与F相对；相对的面的面积相等．通过测量长3厘米，宽2厘米高1厘米；根据表面积公式，s=（ab+ah+bh）×2，体积公式，v=abh，把数据代入公式解答即可． 【解答】（1）如果A面在底部，那么 E面在上面； （2）如果F面在前面，从左面看是B面，A面在上面． （3）表面积： （3×2+3×1+2×1）×2， =（6+3+2）×2， =11×2， =22（平方厘米）； 体积： 3×2×1=6（立方厘米）； 答：表面积是22平方厘米；体积是6立方厘米． 故答案为：（1）E；（2）A． 【点评】此题主要考查长方体的特征，以及表面积、体积的计算，根据表面积公式、体积公式解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•长沙县期中）下面的折纸材料中，不能沿着虚线折成长方体或正方体的是图（　　）。 A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2025春•罗湖区期中）分别在长方体展开图的6个面上标上数字（如图），将展开图折叠成长方体以后，与数字1相对的面上的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪训练3】（2024•临安区）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 ______cm2。把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是 ______。 【跟踪训练4】（2024秋•庐江县期末）如图是一个长方体展开图，它的棱长之和是 ______厘米，表面积是 ______平方厘米，体积是 ______立方厘米。 【跟踪训练5】（2023•景县）把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果2号面在左面，那么5号面在右面。 ______（判断对错） 【跟踪训练6】（2022春•华阴市期末）如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与①相对的面是⑤。 ______（判断对错） 热点突破4 关键知识 正方体的展开图 正方体展开图形如下情况： 典型例题 例1： 例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（　　）相对． A、4 B、5 C、6 D、3 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论． 【解答】根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的． 故选：B． 【点评】此题考查了正方体的展开图． 例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（　　） 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择． 【解答】根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图． 只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况； 故选：C． 【点评】此题考查了正方体的展开图． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•安溪县期中）溪溪想把一个正方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上（如图），他至少需要剪开（　　）条棱。 A．5 B．6 C．7 D．8 【跟踪训练2】（2025春•新郑市期中）芳芳将一个正方体盒子完全展开，得到的展开图不可能是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练3】（2024秋•鼓楼区期末）如图是一个正方体的表面展开图。在这个正方体中，与c面相对的是 ______面，与f面相对的是 ______面。 【跟踪训练4】（2024春•龙岗区期末）丽丽在一个正方体盒子的每个面上都写上了一个字，分别是：“我”“喜”“欢”“学”“数”“学”，正方体的平面展开图如图所示，那么和“我”相对的面上所写的字是“______”。 【跟踪训练5】（2024•乾县）如图的图形折叠后可以围成一个正方体。 ______（判断对错） ​ 【跟踪训练6】（2024•白水县）将如图折叠成正方体后，“学”字相对面上的字是“养”字。 ______（判断对错） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 14 讲 长方体与正方体的认识 强化训练 一．选择题（共 10 小题） 1．下列图形中，不能折成正方体的是（　　） A． B． C． D． 2．如图几幅图中，是正方体展开图的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如下，这是一款产品的参数图片，这个产品最有可能是（　　） 产品尺寸 506×620×1280mm 包装尺寸 560×652×1343mm A．微波炉 B．家用冰箱 C．电视机 D．普通手机 4．某产品说明书上标注包装尺寸为 71×66×188（cm），它们分别表示这个长方 体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想像一下它可能是（　　） A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 5．一张长方形纸长 40厘米，宽 8厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高 8厘米的长方体的侧面。如果要为这个长方体配一个底面，面积是（　　） A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 6．如图所示是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是（　　） A．新华字典 B．数学课本 C．一页草稿纸 D．笔记本电脑 7．如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中 5个面，添上①～④中的 （　　）号面可以使其折成一个完整的正方体。 A．① B．② C．③ D．④ 8．如图是由六个正方形组成的一个图形，将它们折叠可以组成一个正方体，在正 方体的表面分别标上 1、2、3、4、5、6。其中有三个面上的数字漏标了，已知每 一组对面上数的和都是 7，那么 k的值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法确定 9．有 3根 12厘米、9根 10厘米、6根 8厘米的小棒，小亮从中选择一些搭一个长 方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是（　　） A．12厘米、10厘米、8厘米 B．12厘米、10厘米、10厘米 C．10厘米、8厘米、8厘米 D．10厘米、10厘米、8厘米 10．“六一儿童节”当天淘气把 4个正方体表面简单地装饰了一下，每个面写上一 个字，分别是“祖国繁荣富强”“德不孤必有邻”“少年强则国强”“少年智则国 智”，若把这些正方体展开，下面作品肯定不是淘气制作的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共 5 小题） 11．一个长方体的棱长总和是 72cm,底面是边长 5cm的正方形，它的高是 ______cm。 12．笑笑用磁珠和磁条搭长方体，如图是搭好的一部分，她至少还需要 ______个 磁珠，______根磁条。 13．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志 分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留 7cm长的绳 子，捆扎一共用掉了 ______m绳子。 14．如图折成一个正方体，数字“6”的对面数字是 ______。 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，要使得它折成正方体后，相对面上的两个数 互为倒数，则 B是 ______。 三．判断题（共 4 小题） 16．棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 ______ 17．正方体有 6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______ 18．小红看到的立体图形的一个面是正方形，这个立体图形一定是正方体。 ______ 19．如图的图形折叠后可以围成一个正方体。 ______ 四．操作题（共 1 小题） 20．下面每个小方格的边长是 1厘米。请你利用方格纸，按要求设计长方体、正方 体纸盒的展开图。 （1）一个棱长 2厘米的正方体纸盒。 （2）一个长 4厘米、宽 3厘米、高 2厘米的长方体纸盒（无盖）。 五．解答题（共 5 小题） 21．两根同样长的铁丝焊一个长方体和正方体，长方体长 7厘米，宽 5厘米，高 3 厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 22．小文用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架，如图，是他完成的一部分，如 果要完成这个长方体框架，还需要 ______个橡皮泥小球，______根 12厘米的小 棒，______根 8厘米的小棒，______根 6厘米的小棒。 23．奇思在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了 5个面，如图所示。请你在图 中画出第六个面（画出一种即可），标上“F”，与“F”相对的面是“______”。 如果每个小方格的边长是 2cm,请你计算出这个展开图折叠成的正方体的表面积。 24．方格纸中每个小正方形边长都是 1cm,要在这张纸上剪出一个长方体的展开 图，请画出第 6个面的位置，长方体的棱长和是 ______cm。 25．如图是一个长方体的展开图。看图解答下列各问题。 （1）将这个展开图折叠成一个长方体后，与序号“⑤”相对面上的序号是 ______。 （2）计算这个长方体的体积和表面积。 第 1 页 共 10 页 第 14 讲 长方体与正方体 1、长方体的特征 ................................................................2 2、正方体的特征 ................................................................4 3、长方体的展开图 ..............................................................5 4、正方体的展开图 ..............................................................8 热点考点 考查频率 考点难度 长方体的特征 ★★ ★★ 正方体的特征 ★★★ ★★ 长方体的展开图 ★★ ★★★ 正方体的展开图 ★★ ★★★ 【考情分析】长方体与正方体是小学阶段立体几何的重要内容，在小升初考试中占比约 10%-15%。主 要考查学生对立体图形的空间观念、表面积与体积计算能力，以及解决实际问题的应用能力。 考点目录 热点透析 考情透析 第 2 页 共 10 页 长方体的特征 1．长方体有 6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况 时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有 12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有 4条棱． 3．长方体有 8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 例 1： 例 1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（　　） A、只有三个面 B、只能看到三个面 C、最多只能看到三个面 【分析】长方体的特征是：6 个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积 相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的 3个面．由此解答． 【解答】根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的 3个面． 答：这是因为长方体最多只能看到它的 3个面． 故选：C． 【点评】此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围． 例 2：用一根 52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为 6cm，宽为 4cm，高为（　　）cm的长方体框架． A、2 B、3 C、4 D、5 【分析】根据长方体的特征，12 条棱分为互相平行的（相对的）3 组，每组 4条棱的长度相等．长方体 的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知棱长总和是 52 厘米，用棱长总和÷4 求得长、宽、高的和，用长、 宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答． 【解答】52÷4-（6+4）， =13-10， =3（厘米）； 热点突破 1 关键知识 典型例题 第 3 页 共 10 页 答：高为 3厘米的长方体的框架． 故选：B． 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题． 【跟踪训练 1】（2025春•陕州区期中）根据如图所给的数据，想象一下这个长方体可能是 （　　） B．新华字典 C．纸巾盒 【跟踪训练 2】（2024秋•吴江区期末）如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长 25cm,要捆 扎这种礼品盒需准备（　　）m的丝带比较合理。 A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 【跟踪训练 3】（2025春•罗湖区期中）笑笑用磁珠和磁条搭长方体，如图是搭好的一部分， 她至少还需要 ______个磁珠，______根磁条。 【跟踪训练 4】（2024秋•高州市期末）长方体和正方体都有 ______个面。 【跟踪训练 5】（2024春•镇平县期中）一个长方体（非正方体），它至多可以有 4个面的面 积相等。 ______（判断对错） 【跟踪训练 6】（2024春•汉阴县期中）棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 ______（判断对错） 跟踪训练 热点突破 2 关键知识 第 4 页 共 10 页 正方体的特征 ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 例 1： 例 1：一个棱长是 4分米的正方体，棱长总和是（　　）分米． A、16 B、24 C、32 D、 48 【分析】一个正方体有 12条棱，棱长总和为 12条棱的长度和． 【解答】4×12=48（分米）． 故选：D． 【点评】此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘 12即可． 例 2：至少（　　）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体． A、4 B、8 C、9 【分析】假设小正方体的棱长是 1 厘米，体积是 1 立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至 少是 2厘米，体积为 8立方厘米，进一步求出个数． 【解答】假设小正方体的棱长是 1厘米，体积：1×1×1=1（立方厘米）； 稍大的正方体棱长至少是 2厘米，体积：2×2×2=8（立方厘米）； 需要小正方体的个数：8÷1=8（个）． 故选：B． 【点评】此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题． 【跟踪训练 1】（2025春•武安市期中）有一根长 150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方 体框架后，还剩 6cm,这个正方体框架的棱长是（　　）cm。（接头处忽略不计） A．12 B．144 C．36 D．24 跟踪训练 典型例题 第 5 页 共 10 页 【跟踪训练 2】（2024秋•垦利区期末）用一根长（　　）厘米的铁丝可以围成一个棱长是 12 厘米的正方体框架。 A．96 B．48 C．72 D．144 【跟踪训练 3】（2024•嵩县）如图要搭成一个正方体框架，还需要 ______个磁力珠和 ______根磁力棒。 【跟踪训练 4】（2024春•仓山区期末）一个正方体的棱长总和是 5m,每条棱的长度占棱长总 和的 ______，每条棱长是 ______m。 【跟踪训练 5】（2024春•翔安区期中）正方体有 6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______（判断对错） 【跟踪训练 6】（2024秋•上思县月考）用 24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为 6厘米的正 方体框架。 ______（判断对错） 【跟踪训练 7】（2024春•昌黎县期末）相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方 体． ______．（判断对错） 长方体的展开图 长方体展开图形如下情况： 热点突破 3 关键知识 第 6 页 共 10 页 例 1： 例：把下面这个展开图折成一个长方体． ①如果 A面在底部，那么______面在上面． ②如果 F面在前面，从左面看是 B面，______面在上面． ③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积． 【分析】根据长方体的特征，6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），A 与 E相对，B与 D相对，C与 F相对；相对的面的面积相等．通过测量长 3厘米，宽 2厘米 高 1 厘米；根据表面积公式，s=（ab+ah+bh）×2，体积公式，v=abh，把数据代入公式解 答即可． 【解答】（1）如果 A面在底部，那么 E面在上面； （2）如果 F面在前面，从左面看是 B面，A面在上面． （3）表面积： （3×2+3×1+2×1）×2， =（6+3+2）×2， =11×2， =22（平方厘米）； 体积： 3×2×1=6（立方厘米）； 答：表面积是 22平方厘米；体积是 6立方厘米． 故答案为：（1）E；（2）A． 【点评】此题主要考查长方体的特征，以及表面积、体积的计算，根据表面积公式、体积 公式解答． 典型例题 第 7 页 共 10 页 【跟踪训练 1】（2025春•长沙县期中）下面的折纸材料中，不能沿着虚线折成长方体或正方 体的是图（　　）。 A． B． C． D． 【跟踪训练 2】（2025春•罗湖区期中）分别在长方体展开图的 6个面上标上数字（如图）， 将展开图折叠成长方体以后，与数字 1相对的面上的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【跟踪训练 3】（2024•临安区）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 ______cm2。把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是 ______。 【跟踪训练 4】（2024秋•庐江县期末）如图是一个长方体展开图，它的棱长之和是 ______ 厘米，表面积是 ______平方厘米，体积是 ______立方厘米。 跟踪训练 第 8 页 共 10 页 【跟踪训练 5】（2023•景县）把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如 果 2号面在左面，那么 5号面在右面。 ______（判断对错） 【跟踪训练 6】（2022春•华阴市期末）如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与 ①相对的面是⑤。 ______（判断对错） 正方体的展开图 正方体展开图形如下情况： 热点突破 4 关键知识 第 9 页 共 10 页 例 1： 例 1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（　　）相对． A、4 B、5 C、6 D、3 【分析】根据正方体的表面展开图共有 11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证， 得出结论． 【解答】根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后 2和 5是相对的． 故选：B． 【点评】此题考查了正方体的展开图． 例 2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（　　） 【分析】根据正方体的表面展开图共有 11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成 正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择． 【解答】根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以 A、B、D是正方体的表面展 开图． 只有 C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况； 故选：C． 【点评】此题考查了正方体的展开图． 【跟踪训练 1】（2025春•安溪县期中）溪溪想把一个正方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上 （如图），他至少需要剪开（　　）条棱。 A．5 B．6 C．7 D．8 跟踪训练 典型例题 第 10 页 共 10 页 【跟踪训练 2】（2025春•新郑市期中）芳芳将一个正方体盒子完全展开，得到的展开图不可 能是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练 3】（2024秋•鼓楼区期末）如图是一个正方体的表面展开图。在这个正方体中， 与 c面相对的是 ______面，与 f面相对的是 ______面。 【跟踪训练 4】（2024春•龙岗区期末）丽丽在一个正方体盒子的每个面上都写上了一个字， 分别是：“我”“喜”“欢”“学”“数”“学”，正方体的平面展开图如图所示，那么和 “我”相对的面上所写的字是“______”。 【跟踪训练 5】（2024•乾县）如图的图形折叠后可以围成一个正方体。 ______（判断对错） 【跟踪训练 6】（2024•白水县）将如图折叠成正方体后，“学”字相对面上的字是“养” 字。 ______（判断对错） 第14讲 长方体与正方体 考点目录 1、长方体的特征 2 2、正方体的特征 5 3、长方体的展开图 8 4、正方体的展开图 14 热点透析 考情透析 热点考点 考查频率 考点难度 长方体的特征 ★★ ★★ 正方体的特征 ★★★ ★★ 长方体的展开图 ★★ ★★★ 正方体的展开图 ★★ ★★★ 【考情分析】长方体与正方体是小学阶段立体几何的重要内容，在小升初考试中占比约10%-15%。主要考查学生对立体图形的空间观念、表面积与体积计算能力，以及解决实际问题的应用能力。 热点突破1 关键知识 长方体的特征 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 典型例题 例1： 例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（　　） A、只有三个面          B、只能看到三个面          C、最多只能看到三个面 【分析】长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面．由此解答． 【解答】根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的3个面． 答：这是因为长方体最多只能看到它的3个面． 故选：C． 【点评】此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围． 例2：用一根52cm长的铁丝，正好可以焊成一个长为6cm，宽为4cm，高为（　　）cm的长方体框架． A、2            B、3             C、4             D、5 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知棱长总和是52厘米，用棱长总和÷4求得长、宽、高的和，用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答． 【解答】52÷4-（6+4）， =13-10， =3（厘米）； 答：高为3厘米的长方体的框架． 故选：B． 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•陕州区期中）根据如图所给的数据，想象一下这个长方体可能是（　　） B．新华字典 C．纸巾盒 【答案】B 【分析】根据长方体的特征即可解答。 【解答】解：如图所给的数据，想象一下这个长方体可能是新华字典。 故选：B。 【跟踪训练2】（2024秋•吴江区期末）如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长25cm,要捆扎这种礼品盒需准备（　　）m的丝带比较合理。​ A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 【答案】C 【分析】由图形可知：丝带的长度等于长方体的两条长+两条宽+4条高，然后再加上打结用的25厘米就是所需要的长度，列式解答即可。 【解答】解：30×2+25×2+20×4+25 =60+50+80+25 =215（厘米） 215厘米=2.15米 答：要捆扎这种礼品盒需准备2.15m的丝带比较合理。​ 故选：C。 【跟踪训练3】（2025春•罗湖区期中）笑笑用磁珠和磁条搭长方体，如图是搭好的一部分，她至少还需要 ______个磁珠，______根磁条。 【答案】5；7。 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长、宽、高，据此结合图示，图中有3条长、1条宽和1条高，所以还需要1条长、3条宽和3条高；图中有3个磁珠，所以还需要8-3=5（个）磁珠，据此解答即可。 【解答】解：8-3=5（个） 1+3+3=7（根） 答：她至少还需要5个磁珠，7根磁条。 故答案为：5；7。 【跟踪训练4】（2024秋•高州市期末）长方体和正方体都有 ______个面。 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体和正方体的共同特征，长方体和正方体都有6个面，12条棱、8个顶点。据此解答。 【解答】解：长方体和正方体都有6个面。 故答案为：6。 【跟踪训练5】（2024春•镇平县期中）一个长方体（非正方体），它至多可以有4个面的面积相等。 ______（判断对错） 【答案】√。 【分析】根据长方体的特征，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；由此解答。 【解答】解：在长方体中如果有两个相对的面是正方形，那么它的4个侧面是完全相同的长方形，因此，长方体（非正方体）中面积相等的面最多有4个，所以本题说法正确。 故答案为：√。 【跟踪训练6】（2024春•汉阴县期中）棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，举例说明，棱长总和相等的两个长方体的形状是否一定相同。 【解答】解：如：一个长2cm、宽3cm、高4cm的长方体的棱长总和： （2+3+4）×4 =9×4 =36（cm） 一个长5cm、宽1cm、高3cm的长方体的棱长总和： （5+1+3）×4 =9×4 =36（cm） 所以，棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 原题说法正确。 故答案为：√。 热点突破2 关键知识 正方体的特征 ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 典型例题 例1： 例1：一个棱长是4分米的正方体，棱长总和是（　　）分米． A、16           B、24           C、32           D、48 【分析】一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和． 【解答】4×12=48（分米）． 故选：D． 【点评】此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘12即可． 例2：至少（　　）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体． A、4            B、8             C、9 【分析】假设小正方体的棱长是1厘米，体积是1立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积为8立方厘米，进一步求出个数． 【解答】假设小正方体的棱长是1厘米，体积：1×1×1=1（立方厘米）； 稍大的正方体棱长至少是2厘米，体积：2×2×2=8（立方厘米）； 需要小正方体的个数：8÷1=8（个）． 故选：B． 【点评】此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•武安市期中）有一根长150cm的铁丝，用这根铁丝焊接成一个正方体框架后，还剩6cm,这个正方体框架的棱长是（　　）cm。（接头处忽略不计） A．12 B．144 C．36 D．24 【答案】A 【分析】首先用这个铁丝的长度减去剩余的6厘米求出正方体框架的棱长总和，然后用正方体的棱长总和除以12即可求出棱长，据此列式解答。 【解答】解：（150-6）÷12 =144÷12 =12（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是12厘米。 故选：A。 【跟踪训练2】（2024秋•垦利区期末）用一根长（　　）厘米的铁丝可以围成一个棱长是12厘米的正方体框架。 A．96 B．48 C．72 D．144 【答案】D 【分析】根据正方体的特征，12个棱的长度都相等，正方体的棱长总和=棱长×12，据此求出棱长12厘米的正方体的棱长总和，解答即可。 【解答】解：12×12=144（厘米） 答：一根长144厘米的铁丝可以围成一个棱长是12厘米的正方体框架。 故选：D。 【跟踪训练3】（2024•嵩县）如图要搭成一个正方体框架，还需要 ______个磁力珠和 ______根磁力棒。 【答案】2，7。 【分析】正方体的特征：8个顶点，12条棱，每条棱长度相等，据此解答。 【解答】解：8-6=2（个） 12-5=7（根） 因此要搭成一个正方体框架，还需要2个磁力珠和7根磁力棒。 故答案为：2，7。 【跟踪训练4】（2024春•仓山区期末）一个正方体的棱长总和是5m,每条棱的长度占棱长总和的 ______，每条棱长是 ______m。 【答案】，。 【分析】一个正方体有12条棱，棱长总和为12条棱的长度和；即正方体的棱长总和=棱长×12，据此解答。 【解答】解：正方体有12条棱，所以每条棱的长度占棱长总和的， 5÷12=（m） 答：每条棱的长度占棱长总和的，每条棱长是m。 故答案为：，。 【跟踪训练5】（2024春•翔安区期中）正方体有6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______（判断对错） 【答案】×。 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有6个面，12条棱，6个面完全相同，12条棱长度都相等，据此判断即可。 【解答】解：正方体有6个面，12条棱，所有棱的长度都相等。所以原说法错误。 故答案为：×。 【跟踪训练6】（2024秋•上思县月考）用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为6厘米的正方体框架。 ______（判断对错） 【答案】×。 【分析】正方体的特征：12条棱，每条棱长度相等，据此利用24除以12即可求出一条棱长。 【解答】解：24÷12=2（厘米） 因此用24厘米长的铁丝可以制成一个棱长为2厘米的正方体框架。原题说法错误。 故答案为：×。 【跟踪训练7】（2024春•昌黎县期末）相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体． ______．（判断对错） 【答案】√ 【分析】根据正方体的意义，长、宽、高都相等的长方体叫做正方体，也叫立方体．由此解答． 【解答】解：如果相交于一个顶点的三条棱相等也就是长、宽、高相等，长、宽、高都相等的长方体叫做正方体． 所以，相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体．此说法正确． 故答案为：√． 热点突破3 关键知识 长方体的展开图 长方体展开图形如下情况： 典型例题 例1： 例：把下面这个展开图折成一个长方体． ①如果A面在底部，那么______面在上面． ②如果F面在前面，从左面看是B面，______面在上面． ③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积． 【分析】根据长方体的特征，6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），A与E相对，B与D相对，C与F相对；相对的面的面积相等．通过测量长3厘米，宽2厘米高1厘米；根据表面积公式，s=（ab+ah+bh）×2，体积公式，v=abh，把数据代入公式解答即可． 【解答】（1）如果A面在底部，那么 E面在上面； （2）如果F面在前面，从左面看是B面，A面在上面． （3）表面积： （3×2+3×1+2×1）×2， =（6+3+2）×2， =11×2， =22（平方厘米）； 体积： 3×2×1=6（立方厘米）； 答：表面积是22平方厘米；体积是6立方厘米． 故答案为：（1）E；（2）A． 【点评】此题主要考查长方体的特征，以及表面积、体积的计算，根据表面积公式、体积公式解答． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•长沙县期中）下面的折纸材料中，不能沿着虚线折成长方体或正方体的是图（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形； 正方体（长方体）的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2—2—2”型：两两相连各错一； （4）“3—3”型：三个两排一对齐，据此逐项分析。 【解答】解：A．展开图中有4个正方形，不是长方体的展开图不能折成长方体； B．属于“2—3—1”型的长方体展开图，可以折成长方体； C．属于“1—4—1”型的正方体展开图，可以折成正方体； D．属于“1—4—1”型的正方体展开图，可以折成正方体。 故选：A。 【跟踪训练2】（2025春•罗湖区期中）分别在长方体展开图的6个面上标上数字（如图），将展开图折叠成长方体以后，与数字1相对的面上的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】此图属于长方体展开图的“1-4-1”型，折成长方体后，数字1与4相对，2与5相对，3与6相对。 【解答】解：如图： 将展开图折叠成长方体以后，与数字1相对的面上的数字是4。 故选：C。 【跟踪训练3】（2024•临安区）把一个长方体展开后如图。这个展开图的面积是 ______cm2。把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是 ______。 【答案】32，“广”。 【分析】通过观察图形可知，这个长方体的底面是正方形，底面边长是2厘米，高是3厘米，根据长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，把数据代入公式求出这个展开图的面积，再根据长方体展开图的特征，相对的面不相邻，由此可知，如果“非”在底面，那么它的对面是“广”，据此解答。 【解答】解：（2×2+2×3+2×3）×2 =（4+6+6）×2 =16×2 =32（平方厘米） 答：这个展开图的面积是32平方厘米，把展开图折回成长方体，如果“非”在底面，那么它的对面是“广”。 故答案为：32，“广”。 【跟踪训练4】（2024秋•庐江县期末）如图是一个长方体展开图，它的棱长之和是 ______厘米，表面积是 ______平方厘米，体积是 ______立方厘米。 【答案】60；132；80。 【分析】根据图意可知，这个长方体的长、宽、高分别是8厘米、5厘米和2厘米，根据长方体的棱长和公式：棱长总和=（长+宽+高）×4，长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体体积=长×宽×高，将数据代入公式，求解即可。 【解答】解：（8+5+2）×4 =15×4 =60（厘米） 表面积： （8×2+8×5+5×2）×2 =66×2 =132（平方厘米） 体积：8×5×2 =40×2 =80（立方厘米） 答：这个长方体的棱长总和是60厘米，表面积是132平方厘米，体积是80立方厘米。 故答案为：60；132；80。 【跟踪训练5】（2023•景县）把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果2号面在左面，那么5号面在右面。 ______（判断对错） 【答案】√ 【分析】如图，根据长方体展开图的特征可知：折成长方体后，1面与3面相对，2面与5相对，2面与5相对，因此，如果2号面在左面，那么5号面在右面。；由此解答即可。 【解答】解：分析可知，把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果2号面在左面，那么5号面在右面。所以原题说法正确。 故答案为：√。 【跟踪训练6】（2022春•华阴市期末）如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与①相对的面是⑤。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图的“1-4-1”型，折成长方体后，数字“1”与“4”相对，“2”与“5”相对，“3”与“6”相对。 【解答】解：如图是一个长方体的展开图，将它围成长方体后，与①相对的面是④，所以本题说法错误。 故答案为：×。 热点突破4 关键知识 正方体的展开图 正方体展开图形如下情况： 典型例题 例1： 例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（　　）相对． A、4 B、5 C、6 D、3 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验证，得出结论． 【解答】根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后2和5是相对的． 故选：B． 【点评】此题考查了正方体的展开图． 例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（　　） 【分析】根据正方体的表面展开图共有11种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择． 【解答】根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以A、B、D是正方体的表面展开图． 只有C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况； 故选：C． 【点评】此题考查了正方体的展开图． 跟踪训练 【跟踪训练1】（2025春•安溪县期中）溪溪想把一个正方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上（如图），他至少需要剪开（　　）条棱。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】正方体有12条棱。要把正方体纸盒沿棱剪开平铺在桌面上，展开后各个面之间需要有棱相连，才能保证是一个连续的平面图形。在正方体的展开图中，为了使六个面能够平铺在桌面上，可以发现，有5条棱是不需要剪开的，它们可以使展开图保持连接。那么需要剪开的棱的条数就是（12-5）条。 【解答】解：如图： 12-5=7（条） 溪溪想把一个正方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上（如图），他至少需要剪开7条棱。 故选：C。 【跟踪训练2】（2025春•新郑市期中）芳芳将一个正方体盒子完全展开，得到的展开图不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把一个正方体的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，能得： （1）“141”型： （2）“231”型： （3）“222”型 （4）“33”型     据此判断即可。 【解答】解：A．属于正方体展开图的“1-4-1”型； B．属于是正方体展开图的“1-4-1”型； C．属于正方体展开图的“1-4-1”型； D．展开后得到的图形不可能是，因为它不是正方体的展开图。 故选：D。 【跟踪训练3】（2024秋•鼓楼区期末）如图是一个正方体的表面展开图。在这个正方体中，与c面相对的是 ______面，与f面相对的是 ______面。 【答案】a，e。 【分析】根据图示，在这个正方体中，与c面相对的是a面，与f面相对的是e面，与b面相对的是d面。据此解答即可。 【解答】解：在这个正方体中，与c面相对的是a面，与f面相对的是e面，与b面相对的是d面。 故答案为：a,e。 【跟踪训练4】（2024春•龙岗区期末）丽丽在一个正方体盒子的每个面上都写上了一个字，分别是：“我”“喜”“欢”“学”“数”“学”，正方体的平面展开图如图所示，那么和“我”相对的面上所写的字是“______”。 【答案】数。 【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“2-3-1”型，折成正方体后，和“我”相对的面上所写的字是“数”，据此结合题意分析解答即可。 【解答】解：属于正方体展开图的“2-3-1”型，折成正方体后，和“我”相对的面上所写的字是“数”。 故答案为：数。 【跟踪训练5】（2024•乾县）如图的图形折叠后可以围成一个正方体。 ______（判断对错） ​ 【答案】√ 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个，此种结构有6种展开图；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形，此种结构有3种展开图。据此解答。 【解答】解：属于正方体展开图的“1-4-1”型，能折叠成一个正方体。所以原题说法正确。 故答案为：√。 【跟踪训练6】（2024•白水县）将如图折叠成正方体后，“学”字相对面上的字是“养”字。 ______（判断对错） 【答案】× 【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“1-3-2”型，折叠成正方体后，“学”字相对面上的字是“心”字，“核”字相对面上的字是“素”字，“数”字相对面上的字是“养”字。据此解答即可。 【解答】解：分析可知，折叠成正方体后，“学”字相对面上的字是“心”字，“核”字相对面上的字是“素”字，“数”字相对面上的字是“养”字。所以原题说法错误。 故答案为：×。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 长方体与正方体的认识 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，不能折成正方体的是（　　） A． B． C． D． 2．如图几幅图中，是正方体展开图的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如下，这是一款产品的参数图片，这个产品最有可能是（　　） 产品尺寸506×620×1280mm 包装尺寸560×652×1343mm A．微波炉 B．家用冰箱 C．电视机 D．普通手机 4．某产品说明书上标注包装尺寸为71×66×188（cm），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想像一下它可能是（　　） A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 5．一张长方形纸长40厘米，宽8厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面。如果要为这个长方体配一个底面，面积是（　　） A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 6．如图所示是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是（　　） A．新华字典 B．数学课本 C．一页草稿纸 D．笔记本电脑 7．如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①～④中的（　　）号面可以使其折成一个完整的正方体。 A．① B．② C．③ D．④ 8．如图是由六个正方形组成的一个图形，将它们折叠可以组成一个正方体，在正方体的表面分别标上1、2、3、4、5、6。其中有三个面上的数字漏标了，已知每一组对面上数的和都是7，那么k的值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法确定 9．有3根12厘米、9根10厘米、6根8厘米的小棒，小亮从中选择一些搭一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是（　　） A．12厘米、10厘米、8厘米 B．12厘米、10厘米、10厘米 C．10厘米、8厘米、8厘米 D．10厘米、10厘米、8厘米 10．“六一儿童节”当天淘气把4个正方体表面简单地装饰了一下，每个面写上一个字，分别是“祖国繁荣富强”“德不孤必有邻”“少年强则国强”“少年智则国智”，若把这些正方体展开，下面作品肯定不是淘气制作的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．一个长方体的棱长总和是72cm,底面是边长5cm的正方形，它的高是 ______cm。 12．笑笑用磁珠和磁条搭长方体，如图是搭好的一部分，她至少还需要 ______个磁珠，______根磁条。 13．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留7cm长的绳子，捆扎一共用掉了 ______m绳子。 14．如图折成一个正方体，数字“6”的对面数字是 ______。 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，要使得它折成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则B是 ______。 三．判断题（共4小题） 16．棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 ______ 17．正方体有6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______ 18．小红看到的立体图形的一个面是正方形，这个立体图形一定是正方体。 ______ 19．如图的图形折叠后可以围成一个正方体。 ______ ​ 四．操作题（共1小题） 20．下面每个小方格的边长是1厘米。请你利用方格纸，按要求设计长方体、正方体纸盒的展开图。 （1）一个棱长2厘米的正方体纸盒。 （2）一个长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体纸盒（无盖）。 五．解答题（共5小题） 21．两根同样长的铁丝焊一个长方体和正方体，长方体长7厘米，宽5厘米，高3厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 22．小文用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架，如图，是他完成的一部分，如果要完成这个长方体框架，还需要 ______个橡皮泥小球，______根12厘米的小棒，______根8厘米的小棒，______根6厘米的小棒。 23．奇思在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了5个面，如图所示。请你在图中画出第六个面（画出一种即可），标上“F”，与“F”相对的面是“______”。如果每个小方格的边长是2cm,请你计算出这个展开图折叠成的正方体的表面积。 24．方格纸中每个小正方形边长都是1cm,要在这张纸上剪出一个长方体的展开图，请画出第6个面的位置，长方体的棱长和是 ______cm。 25．如图是一个长方体的展开图。看图解答下列各问题。 （1）将这个展开图折叠成一个长方体后，与序号“⑤”相对面上的序号是 ______。 （2）计算这个长方体的体积和表面积。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 长方体与正方体的认识 强化训练 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，不能折成正方体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的11种特征，即可确定哪个图形属于正方体展开图，能折成正方体，哪个图形不属于正方体展开图，不能折成正方体。 【解答】解：A、属于正方体展开图的“1-3-2”型，能折成正方体； B、不属于正方体展开图，不能折成正方体； C、属于正方体展开图的“1-4-2”型，能折成正方体； D、属于正方体展开图的“2-2-2”型，能折成正方体。 故选：B。 2．如图几幅图中，是正方体展开图的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的11种特征，即可确定哪个图形属于正方体展开图，哪个图形不属于正方体展开图。 【解答】解：是正方体展开图的“2-2-2”型； 不是正方体展开图； 是正方体展开图的“1-4-1”型； 是正方体展开图的“1-4-1”型。 即正方体展开图的共有3个。 故选：C。 3．如下，这是一款产品的参数图片，这个产品最有可能是（　　） 产品尺寸506×620×1280mm 包装尺寸560×652×1343mm A．微波炉 B．家用冰箱 C．电视机 D．普通手机 【答案】A 【分析】根据生活实际及数据大小判断解答。 【解答】解：根据产品尺寸506×620×1280mm,包装尺寸560×652×1343mm,可能是微波炉。 故选：A。 4．某产品说明书上标注包装尺寸为71×66×188（cm），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想像一下它可能是（　　） A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 【答案】D 【分析】根据生活实际71×66×188（cm）的物体比较大，据此选择。 【解答】解：某产品说明书上标注包装尺寸为71×66×188（cm），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想像一下它可能是一台冰箱。 故选：D。 5．一张长方形纸长40厘米，宽8厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面。如果要为这个长方体配一个底面，面积是（　　） A．320平方厘米 B．100平方厘米 C．80平方厘米 D．64平方厘米 【答案】B 【分析】根据长方体侧面展开图的特征，长方体的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长等于长方体的底面周长，宽等于长方体的高，由此可知，一张长方形纸长40厘米，宽8厘米，把它对折、再对折。打开后，围成一个高8厘米的长方体的侧面，这个侧面的底面周长是40厘米，根据正方形的周长=边长×4，那么边长=周长÷4，据此求出底面边长，再根据正方形的面积=边长×边长，把数据代入公式解答。 【解答】解：40÷4=10（厘米） 10×10=100（平方厘米） 答：面积是100平方厘米。 故选：B。 6．如图所示是一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是（　　） A．新华字典 B．数学课本 C．一页草稿纸 D．笔记本电脑 【答案】B 【分析】根据长方体长宽高的数据联系生活实际进行解答。 【解答】解：一个物体长、宽、高的数据，这个物体可能是数学课本。 故选：B。 7．如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①～④中的（　　）号面可以使其折成一个完整的正方体。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】正方体展开图由6个相同的正方形组成，此图有5个相同的正方形。只有添上正方形②是正方体展开图的“1-4-1”型。 【解答】解：如图： 添上①～④中的②号面可以使其折成一个完整的正方体。 故选：B。 8．如图是由六个正方形组成的一个图形，将它们折叠可以组成一个正方体，在正方体的表面分别标上1、2、3、4、5、6。其中有三个面上的数字漏标了，已知每一组对面上数的和都是7，那么k的值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“2-2-2”型，折成正方形后，K与3相对，结合每一组对面上数的和都是7，那么k的值是7-3=4，据此解答即可。 【解答】解：分析可知，K与3相对，每一组对面上数的和都是7，那么k的值是7-3=4。 故选：C。 9．有3根12厘米、9根10厘米、6根8厘米的小棒，小亮从中选择一些搭一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是（　　） A．12厘米、10厘米、8厘米 B．12厘米、10厘米、10厘米 C．10厘米、8厘米、8厘米 D．10厘米、10厘米、8厘米 【答案】D 【分析】根据长方体的特征可知长、宽、高都要有4根，所以3根12厘米一定不能用，6根8厘米的小棒可以用其中的4根，9根10厘米的小棒可以用其中的8根，据此解答即可。 【解答】解：有3根12厘米、9根10厘米、6根8厘米的小棒，小亮从中选择一些搭一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是10厘米、10厘米、8厘米。 故选：D。 10．“六一儿童节”当天淘气把4个正方体表面简单地装饰了一下，每个面写上一个字，分别是“祖国繁荣富强”“德不孤必有邻”“少年强则国强”“少年智则国智”，若把这些正方体展开，下面作品肯定不是淘气制作的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“1-3-2”型，属于正方体展开图的“1-4-1”型，属于正方体展开图的“2-2-2”型，不属于正方体展开图，据此解答即可。 【解答】解：分析可知，肯定不是淘气制作的是。 故选：A。 二．填空题（共5小题） 11．一个长方体的棱长总和是72cm,底面是边长5cm的正方形，它的高是 ______cm。 【答案】8。 【分析】长方体棱长总和=（长+宽+高）×4。已知底面是边长为5cm 的正方形，所以长和宽都是5cm,可根据棱长总和公式求出高。 【解答】解：长和宽的棱长总和为（5+5）×4=40（cm） 高的棱长总和为72−40=32（cm） 高为32÷4=8（cm） 答：它的高是8cm。 故答案为：8。 12．笑笑用磁珠和磁条搭长方体，如图是搭好的一部分，她至少还需要 ______个磁珠，______根磁条。 【答案】5；7。 【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长、宽、高，据此结合图示，图中有3条长、1条宽和1条高，所以还需要1条长、3条宽和3条高；图中有3个磁珠，所以还需要8-3=5（个）磁珠，据此解答即可。 【解答】解：8-3=5（个） 1+3+3=7（根） 答：她至少还需要5个磁珠，7根磁条。 故答案为：5；7。 13．收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留7cm长的绳子，捆扎一共用掉了 ______m绳子。 【答案】228。 【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组4条棱的长度相等．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，据此解答。 【解答】解：（12+25+20）×4 =57×4 =228（m） 答：捆扎一共用掉了228m绳子。 故答案为：228。 14．如图折成一个正方体，数字“6”的对面数字是 ______。 【答案】“1”。 【分析】此图属于正方体展开图的“1-4-1”型，折成正方体后，数字“1”与“6”相对，“2”与“4”相对，“3”与“5”相对。 【解答】解：如图： 折成一个正方体，数字“6”的对面数字是“1”。 故答案为：“1”。 15．如图是一个正方体纸盒的展开图，要使得它折成正方体后，相对面上的两个数互为倒数，则B是 ______。 【答案】见试题解答内容 【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1-3-2”型，折成正方体后，字母A与相对，B与1.5相对，1与1相对。根据倒数的意义，两个数的乘积等于1，这两个数互为倒数，用1除以1.5（或把1.5化成分数，再把分子、分母颠倒位置）所得到的数就是B。 【解答】解：如图： 与B相对的是1.5 1÷1.5= 答：B是。 故答案为：。 三．判断题（共4小题） 16．棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 ______ 【答案】√ 【分析】根据长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，举例说明，棱长总和相等的两个长方体的形状是否一定相同。 【解答】解：如：一个长2cm、宽3cm、高4cm的长方体的棱长总和： （2+3+4）×4 =9×4 =36（cm） 一个长5cm、宽1cm、高3cm的长方体的棱长总和： （5+1+3）×4 =9×4 =36（cm） 所以，棱长总和相等的两个长方体，形状不一定相同。 原题说法正确。 故答案为：√。 17．正方体有6个面，24条棱，所有棱的长度都相等。 ______ 【答案】×。 【分析】根据正方体的特征可知，正方体有6个面，12条棱，6个面完全相同，12条棱长度都相等，据此判断即可。 【解答】解：正方体有6个面，12条棱，所有棱的长度都相等。所以原说法错误。 故答案为：×。 18．小红看到的立体图形的一个面是正方形，这个立体图形一定是正方体。 ______ 【答案】× 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其它四个面都是长方形；正方体有6个面，6个面都是正方形；据此判断。 【解答】解：长方体的物体从某一个面看到的也可以是正方形，所以从一个面看到是正方形的物体不一定是正方体。 故答案为：× 19．如图的图形折叠后可以围成一个正方体。 ______ ​ 【答案】√ 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个，此种结构有6种展开图；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，此种结构只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形，此种结构有3种展开图。据此解答。 【解答】解：属于正方体展开图的“1-4-1”型，能折叠成一个正方体。所以原题说法正确。 故答案为：√。 四．操作题（共1小题） 20．下面每个小方格的边长是1厘米。请你利用方格纸，按要求设计长方体、正方体纸盒的展开图。 （1）一个棱长2厘米的正方体纸盒。 （2）一个长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体纸盒（无盖）。 【答案】（1）画分不唯一。 （2）画分不唯一。 【分析】（1）根据正方体的特征，正方体的6个面是完全相同的正方形，根据正方体展开图的特征作图即可。 （2）根据长方体的特征，相对面完全相同，根据长方体展开图的特征，相对面不相邻，据此作图即可。 【解答】解：（1）作图如下：画分不唯一。 （2）作图如下：画分不唯一。 五．解答题（共5小题） 21．两根同样长的铁丝焊一个长方体和正方体，长方体长7厘米，宽5厘米，高3厘米，正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，由此求出铁丝的长度，正方体的棱长总和=棱长×12，由此可以求出正方体的棱长． 【解答】解：正方体的棱长： （7+5+3）×4÷12 =15×4÷12 =5（厘米） 答：正方体的棱长是5厘米． 22．小文用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架，如图，是他完成的一部分，如果要完成这个长方体框架，还需要 ______个橡皮泥小球，______根12厘米的小棒，______根8厘米的小棒，______根6厘米的小棒。 【答案】4；3；2；1。 【分析】长方体：有8个顶点，6个面，每个面都由长方形或相对的一组正方形组成，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 【解答】解：小文用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架，如图，是他完成的一部分，如果要完成这个长方体框架，还需要4个橡皮泥小球，3根12厘米的小棒，2根8厘米的小棒，1根6厘米的小棒。 故答案为：4；3；2；1。 23．奇思在方格纸上画正方体展开图，他已经画出了5个面，如图所示。请你在图中画出第六个面（画出一种即可），标上“F”，与“F”相对的面是“______”。如果每个小方格的边长是2cm,请你计算出这个展开图折叠成的正方体的表面积。 【答案】，D，24平方厘米。 【分析】根据正方体展开图的11种特征，当标有“C”面左面一格或标有“A”面上面的一格为“F”，即可成为正方体展开图的“1-3-2”型；当标有“B”面上面的一格为“F”，即可成为正方体展开图的“2-2-2”型。答案由“F”的位置确定。如当标有“C”面左面的一格为“F”时，“A”与“E”相对，“B”与“C”相对，“D”与“F”相对。根据正方形面积=边长×边长，得出一个正方形的面积，再乘6，即可得这个展开图折叠成的正方体的表面积。 【解答】解：在图中画出第六个面，标上“F”，帮助淘气完成展开图（下图，答案不唯一）： 与“F”相对的面是“D”。 2×2×6 =4×6 =24（平方厘米） 答：与“F”相对的面是“D”。如果每个小方格的边长是2cm,这个展开图折叠成的正方体的表面积是24平方厘米。 故答案为：D。 24．方格纸中每个小正方形边长都是1cm,要在这张纸上剪出一个长方体的展开图，请画出第6个面的位置，长方体的棱长和是 ______cm。 【答案】，20。 【分析】根据长方体的展开图，把第6个面画在图上即可，然后再根据长方体的长宽高棱长各4条计算棱长和即可。 【解答】解：如下图所示： 根据图示可知，长方体的长是2cm,宽是1cm,高是2cm,所以棱长和为： （2+1+2）×4 =5×4 =20（cm） 答：长方体的棱长和是20cm。 故答案为：20。 25．如图是一个长方体的展开图。看图解答下列各问题。 （1）将这个展开图折叠成一个长方体后，与序号“⑤”相对面上的序号是 ______。 （2）计算这个长方体的体积和表面积。 【答案】（1）“③”； （2）体积750cm3，表面积550cm2。 【分析】（1）此平面图属于长方体展开图的“1-4-1”型，折成长方体后，“①”号面与“⑥”号面相对，“②”号面与“④”号面相对，“③”号面与⑤号面相对。 （2）此图折成的长方体长为15厘米，高为10厘米，宽为（40-15-15）÷2厘米。根据长方体的体积计算公式“V=abh”、长方体表面积计算公式“S=2（ah+bh+ab）”即可解解答。 【解答】解：（1）将这个展开图折叠成一个长方体后，与序号“⑤”相对面上的序号是“③”。 （2）（40-15-15）÷2 =10÷2 =5（cm） 15×5×10 =75×10 =750（cm3） （15×10+5×10+15×5）×2 =（150+50+75）×2 =275×2 =550（cm2） 答：这个长方体的体积是750cm3，表面积是550cm2。 故答案为：“③”。 学科网（北京）股份有限公司 $$