专题06 期末复习——四大常考计算题题型总结（计算题专项训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册计算题专项训练系列（华东师大版2024）

专题06 期末复习——四大常考计算题题型总结 【题型一：解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值； （2）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出x的值． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）解方程： （1） （2） 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【解题过程】 （1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）解方程： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【解题过程】 （1）解：， 去分母得：， 移项得： 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：． 4．（24-25七年级上·河北邢台·期末）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）方程根据合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可； （2）方程根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可． 【解题过程】 （1）解： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 5．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解一元一次方程，熟练掌握方程的解法与步骤是解答的关键． （1）根据移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的求解步骤解方程即可． 【解题过程】 （1）解：移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 化系数为1，得． 6．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了一元一次方程的解法． （1）根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母（方程两边乘6），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）解下列方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题的关键． （1）运用移项，合并同类项，系数化1即可求解； （2）运用去括号，去分母，移项合并同类项，系数化即可求解． 【解题过程】 （1）， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化1，得：； （2） 去括号，得：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得． 8．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【解题过程】 （1）； 解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）． 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）解方程： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程． （1）方程去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （3）方程小数化为整数，整理，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （3）解：， 方程变形得：， 整理后，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 10．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： （1） （2） （3） （4） 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先移项、合并同类项、最后合并同类项即可得到答案； （2）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案； （4）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （4）解： 整理，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【题型二：解二元一次方程组】 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消法即可得解； （2）先对第二个方程进行整理和变形，然后再利用加减消元法即可． 【解题过程】 （1）解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入①中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． （2）解： 由得：③， 由得：，解得， 将代入②中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． 12．（24-25八年级上·广东茂名·期末）解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法两种． （1）把①代入②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）得出，求出，再把代入求出即可． 【解题过程】 （1）解： 把①代入②，得， 解得：， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）解：， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 所以方程组的解是． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法及加减消元法解方程组的解法步骤是解答的关键． （1）利用代入法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解题过程】 （1）解：， 将代入①中，得：， 解得：， 将代入中，得：， 原方程组的解为：； （2）解：， ①②得：， 将代入①中，得：， 解得：， 原方程组的解为：． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法求解成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）直接运用代入消元法求解即可． 【解题过程】 （1）解：； 得：，解得：． 把代入②得． 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①得：③ 把③代入②得，解得：． 把代入③得：． 所以原方程组的解为：． 15．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）解方程组： （1）用代入法解； （2）用加减法解． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解方程组是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解题过程】 （1）解： ， 由②得③， 把③代入①，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解是； （2）， ①，得③， ②③，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是． 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【解题过程】 （1）解： 得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴原方程组的解为． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解下列方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法是解答本题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先将方程组中的两个方程进行化简，然后通过加减消元法求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 得， 解得：， 将代入得， 解得：， 所以原方程组的解为； （2）解：原方程组可化为， 得， 解得：， 将代入得， 解得：， 所以原方程组的解为． 18．（24-25七年级上·湖南永州·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解法，根据未知数系数的特点，选择合适的方法． （1）运用代入消元法求解即可； （2）先将方程组整理后，再运用代入法求解即可． 【解题过程】 （1）解：， 由②得，， 把③代入①得，， ∴ 把代入③得，， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由①得，， 由②得，， 由④得 ， 将⑤代入③得，， ∴， 把代入⑤，得， ∴所以原方程组的解为． 19．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将原方程组化简，然后利用代入消元法求解即可． 【解题过程】 （1）解： 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 原方程组可整理为， 得：， ∴； 将代入③得：， ∴原方程组的解为． 20．（24-25七年级上·全国·期末）解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的关键思想是消元，即消去一个未知数把二元一次方程转化为一元一次方程，常用的消元方法有代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法消去未知数，求出的值，再把的值代入方程求出的值即可； （2）本题利用代入消元法解方程组，首先把方程变形得到：，代入方程消去未知数得到关于的一元一次方程，解方程求出，再把代入求出的值即可． 【解题过程】 （1）解：， 得：， 解得：， 把代入方程可得：， 解得：， 原方程组的解为； （2）解：， 整理方程组得：， 由得： 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 原方程组的解为． 21．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）解方程组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组、解三元一次方程组，（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先利用代入消元法把方程组转化成二元一次方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【解题过程】 （1）解：， 把①代入②得，， 解得， 把代入①得，， ∴是原方程的解； （2）解：， 由①得，， 把代入②得，， 把代入得③得，， 由得，， 解得， ∴， 把代入⑤得，， 解得， ∴是原方程的解． 22．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）用合适的方法解方程组： （1） （2） 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组以及解三元一次方程组． （1）用特殊方法解二元一次方程组即可． （2）用消元法把三元一次方程组转化成二元一次方程组即可求解． 【解题过程】 （1）解：设，， 则原方程组变成， 解得：， 把代入，， 得： 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解： 由①②，得， 即④， 把④代入③式， 可得出， 把代入①，②可得出： ， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【题型三：解一元一次不等式】 23．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集． 【解题过程】 （1）解：， 去括号得， 移项得， ∴． （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， ． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查解一元一次不等式． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 25．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式．掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解题过程】 解： ． 26．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，表示在数轴上即可． 【解题过程】 解：， 去分母，两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的解集在数轴上表示如下：    27．（2024·陕西西安·模拟预测）求不等式的最小整数解． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式，通过去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为即可求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【解题过程】 解： ， ， ， ， ∴最小整数解为． 28．（23-24七年级下·吉林长春·期末）求满足不等式的所有正整数x． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再取正整数解即可． 【解题过程】 解： 去分母，得， 去括号得， 移项，合并得， 系数化为1，得，                  ∵x为正整数， ∴x取1，2，3． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）； （2）； （3）． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． （1）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （2）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可； （3）先根据解一元一次不等式的步骤求解，再将解集表示在数轴上即可． 【解题过程】 （1）解：不等式两边同时减，得． 不等式两边同时减5，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图①． （2）解：不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图②． （3）解：不等式两边同时乘6，得． 不等式两边同时加，得． 不等式两边同时除以，得． 在数轴上表示解集如答图③． 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次不等式的应用及其解法，先分别解不等式与，再结合题意可得，从而可得答案． 【解题过程】 解：∵， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， ∴解得． 31．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义关于的一种运算：，如． （1）若，求的取值范围． （2）若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 【思路点拨】 （1）根据新定义运算列出不等式即可求解； （2）分别求出两个不等式的解集，再根据解集相同即可求解； 本题考查了新定义，解一元一次不等式，理解新定义是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由题意得，， ∴， ∴； （2）解：解不等式得，， 由得，， ∴， ∵不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 32．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． （1）求a、b的值； （2）若，求，的值； （3）若，，且，求的最大整数值． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最大整数解即可． 【解题过程】 （1）解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； （2）解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （3）解：，，， ， ①②，得，即， ， ， ， 的最大整数值是1． 【题型四：解一元一次不等式组】 33．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解不等式组：． 【思路点拨】 本题考查解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．分别求出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集即可． 【解题过程】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式组． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别解不等式组中两个不等式，然后求两个不等式解集的公共部分即可． 【解题过程】 （1）解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． （2）解：解不等式：， 得，， 解不等式：， 得， ∴原不等式组的解集是：． 35．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题考查求不等式组解集，并在数轴上表示出不等式组的解集．正确的解出每一个不等式，确定不等式组的解集，是解题的关键．分别解两个一元一次不等式，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，在数轴上将解集表示出来即可． 【解题过程】 解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 36．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【思路点拨】 本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【解题过程】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如下： ． 37．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． （1）； （2）； （3）； （4）． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （3）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可； （4）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集为，然后将解集表示在数轴上即可． 【解题过程】 （1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： （4）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴表示在数轴上为： 38．（24-25八年级上·广西来宾·期末）解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 【思路点拨】 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解答本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，利用数轴确定不等式组的解集即可解答． 【解题过程】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 在数轴上表示不等式的解集如下： 不等式组的解集为：， 不等式组的非负整数解为：、． 39．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 【思路点拨】 先分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，找到公共解集，再解出其中的整数解即可．本题考查解一元一次不等式组的整数解、将不等式组的解集表示在数轴上等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【解题过程】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： 在数轴上表示不等式①，②的解集： 所以不等式组的解集是， 不等式组的整数解为0和1 40．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【解题过程】 解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 41．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 【思路点拨】 本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． （1）根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出，再根据，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式的解集为，根据不等式得性质得到，得到k的取值范围，再根据（1）中k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：， ，得， ∵， ∴， 解得，； （2）解：不等式移项得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：， 又∵， ∴k的取值范围为， ∴整数k的值为． 42．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． （1）求常数，的值； （2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 【思路点拨】 此题考查了新定义，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义得到关于、的方程组，解方程组求出与的值即可； （2）根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，建立关于c的不等式组，求解，即可得出的范围． 【解题过程】 （1）解：由题意得， 解得：． （2）解：由题意得， 解得：． 要使恰有3个整数解，必有， 解得：． 43．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【解题过程】 （1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 44．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 期末复习——四大常考计算题题型总结 【题型一：解一元一次方程】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）解方程： （1）； （2）． 2．（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）解方程： （1） （2） 3．（24-25七年级上·河北沧州·期末）解方程： （1） （2） 4．（24-25七年级上·河北邢台·期末）解方程： （1）； （2）． 5．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）解方程： （1）； （2）． 6．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）解方程： （1）； （2）． 7．（24-25七年级上·山东临沂·期末）解下列方程： （1）； （2）． 8．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）解方程： （1）； （2）． 9．（24-25七年级上·山东聊城·期末）解方程： （1）； （2）； （3）． 10．（24-25六年级上·上海宝山·期末）解方程： （1） （2） （3） （4） 【题型二：解二元一次方程组】 11．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）解方程组： （1）； （2）． 12．（24-25八年级上·广东茂名·期末）解方程组： （1）； （2）． 13．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 15．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）解方程组： （1）用代入法解； （2）用加减法解． 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： （1）； （2）． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）解下列方程组： （1） （2） 18．（24-25七年级上·湖南永州·期末）解下列方程组： （1）； （2）． 19．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）解方程组： （1）； （2）． 20．（24-25七年级上·全国·期末）解方程组： （1） （2） 21．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）解方程组： （1）； （2）． 22．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）用合适的方法解方程组： （1） （2） 【题型三：解一元一次不等式】 23．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式： （1）； （2）． 24．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式： （1）； （2）． 25．（23-24六年级下·上海·期末）解不等式：． 26．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 27．（2024·陕西西安·模拟预测）求不等式的最小整数解． 28．（23-24七年级下·吉林长春·期末）求满足不等式的所有正整数x． 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）根据不等式的性质，解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）； （2）； （3）． 30．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知不等式的解都是不等式的解，求m的取值范围． 31．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义关于的一种运算：，如． （1）若，求的取值范围． （2）若关于的不等式的解和的解相同，求的值． 32．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）规定新运算：，其中、是常数．已知，． （1）求a、b的值； （2）若，求，的值； （3）若，，且，求的最大整数值． 【题型四：解一元一次不等式组】 33．（24-25九年级上·广东惠州·期末）解不等式组：． 34．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）解下列不等式组． （1）； （2）． 35．（24-25七年级下·全国·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 36．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 37．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集． （1）； （2）； （3）； （4）． 38．（24-25八年级上·广西来宾·期末）解不等式组，并在数轴上表示其解集，然后写出不等式组的非负整数解． 39．（24-25八年级上·湖南永州·期末）解不等式组并写出它的整数解． 40．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 41．（23-24七年级下·福建·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集为，请写出符合条件的k的整数值． 42．（23-24七年级下·重庆长寿·期末）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：．若，． （1）求常数，的值； （2）若关于的不等式组恰好有3个整数解，求实数的取值范围． 43．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 44．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$