第5章 分式（单元测试B卷）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（浙江专用）

第5章 《分式》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）已知分式M满足下列表格中的信息： x的取值 0 1 2 3 分式的取值 … 无意义 0 … 则分式M有可能是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 4．（3分）把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 5．（3分）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）对于正整数x，使分式的值是一个整数，则x可能取值的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需1.2小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 8．（3分）若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 9．（3分）已知x2+x﹣3＝0，则代数式的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 10．（3分）设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1有增根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）化简： （1）　 　 ； （2）　 　 ； （3）　 　 ． 13．（3分）已知a2﹣8a﹣1＝0，则 　 　 ． 14．（3分）某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商场又用17.2万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，很快售完，商场第二批销售这种衬衫 　 　 件． 15．（3分）若（x﹣1）x+1＝1，则x＝　 　 ． 16．（3分）下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是x＝7，则n的值等于　 　 ． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）解分式方程： （1）； （2）． 19．（8分）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 20．（8分）已知关于x的分式方程1． （1）若分式方程的解是x＝2，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值； （3）若分式方程无解，求a的值． 21．（10分）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． （1）若水流速度为每小时5千米．这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． （2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米.设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 22．（10分）嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式分子、分母都加上1，所得分式的值增大了还是减小了？”． 嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路． 淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路． 两人的解题思路都正确． （1）请你任选一个思路说明． （2）当所加的这个数为2时，所得分式的值 　 　 （填“增大了”或“减小了”）． （3）当所加的这个数为a（a＞0）时，你能得到什么结论？请说明理由． 23．（12分）某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲组每天生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为2：3，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 24．（12分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）解分式方程组：； （3）已知x、y、z为实数，，，，求分式的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 《分式》单元测试B卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．（3分）已知分式M满足下列表格中的信息： x的取值 0 1 2 3 分式的取值 … 无意义 0 … 则分式M有可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义的条件及分式的值为0的条件解答即可． 【解答】解：由表可知，当x＝1时分式无意义， ∴选项B、D不合题意； ∵当x＝2时，分式的值为0， ∴选项A不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 2．（3分）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【解答】解：A、该分式符合最简分式的定义，故本选项符合题意； B、该分式的分子、分母中含有公因数3，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； C、该分式的分子、分母中含有公因式m，则它不是最简分式．故本选项不符合题意； D、该分式的分母为（x+1）（x﹣1），所以该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），则它不是最简分式．故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了最简分式的定义，关键是理解最简分式的定义． 3．（3分）方程的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 【分析】先把分式方程化为整式方程，再解得x＝﹣1，最后验根，即可作答． 【解答】解：原方程去分母得x+2+x＝0， ∴2x＝﹣2， 解得x＝﹣1， 经检验：x＝﹣1是原分式方程的解， 故选：B． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 4．（3分）把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．缩小为原来的 B．不变 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的3倍 【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：， ∴把分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值不变， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 5．（3分）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 当b＝0时，，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 6．（3分）对于正整数x，使分式的值是一个整数，则x可能取值的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先化简分式为2，再根据分式的值是一个整数且x是正整数，即可求解． 【解答】解：2， ∵分式的值是一个整数， ∴x+1＝±4或x+1＝±2或x+1＝±1， 解得x＝3或x＝﹣5或x＝1或x＝﹣3或x＝0或x＝﹣2， ∵x是正整数， ∴x＝3或x＝1， 故x可能取值的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． 7．（3分）甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需1.2小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．x+（x﹣2）＝1.2 【分析】由甲、乙单独处理数据所需时间之间的关系，可得出甲单独处理需要（x﹣2）小时，结合甲、乙的工作效率之和为，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵乙单独处理数据的时间比甲少2小时，甲单独处理需要x小时， ∴甲单独处理需要（x﹣2）小时． 根据题意得：． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8．（3分）若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【分析】先把方程两边同时乘x﹣3得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． 9．（3分）已知x2+x﹣3＝0，则代数式的值是（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】利用分式的加法和整体代入得到即可求出答案． 【解答】解：∵x2+x﹣3＝0， ∴x2＝3﹣x， 原式 ＝﹣2． 故选：B． 【点评】此题考查了分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则是关键． 10．（3分）设m，n为实数，定义如下一种新运算：，若关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1有增根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣3 C．4或﹣3 D．4或3 【分析】利用新定义的运算性质将原方程转化为分式方程，利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，依据题意得到关于a的方程，解方程即可求得结论． 【解答】解：∵m☆n， ∴x☆x，x☆12， ∴原方程就是： 1， 去分母得： ax＝12+3x﹣9， 移项，合并同类项得： （a﹣3）x＝3， ∵关于x的方程a（x☆x）＝（x☆12）+1无解， ∴原方程有增根3， ∴a＝4， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，本题是新定义型，理解新定义中的运算性质并熟练应用是解题的关键． 二．填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是　x≠2025　 ． 【分析】根据分式有意义的条件得出x﹣2025≠0，即可求出x的取值范围． 【解答】解：要使分式有意义， 则x﹣2025≠0， 解得x≠2025， 故答案为：x≠2025． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解题的关键． 12．（3分）化简： （1）　　 ； （2）　x﹣2　 ； （3）　　 ． 【分析】根据约分的法则计算即可． 【解答】解：（1）； （2）x﹣2； （3）； 故答案为：；x﹣2；． 【点评】本题考查了约分，熟练掌握约分的法则是解题的关键． 13．（3分）已知a2﹣8a﹣1＝0，则 　8　 ． 【分析】根据等式的基本性质计算即可． 【解答】解：∵a2﹣8a﹣1＝0， ∴a≠0，a2﹣1＝8a， 等式两边同时除以a，得a8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，灵活运用等式的基本性质是解题的关键． 14．（3分）某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商场又用17.2万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，很快售完，商场第二批销售这种衬衫 　3000　 件． 【分析】设商场第一批销售这种衬衫x件，则商场第二批销售这种衬衫2x件，由题意：某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，商场又用17.2万元购进了第二批这种衬衫，但单价贵了4元，很快售完，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设商场第一批购进这种衬衫x件，则商场第二批购进这种衬衫2x件， 由题意得：4， 解得：x＝1500， 经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意， 则2x＝3000， 即商场第二批销售这种衬衫3000件， 故答案为：3000． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15．（3分）若（x﹣1）x+1＝1，则x＝　﹣1或2　 ． 【分析】根据已知等式的特点，可分为三种情况：①x+1＝0时；②x﹣1＝1时；③x﹣1＝﹣1时；分别对上述三种情况逐一进行计算即可． 【解答】解：∵（x﹣1）x+1＝1， ∴可分如下三种情况： ①当x+1＝0，即：x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2，此时，（﹣2）0＝1； ②当x﹣1＝1，即：x＝2时，x+1＝3，此时，13＝1； ③当x﹣1＝﹣1，即：x＝0时，x+1＝1，此时，（﹣1）1＝﹣1． 综上所述，若（x﹣1）x+1＝1，则x的值为﹣1或2． 故答案为：﹣1或2． 【点评】本题考查的是零指数幂，熟知非零数的零次幂等于1是解题的关键． 16．（3分）下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为x1＝1，x2＝2；第②个方程的解为x1＝2，x2＝3；第③个方程的解为x1＝3，x2＝4，若n为正整数，且关于x的方程的一个解是x＝7，则n的值等于　9或10　 ． 【分析】利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可 【解答】解：根据题意可得第n个方程为：x2n+1， 解得：x＝n或x＝n+1； 将原方程变形，（x+3）n+（n+1）， ∴x+3＝n或x+3＝n+1， ∴方程的解是x＝n﹣3，或x＝n﹣2， 当n﹣2＝7时，n＝9， 当n﹣3＝7时，n＝10， ∴n的值是9或10． 故答案为：9或10． 【点评】此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据乘方的意义和绝对值、零指数幂的意义计算，然后化简后进行有理数的加减运算； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式＝a﹣1． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣4+1 ＝﹣1； （2）原式 • ＝a﹣1． 【点评】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算． 18．（6分）解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可． （2）按照解分式方程的基本步骤求解即可． 【解答】解：（1）∵， 去分母，得：2（2﹣x）＝3+x， 去括号，得：4﹣2x＝3+x， 移项，合并同类项，得3x＝1， 系数化为1，得：， 经检验，当是原方程的根； （2）∵， 即， 去分母，得：（x﹣1）2﹣（x+1）2＝4， 去括号，得：x2﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1＝4， 移项、合并同类项，得：﹣4x＝4， 系数化为1，得x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1不是原分式方程的解，原分式方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 19．（8分）先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 【分析】先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后将x＝0和x＝2分别代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • ， 当x＝0时， 原式． 或者，当x＝2时， 原式1． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（8分）已知关于x的分式方程1． （1）若分式方程的解是x＝2，求a的值； （2）若分式方程有增根，求a的值； （3）若分式方程无解，求a的值． 【分析】（1）把x＝2代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x＝0或﹣3，代入整式方程计算即可求出a的值； （3）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可． 【解答】解：（1）∵分式方程的根是x＝2， ∴1， 解得a＝18； ∴a的值为18； （2）去分母得x（x+a）﹣6（x+3）＝x（x+3）， 解得ax﹣9x﹣18＝0， ∵分式方程有增根， ∴x＝0或﹣3， 当x＝0时，0﹣0﹣18＝0， 此时不存在a的值， 当x＝﹣3时，﹣3a+27﹣18＝0， ∴a＝3， ∴a的值为3； （3）①∵ax﹣9x﹣18＝0， ∴当a﹣9＝0时，方程无解， ∴a＝9，②当分式方程有增根， ∴a＝3， ∴若分式方程无解，a的值为3或9． 【点评】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． 21．（10分）如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． （1）若水流速度为每小时5千米．这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． （2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，AC段河流水速为每小时a千米，BC段因受降水影响，水速变为每小时b千米.设货轮在AC段的逆水航行时间为t1，在BC段的逆水航行时间为t2，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 【分析】（1）设该货轮在静水中的速度为x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间＝路程÷速度，表示出t1，t2，将其代入中，再将其与作差后，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该货轮在静水中的速度为x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝25， 经检验，x＝25是所列方程的解，且符合题意． 答：该货轮在静水中的速度为25千米/小时； （2），理由如下： ∵t1，t2， ∴． ∵， ∵a＜b， ∴b﹣a＞0，v+b+a＞0，b（v+a）＞0， ∴0， ∴0， 即． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用分式的运算，找出0． 22．（10分）嘉嘉和淇淇研究一道习题：“已知m＞n＞0，若分式分子、分母都加上1，所得分式的值增大了还是减小了？”． 嘉嘉想到了“用减去判断差的正负性”的思路． 淇淇想到了“可以将两个分式化成分母相同，再比较分子的大小”的思路． 两人的解题思路都正确． （1）请你任选一个思路说明． （2）当所加的这个数为2时，所得分式的值 　增大了　 （填“增大了”或“减小了”）． （3）当所加的这个数为a（a＞0）时，你能得到什么结论？请说明理由． 【分析】（1）选择嘉嘉的思路进行说明即可； （2）通分计算看结果的正负就可判断即可； （3）根据嘉嘉的比较方法进行比较即可． 【解答】解：（1）嘉嘉的思路：， ∵m＞n＞0， ∴n﹣m＜0． ∵m（m+1）＞0， ∴， ∴， 即所得分式的值增大了． （2）当所加的这个数为2时， 0， ∴增大了． 故答案为：增大了． （3）当所加的这个数为a（a＞0）时，所得分式的值增大了， 理由：， ∵m＞n＞0， ∴a（n﹣m）＜0，m（m+a）＞0， ∴， ∴， 即所得分式的值增大了． 【点评】本题考查了分式的加减法，找到公分母通分是解答本题的关键． 23．（12分）某玩具车间准备用10天时间生产6000个“哪吒”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲组每天生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为2：3，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 【分析】（1）设乙组每天生产x个套盒，则甲组每天生产（x﹣200）个，由此列一元一次方程求解即可； （2）设甲组每天生产数量为2m个，乙组每天生产数量为3m个，由此列分式方程求解即可． 【解答】解：（1）∵甲组每天比乙组少生产200个套盒， ∴设乙组每天生产x个套盒，则甲组每天生产（x﹣200）个， ∴4（x﹣200）+6（x﹣200）+6x＝6000， 整理得，16x＝8000， 解得x＝500， ∴x﹣200＝500﹣200＝300， ∴甲组每天生产300个套盒， 答：甲组每天生产300个套盒； （2）甲组生产4天，则剩下的任务数量为：6000﹣300×4＝6000﹣1200＝4800（个）， ∴甲、乙两组各分得4800÷2＝2400（个）， ∵甲、乙两小组每天生产的数量比为2：3， ∴设甲组每天生产数量为2m个，乙组每天生产数量为3m个， ∵甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天， ∴， 解得m＝200， 经检验：m＝200是方程的解， ∴增加2名工人后，甲组每天生产数量为2m＝400个/天，乙组每天生产数量为3m＝600个/天， ∴甲组每人每天可生产（个）， ∴甲组原有人数为（人）， 答：增加人员前，甲组有6名工人． 【点评】本题主要考查一元一次方程，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解即可． 24．（12分）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值； （2）解分式方程组：； （3）已知x、y、z为实数，，，，求分式的值． 【分析】（1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【解答】解：（1）由条件可得，即， ∴， ∴， ∴； （2）原方程组整理得， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）由条件可得， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了分式的求值，解分式方程组，正确理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$