精品解析：安徽省滁州市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

滁州市2024~2025学年第二学期高一期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体不属于棱柱的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形中，为线段中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个多面体至少有4个面 B. 圆柱的母线与它的轴可以不平行 C. 用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则角的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 13. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 14. 已知中，，则__________；若点都在圆上，且，则与夹角余弦值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，. （1）求及AD的长度； （2）求BC长度. 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求取值范围． 19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 滁州市2024~2025学年第二学期高一期中考试 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第2节. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列几何体不属于棱柱是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱的定义即可求解. 【详解】根据棱柱的定义可知A为三棱柱，B为四棱柱，C为五棱柱， 不属于棱柱的图形只有D选项. 故选：D. 2. 若复数，则（ ） A. 2 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得答案. 【详解】向量，所以. 故选：A 4. 若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及复数的相等可求解. 【详解】，再根据复数的相等，有，解得，所以. 故选：D 5. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，即可求出． 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 6. 如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 7. 已知非零向量满足，则向量夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及平面向量夹角公式计算即可． 【详解】由，得， 由，得，整理得， 所以，则， 设向量的夹角为，则． 故选：． 8. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 由题意知，，，所以， 在中，由正弦定理得：解得， 又，，所以，， 又， 在中，由余弦定理得：， 解得，所以、两岛屿之间的距离为海里． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一个多面体至少有4个面 B. 圆柱的母线与它的轴可以不平行 C. 用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面 D. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【答案】AC 【解析】 【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可． 【详解】对于A，多面体至少有4个面，故A正确； 对于B，圆柱的母线与它的轴平行，故B错误； 对于C，用任意的平面截一个球得到的截面都是一个圆面，故C正确； 对于D，满足条件的几何体可能是组合体，如图所示，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 11. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则角的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由是锐角三角形，可得，取正弦化简判断，对于B，由题意可得，化简变形后进行判断，对于C，由选项A可知，两边加上，化简进行判断，对于D，利用余弦定理结合基本不等式分析判断. 【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，同理可得， 所以，故A正确； 对于B，因为是锐角三角形，所以， 所以， 所以，又，， 所以，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 所以， 又，所以，， 所以，故C正确； 对于D，因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，又，所以角的最大值为，故D正确． 故选：ACD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 13. 已知向量在向量上的投影向量，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意设，结合，求出，再根据投影向量的定义，列式计算，即可求得答案. 【详解】由题意知向量在向量上的投影向量为， 设，由，得， 故，即， 故， 故答案为： 14. 已知中，，则__________；若点都在圆上，且，则与夹角的余弦值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据数量积的运算律推导出，再由计算可得，取的中点，连接、，则，由数量积的运算律可得，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 即， 即， 所以 ， 取的中点，连接、，则，， 所以， 则 ， 所以， 设与夹角为，则， 即与夹角的余弦值为. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知点. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可. 【小问1详解】 由题知，. 若，则， 解得，故实数的值为. 【小问2详解】 若，则，整理得， 解得或. 16. 已知，复数． （1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围； （2）若z满足，，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出复数对应点的坐标，进而列出不等式组求解. （2）利用给定条件，结合复数相等求出，再利用复数除法及模的意义求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的点为， 由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 依题意，， 又，则，解得， ， 所以. 17. 如图，在四边形ABCD中，，，，，. （1）求及AD的长度； （2）求BC的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用平方关系求出，， 由于， 借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可； （2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为，，，， 所以，， 由于，又，∴， ∴， 则 ， ∴， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以，所以 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得，解得. 由于，， 在中，由余弦定理可得 18. 如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点． （1）用和表示； （2）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可； （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解. 【小问1详解】 依题意，， ∴， ∴ 【小问2详解】 由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有， ， 在上递增， 所以，，，， 故的取值范围是． 19. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. （1）证明：； （2）若的平分线交于，，，求的值； （3）求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【小问1详解】 若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； 【小问3详解】 由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$