第五章第07讲 章节复习专题：图形的轴对称（5个知识点+10大常考题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第07讲 章节复习专题：图形的轴对称 目录 【考点一 轴对称图形的识别】 2 【考点二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 4 【考点三 画轴对称图形】 8 【考点四 轴对称中的折叠问题】 12 【考点五 利用等腰三角形性质求解】 17 【考点六 利用等腰三角形性质证明】 20 【考点七 根据线段垂直平分线的性质求解】 26 【考点八 线段垂直平分线的性质和判定】 30 【考点九 根据角平分线的性质定理求解】 34 【考点十 根据角平分线的性质定理证明】 37 【知识点1】轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （4）轴对称图形的性质 性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 【知识点2】等腰三角形的性质 （1）等腰三角形性质1：等腰三角形的轴对称图形，等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示； 符号：在中，AB＝AC， 【知识点3】等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 【知识点4】线段的垂直平分线（简称中垂线） 1.定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 2.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 3.作法：作已知线段的垂直平分线. 【知识点5】角平分线的性质 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 2.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 3.作已知角的角平分线. 【考点一 轴对称图形的识别】 例题：（2025·广东汕头·一模）下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（    ） A． B．C．D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【变式训练】 1．（2025·山东临沂·一模）未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其中是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义求解即可． 【详解】解：A.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·天津和平·二模）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形判断即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·陕西安康·二模）“长安回望绣成堆，山顶千门次第开．”长安即如今陕西西安，陕西拥有众多承载历史的古城．以下是陕西一些古城的图标设计图，其中是轴对称图形的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：第3个中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 第1、2、4个中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 4．（2025·山西临汾·一模）戏剧文创产业是以戏剧为主题的创意文化产业．下列与戏剧有关的文创图案中，成轴对称的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【考点二 根据成轴对称图形的特征进行判断】 例题：（2025·福建·一模）如图是一个风筝设计图，其主体部分关于所在的直线对称（四边形，），与相交于点，，且，则下列推断不正确的是（   ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．由对称可得：，，，，进而得到是等腰三角形，即可判断． 【详解】解：其主体部分关于所在的直线对称（四边形，）， ，，，， 是等腰三角形， 故A、B、C正确；D不正确； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，关于直线进行轴对称变换后得到，下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质即可得出结论． 【详解】解：∵关于直线进行轴对称变换后得到， ∴，，垂直平分，， 故选项A、B、C正确；故选项D不一定正确． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，直线是四边形的对称轴，点在上．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，，， 点是直线上的点， ，， A，B，C正确，而D错误， 故选：D． 4．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，和关于直线对称，点为直线上一点，则下列说法中错误的是（    ）    A． B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【知识点】全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等的性质、线段垂直平分线的判定与性质，连接交于，根据轴对称的性质得出，，，即可判断A，从而得出垂直平分，即可判断B、C，最后再根据全等三角形的性质即可判断D，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接交于，   ，和关于直线对称， ，，，故A正确，不符合题意； 垂直平分，故B正确，不符合题意； 点为直线上一点， ，故C正确，不符合题意； ， ，故D错误，符合题意； 故选：D． 【考点三 画轴对称图形】 例题：（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形．的顶点均在格点上，请完成下列各题：（用直尺画图）． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使最小． 【答案】(1)见详解； (2)见详解． 【知识点】画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题)、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换、轴对称——最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质 是正确解答此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，，此时点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，分别作出点的对应点，顺次连接得，即为所求； （2）解：如图，连接，交直线于点，连接，此时最小，则点即为所求。 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在格点（正方形的交点）上，且和关于某条直线成轴对称．请在图中画出个不同的． 【答案】画图见解析 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了作轴对称图形，根据轴对称图形的性质作图即可，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求（答案不唯一）． 2．（24-25八年级上·云南临沧·期末）如图，在正方形网格中，顶点都在格点上，每个小正方形网格的边长代表1个单位长度． (1)在图中画出关于直线m的对称图形； (2)如图，点P在直线m上，连接和，则，请你说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称，全等三角形的判定和性质，熟练证明三角形全等是解题的关键． （1）根据轴对称的概念画出图形即可； （2）过点A、C作直线m的垂线、，垂足分别为D、E，证明即可解答． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：理由如下：如图，分别过点A、C作直线m的垂线、，垂足分别为D、E． 由图知，，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有一个．请仅用无刻度的直尺，完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)作关于直线对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点P，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】最短路径问题、画轴对称图形、利用网格求三角形面积、无刻度直尺作图 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用长为2、宽为3的矩形面积减去四周三个直角三角形的面积即可得出答案； （3）连接，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【考点四 轴对称中的折叠问题】 例题：（24-25七年级下·重庆万州·期中）如图，中，，D、E是边上的点，把沿对折得到，再把沿对折得到，若恰好落在上，且此时，则 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】此题主要考查的是图形的折叠变换及三角形外角的性质，能够根据折叠的性质发现是解答此题的关键． 由折叠可得，，依据三角形的外角性质得，即可得到，进而得到． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置．若，则等于 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】此题主要考查了平行线的性质、轴对称的性质等．由折叠可得，，根据平行线的性质可得，再根据平角定义可得答案． 【详解】解： 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图，已知，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质．利用折叠对应角相等和平角进行计算，得到中除外的两个角度和，最后由三角形内角和得到． 【详解】解：， ，， 由折痕，得到，， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，将长方形纸片沿折叠（折线交于点，交于点），点、分别落在、处，延长交线段于点，将长方形纸片沿折叠，点落在处．若，则 ． 【答案】/128度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，一元一次方程的应用，根据折叠得出，，设，则，根据，得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据折叠可知：，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____； ②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟知平行线的性质与判定定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质和平角的定义可得，据此可得答案； （2）①由折叠的性质和平角的定义可求出的度数，再由平行线的性质即可得到答案；②根据折叠的性质和平行线的性质可证明，，再证明，推出，则可证明． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，小明在课余时间进行了关于折纸中角的问题的探索．如图1，已知M，N分别是长方形纸条边、上两点，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P． (1)【问题解决】若，求的度数． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H． ①【初步探究】若，求和的度数． ②【深入探究】若，请直接写出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，角度的和差计算，掌握折叠的性质，数形结合分析是关键． （1）根据折叠的性质得到，根据两直线平行内错角相等即可求解； （2）①根据平行线的性质得到，，，结合折叠的性质得到即可求解； ②结合①的计算得到，，则，有即可求解． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴； ②根据上述过程可得，， ， ∵， ∴， 解得，， ∴． 【考点五 利用等腰三角形性质求解】 例题：（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上，，则 ．    【答案】/27度 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等边对等角求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴ 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是 ． 【答案】或 【知识点】等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角，根据等腰三角形的定义分为顶角和底角两种情况计算即可求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当的角为顶角时，顶角的度数为； 当的角为底角时，顶角的度数为； ∴顶角的度数是或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放 根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是 ． 【答案】 2 【知识点】等边对等角 【分析】当时，由等腰三角形的性质，三角形的外角性质得到°，得到最多摆放2根小棒；当最多能摆放5根小棒时，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，因此，，于是得到． 本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质和题意得到，． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，这样的小棒最多摆放2根； 如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，， ∵最多能摆放5根小棒， ∴，， ∴． 故答案为：2，． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动时间为 秒时，与全等． 【答案】或 【知识点】全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为； 当时，， ∵， ∴， ∴运动时间为， 综上所述，点Q的运动时间为或 故答案为：或． 【考点六 利用等腰三角形性质证明】 例题：（24-25八年级下·山西运城·阶段练习）综合与探索 如图，在中，，，点从点B出发沿射线移动，同时，点Q从点C发沿线段的延长线移动，已知点P，Q移动的速度相同，与直线相交于点D． (1)如图1，当点P为的中点时，求证：． (2)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为E，当点P，Q在移动的过程中，线段长度是否保持不变？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)保持不变，见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过P点作交于F，由题意可证，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分点P在线段上，点P在线段的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得的长度不变． 【详解】（1）证明：如图1，过点作交于点． ． 点和点同时出发，且移动的速度相同， ． ， ， ， ． ， ． ． （2）解：线段的长度保持不变，理由如下： 分两种情况，①若点在线段上， 如图2，过点作交于点． 与（1）同理可知，，， ． ， ． ． ②若点在线段的延长线上， 如图3，过点作交的延长线于点． ． 又， ． ． ， ． ， ， 又， ． ． ， ． 综上所述，线段的长度保持不变． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，点在中边的延长线上，过点做，且，连接、．与相交于点，且． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，进而得出，然后根据可证； （2）先求出，由得，进而可求出． 【详解】（1）∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，． (1)若， ①如果，那么的度数为 ； ②猜想和的数量关系并证明； (2)如果，与有什么位置关系？请证明你的结论． 【答案】(1)①40②，证明见解析 (2)，证明见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、等边对等角、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查等边对等角，平行线的判定和性质： （1）①等边对等角，结合平行线的性质，推出，进而得到，即可得出结果； ②同①即可得出结论； （2）根据等边对等角，结合，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴； 故答案为：； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，在中．，，D为内一点．，且，连接，的延长线与交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，连接，，已知． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②当F是线段中点时，直接写出线段与线段的关系： ． 【答案】(1)见解析 (2)①，见解析；②互相垂直 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理、三线合一 【分析】（1）通过证明，可得，，再利用三角形内角和定理可证； （2）①作，，由全等知，从而得到平分，证出，从而证出平行； ②连接．由，且，推出，由（1），F是线段中点，推出，从而得出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于O点， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 如图2，作于G，于H， 由（1）知， ∴，， ∴， 又∵，， ∴平分， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②连接． ∵，且， ∴， ∵， ∴， 由（1）， ∵F是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键． 【考点七 根据线段垂直平分线的性质求解】 例题：（24-25八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接．若，，则的周长为 ．    【答案】19 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键． 由尺规作图可知，为的垂直平分线，得，则的周长为可转化为进而可得答案． 【详解】解：∵在中，分别以点A和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接； ∴为的垂直平分线， ∴， ∴的周长为：， ∵，， ∴的周长为：； 故答案为：19． 【变式训练】 1．（2025·青海西宁·一模）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 2．（24-25八年级下·广东河源·期中）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 根据．且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③正确，该选项符合题意； ， ， ， ， ， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 【考点八 线段垂直平分线的性质和判定】 例题：（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上． (1)求的面积； (2)连接，求的周长． 【答案】(1)16 (2)12 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的面积公式计算即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：如图： ∵点D在线段的垂直平分线上， ， 的周长为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，，过点C作于点D，在的延长线上取点E，连接，使． (1)求证：； (2)探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】（1）先证明，，从而可得结论； （2）如图，在上截取，连接，证明，再证明，结合全等三角形的性质可得结论. 【详解】（1）证明： （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接． 由（1）得， 在和中 . 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质；作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【考点九 根据角平分线的性质定理求解】 例题：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积．过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 【变式训练】 1．（2025·湖南岳阳·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点作于，由作图可知平分，进而由角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（20-21八年级上·贵州黔东南·期末）如图，在中，平分，，，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形的面积的应用． 过作于，于，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，于， ∵平分， ∴， ∵，， ， 故答案为． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，中，，的三条内角平分线交于点，于，若，则的周长是 ． 【答案】100 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题综合考查三角形内角平分线的性质和三角形的面积计算公式． 由三角形内角平分线的性质，可得点O到三边的距离都等于的长，将面积看作3个三角形面积之和，即可得到的周长． 【详解】解：∵点O是三角形三条角平分线的交点，， ∴点O到三边的距离等于的长， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：100 【考点十 根据角平分线的性质定理证明】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）【感知】如图①，平分，，，易知． 【探究】（1）如图②，平分，，，试说明：； 【应用】（2）如图③，在四边形中，平分，，，，且，则_________（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）作于E，作于F，先根据角平分线的性质得出，再证明，证明即可得出结论； （2）作于F．首先证明，再证明，得出，即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图②中，作于E，作于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）作于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，． (1)用尺规作图法，在上求作一点，使点到，的距离相等； (2)若，，，求点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键； （1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可； （2）过点作，垂足为，根据角平分线的性质得到，然后利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：过点作，垂足为． 由（1）得平分， 又， ，即到的距离为3． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)1或2或3或6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分4种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 当点D在的右边时，如图： 设点D到三边的距离为y， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的上方时，如图： 设点D到三边的距离为z， 同理可得：， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是1或2或3或6． 故答案为：1或2或3或6． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$