最值问题练习题-中考数学最值问题

最值问题练习题 1．如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ． 4．如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为 ． 5．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    6．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 7．如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．点P为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点H，过点P作y轴的平行线交于点Q．当为等腰三角形时，求出点P的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 9． 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 答案与解析 1．如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形， ，，，，，，… ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：A． 2．已知二次函数（且），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于t的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且顶点坐标为．抛物线开口向上， ∴和时的函数值相等， ∵，当时，函数取得最大值， ∴ ， 又∵当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 解得． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故答案为：． 4．如图，M是正方形边的中点，P是正方形内一点，连接，线段以B为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理以及动点问题，熟练掌握性质定理是解题的关键．连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解：如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案为：． 5．如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 ；运动过程中，的面积的最小值是 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质．结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值． 【详解】解：连接，如图所示：   ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 设，则， ， ， ，解得， ， ， ； ， ， 的面积的最小值是， 故答案为：，． 6．如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，， 点是等边三角形边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图，    当点在线段上时，的值最小，最小值为， 当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加助线是解决此题的关键． 7．如图1，二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且．点P为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为 ； (2)连接，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连结交于点H，过点P作y轴的平行线交于点Q．当为等腰三角形时，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为 (3)点P的坐标为或 【分析】对于（1），先求出点C的坐标，再根据可得点A的坐标，然后根据关系式得出答案； 对于（2），先求出直线的表达式，即可表示出，进而表示出四边形面积，再根据二次函数图像的性质配方讨论极值即可； 对于（3），由（2）点，则点，可得直线的表达式为：，再联立上式和直线的表达式得：，然后表示点H的坐标，再根据直线和x轴正半轴的夹角为开始讨论：当时，判断是否成立，接下来表示出，；当时，根据等腰三角形的性质可得，求出解；当时，可得，求出解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 则点， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； （2）解：如图2，过点P作轴，交于点Q， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则四边形面积， ∵， 故四边形面积存在最大值， 当时，四边形面积的最大值为； （3）解：由（2）点，则点， 对于抛物线的表达式为：， 当时，， ∴． 将点B、P的坐标代入直线的表达式 解得， 直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点H的坐标为：， ∵， ∴， ∴直线和x轴正半轴的夹角为． 如果，由可得，则，则，故不存在. 由点Q，H的横坐标可知， 再根据P，Q的纵坐标可知； 当时，则点H在的中垂线上，则， ∴， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，即， 解得：（舍去）或， 即点． 综上，点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形，求二次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，求一次函数的关系式，求二次函数的极值，理解用坐标的差表示线段的长是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交y轴于C点，交x轴于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，点Q是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中线段长度取得最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点B，且与直线相交于另一点M，点N为新抛物线上的一个动点，当，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)点N的坐标有或 【分析】（1）先求出，，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点P作y轴的平行线交于点E，证明得，设，则，表示出的长，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位，则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位，由二次函数的图象的平移得，由经过点得 ，过点作轴交于，过点作直线交轴于，由勾股定理逆定理得是直角三角形，可得， ①当在射线的下方时，联立直线的解析式及的解析式，即可求解；②当在射线的上方时，由等腰三角形的性质得，由待定系数法得直线的解析式为，求出的坐标，从而求出，的长，可求出直线的解析式，联立直线的解析式及及的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：令得， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为， 则， ∴， ， ，， ，， ， 如图过点P作y轴的平行线交于点E， ∵， ∴， ， ， ∴ 设， 则， ， ∵， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为， 作点B关于对称轴的对称点， ∴， ∴当P，Q，共线时，取得最小值， ∴的最小值为； （3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线， 且， 设将抛物线沿射线方向平移（）个长度单位， 则将抛物线沿轴向右平移（）个长度单位，向下平移个长度单位， ， 新抛物线经过点B， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， ， 如图， 过点作轴交于，过点作直线交轴于， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ①当在射线的下方时，如图， 当轴时， ， ， ， 联立， 解得：，， ， ， 解得：，， ； ②当在射线的上方时，如图， 直线交轴于， 由①得， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， ， ， ， 解得：， 经检验：是此方程的根； ， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， ； 综上所述：的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题中的线段最值及角度问题，待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能找出求线段和最小值的条件，并能根据动点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 9． 已知点在二次函数  的图象上， 且满足． (1)如图，若二次函数的图象经过点，若，此时二次函数图象的顶点为点P，求； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的对称性、二次函数的性质、面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的性质和最值是解题的关键． （1）把点代入解析式中求得a的值，得到抛物线线解析式可确定顶点坐标P，由得到点是对称点得到，结合，确定点，进而求得、、，再根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据二次函数得到顶点，可判定函数最大值为2，结合最大值与最小值的差为1，确定函数的最小值为1，根据函数的性质分类计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ． ∴二次函数的表达式为：． ∴该抛物线的顶点坐标为． ∵， ∴M、N关于抛物线的对称轴对称， ∵对称轴是直线，顶点为且， ∴，即， ∴，解得， ，， ∴，，， ． （2）∵二次函数，顶点为， ∴函数的最大值为2， ①当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设，的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； ②当时，如图， ∵最大值与最小值的差为1， ， 设的对称点为， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ， ∴， 根据题意得，解得：， ， ∴， ， ∴，解得， ∴，解得； 综上，a的取值范围为． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最大值和最小值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求的取值范围； ②当时，直接写出线段与二次函数的图象交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为 (3)①；②线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）将二次函数解析式化为顶点式，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，即当时，取最大值为，再结合，计算即可得出答案； （3）①表示出，分和计算即可得出的取值范围；②由得出，再利用分类讨论和数形结合的思想求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为， ∵， ∴当时，取最小值，， ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为； （3）解：①由题意得：， 当时，，的长度随的增大而减小，满足题意， 当时，，的长度随的增大而增大，不满足题意， ∴， 解得：； ②∵， ∴， 解得：， 如图，当时，点在最高点，与图象有1个交点， ， 如图，当时，点与点在对称轴右侧，与图象只有1个交点， ， 直线关于抛物线对称轴直线对称后直线为， ∴时，与图象有个交点， ， 当时，与图象有1个交点， ， 综上所述，线段与二次函数的图象只有个交点时，的取值范围为或，有个交点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，包括待定系数法二次函数的解析式、二次函数的最值问题、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$