最值问题之隐圆-中考数学最值问题

隐形圆及最值问题 本文主要从以下四个方面去介绍： 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 二、定边对直角 三、定边对定角 四、四点共圆 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 1、几个点到某个定点距离相等可用圆 （定点为圆心，相等距离为半径） 例：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______ 例：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________ 2、动点到定点距离保持不变的可用圆 （先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径） 例：木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随 之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是 （ ） 如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　． 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： 例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A．π B．π C．π D．2π 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 例：（2018•日照）如图，已知点，，在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1； （3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 四、四点共圆 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D在以AC中点E为圆心、EA为半径的圆上（可证）． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：线段同侧张角相等． 若平面上A、B、C、D四个点满足，则A、B、C、D四点共圆． 证明条件：1．四边形对角互补； 2．四边形外角等于内对角． 两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆． 四边形ABCD的对角线AC、BD交于H， 若，则四点共圆. 四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P， 若，则四点共圆. 例题1： 如图1，在四边形ABCD中，，，，，则______________． （2）如图2，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得．求证：． 图1 图2 例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ） A．2 B．π C．2π D．π 圆中最值问题 方法总结：圆中求最值的方法：(在圆中，注意圆的半径长为定值，要围绕半径构造模型解题) ①结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解，如T1，T2； ②根据圆的对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解，如T3，T10； ③利用直径是圆中最长的弦求解，如T5； ④寻找隐含条件(如中位线、直角三角形斜边上的中线等)，构造直角三角形或隐圆解题，如T6，T9. 1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　 A．1 B． C． D．2 2．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　　． 3．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为　　． 4．如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是　　． 5．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 　　． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为　　． 7．已知点是圆心为坐标原点且半径为3的圆上的动点，经过点作直线轴，点是直线上的动点，若，则的面积的最大值为　　． 8．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于　　． 9．如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时，　　． 10．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　． 【分析】如图，延长交于，当时，点到的距离最小，利用，得到求出即可解决问题． 解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小．（点在以为圆心为半径的圆上，当时，点到的距离最小） ，， ， ， ，，， ，， ， ， ， 点到边距离的最小值是1.2． 故答案为1.2． 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： 例：若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ） A．1 B． C．2 D． 【分析】 由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′． 如图， 由题意知，， 在以为直径的的上（不含点、可含点， 最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则． ， 长度的最小值， 故选：． 例：如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（ ） A．π B．π C．π D．2π 解：设AB的中点为Q，连接NQ，如图所示： ∵N为BM的中点，Q为AB的中点， ∴NQ为△BAM的中位线， ∵AM⊥BP， ∴QN⊥BN， ∴∠QNB＝90°， ∴点N的路径是以QB的中点O为圆心，AB长为半径的圆交CB于D的， ∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABCA＝4，∠QBD＝45°， ∴∠DOQ＝90°， ∴为⊙O的周长， ∴线段BM的中点N运动的路径长为：π， 故选：A． 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少，而直角则可一般为定角．例如，AB为定值，∠P为定角，则P点轨迹是一个圆． 例：（2018•日照）如图，已知点，，在抛物线上． （1）求抛物线解析式； （2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积为1； （3）在轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点，使？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入求得的值即可； （2）过点作，交与点，先求得直线的解析式为，设点，则，然后可得到与之间的关系式，接下来，依据的面积为1列方程求解即可； （3）首先依据点和点的坐标可得到，设外接圆圆心为，则，设的半径为，则中，依据勾股定理可求得的半径，然后依据外心的性质可得到点为直线与的交点，从而可求得点的坐标，然后由点的坐标以及的半径可得到点的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，将代入得，解得：， 抛物线的解析式为． （2）过点作，交于点． 设直线的解析式为，则，解得：， 直线的解析式为． 设点，则 ， ． 又， ，整理得：，解得：或， 点的坐标为或． （3）存在． ，， ． ， 点为外接圆与抛物线对称轴在轴下方的交点． 设外接圆圆心为，则． 设的半径为，则中，由勾股定理可知，即，解得：（负值已舍去）， 的垂直平分线的为直线，的垂直平分线为直线， 点为直线与的交点，即， 的坐标为． 例题2： 如图1，在四边形ABCD中，，，，，则______________． （2）如图2，在的边AB、AC上分别取点Q、P，使得．求证：． 图1 图2 【解析】 （1）28°； （2）∵， ∴ ． 作点P关于BC的对称点M，连接BM、CM， 则，，∴B、M、C、Q四点共圆， ∵，∴，∴． 例：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ） A．2 B．π C．2π D．π 解：如图， ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴∠DAE＝∠DCF， ∵∠AED＝∠CEG， ∴∠ADE＝∠CGE＝90°， ∴A、C、G、D四点共圆， ∴点G的运动轨迹为弧CD， ∵AB＝4，ABAC， ∴AC＝2， ∴OA＝OC， ∵DA＝DC，OA＝OC， ∴DO⊥AC， ∴∠DOC＝90°， ∴点G的运动轨迹的长为π． 故选：D． 圆中最值问题 方法总结：圆中求最值的方法：(在圆中，注意圆的半径长为定值，要围绕半径构造模型解题) ①结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解，如T1，T2； ②根据圆的对称性，将线段转换到一起，再利用两点之间线段最短求解，如T3，T10； ③利用直径是圆中最长的弦求解，如T5； ④寻找隐含条件(如中位线、直角三角形斜边上的中线等)，构造直角三角形或隐圆解题，如T6，T9. 1．如图，等边的边长为2，的半径为1，是上的动点，与相切于，的最小值是　　 A．1 B． C． D．2 【分析】连接，，作于，因为与相切于，所以，可得，当与重合时，最小，此时最小，求出的长，即可得出的最小值． 【解答】解：如图，连接，，作于， 与相切于， ， 的半径为1， ， 当与重合时，最小， 等边的边长为2， ， ， 的最小值为：． 故选：． 2．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为　　． 【分析】连接，如图，利用勾股定理得到，利用垂线段最短得到当时，最小，再求出即可． 【解答】解：连接，如图， ， ， ， 当的值最小时，的值最大， 而时，最小，此时、两点重合， ， 即的最大值为， 故答案为：． 3．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为　　． 【分析】作点关于的对称点，连接、、，交于，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，先确定，则确定，则可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到的最小值． 【解答】解：作点关于的对称点，连接、、，交于，如图， ， ， 此时的值最小， 点是半圆上一个三等分点， ， 点是弧的中点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 的最小值为． 故答案为． 4．如图，是的内接三角形，且是的直径，点为上的动点，且，的半径为6，则点到距离的最大值是　　． 【分析】过作于，延长交于，则此时，点到距离的最大，且点到距离的最大值，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：过作于，延长交于， 则此时，点到的距离最大，且点到距离的最大值， ，，的半径为6， ， ， ， 则点到距离的最大值是， 故答案为：． 5．如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是 　　． 【分析】根据中位线定理得到的长最大时，最大，当最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值． 【解答】解：点，分别是，的中点， ， 当取得最大值时，就取得最大值，当是直径时，最大， 连接并延长交于点，连接， 是的直径， ． ，， ， ， ． 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为　　． 【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16． 【解答】解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大， ， ， 以点为圆心的圆与轴相切． 的半径为3， ， 是直径， ， 长度的最大值为16， 故答案为16． 7．已知点是圆心为坐标原点且半径为3的圆上的动点，经过点作直线轴，点是直线上的动点，若，则的面积的最大值为　　． 【分析】当是的切线时，最长，则最长，故的面积的最大，连接，根据切线的性质和已知条件得出是等腰直角三角形，利用勾股定理确定，进而求得，根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：当是的切线时，最长，则最长，故的面积的最大， 连接， 是的切线， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 的面积的最大值为， 故答案为． 8．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于　　． 【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形是正方形，从而求得，以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，作出图形，根据切线的性质得出，根据勾股定理求得的长，从而证得是等腰直角三角形，即可证得的最大值为． 【解答】解：、是过所作的的两切线且互相垂直， ， 四边形是正方形， 根据勾股定理求得， 点在以为圆心，以长为半径作大圆上， 以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示， 是大圆的切线， ， ，， ， ， ， 的最大值等于， 故答案为． 9．如图，是矩形内一点，，，，则当线段最短时，　　． 【分析】因为，则点在为直径的半圆上，当点为的中点与点连线与半圆的交点时，最短，求出此时的长度便可． 【解答】解：以为直径作半圆，连接，与半圆交于点，当点与重合时，最短， 则， ，， ，， ， 过作于点，则 ， ， ． 故答案为：． 10．如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、． （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的长； （3）若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点； （2）证明为的中位线得到，然后计算即可； （3）作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值． 【解答】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． （2）解：， ， 而， 为的中位线， ， ． （3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． $$